Strömung realer Flüssigkeiten

Laminare Strömung

Hagen-Poiseuillesches Gesetz

Stokessches Gesetz

Inhalt

• Strömung idealer Flüssigkeiten – Die Kontinuitätsgleichung – Die Gleichung von Daniel Bernoulli

• Strömung realer Flüssigkeiten– Laminare Strömung, Newtonsche Gleichung– Das Hagen-Poiseuillesche Gesetz – Reibungskraft auf eine Kugel: Das Gesetz von Stokes

• Die Grenzschicht und die Reynoldssche Zahl, Turbulenz

Die reale Flüssigkeit

• Bei Bewegung gibt es Reibung zwischen den Teilchen– innerhalb des Mediums– zwischen Medium und Wänden

Beachte: Trotz konstanter Kraft ist die Geschwindigkeit konstant!

Die laminare Strömung

D

Ein Objekt in Höhe D bewege sich mit der Geschwindigkeit vo

• Die angrenzende Schicht der Flüssigkeit bewegt sich auch mit vo,

• Die am Boden des Gefäßes anliegende Schicht steht still• In den dazwischen liegenden Schichten verändert sich die

Geschwindigkeit linear mit dem Abstand zu den Grenzen

vo

Geschwindigkeit der „Lamellen“ bei laminarer Strömungvo

Einheit

1 m/sGeschwindigkeit einer Lamelle im Abstand x vom Boden

vo 1 m/s Geschwindigkeit des Objekts

x 1 m Abstand der Lamelle zum Boden

xD

vxv 0)(

x

D

Gradient der Geschwindigkeitvo

x

D

Einheit

1 m/s Gradient der Geschwindigkeit

vo 1 m/s Geschwindigkeit des Objekts

D 1 m Abstand des Objekts vom Boden

D

v

dx

dv 0

Kraft zur Bewegung bei laminarer Strömung

1 N Newtonsche Gleichungdx

dvAF

Die Kraft gegen die Reibung ist proportional zum Gradienten der Geschwindigkeit

vo

x

D

Einheit

1 N

Kraft zur Bewegung einer Schicht in einer Strömung mit Geschwindigkeitsgradient dv/dx

1 N·s/m2 Viskosität der Flüssigkeit

1 m2 Fläche der Schicht

Die Newtonsche Gleichung

dx

dvAF

A

„Newtonsche Flüssigkeiten“: Flüssigkeiten, in denen dieses Kraftgesetz gilt

Nicht „Newtonsche Flüssigkeiten“: z. B: Polymere und Dispersionen

Aussage der Newtonschen Gleichung für die Reibung in viskosen Medien:

In viskosen Medien ist die Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit

• Folge: – Eine beliebig kleine Kraft führt zum „Kriechen“ – Bei konstanter Antriebskraft stellt sich - bei

genügend langer Fahrbahn - eine konstante Geschwindigkeit ein

Anwendung der Newtonschen Gleichung:

• Strömung in einem Rohr– Hagen-Poiseuillesches Gesetz

• Fallgeschwindigkeit einer Kugel in einem viskosen Medium– Stokessches Gesetz

Strömung in einem Rohr

Druckkraft

Reibungskraft

r

l

Die Druckkraft ist im Gleichgewicht mit der Reibungskraft

Parabelförmiges Geschwindigkeitsprofil im Rohr

p1 p2

Zur Herleitung: Die Reibungskraft der Mantelfläche bei Bewegung des Zylinderrings aus Flüssigkeit mit Geschwindigkeit v ist gleich der Druckkraft auf die Stirn-Fläche des Rings (vgl. http://www.uni-tuebingen.de/uni/pki/skripten/mechanik.html Abschnitt Hydro- u. Aerodynamik…)

drr

Das Hagen-Poiseuillesche Gesetz

Einheit

1 m3/sDefinition der Volumenstromstärke

1 m3/s

Die Volumenstromstärke in einem Rohr nimmt mit der vierten Potenz des Radius zu

421

8R

l

ppI

dt

dVI

Versuch zur laminaren Strömung

• Linearer Druckabfall in Strömungsrichtung bei laminarer Strömung zwischen den Wänden

Versuch zum Hagen-Poiseuilleschen Gesetz

• In der Strömung durch ein Rohr wird das Parabel-förmige Geschwindigkeitsprofil der Flüssigkeit durch „Verziehen“ eines Fadens aus gefärbter Flüssigkeit sichtbar

Das Stokessche Gesetz

Die Kugel fällt nach einiger Zeit mit konstanter Geschwindigkeit: Gleichförmige Bewegung, also kräftefrei

Versuch zum Stokesschen Gesetz

• Fall von Kugeln unterschiedlichen Durchmessers in Glyzerin. Man erkennt, dass sich nach kurzer Beschleunigung eine vom Radius abhängige, konstante Geschwindigkeit einstellt

Das Stokessche Gesetz

Einheit

1 NReibungskraft auf eine Kugel

1 N·s/m2 Viskosität

1 m Radius der Kugel

1 m/s Geschwindigkeit

vrF 6rv

Weshalb fällt die Kugel – trotz Gravitation - kräftefrei?

• Nach unten zieht die Schwerkraft

• Entgegen der Bewegungsrichtung steht die Reibungskraft

• Konstant bleibt die Geschwindigkeit - d.h. der Fall ist kräftefrei - wenn die Reibungskraft gleich der Schwerkraft ist

Kräfte beim Fall in ein viskoses Medium : Schwerkraft, Trägheitskraft, Reibungskraft

Kräfte Gleichgewicht beim Fall in viskosen Medien

Einheit

1 NReibungskraft auf eine Kugel

1 N Schwerkraft

1kgMasse einer Kugel, Dichte ρ, Radius r

1 m/sGleichgewicht zwischen Reibungs- und Schwerkraft

1 m/sKonstante Fall-End-Geschwindigkeit

vrF 6

334 rm

gmF

3346 grr

9

2 2gr

Fall im viskosen Medium

Nicht alle Körper fallen gleichschnell• Bei gleicher Form fallen schwere Körper

schneller • Bei gleicher Dichte fallen große Körper schneller• Körper fallen mit konstanter Geschwindigkeit,

das heißt kräftefrei, wenn die Reibungskraft gleich der Schwerkraft ist

Zusammenfassung

• Bei der Strömung realer Flüssigkeiten gibt es Reibung

• Laminare Strömung• Newtonsche Gleichung: Reibungskraft

proportional zu– Gradient der Geschwindigkeit im Medium– Viskosität– Fläche der bewegten Lamelle

• „Newtonsche Flüssigkeit“: Kraft zur Bewegung proportional zum Gradienten der Geschwindigkeit

• Das Hagen-Poiseuillesche Gesetz • Reibungskraft auf eine Kugel ist proportional zur

Geschwindigkeit: Das Gesetz von Stokes– Konstante End-Geschwindigkeit beim Fall in viskosen

Medien

finis