Statistik-Tutorat SS 2009

Christina

Dienstags, 14-16 UhrSR B

12.05.2009

Multiple Korrelation

Die Multiple Korrelation befasst sich mit dem Zusammenhang mehrere Variablen untereinander. Sie ist die Vorraussetzung für die ………………………...

Inhalt:• Partialkorrelation• Semipartialkorrelation• Multiple Korrelation• Inkrementelle Validität• Beispiele für multiple Korrelationen

Multiple Korrelation - 2

Wdh.: Aufgeklärte Varianz

Multiple Korrelation - 3

Varianz von X Varianz von Y

Gemeinsame Varianz

Venn – Diagramm:Die „gemeinsame“ oder „aufgeklärte“ Varianz entspricht r².

22222 1 yyy srsrs

nicht-erklärbare Varianz

Aufgeklärte Varianz

r² 1-r²

Aufgaben

1) Erarbeitet die Unterschiede der Partial- und der Semipartialkorrelation

2) Was ist inkrementelle Validität?3) Besitzt z i.V.?

4) Wie kann man den Suppressoreffekt belegen?

x y z

x 1 .7 .3

y 1 .3

z 1

Multiple Korrelation - 5

y

x

z 2.zxyr

y.z

x.z

Partialkorrelation rxy.z

)1()1( 221

22

21212.1

xxyx

xxyxyxxyx

rr

rrrr

Multiple Korrelation - 6

Definition:Die Partialkorrelation rxy.z beschreibt den linearen Zusammenhang von zwei Variablen, … )1()1( 22.

xzyz

xzyzxyzxy

rr

rrrr

y.z

x.z

2.zxyr

Partialkorrelation rxy.z

… aus dem der Einfluss einer dritten Variable eliminiert wurde.

Korrelation der Variablen x und y, nachdem eine Variable z aus x und y herauspartialisiert wurde

Multiple Korrelation - 7

Definition:- Semipartialkorrelation ist die Korrelation der Variablen x mit y, nachdem z nur aus y herauspartialisiert wurde.

)1( 2).(

yz

xzyzxyzyx

r

rrrr

Semipartialkorrelation rx(y.z)

xy.z

2).( zyxr

Multiple Korrelation - 8

y

x

z

xy.z

2).( zyxr

Die quadrierte Semipartialkorrelation r²x(y.z) ist der Anteil der Varianz von x, den die Variable y zusätzlich zu z erklärt.

Semipartialkorrelation rx(y.z)

Multiple Korrelation - 9

Zusammenfassung

Partialkorrelation rxy.zHerauspartialisieren eines dritten Merkmals aus beiden Variablen

Semipartialkorrelation rx(y.z)Herauspartialisieren eines dritten Merkmals aus nur einer Variable

y.zx.z

x y.z

Multiple Korrelation - 10

Definition:Der Multiple Korrelationskoeffizient (R) erfasst den

Zusammenhang zwischen mehreren Prädiktorvariablen und einem Kriterium.

(Dies entspricht der Korrelation zwischen einem durch mehrere Prädiktoren vorhergesagtem Kriterium und dem tatsächlichem Kriteriumswert.)

Für zwei Prädiktoren gilt:

221

212122

21

21. 1

2

xx

yxyxxxyxyxxxy r

rrrrrR

Multiple Korrelation Ry.xz

Multiple Korrelation - 11

ryx = rxy

(Einfache Korrelation)

Ry.xz (multiple Korrelation)

y

x

z2xyr

y

x

z2.xzyR

Multiple Korrelation Ry.xz

Multiple Korrelation - 12

R vereinigter Zusammenhang aller Prädiktoren mit KriteriumR² Anteil der durch alle Prädiktoren aufgeklärten Varianz

= Maß für die Effektstärke bei der multiplen Regression

Multiple Korrelation Ry.xz

Multiple Korrelation - 13

2).(

22. xzyyxxzy rrR

y

x

y

x

zz

y

x

z

= + y

Multiple Korrelation Ry.xz

Multiple Korrelation - 14

yy

x x

z z

… …

y

x

y

x

zz

y

x

z

= + y

Multiple Korrelation: Mehrere Prädiktoren

Multiple Korrelation - 15

Inkrementelle Validität

Definition:Eine Variable besitzt

inkrementelle Validität, wenn ihre Aufnahme als zusätzlicher Prädiktor den Anteil der aufgeklärten Varianz (R²) am Kriterium erhöht.

