Stochastik mit dem GTR

• Beschreibende Statistik (Kennzahlen von Datenmengen, Regression, Korrelation)

• Simulationen – Modellbildung

• Wahrscheinlichkeitsberechnungen

• Verteilungen und deren Maßzahlen: Binomial- und Normalverteilung, Approximation

• Beurteilende Statistik: Testen von Hypothesen, Fehler 1. und 2. Art

• MARKOFF-Ketten

Elemente der Stochastik

Mathematik-Menü

Menü zur Listenbearbeitung

Statistik-Menü

Befehle Bedingungen

rand

rand(3) rand(10)>0.5

randInt(1,6)

randInt(1,6,300) randInt(1,6,300) = 1

Simulation mit Pseudozufallszahlen

Vorstellungen von Zufall entwickeln

Einen 100fachen Münzwurf simulieren ...

Simulation mit Pseudozufallszahlen

... und die Entwicklung der relativen Häufigkeiten darstellen ...

Simulation mit Pseudozufallszahlen

Das 300fache Würfeln simulieren ...

Simulation mit Pseudozufallszahlen

... und die Entwicklung der relativen Häufigkeiten darstellen ...

Simulation mit Pseudozufallszahlen

die Bestimmung der absoluten Häufigkeiten

automatisieren ...

Simulation mit Pseudozufallszahlen

Simulation zum 1/e - Gesetz

20faches Werfen eines Ikosaeders

2, 4, 6, 10, 12, 13, 14, 17 fehlen,

also 8 von 20 (40%)

P(bestimmte Augenzahl tritt nicht auf)

1/e 37%

Simulation mit Pseudozufallszahlen

Simulation zum 1/e - Gesetz

Zufallsregen auf 5x5 -Quadratgitter

P(ein Feld bleibt leer) 1/e 37%

Simulation mit Pseudozufallszahlen

Ziehen mit und ohne Zurücklegen

Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind die erzeugten Lottozahlen brauchbar?

Simulation mit Pseudozufallszahlen

Wahrscheinlichkeit für lauter verschiedene Glückszahlen

Geburtstagsproblem (Lottoziehung mit Zurücklegen)

Wahrscheinlichkeit für lauter verschiedene Geburtstage

Geburtstagsproblem

Faustregel: Hat der Zufallsversuch n mögliche Ergebnisse, dann benötigt man ca. 1,2*n Versuchsdurchführungen, damit die Wahrscheinlichkeit für mind. zwei gleiche Ergebnisse über 50% ist.

Modellierung von Zufallsversuchen vom Typ „Geburtstagsproblem“

Menü der Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Wahrscheinlichkeit für einen Lottogewinn

Hypergeometrische Verteilung

Am ersten Schultag werden 206 neue Schülerinnen und Schüler eingeschult.

Wie groß ist Wahrscheinlichkeit, dass hierunter (k)ein Geburtstagskind ist (oder vielleicht sogar mehr als eins)?

Binomialverteilung

Binomialverteilung - Histogramme

Bedienungsfehler

Binomialverteilung

Große Stichprobenumfänge

Binomialverteilung

Simulation einer Binomialverteilung

Binomialverteilung - Simulation

Erwartungswert einer Binomialverteilung

Binomialverteilung - Erwartungswert

Kumulierte Binomialverteilung

Kumulierte Binomialverteilung

Viele Menschen leiden unter Bluthochdruck. Die Heilungswahrscheinlichkeit eines bestimmten Medikaments beträgt p = 0,8.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden von 72 Patienten

- weniger als 50 geheilt?

- mehr als 60 geheilt?

Kumulierte Binomialverteilung

Graphen der Größe des Displays anpassen

Binomialverteilung – Streuung um den Erwartungswert

Graphen der Größe des Displays anpassen

Binomialverteilung – Streuung um den Erwartungswert

Graphen der Größe des Displays anpassen

Wir beobachten: Mit wachsendem Stichprobenumfang n

nimmt die Breite der „Glocken“ mit dem Faktor n zu und die Höhe mit dem Faktor 1/n ab.

Binomialverteilung – Streuung um den Erwartungswert

n Breite Höhe

50 20 0,113

100 30 0,080

200 42 0,057

300 52 0,047

400 62 0,040

Man kann zeigen: Bei festem n ist die Breite der „Glocken“

proportional zu p(1-p).

Bei BERNOULLI-Versuchen konzentrieren sich die Ergebnisse auf eine Umgebung um den Erwartungswert = n p mit einem Radius von ungefähr 3 np(1-p).

np(1-p) ist gleich der Varianz der Zufallsgröße.

Binomialverteilung

Varianz – Nachweis der Formel np(1-p)

n = 50 ; p = 0,4 n = 100 ; p = 0,2 n = 200 ; p = 0,3

Binomialverteilung - Varianz

n = 200 ;

p = 0,3

Binomialverteilung - Normalverteilung

P(1-Umgebung) 0.68 P(2-Umgebung) 0.955

Binomialverteilung – sigma-Regeln

Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten von Umgebungen von

Binomialverteilung – sigma-Regeln

P(1-Umgebung) 0.68 P(2-Umgebung) 0.955

Binomialverteilung – sigma-Regeln

Binomialverteilung – Approximation durch GAUSSsche Dichtefunktion

Binomialverteilung – Approximation durch GAUSSsche Dichtefunktion

Binomialverteilung – Approximation durch GAUSSsche Dichtefunktion

Bei dominanter Vererbung haben in der zweiten Tochtergeneration 75% der Nachkommen die erste Ausprägung und 25% die andere.

