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FunktionsscharenOrtskurven

ExtremwertaufgabenBedienung des GTR

Zusatzthemen

E-Mail: klaus_messner@web.de, Internet: www.elearning-freiburg.de

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Funktionsscharen

Eine Funktion, die neben dem üblichen Parameter noch einen zweiten Parameter besitzt, bezeichnet man als eine Funktionsschar.Der zweite Parameter wird zumeist mit oder bezeichnet.

Beispiele:

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Funktionsscharen

Einzelne Funktionen einer Schar bekommt man durch Einsetzen eines konkreten Werts für den zweiten Parameter.

Beispiel: Für Funktionsscharen stellen sich dieselben Fragen wie bei einfachen Funktionen:• Ableitungen• Hoch-, Tief- und Wendepunkte• Nullstellen ...

𝑦

𝑥

𝑓 𝑡 (𝑥 )=𝑡𝑥 ⋅𝑒𝑥𝑡

𝑓 4 (𝑥 )

𝑓 3 (𝑥 )𝑓 2 (𝑥 ) 𝑓 1 (𝑥 )

𝑔 (𝑥 )

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Berechnungen mit Funktionsscharen

Bei Rechenoperationen, wie z.B. beim Ableiten wird der Para-meter wie ein konkreter Zahlenwert behandelt!

Beispiele:

Aufgaben: Bilden Sie die Ableitung der beiden folgenden Funktionsscharen und bestimmen Sie die Extrempunkte.1) 2)

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Ortskurven

Wenn man charakteristische Punkte, etwa Hoch- oder Tief-punkte zu jeder einzelnen Funktion der Schar einzeichnet und diese verbindet so erhält man eine neue Kurve, die Ortskurve der Hoch- oder Tiefpunkte.Zuweilen wird in den Abi-Aufgaben gefordert, einen Funktionsterm für die Ortskurve der Hoch- oder Tief-punkte zu finden.

𝑦

𝑥

𝑓 𝑡 (𝑥 )=𝑡𝑥 ⋅𝑒𝑥𝑡

𝑓 4 (𝑥 )

𝑓 3 (𝑥 )𝑓 2 (𝑥 ) 𝑓 1 (𝑥 )

𝑔 (𝑥 )

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Rechenbeispiel

Gesucht ist die Ortskurve der Tiefpunkte der Funktionenschar .

Lösung: Bestimme zunächst die ersten beiden Ableitungen

Setze wie üblich , um die Kandidaten für die Tiefpunkte zu finden.

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Rechenbeispiel

folgt Eingesetzt in folgt: Tiefpunkt. Eingesetzt in folgt: .Damit ergibt sich die Menge der Tiefpunkte zu . löst man nun nach auf und erhält . Den Parameter setzt man in die -Koordinate und erhält die Ortskurve: .Ergbnis: Die Ortskurve der Tiefpunkte lautet .

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Bestimmung von Ortskurven

Die -Koordinate der Extrem- oder Wendepunkte ist nicht der Funktionsterm der Ortskurve, denn die -Koordinate hängt in der Regel noch vom Parameter ab. Der Funktionsterm der Ortskurve muss aber von abhängen!• Löse hierzu die -Koordinate nach dem Parameter auf und

erhalte so einen Ausdruck für in Abhängigkeit von .• Setze diesen Ausdruck nun in der -Koordinate ein und

erhalte den Funktionsterm der Ortskurve in Abhängigkeit von .

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Aufgaben

Es sei Gesucht ist der Funktionsterm derjenigen Kurve auf der alle Hochpunkte von liegen.

Lösung:

ist die Ortskurve der Hochpunkte von .

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Extremwertaufgaben

In einer Extremwertaufgabe geht es darum, eine Funktion zu minimieren bzw. zu maximieren.Die Schwierigkeit besteht vor allem darin, aus den Angaben in der Aufgabenstellung den Funktionsterm zu finden.Zumeist ist der Funktionsterm abhängig von mehreren Größen, so dass das zweite Problem darin besteht, den Funktionsterm so umzuwandeln, dass dieser nur noch von einer Größe abhängt.

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Rechenbeispiel 1

Aus einem rechteckigen Stück Blech soll ein oben offener Behälter hergestellt werden.

Das Blech ist cm lang und cm breit. An den vier Ecken werden Quadrate ausgeschnitten. Die Quadrate sollen so ausgeschnitten werden, dass das Fassungsvermögen des Behälters möglichst groß wird. Klebeflächen werden dabei nicht berücksichtigt.

Bestimmen Sie die Abmessungen des Behälters und dessen Volumen.

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Lösung

Skizze anfertigen!Volumenformel aufstellen: Dafür sorgen, dass nur noch von einer Größe abhängt: Maximum mit Ableitung finden: Es folgt:

𝑎 ′𝑏 ′

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Lösungsschema

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Rechenbeispiel 2

Gegeben ist eine Rolle mit m Zaun. Damit soll nun ein rechteckiges Stück Land so umzäunt werden, dass die Landfläche möglichst groß wird. Wie lauten dann die Abmessungen des Rechtecks und wie groß ist dessen Fläche?

Lösung:. Mit folgt . Eingesetzt in folgt .Maximum mit Ableitung finden:

, also liegt bei ein HP. Es folgt .