(=die Vorhersage verbessert)

y

x

z

Beleg:- Vergleich der Korrelationen

r

R²y.x1x2 (Berechnung der Multiplen Korrelation) und r²yx1 (Tabelle)

Inkrementelle Validität

Wenn gilt:

R²y.x1x2 > r²yx1

Multiple Korrelation - 17

Spezialfälle für multiple Korrelationen

• Nullkorrelation• Ein Prädiktor korreliert• Inkrementelle Validität• Keine inkrementelle Validität• Suppressor-Effekt

Multiple Korrelation - 18

x1 y

x2

Beispiel: Nullkorrelation

Y X1 X2

Y 1.0 .00 .00

X1 1.0 .00

X2 1.0

R = 0 R² = 0Kein geeigneter PrädiktorKeine inkrementelle Validität

Multiple Korrelation - 19

Beispiel: Ein Prädiktor

Y X1 X2

Y 1.0 .60 .00

X1 1.0 .00

X2 1.0

X1 korreliert mit y;X2 korreliert nicht mit y;Besitzt X2 inkrementelle Validität?

Die gemeinsame Vorhersage ist genauso gut, wie die Vorhersage durch X1 alleine X2 besitzt keine inkrementelle Validität.

x2x1

y

Multiple Korrelation - 20Multiple Korrelation - 20

Beispiel: Supressor-Effekt

yx1

x2

Beim Suppressor-Effekt gilt:Ein Prädiktor korreliert nicht mit

KriteriumBeide Prädiktoren korrelieren

miteinander Vergleich der MK mit der einfachen

rYX1s. inkrementelle Validität

21,

221. XyXXy rR

Multiple Korrelation - 21Multiple Korrelation - 21

yx1

x2

Suppressor-Effekt

Erklärung:

=> x2 unterdrückt nicht relevante Varianz x

=> durch die Aufnahme von x2 wird Varianz von x1 an x2

gebunden, so dass das Verhältnis

zwischen gemeinsamer Varianz von y und x1

zur ursprünglichen Varianz von x1 ansteigt

Multiple Korrelation: Zusammenfassung

PartialkorrelationHerauspartialisieren eines dritten Merkmals aus allen Prädiktoren.

SemipartialkorrelationHerauspartialisieren eines dritten Merkmals aus einem Prädiktor

Multiple KorrelationVarianzaufklärung mit mehreren PrädiktorenInkrementelle Validität: durch einen Prädiktor zusätzlich erklärte VarianzSuppressor-Effekt: Ein Prädiktor verbessert die multiple Korrelation ohne dass er mit dem Kriterium korreliert.

Multiple Korrelation - 22

Gegeben seien die Korrelationen der in einem Fragebogen erhobenen Variablen x, y und z, wie unten dargestellt. Um welche Determinations-Koeffizienten handelt es sich jeweils bei den grau markierten Flächen?

1. 2.

3. 4.

Skizziere die Korrelationen zwischen den Variablen in Venn-Diagrammen (Kreisdiagrammen) !1)

X Y Z

X 1 0,83 0,67

Y 0,83 1 ,23

Z 0,67 ,23 1

x y z

x 1 -0,61 -0,30

y -0,61 1 0

z -0,30 0 1

2)

Ordne die Tabellen den Venn-Diagrammen zu:

a)

b)

c)

x y z

x 1 0 0

y 0 1 0

z 0 0 1

x y z

x 1 0,8 0

y 0,8 1 0

z 0 0 1

x y z

x 1 0,27 0

y 0,27 1 0

z 0 0 1

1.

2.

3.