33

Statistik: Zufallsgrößen

Mehrdimensionale Zufallszahlen

Randverteilungen =Projektionen auf Achsen

2-dim. PDF: f(x,y) (Scatter-Plot)

34

Statistik: Zufallsgrößen

Mehrdimensionale Zufallszahlen (2)

Bedingte Wahrscheinlichkeitsdichten

35

Statistik: Verteilungen

Binomialverteilung (1)

36

Statistik: Verteilungen

Binomialverteilung (2)

37

Statistik: Verteilungen

Poissonverteilung

38

Statistik: Verteilungen

Anwendung: Bininhalt in einem Histogramm

Poissonverteilung

39

Statistik: Verteilungen

Normalverteilung

40

Statistik: Verteilungen

Normalverteilung

41

Statistik: Verteilungen

Standardverteilungen

42

Statistik: Zentraler Grenzwertsatz

Zentraler Grenzwertsatz

43

Statistik: weitere Verteilungen

Beschreibt die Summe der quadratischen Abweichungen vom Erwartungswert einer n-dimensionalen Normalverteilung.

(=Quadrat der Radien von n-dimensionalen Vektoren. In hochdimensionalen Räumen steckt das Volumen einer Kugel fast vollständig nahe der ,,Oberfläche´´.)

Chi-Quadrat-Verteilung

44

Statistik: weitere Verteilungen

Cauchy- (=Breit-Wigner-) Verteilung

Tritt bei allen Resonanzphänomenen auf, ist Fouriertransformierte (im Frequenz-=Energieraum) der Exponentialverteilung (in Zeit t). Unschärferelation: Resonanzbreite = h/Lebensdauer

1

Kovarianzmatrix Erwartungswert von (Abweichung vom Erwartungswert in Variable x) * (Abweichung vom Erwartungswert in Variable y):

Diagonalwerte: Varianzen: Erwartungswert von (Abweichung vom Erwartungswert in Variable x)**2

2

Korrelationsmatrix Normiere Kovarianzmatrix, so dass die Diagonalelemente alle 1 sind:

3

Korrelation

Wenn x, y unabhängig, d.h. dann gilt

x und y ,,unkorreliert“

Achtung: Die umgekehrte Aussage gilt nicht immer

4

Variablentransformation I

Eine Funktion a(x) einer Zufalls- Variablen x mit pdf f(x) ist wieder eine Zufallsvariable, mit pdf g(a)

Wahrscheinlichkeitsdichte für a

Intervall im x-Raum, für das a in [a,a+da]

5

Variablentransformation II

Wenn Inverse nicht eindeutig, müssen alle Zweige berücksichtigt werden.

Beispiel:

6

Fehlerfortpflanzung I

7

Fehlerfortpflanzung II

8

Fehlerfortpflanzung III

9

Fehlerfortpflanzung IV

10

Fehlerfortpflanzung V

11

Monte Carlo

12

Paarbildung

Bremsstrahlung

rege

lmäß

iges

G

itter

Pseu

do-

Zufa

llsza

hlen

Q

uasi

- Zu

falls

zahl

en

13

Parameterschätzung -- Fitting

Maximum Likelihood

Kleinste Quadrate

Messung

Parameterschätzung

14

Parameterschätzung mit kleinsten Quadraten

15

Lineare kleinste Quadrate

Lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar

Überbestimmtes Gleichungssystem Ausgleichsrechnung, n-p Freiheitsgrade

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Parameterschätzung mit kleinsten Quadraten

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Lösung des linearen Optimierungsproblems

18

Abhängigkeit von der Messfehler-Verteilung

Geradenfit an 20 Datenpunkte (ndf=20-2=18)

Drei verschiedene Verteilungsfunktionen der Einzelmessungen, alle Mittelwert 0, Standardabweichung=0.5

19

Parameterschätzung mit kleinsten Quadraten 25000 Monte-Carlo-Tests: Alle Parameter-Verteilungen sind Gaussisch, die Breite kompatibel zur Erwartung aus Fehlerfortpflanzung (für beide Parameter)

20

Parameterschätzung mit kleinsten Quadraten

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Robuste kleinste Quadrate

Ausreisser in den Daten (z.B. Eingabefehler, falsche Messpunkte auf Spur) können Fit wegen quadratischer Abhängigkeit sehr stark beeinflussen und zu völlig sinnlosen Lösungen führen.

Rezept zur Robustifizierung:

1.  Normaler Kleinste Quadrate-Fit, liefert Residuen. 2.  Modifiziere Daten durch Limitieren der Residuen auf c!. Eine gute Wahl ist c=1.5. 3. Wiederhole Fit mit Pseudo-Messungen statt Originalmessungen.

Es existieren auch andere Loss-Funktionen (z.B. Huber-Funktion), aber nicht mehr analytisch lösbar.

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Häufige Fehler bei " - Minimierung 2

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Häufige Fehler bei " – Minimierung (Forts.) 2

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Vorsicht bei kleinen Zahlen! 2

Demo

Soll-Resultat

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Vorsicht bei kleinen Zahlen! 2

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Nichtlineare kleinste Quadrate

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Kleinste Quadrate mit Nebenbedingungen

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Kleinste Quadrate mit Nebenbedingungen (2)