Stahlbau Grundlagen 2

Stahlbau Grundlagen

Der Grenzzustand der Stabilität:

Einzelstab- und Systemknicken

Prof. Dr.-Ing. Uwe E. Dorka

Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 2

Eine Dachscheibe wird zum statischen System mit Lasten

Einführung


Ein möglicher Grenzzustand ist Einzelstabknicken

Einführung


Beobachtung im Versuch

Einführung


Stabilität ist Gleichgewicht im Nachbarzustand !!

Annahmen der elastischen Stabilitätstheorie in der Baustatik:

Geometrie:

Werkstoff:

Gleichgewicht: Formulierung am System im Nachbarzustand:

v ist sehr klein und unbestimmt

Elastisches Einzelstabknicken

Einführungsbeispiel: starrer Stab mit Drehfeder


Einführungsbeispiel: Starrer Stab mit Drehfeder


Werkstoff:

Geometrie:

Gleichgewicht im Nachbarzustand:

Lösung für beliebige j:


Knicklast der Kragstütze (Eulerfall 1)


Gleichgewicht im Nachbarzustand:

Elastizitätstheorie:

Homogene DGL II. Ordnung.


Lösung der homogenen DGL:

Eigenwert:

Lösungsansatz:

Einarbeitung der Randbedingungen:



1. Lösung (Triviallösung):

2. Lösung für Knickbedingung:

hier: b = 2,0


Knicklast:

Knicklänge:

Knicklängenbeiwert:


Elastisches Einzelstabknicken - Knickformen

Hinweis: Knickformen sind Schwingungsformen sehr ähnlich, da diese ebenfalls Eigenformen einer DGL 2. Ordnung sind. Schwingungen kann man sich meist gut vorstellen, deshalb auch Knickformen!

1.Knickform

maßgebend, da kleinste Knicklast!

2.Knickform 3.Knickform

VariableKnickform


Roik [1]

Die Eulerfälle des Knickens

2

2cr

cr

EIN

l

crl1

2crl

Der Knicklängenbeiwert b gestattet es, ein konkret vorliegendes Knickproblem auf das Knickproblem eines Ersatzstabes zurückzuführen. Als Ersatzstab wird der Eulerfall 2 herangezogen, bei dem b = 1,0 ist, also lcr = L

cot


Elastisches Systemknicken - richtungstreue Systeme

Beispiel: Hallenrahmen



Antimetrisch Symmetrisch



1. Knickform - antimetrisch


2. Knickform - symmetrisch


1. Knickform - antimetrisch

Normalkraftverformungen

bei Biegegliedern werden

hier vernachlässigt, da sie

viel kleiner als die

Biegeverformungen sind.


Vereinfachtes System zur Berechnung der 1. Knickform

Normalkraftfreie Stäbe, oder Stäbe mit geringer Normalkraft lassen sich in vielen Fällen durch Rotations- oder Translationsfedern ersetzen.

Roik [1]

Federermittlung für vorliegendes Beispiel z.B. mit Arbeitsgleichung:




Vereinfachtes System zur Berechnung der 2. Knickform

Normalkraftfreie Stäbe, oder Stäbe mit geringer Normalkraft lassen sich in vielen Fällen durch Rotations- oder Translationsfedern ersetzen.

j j L L

M M dx M M dxEI EI

21 11

Federermittlung für vorliegendes Beispiel z.B. mit Arbeitsgleichung:

j R R

bb

EI EI

211

j j

REIc

b

1

Roik [1]




Roik [1]

Typische Knickformen und Rückführung auf Einzelstäbe mit Endfedern bei Rahmen:

Die meisten üblichen Stabtragwerke

lassen sich auf den Einzelstab mit

Endfedern zurückführen, der somit

als „Grundsystem“ für das Systemknicken angesehen werden kann. Für seine „Grundfälle“ gibt es analytische Lösungen.



Gleichgewicht am unteren Teilsystem:


Inhomogene DGL II. Ordnung:

Allgemeiner Lösungsansatz:


Lösung für den Grundfall mit 1 Drehfeder unten, 1 Wegfeder oben:

mit:

homogener Lösungsanteilpartikuläre Lösung als Taylorreihenentwicklung


4 Unbekannte erfordern 4 Randbedingungen:


Homogene Lösung:

Knickbedingung:

Knicklängenbeiwert:für Eulerfall 2


Petersen [4]

Elastisches Systemknicken – richtungstreue Systeme

1.

