Post on 17-Sep-2018
Nürnberg
Vom Einfachen zum Komplexen
Mutfried Hartmann
Mit Übungsformaten arbeiten -von der Grundschule bis zur Oberstufe
Nürnberg
Vom Übungsformat …
Klimbim?
Klimbim?
Nürnberg
… zum Aufgabenformat
• Mathematische Reichhaltigkeit• Bezüge zu Standardstoff über Rechentraining hinaus• Eignung zur Realisierung von Bildungszielen
– „Die Schüler lernen zu beobachten und nach Gesetzmäßigkeiten zu suchen, zu ordnen, zu klassifizieren und zu strukturieren, zuverallgemeinern und zu spezifizieren, zu kombinieren und zu variieren. Dadurch wird auch kreatives und intuitives Denken alsein wesentliches Merkmal der Mathematik gefördert.“(Bayerischer LP Mathematik RS)
– „Beim Aufstellen und Begründen von Vermutungen … entwickeln sich Kreativität und Phantasie.“(Bayerischer LP Mathematik Gy)
Nürnberg
2
1
4
3
6
7
+ + = 12
+
+
= 1
212 = + +
alle Seitensummen haben denselben Wert Z („Zauberzahl“)
Das Zauberdreieck
Nürnberg
Mathematische Reichhaltigkeit des Zauberdreiecks
Phänomeneentdecken
Operativ vorgehen Algebraisieren
Operativ vorgehen Algebraisieren
Analyse von Formaten / Phänomene erkunden 1Nürnberg
Schenkelsummen
3
5 8
4 7 1
3
5 8
4 7 1
3
5 8
4 7 1
Analyse von Formaten / Phänomene erkunden 2Nürnberg
Eck-Gegenmitten-Differenz
3
8
4 7
7-3 = 4
8-4 = 45-1 = 45
1
Analyse von Formaten / Phänomene erkunden 3Nürnberg
Teildreieckssummen T
3+5+8 = 16
5+4+7 = 16 8+7+1 = 16
4 7 1
3
5 8
3
8
1
5
4 7
3
5
4
8
7 1
3
5
4
8
7 1
Analyse von Formaten / Phänomene erkunden 4Nürnberg
Bruderdreieck
3
5 8
4 7 1 + + = 16
+
+
= 1
6
16 = + +
5
4 3
7 1 8
Analyse von Formaten / Phänomene erkunden 5Nürnberg
Zahlenkette M-T-Z-E
Z = 12
T = 16
+4
+4
+4
E = 8
M = 20
3
4 1
5 8
7
Nürnberg
Mathematische Reichhaltigkeit des Zauberdreiecks
Phänomeneentdecken
Operativ vorgehen Algebraisieren
Operativ vorgehen Algebraisieren
Nürnberg
Mathematische Reichhaltigkeit des Zauberdreiecks
Phänomeneentdecken
Operativ vorgehen AlgebraisierenAlgebraisieren
Phänomeneentdecken
Analyse von Formaten / Operativ vorgehen 1Nürnberg
Was bewirkt die Veränderung einer Zahl bei einem Zauberdreieck?
+c
Veränderung einer Eckzahl Veränderung einer Mittenzahl
+c
Zaubereigenschaft geht verloren!
Analyse von Formaten / Operativ vorgehen 2Nürnberg
Gibt es zauberinvariante Operationen?
+c
Eckzahl und Mittenzahl
+c
+c
+c
+c
alle Eckzahlen alle Mittenzahlen
+c +c
+c
alle Zahlen
+c
+c+c
+c +c
+c
Nürnberg
Mathematische Reichhaltigkeit des Zauberdreiecks
Phänomeneentdecken
Operativ vorgehen AlgebraisierenAlgebraisieren
Phänomeneentdecken
Nürnberg
Mathematische Reichhaltigkeit des Zauberdreiecks
Phänomeneentdecken
Operativ vorgehen Algebraisieren
Phänomeneentdecken
Operativ vorgehen
Analyse von Formaten / Algebraisieren 1 Nürnberg
Entwicklung einer algebraischen Darstellung
Erzeugen von Zauberdreieckendurch zauberinvariante Operationen:
+k
+k +k
Gibt es noch andere Zauberdreiecke?
e
df
b c
a
= b+k
a
a c
c
b
b
= a+k
c+k =
Analyse von Formaten / Algebraisieren 2Nürnberg
Satz:Jedes Dreieck obiger Form ist ein Zauberdreieckund jedes Zauberdreieck ist von obiger Form.
b a+k c
c+k b+k
a
Analyse von Formaten / Algebraisieren 3Nürnberg
Phänomene im Licht der Analyse
b a+k c
c+k b+k
a
Eck-Gegenmitten-Differenz k
BruderdreieckZ=a+b+c+2k
c b+k
ab
a+k
c+k
TeildreieckswertT=a+b+c+2k
Kette M-T-Z-EM=a+b+c+3kT=a+b+c+2kZ=a+b+c+1kE=a+b+c+0k
Nürnberg
„Die Schüler lernen zu beobachten und nach Gesetzmäßigkeiten zu suchen, zu ordnen, zu klassifizieren und zu strukturieren, zu verallgemeinern und zu spezifizieren, zu kombinieren und zu variieren. Dadurch wird auch kreatives und intuitives Denken als ein wesentliches Merkmal der Mathematik gefördert.“ (Bayerischer LP Mathematik)
„Die Schüler lernen zu beobachten und nach Gesetzmäßigkeiten zu suchen, zu ordnen, zu klassifizieren und zu strukturieren, zu verallgemeinern und zu spezifizieren, zu kombinieren und zu variieren. Dadurch wird auch kreatives und intuitives Denken als ein wesentliches Merkmal der Mathematik gefördert.“ (Bayerischer LP Mathematik)
Zwischenbilanz
Nürnberg
VerkettungDimension
Regel
Anzahl
Operation
Art der Belegung
Form
• nur bestimmte Zahlen
• unterschiedliche Zauberzahlen
• ...