Ist bei einem vorliegenden Kreuzungsversuch mit n = 120 die MENDELsche Regel anwendbar?

95%-Umgebung um den Erwartungswert: = 120 0,75 = 90 ; = (1200,750,25) = 4,74

Entscheidungsregel: Verwirf die Hypothese p = 0,75 , falls X < 81 oder falls X > 99

Binomialtest Entscheidungsregel

Bei dominanter Vererbung haben in der zweiten Tochtergeneration 75% der Nachkommen die erste Ausprägung und 25% die andere.

Ist bei einem vorliegenden Kreuzungsversuch mit n = 120 die MENDELsche Regel anwendbar?

Binomialtest Entscheidungsregel

95%-Umgebung um den Erwartungswert: = 120 0,75 = 90 ; = (1200,750,25) = 4,74

Entscheidungsregel: Verwirf die Hypothese p = 0,75 , falls X < 81 oder falls X > 99

Binomialtest Entscheidungsregel

Angenommen, die zugrunde liegende Wahrscheinlichkeit ist tatsächlich p = 0,7.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird nicht erkannt, dass hier nicht die MENDELsche Regel zugrunde liegt?

P(Fehler 2. Art) = 0,759

Binomialtest Fehler 2. Art

Binomialtest Operationscharakteristik

In einer Stichprobe unter 1000 Frauen im Alter zwischen 18 und 20 Jahren fand man die o. a. Verteilung für die Körpergröße.

NormalverteilungBestimmung von Mittelwert und Stichprobenstreuung

Lässt sich die empirische

Verteilung durch eine

Normalverteilung

beschreiben?

NormalverteilungApproximation durch Normalverteilung

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Körpergröße mindestens 1,60 m und höchstens 1,70 m?

gesuchte Wahrscheinlichkeit: 56, 3 %

NormalverteilungBerechnung von Wahrscheinlichkeiten

Von 100 neugeborenen Mädchen wurde das Körpergewicht bestimmt. Weisen die Daten darauf hin, dass das Körpergewicht von Neugeborenen normalverteilt ist?

NormalverteilungÜberprüfung auf Normalverteilung

ohne / mit Diagnose

NormalverteilungÜberprüfung auf Normalverteilung

Ausgehend von den Wählerwanderungen zwischen vorletzter und letzter Bundestagswahl gaben wir eine Prognose für den 18. September 2005 ab . . .

SPD / Grüne ?

CDU/CSU/FDP ?

Sonstige Parteien ?

Die ultimative Wahlprognose

Wählerwanderungen 1998 2002

1998 2002

SPD / Grüne

CDU/CSU / FDP

andere Nichtw. / Erstw.

gesamt

SPD / Grüne 72,7% 7,0% 19,0% 19,3%

34,7%

CDU/CSU / FDP 12,0% 76,5% 13,8% 17,9%

33,8%

andere2,3% 1,3% 37,4% 3,2%

5,2%

Nichtw. / gest. 12,9% 15,2% 29,8% 59,6%

26,3%

gesamt 100% 100% 100% 100% 100%

33,66% / 73,16% = 46,0%

35,45% / 73,16% = 48,5%

Übergangsmatrix Startvektor Produkt

Übergangsmatrix

Ausgehend von den Wählerwanderungen zwischen vorletzter und letzter Bundestagswahl ergab sich folgende Prognose:

SPD / Grüne 46,0%

CDU/CSU/FDP 48,5%

Sonstige Parteien 5,5%

Die ultimative Wahlprognose

Niederlassung eines Autovermieters: A, B, C

80% der Fahrzeuge, die am Morgen in A stehen, stehen am Abend wieder in, je 10% sind von A nach B bzw. C gewechselt.

Nach B kehren 60% der ausgeliehenen Fahrzeuge wieder zurück; je 20% wechseln nach A oder nach C.

Von Niederlassung C aus wechseln erfahrungsgemäß 20% nach A und 10% nach B.

Wie viele Fahrzeuge befinden sich an den drei Niederlassungen nach 1, 2, ..., 10, ...20 Tagen, wenn am Anfang je ein Drittel an jeder der drei Niederlassungen vorhanden war?

Gibt es eine optimale Aufteilung der Fahrzeug-Bestände?

Matrixpotenzen

Matrixpotenzen

„Elemente der Mathematik – Gesamtband

Mathematik mit neuen Technologien“

Schroedel 83990

Das Stochastik-Kapitel wurde von mir verfasst und enthält die im Vortrag beschriebenen Einsatzmöglichkeiten des GTR.

Heinz Klaus Strick

Rückmeldungen erwünscht: strick.lev@t-online.de

Literaturhinweis