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Geometrische Relationen und Toleranzen Linearisierung und Fehlerabschätzung Toleranzanalyse Schlussfolgerung

Toleranzanalyse fürGraphen geometrischer Relationen

Johannes Wallner Hans-Peter Schröcker

Institut für Diskrete Mathematik und GeometrieTechnische Universität Wien

Vorau, 9. Juni 2004

Johannes Wallner, Hans-Peter Schröcker:Toleranzanalyse für Graphen geometrischer Relationen

Geometrische Relationen

I Festlegen geometrischer Objekte (Punkte, Geraden, Ebenen,Kugeln, . . . ) durch gegebene Relationen zwischen denObjekten (Abstand, Winkel, Inzidenz, . . . )

I Auswirkungen von Ungenauigkeiten in den Eingabeobjekten

AnwendungenI parametrisches KonstruierenI Distanzgeometrie (Positionsbestimmung,

Molekülkonformation)I . . .

Beispiele

BeispielZwei feste Punkte p1, p2 haben gege-bene Abstände d1, d2 zu einem drittenPunkt q1.

Beispiele

BeispielDrei Punkte q1, q2, q3 mit festengegenseitigen Abständen dĳ sindinzident mit drei festen Geraden.

Relationsgraphen

q3Geometrische Objekte und Relatio-nen zwischen ihnen können durch Re-lationsgraphen visualisiert werden.

I Ecken: Geometrische ObjekteI Kanten: Relationen zwischen

den Objekten

Relationsgraphen

Rechnerische Lösung

I Die geometrischen Einheiten pi und qj werden durchgeeignete Koordinaten beschrieben: pi = (xξi , xξi+1, . . .),qj = (yηj , yηj+1, . . .). Diese Koordinaten werden in Vektorenx = (x1, . . . , xn) und y = (y1, . . . , ym) zusammengefasst.

I Die Relationen zwischen den Objekten werden durchBedingungsgleichungen modelliert:

c1(x , y) = · · · = cm(x , y) = 0.

I Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems

F (x , y) =(c1(x , y), . . . , cm(x , y)

Lokale Lösungen

DefinitionEs sei (u, v) eine Lösung von F (x , y) = 0 und G : U → R seidefiniert in einer zusammenhängenden Umgebung U von u so dass

G (u) = v und ∀x ∈ U : F (x , G (x)) = 0.

Dann heißt G eine lokale Lösung, welche die Lösung (u, v)fortsetzt.

Die lokale Lösung existiert und ist im wesentlich eindeutig wennF,y (u, v) regulär ist.

Toleranzanalyse

Man finde die möglichen Positionen von y = (q1, q2, . . .) wenn diefesten Objekte p1, p2, . . . in Toleranzzonen P1, P2, . . . variieren.

Erste Interpretation:

Man löse F (x , y) = 0, für x ∈ X := P1 × P2 × · · · .

Zweite Interpretation:Für eine lokale Lösung G berechne man G (X ) wobeiX := P1 × P2 × · · · .

Ein einfaches Fachwerk

Q1BeispielDie exakte Toleranzzone der lo-kalen Lösungen wird von Kreis-bögen begrenzt.

Die komplette Lösung beinhaltetauch das Spiegelbild von Q1 ander Geraden p1p2.

Linearisierte Lösung

Exakte Lösung kann schwierig sein =⇒ Linearisierung

PlanI Taylorentwicklung von F (x , y) =

(c1(x , y), . . . , cm(x , y)

I linearisierte lokale LösungI obere Schranke für den LinearisierungsfehlerI Toleranzanalyse

Taylorentwicklung

Bedingungsfunktion F : Rn × Rm → Rm, (x , y) 7→ F (x , y).

F (u + h, v + k) = F (u, v)

+ F,x(u, v) · h + F,y (u, v) · k+ 1/2 F,xx(u + θh, v + θk)[h, h]

+ F,xy (u + θh, v + θk)[h, k]

+ 1/2 F,yy (u + θh, v + θk)[k, k]

mit θ ∈ [0, 1] und

DF = (F,x , F,y ), D2F =

(F,xx F,xyF,xy F,yy

Linearisierte lokale Lösung

Taylorentwicklung der lokalen Lösung:

v = G (u), v + k = G (u + h) =⇒v + k = v + G,x(u) · h + 1/2 · G,xx(u + θh)[h, h]

Taylorentwicklung der Bedingungsfunktion:

0 = F (u + h, v + k) = 0 + F,x(u, v) · h + F,y (u, v) · k + · · ·

Es folgt:

Glin(u + h) = G (u) + G,x(u) · h, G,x(u) = −F,y (u, v)−1F,x(u, v)

Ein einfaches Fachwerk II

G (1),x G (2)

Beispiel

Glin(u + h) = G (u) + G,x(u) · h

G,x = F−1,y Fx = (G (1), G (2)) =

(−10 −25 −20 25−8 −20 8 −10

Die linearisierte Toleranzzone Q1ist ein Parallelogramm (Minkowski-Summe G (1)

,x P1 + G (2),x P2).

Ein einfaches Fachwerk II

G (1),x G (2)

Toleranzanalyse

Wir betrachten nur Teilmengen von Rn × Rm wo

‖F,xx‖ ≤ α, ‖F,xy‖ ≤ β, ‖F,yy‖ ≤ γ

und definieren ∆(s, t) := 12(αs2 + 2βst + γt2).

Der Linearisierungsfehler einer lokalen Lösung ist begrenzt durch

‖k − klin‖ ≤ ‖F−1,y (u, v)‖ ·∆(‖h‖, ‖k‖).

Bemerkung: Die Berechnung von ∆ ist besonders einfach, wenn Fquadratisch ist.

Toleranzanalyse

Cmax :=‖G,x(u)‖

‖F,y (u, v)−1‖ ·∆(1, 2‖G,x(u)‖),

‖h‖ ≤ C < Cmax,

C ′ := ‖G,x(u)‖C

2C ′C ′ + C ′′

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk klinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklinklin

=⇒ ‖klin‖ ≤ C ′ und ∃C ′′ < C ′ : ‖k‖ ≤ C ′ + C ′′, ‖k − klin‖ ≤ C ′′

Ein einfaches Fachwerk III

2C ′

C ′ + C ′′

Ein komplexeres Fachwerk

Dreieck

ci (x , y) = 0 λici (x , y) = 0 =⇒C : C ′ bleibt unverändert, Cmax kann vergrößert werden.

Heuristik: Die Koeffizienten in den Gleichungen ci (x , y) = 0sollen dieselbe Größenordnung haben.

Schlussfolgerung

I Konzept zur Toleranzanalyse geometrischer Relationenbasierend auf Linearisierung und Fehlerabschätzung

I Schranken für die Eingangsdaten die Schranken für dieLösungsdaten garantieren

I Besonders gut geeignet für quadratische Probleme (keinegroße Einschränkung)

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