Ubungen zur Algorithmischen Mathematik¨ Blatt 8 · PDF fileDipl.-Math. Alina Bondarava...
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Dr. Kai-Friederike Oelbermann Wintersemester 2015/16 Dipl.-Math. Alina Bondarava OVGU Magdeburg ¨ Ubungen zur Algorithmischen Mathematik Blatt 8 1. Betrachten Sie die Eulersche '-Funktion, die f¨ ur m 2 N, m ≥ 2, die Anzahl der Elemente der Einheitengruppe von Z m angibt: '(m) := #{ x 2 Z m : x ist Einheit in Z m }. (a) Sei p 2 N eine Primzahl, ` 2 N. Zeigen Sie: '(p ` )= p ` - p `-1 . (b) Sei nun m = p ` 1 1 · p ` 2 2 · ... · p ` k k mit paarweise verschiedenen Primzahlen p 1 ,p 2 ,...,p k . Zeigen Sie mit Hilfe des chinesischen Restsatzes: '(m)= k Y j =1 ⇣ p ` j j - p ` j -1 j ⌘ = m k Y j =1 ✓ 1 - 1 p j ◆ . 2. (F5 PunkteF) + (F5 PunkteF) Betrachten Sie wie in der vorhergehenden Aufgabe die Eulersche '-Funktion und schreiben Sie zwei Programme, die f¨ ur zwei einzugebende Schranken M 1 ,M 2 2 N, 2 M 1 M 2 2 32 , alle Werte der Eulerschen '-Funktion '(m), m = M 1 ,...,M 2 berechnet. (a) Bei dem ersten Programm greifen Sie direkt auf die Definition der '-Funktion und das Einheitenkriterium aus Folgerung 2.2.10 der Vorlesung zur¨ uck. (b) Bei Ihrem zweiten Programm implementieren Sie die Formel aus Aufgabe 1 (b). 3. Seien m 1 ,...,m k 2 N\{1} gegeben und sei D := (Z m 1 ⇥ ··· ⇥ Z m k ) das direkte Produkt der Restklassenringe Z m j ,j =1,...,k. Ein Element a = ([a 1 ] m 1 ,..., [a k ] m k ) 2 D heißt Einheit in D, falls es ein Element x = ([x 1 ] m 1 ,..., [x k ] m k ) := ( a) -1 2 D gibt mit a · x = 1 := ([1] m 1 ,..., [1] m k ). (a) Zeigen Sie unter alleiniger Ausnutzung der Gruppeneigenschaften von a, x, 1, dass es nur ein solches Element x 2 D geben kann. (b) Zeigen Sie weiterhin, dass a = ([a 1 ] m 1 ,..., [a k ] m k ) genau dann eine Einheit in D ist, wenn jede Restklasse [a j ] m j eine Einheit in Z m j ist f¨ ur alle j =1,...,k. 4. Sei M := 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 = 9 699 690. (a) Zeigen Sie mit Hilfe des chinesischen Restsatzes, dass f¨ ur jedes k 2 Z die Anzahl A k := #{i 2 {k +1,k +2,...,k + M }| p - i, p =2, 3, 5, 7, 11, 13, 17} unab¨angigvon k ist. (b) Berechnen Sie die Zahl A 0 = A k f¨ ur alle kZ. (c) Wie ver¨ andert sich das Verh¨altnis A 0 /M , wenn man in dem Produkt von M weitere Prim- zahlen hinzuf¨ ugt? Die mit F gekennzeichneten Aufgaben sind Hausaufgaben. Abgabe der L¨ osungen: 10.12.2015 vor der Vorlesung. 1
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Dr. Kai-Friederike Oelbermann Wintersemester 2015/16Dipl.-Math. Alina Bondarava OVGU Magdeburg
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Ubungen zur Algorithmischen Mathematik
Blatt 8
1. Betrachten Sie die Eulersche '-Funktion, die fur m 2 N, m � 2, die Anzahl der Elemente derEinheitengruppe von Zm angibt:
'(m) := #{x 2 Zm : x ist Einheit in Zm}.
(a) Sei p 2 N eine Primzahl, ` 2 N. Zeigen Sie: '(p`) = p
` � p
`�1.(b) Sei nun m = p
`11 · p`22 · . . . · p`kk mit paarweise verschiedenen Primzahlen p1, p2, . . . , pk. Zeigen
Sie mit Hilfe des chinesischen Restsatzes:
'(m) =
kY
j=1
⇣
p
`jj � p
`j�1j
⌘
= m
kY
j=1
✓
1� 1
pj
◆
.
2. (F5 PunkteF) + (F5 PunkteF) Betrachten Sie wie in der vorhergehenden Aufgabe dieEulersche '-Funktion und schreiben Sie zwei Programme, die fur zwei einzugebende SchrankenM1,M2 2 N, 2 M1 M2 2
32, alle Werte der Eulerschen '-Funktion
'(m), m = M1, . . . ,M2
berechnet.
(a) Bei dem ersten Programm greifen Sie direkt auf die Definition der '-Funktion und dasEinheitenkriterium aus Folgerung 2.2.10 der Vorlesung zuruck.
(b) Bei Ihrem zweiten Programm implementieren Sie die Formel aus Aufgabe 1 (b).
3. Seien m1, . . . ,mk 2 N\{1} gegeben und sei D := (Zm1 ⇥ · · ·⇥ Zmk) das direkte Produkt derRestklassenringe Zmj , j = 1, . . . , k. Ein Element a = ([a1]m1 , . . . , [ak]mk) 2 D heißt Einheit in D,falls es ein Element x = ([x1]m1 , . . . , [xk]mk) := (a)
�1 2 D gibt mit a ·x = 1 := ([1]m1 , . . . , [1]mk).
(a) Zeigen Sie unter alleiniger Ausnutzung der Gruppeneigenschaften von a, x, 1, dass es nurein solches Element x 2 D geben kann.
(b) Zeigen Sie weiterhin, dass a = ([a1]m1 , . . . , [ak]mk) genau dann eine Einheit in D ist, wennjede Restklasse [aj ]mj eine Einheit in Zmj ist fur alle j = 1, . . . , k.
4. Sei M := 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 = 9 699 690.
(a) Zeigen Sie mit Hilfe des chinesischen Restsatzes, dass fur jedes k 2 Z die Anzahl
Ak := #{i 2 {k + 1, k + 2, . . . , k +M} | p - i, p = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}
unabangig von k ist.(b) Berechnen Sie die Zahl A0 = Ak fur alle kZ.(c) Wie verandert sich das Verhaltnis A0/M , wenn man in dem Produkt von M weitere Prim-
zahlen hinzufugt?
Die mit F gekennzeichneten Aufgaben sind Hausaufgaben. Abgabe der Losungen: 10.12.2015 vor der Vorlesung.
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![Schulcurriculum Mathematik Sekundarstufe II · auch mit Hilfsmitteln [K3, K4] Ableitung zusammengesetzter Funktionen [K5] - und Logarithmusfunktionen [ L1, 4] Die Eulersche Zahl e](https://static.fdokument.com/doc/165x107/6046415f0dd62332a60a4f10/schulcurriculum-mathematik-sekundarstufe-ii-auch-mit-hilfsmitteln-k3-k4-ableitung.jpg)