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Aufgabe 1

Die Parabel schließt oberhalb der -Achse zwischen den beiden Nullstellen eine Fläche ein. Berechnen Sie diese Fläche.Ein Rechteck ist symmetrisch einbeschrieben und liegt mit der Unterkante auf der -Achse. Wie müssen die Abmessungen des Rechtecks lauten, damit dessen Flächeninhalt maximal wird?

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Lösung

Nullstellen mit GTR oder p-q-Formel:

Fläche zwischen den NST mit GTR:

Flächengrößtes Rechteck:

Maximum mit dem GTR: und damit .

𝐴𝑓 (𝑥 )=−𝑥2+6 𝑥−5

𝐴1 53𝑥0

𝑓 (𝑥¿¿0)¿

⏟3−𝑥0⏟𝑙=2⋅ (3−𝑥0 )

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Wahlteil 2006 Ana I 2, Aufgabe 2.1

Gegeben ist die Funktion mit für . Ihr Schaubild sei .b) Bestimmen Sie die Seitenlänge des flächengrößten Rechtecks, bei dem zwei Ecken auf der -Achse und die beiden anderen Ecken auf liegen.

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Bedienung des GTR

Zeichnen einer KurveMinimum, Maximum, Schnittpunkte

NullstellenFlächen berechnen

Lineare Gleichungssysteme

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Zeichnen einer Kurve

Mit Y= in den Y-Editor wechseln und dort den oder die Funktionsterme eingeben.Über WINDOW Achsenskalierung des Koordinatensystems eingeben.Mit GRAPH die Funktion(en) zeichnen lassen.Mit den Pfeiltasten kann man im Y-Editor ein Gleichheitszeichen anfahren und mit ENTER markieren bzw. demarkieren.Gezeichnet werden nur Funktionen mit markiertem Gleichheitszeichen.

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Funktionswerte, Minimum, Maximum

Mit TRACE kann man dem Kurvenverlauf folgen. Die Koordinaten werden dann am unteren Rand im Display angezeigt.Über 2ND CALC min bzw. 2ND CALC max kann man Minima bzw. Maxima einer Funktion bestimmen. Man gibt dabei zuerst die linke, dann die rechte Intervallgrenze an (mit den Pfeil-tasten oder durch Eingabe der x-Werte von Hand). Jede Eingabe wird mit ENTER abgeschlossen. Ein letztes ENTER startet die Berechnung.

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Schnittpunkte

Über 2ND CALC intersect kann man den Schnittpunkt zweier Kurven bestimmen. Man wählt mit den Pfeiltasten zuerst die eine, dann die andere Kurve. Jede Eingabe wird mit ENTER abgeschlossen. Ein letztes ENTER startet die Berechnung.

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Nullstellen

Eingabe des Funktionsterms im Y-Editor und mir GRAPH zeichnen lassen.Über 2ND CALC zero kann man die Nullstelle in einem Intervall bestimmen. Auswahl der Intervallgrenzen wie üblich. ENTER startet die Berechnung.

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Nullstellen mit dem Gleichungslöser

Mit 2ND QUIT in den Anzeigemodus wechseln.Über MATH solver wird der Gleichungslöser aufgerufen, siehe Abb., ggf. ↑ tippen.Funktionsterm oder Y-Variable eingeben (Y-Variablen sind über VARS Y-VARS ENTER erreichbar).Bei der Anzeige X= Startwert eingeben ohne ENTER.ALPHA SOLVE tippen, dann steht bei X= das Ergebnis.

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Flächen berechnen – Methode 1

Eingabe des Funktionsterms im Y-Editor und mir GRAPH zeichnen lassen.Über 2ND CALC ∫f(x)dx wählen.Intervallgrenzen wie üblich eingeben und ENTER tippen. Die entsprechende Fläche wird eingezeichnet und der Wert des Integrals wird am unteren Rand angezeigt.Der Wert des Integrals entspricht nicht zwangsläufig der Größe der Fläche!!!Um die Fläche zu berechnen sind ggf. Einzelberechnungen nötig!

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Flächen berechnen – Methode 2

Eingabe des Funktionsterms im Y-Editor.Mit 2ND QUIT in den Anzeigemodus wechseln.Wert des Integrals über MATH fnInt( berechnen.Bsp.: fnInt(Y1,X,0,2)Parameter 1: Y-Variable oder FunktionstermParameter 2: Integrationsvariable. Eigentlich immer X.Parameter 3 und 4: Linke und Rechte Intervall-grenze.Y-Variablen wählt man über VARS Y-VARS ENTER.

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Lösen linearer Gleichungssysteme

Eingabe der Matrix über 2ND MATRIX und Auswahl der Matrixbezeichnung (A).Über EDIT werden zunächst die Anzahl der Zeilen und Spalten eingegeben.Mit gelangt man ins Eingabefeld.Zeilenweise Koeffizienten eintippen, hier 2 ENTER, -3 ENTER, 1 ENTER, -1 ENTER usw.Mit 2ND QUIT zurück in den Anzeigemodus.Mit 2ND MATRIX rref(A) ENTER wird das Gleichungssystem gelöst.Den Matrixbezeichner A bekommen Sie ebenfalls über 2ND MATRIX.

1 0 0 10 1 0 20 0 1 3

2 -3 1 -11 -1 2 53 2 -1 4

x=1, y=2, z=3

I. 2x -3y + z = -1II. x - y + 2z = 5III. 3x +2y - z = 4