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Stahlbau Grundlagen
Der Grenzzustand der Stabilitt
nach Theorie II. Ordnung
Prof. Dr.-Ing. Uwe E. Dorka

Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 2
Geometrisch perfektes System:keine Krfte in den Diagonalen, Gleichgewicht im
Nachbarzustand fhrt auf das Stabilittsproblem
Systemknicken
Leitbauwerk Halle
Geometrisch imperfektes System:Schiefstellung liefert Krfte in den Diagonalen,
Gleichgewicht am verformten System fhrt auf das Spannungsproblem Zugkraft in der Diagonalen
hz
z
1
Z ist von d abhngig, aber d ist auch von Z abhngig (elastische Verformung der Diagonalen) -> nicht sofort geschlossen lsbar

Bestimmung der Gesamtverformung dges aus Anfangsschiefstellung d0 :
Imperfekte Systeme - Einfhrungsbeispiel
anfngliche Federkraft aus Gleichgewicht:
daraus folgt die zustzliche Verformung der Feder:
zustzliche Federkraft
neue Federkraft
daraus folgt weitere Verformung:
und erneuter Zuwachs der Federkraft.
dies sind Reihen mit immer kleiner werdenden Zuwchsen!
Anfangsschiefstellung d0 und Ersatz der Zug-diagonalen durch Feder mit der Steifigkeit K

d0
geometrische Reihe

d0 Analog lsst sich die Federreaktion H entwickeln

d0 dabei ist:
oder auch:
Zusammenhang mit Systemknicken!
damit stehen 2 einfache Wege zur Berechnungeines imperfekten Systems zur Verfgung:
1. Steigerung ber die Knicklast2. Steigerung ber den 1. Verformungs bzw.
Lastzuwachs

Elastizittstheorie 2. Ordnung
umstellen liefert:
Pel strebt gegen Pcr (Systemknicken)
aber H Hpl durch plastische Grenzlast der Zugdiagonalen!

umstellen liefert:
Plastizittstheorie 2. Ordnung
plastische Grenze:
PR wahre Traglast
dR Grenzverformung
plastische Grenzlast der Feder

Werkstoff
Verformter elastischer Einzelstab analytische Lsung
zustzliches Moment aus N am
verformten Stab: Gleichgewicht am verformten Stab:
mit M0: Anfangsmoment aus w0(x)

DGL
mit:
folgt:
Da die Biegelinie aus der Lsung der DGL
die Form:
hat, wird fr die Anfangsverformung der afine Ansatz gewhlt:

Einsetzen
wirdmit
es folgt:

Ansatz fr den Verlauf der
Vorverformung:
Moment w0: Krmmung:
Hinweis: Die Norm geht von einem parabelfrmigen Verlauf aus!
Verformter el. Einzelstab Lsung mit Laststeigerung
hier als Knickform angenommen:
1. Zuwachs
2. Zuwachs

mit
Verformter Einzelstab Nherungslsung
unendliche geometrische Reihe

Falsche Vorverformung!
Konvergiert auf Ncr,2
Vorverformter Einzelstab: elastisches Verhalten
Nur exakt, wenn q=konst, d.h. DM, DDM, DDDM alle affin
Vorverformung mu in guter Nherung der Knickbiegelinie entsprechen!

Richtige Vorverformung!

Bisher: ideal elastisches Werkstoffverhalten
=> was passiert, wenn plastische Gelenke auftreten? Mpl,N plastisches
Moment im Gelenk unter Bercksichtigung der M-N-Interaktion
Plastizittstheorie II. Ordnung Gleichgewicht an der verformten Fliegelenkkette
Vorverformter Einzelstab: Inelastisches Verhalten
Gleichgewicht:
Instabil!
Grere Verformungen
bedeuten kleinere
Tragfhigkeiten !!!

Vorverformter Einzelstab: Reales Verhalten
= Traglast nach Fliegelenktheorie II. Ordnung ohne Ansatz von strukturellen Imperfektionen
= Traglast nach Fliegelenktheorie II. Ordnung mit Ansatz von strukturellen Imperfektionen

Vorverformtes System
elastisches
Verhalten
plastische
Kette
[P=ql]

reales Verhalten
1.Gelenk
reales Verhalten:
3.Gelenk ->instabil
[P=ql]
reales Verhalten
2.Gelenk
reales Verhalten:
4.Gelenk ->instabil

elastisches
Verhalten
plastische
Kette
reales
Verhalten
reales
Verhalten:
instabil
[P=ql]

Vorverformtes System reales Verhalten
Einfluss der Eigenspannungen:
Sukzessive Reduktion der Steifigkeiten durch frheren Fliebeginn
Eigenspannungen beeinflussen
auch den Ort, wo das plastische
Gelenk entsteht und damit die
Form der Gelenkkette
Es kommt bei bestimmten
Systemen zu einem Versagen,
bevor sich die gesamte
plastische Kette gebildet hat
Streuung der Eigenspannungen
fhrt zu einer Streuung von Ptrag
[P=ql]

Spannungsproblem, kein Eigenwertproblem mehr, wie bei der Stabilitt!
1/(1-q) Verfahren als einfache Nherung (geometrische Reihe)
Elastische Theorie II. Ordnung: Ncr ist Grenzwert, der asymptotisch erreicht wird
Gewhlte Vorverformung mu in 1. Nherung der Knickform entsprechen
Plastische Theorie II. Ordnung: plastische Gelenkketten sind instabil!
Eigenspannungen und andere lokale Imperfektionen haben groen Einflu auf die
Traglast, sie werden durch eine entsprechende Vorverformung bercksichtigt
-> nach Elastizittstheorie ll. Ordnung rechnen und mit plastischem Grenzzustand
vergleichen (siehe DIN EN 1993-1-1)
Einzelstbe und Stabsysteme verhalten sich hnlich
-> Grundlage des Ersatzstabverfahrens
Zusammenfassung

[1] Roik Vorlesungen ber StahlbauVerlag Ernst und Sohn, 2., berarbeitete Auflage, 1983
[2] DIN EN 1993-1-1: Bemessung und Konstruktion von StahlbautenBeuth Verlag, 2005
[3] Petersen StahlbauVieweg, 3. Auflage, 2001
[4] Petersen Statik und Stabilitt der BaukonstruktionenVieweg, 2., durchgesehene Auflage, 1982
Referenzen

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