Dr. Kai-Friederike Oelbermann Wintersemester 2015/16Dipl.-Math. Alina Bondarava OVGU Magdeburg

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Ubungen zur Algorithmischen Mathematik

Blatt 8

1. Betrachten Sie die Eulersche '-Funktion, die fur m 2 N, m � 2, die Anzahl der Elemente derEinheitengruppe von Zm angibt:

'(m) := #{x 2 Zm : x ist Einheit in Zm}.

(a) Sei p 2 N eine Primzahl, ` 2 N. Zeigen Sie: '(p`) = p

` � p

`�1.(b) Sei nun m = p

`11 · p`22 · . . . · p`kk mit paarweise verschiedenen Primzahlen p1, p2, . . . , pk. Zeigen

Sie mit Hilfe des chinesischen Restsatzes:

'(m) =

kY

j=1

⇣

p

`jj � p

`j�1j

⌘

= m

kY

j=1

✓

1� 1

pj

◆

.

2. (F5 PunkteF) + (F5 PunkteF) Betrachten Sie wie in der vorhergehenden Aufgabe dieEulersche '-Funktion und schreiben Sie zwei Programme, die fur zwei einzugebende SchrankenM1,M2 2 N, 2 M1 M2 2

32, alle Werte der Eulerschen '-Funktion

'(m), m = M1, . . . ,M2

berechnet.

(a) Bei dem ersten Programm greifen Sie direkt auf die Definition der '-Funktion und dasEinheitenkriterium aus Folgerung 2.2.10 der Vorlesung zuruck.

(b) Bei Ihrem zweiten Programm implementieren Sie die Formel aus Aufgabe 1 (b).

3. Seien m1, . . . ,mk 2 N\{1} gegeben und sei D := (Zm1 ⇥ · · ·⇥ Zmk) das direkte Produkt derRestklassenringe Zmj , j = 1, . . . , k. Ein Element a = ([a1]m1 , . . . , [ak]mk) 2 D heißt Einheit in D,falls es ein Element x = ([x1]m1 , . . . , [xk]mk) := (a)

�1 2 D gibt mit a ·x = 1 := ([1]m1 , . . . , [1]mk).

(a) Zeigen Sie unter alleiniger Ausnutzung der Gruppeneigenschaften von a, x, 1, dass es nurein solches Element x 2 D geben kann.

(b) Zeigen Sie weiterhin, dass a = ([a1]m1 , . . . , [ak]mk) genau dann eine Einheit in D ist, wennjede Restklasse [aj ]mj eine Einheit in Zmj ist fur alle j = 1, . . . , k.

4. Sei M := 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 = 9 699 690.

(a) Zeigen Sie mit Hilfe des chinesischen Restsatzes, dass fur jedes k 2 Z die Anzahl

Ak := #{i 2 {k + 1, k + 2, . . . , k +M} | p - i, p = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}

unabangig von k ist.(b) Berechnen Sie die Zahl A0 = Ak fur alle kZ.(c) Wie verandert sich das Verhaltnis A0/M , wenn man in dem Produkt von M weitere Prim-

zahlen hinzufugt?

Die mit F gekennzeichneten Aufgaben sind Hausaufgaben. Abgabe der Losungen: 10.12.2015 vor der Vorlesung.

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