2.

3.

Damit wird das Grundsystem für das Systemknicken durch den Eulerfall 2 ersetzt und der Eulerfall 2 zum generellen „Ersatzstab“.

Die wichtigsten Grundfälle findet man grafisch aufbereitet in Diagrammen zur Ermittlung von b, zum Beispiel:


Bei bestimmten Systemen treten im Nachbarzustand systembedingte zusätzliche Abtriebskräfte auf, welche

die Knicklast beeinflussen.

verkleinert Abtrieb steigert Knicklast

steigert Abtrieb verringert Knicklast

Elastisches Systemknicken - Poltreue Systeme


Beispiel: Längswandverband der Halle


Ermittlung der Abtriebskraft Hstab,i

Bei mehreren zu stabilisierenden Stützen


Beispiel: Längswandverband der Halle


Länge a der Pendelstütze:

Pol

Grundfall 1Beispiel: Aussteifung der Längswand durch biegesteifen Rahmen

Grundfall 2


Ableitung der Knickbedingung

Biegemomente im Nachbarzustand:


Lösungsansatz:

Der poltreue Ersatzstab

Pol


Ableitung der Knickbedingung


Pol

Randbedingungen:

Knickbedingung mit:

b

L

R

cr

atan

L

1

11 2


Abminderung von NcrErhöhung von Ncr

Gefährlicher Bereich!


Die Knickbedingung lässt sich in Abhängigkeit der Längenverhältnisse graphisch darstellen:


Beispiel für gefährlichen Bereich poltreu:

Elastastisches Systemknicken - Poltreue Systeme


Abschätzung der richtungstreuen Knicklänge mit Grundfall 2 (poltreue Knicklänge des Rahmens):

Beispiel für gefährlichen Bereich poltreu:

Elastastisches Systemknicken - Poltreue Systeme


Inelastisches Knicken – mechanischer Hintergrund

schlanke Stütze



schlanke Stütze



mittelschlanke Stütze



gedrungene Stütze



schlanke Stütze


gedrungene Stütze


Normierte Knickspannungskurven nach DIN EN 1993-1-1 (6.3.1)

DIN EN 1993-1-1 (Bild 6.4)

Normierte Größen:

Ersatzstabverfahren

Abminderungsfaktor

bez. Schlankheitsgrad

Trägheitsradius

Bezugsschlankheitsgrad

Zuordnung der Querschnittformen zu den Knickspannungskurven nach DIN EN 1993-1-1 (6.3.1.2)

Ablesung oder aus DIN formelmäßig

Tab. 6.2


Reine Normalkraft – Ablauf des Verfahrens

2. Festlegung der maßgeblichen Knickspannungskurve und Ermittlung des Abminderungsfaktors c:

1. Ermittlung der Knicklänge Lcr = b·L

Ersatzstabverfahren

3. Nachweis:

c

für Querschnittsklasse 1-3


[1] Roik –Vorlesungen über StahlbauVerlag Ernst und Sohn, 2., überarbeitete Auflage, 1983

[2] DIN EN 1993-1-1: Bemessung und Konstruktion von StahlbautenBeuth Verlag, 2005

[3] Petersen –StahlbauVieweg, 3. Auflage, 2001

[4] Petersen –Statik und Stabilität der BaukonstruktionenVieweg, 2., durchgesehene Auflage, 1982

[5] Lindner und Gietzelt -Zweiachsige Biegung und Längskraft – ein ergänzter BemessungsvorschlagStahlbau 9/1985

[6] Roik und Kindmann -Das Ersatzstabverfahren – Eine Nachweisform für den einfeldrigen Stab bei planmäßig einachsiger Biegung mit DruckkraftStahlbau 12/1981

[7] Roik und Kindmann -Das Ersatzstabverfahren – Tragsicherheitsnachweise für Stabwerke bei einachsiger Biegung und Normalkraft Stahlbau 5/1982

Referenzen

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