• Multiplikation
• kgV
• ggT
• Mittelwert
• ...
Wie variieren?
Nürnberg
Benachbartes System
Didaktisches Modell zu Übungsformaten
Phänomene
entdecken
Operativ
vorgehen
Algebraisieren
Ausgangssystem
Phänomene
entdecken
Operativ
vorgehen
Algebraisieren
Variieren
Analogisieren
Analogisieren
Analogisieren
Nürnberg
VerkettungDimension
Regel
Anzahl
Operation
Art der Belegung
Form
• nur bestimmte Zahlen
• unterschiedliche Zauberzahlen
• ...
• Multiplikation
• kgV
• ggT
• Mittelwert
• ...
Wie variieren?
Nürnberg
Das Zauberviereck
0 8 2
6 7
4 5 110 = + +
+ + = 10
+
+
= 1
0+
+ =
10
Nürnberg
Zauberviereck
Phänomene
entdecken
Operativ
vorgehen
Algebraisieren
Zauerdreieck
Phänomene
entdecken
Operativ
vorgehen
Algebraisieren
Analogisieren
Analogisieren
Analogisieren
Nürnberg
Phänomene des Zaubervierecks
Gleiche Phänomene– Entdeckung durch Identifizieren
Analoge Phänomene– Entdeckung durch Analogisieren
Neue Phänomene– Entdeckung durch Probieren
Phänomene im Zauberviereck: IdentifizierenNürnberg
3
5 8
4 7 1
Phänomene entdecken durch Identifizieren
Schenkelsummen
99 99
Phänomene im Zauberviereck: IdentifizierenNürnberg
Identisches Phänomen im Zauberviereck
0 8 2
6 7
4 5 1
8 2
6
4
0 8
7
1
0
6
5 1
2
7
4 5
Schenkelsummen
88
88 1010
1010
66
66
99
99
Phänomene im Zauberviereck: AnalogisierenNürnberg
3
8
4 7
7-3 = 4
8-4 = 45-1 = 45
1
Eck-Gegenmitten-Differenz
Phänomene im Zauberviereck: AnalogisierenNürnberg
0 8 2
6 7
4 5 1
0
7
5 1
7
5 1
7
5
1313
Erster Analogisierungsversuch
Phänomene im Zauberviereck: AnalogisierenNürnberg
0 8 2
6 7
4 5 1
0 8 2
6 7
4 5 1
0 8 2
6 7
4 5 1
0 8 2
6 7
4 5 1
Eck-Gegendreiecks-Differenz
1313 1313
1313 1313
Erster Analogisierungsversuch
Phänomene im Zauberviereck: AnalogisierenNürnberg
0 8 2
6 7
4 5 1
Zweiter Analogisierungsversuch
8
54 14 1
Phänomene im Zauberviereck: AnalogisierenNürnberg
0 8 2
6 7
4 5 1
Zweiter Analogisierungsversuch
8 - (4+1) = 38 - (4+1) = 3
6-(2+1) = 36-(2+1) = 3
5-(0+2) = 35-(0+2) = 3
7-(4+0) = 37-(4+0) = 3
0 8 2
6 7
4 5 1
0 8 2
6 7
4 5 1
0 8 2
6 7
4 5 1
0 8 2
6 7
4 5 1
Mitte-Gegenecken-Differenz
Phänomene im Zauberviereck: ProbierenNürnberg
0 8 2
6 7
4 5 1
Gegenmitten
Neues Phänomen
8
5
1313
6 7 1313
Nürnberg
Zauberviereck
Phänomene
entdecken
Operativ
vorgehen
Algebraisieren
Zauberdreieck
Phänomene
entdecken
Operativ
vorgehen
Algebraisieren
Analogisieren
Analogisieren
Analogisieren
Analyse von Formaten / Operativ vorgehen 1Nürnberg
Was bewirkt die Veränderung einer Zahl bei einem Zauberviereck?
+c
Veränderung einer Eckzahl
Veränderung einerMittenzahl
+c
Zaubereigenschaft geht verloren!
Analyse von Formaten / Operativ vorgehen 2Nürnberg
Zauberinvariante Operationen
Zwei Eckzahlen
+c
+c
Eckzahl und zwei Mittenzahlen
+c
+c
+c
+c
+c +c
+c
Alle Mittenzahlen
-c +c
-c
Kombinationen solcher Operationen
Analyse von Formaten / Operativ vorgehen 2Nürnberg
Propädeutik des Vektorraumbegriffs
0 8 2
6 7
4 5 1
7 6 4
9 8
1 11 5
7 14 6
15 15
5 16 6
+ =
0 8 2
6 7
4 5 1
0 24 6
18 21
12 15 3
=
10 17 27
10 303
Nürnberg
Zauberviereck
Phänomene
entdecken
Operativ
vorgehen
Algebraisieren
Zauberdreieck
Phänomene
entdecken
Operativ
vorgehen
Algebraisieren
Analogisieren
Analogisieren
Analogisieren
Analyse von Formaten / Algebraisieren 1 Nürnberg
Entwicklung einer algebraischen Darstellung
a
a
a
a+b
b
b
c
b+c
c
d
a+d
c+d
a+ b+k
c+b+k
a+d+k
d+c+k
Ist jedes Zauberviereck von dieser Form?
Analyse von Formaten / Algebraisieren 1 Nürnberg
d g c
h f
a e b
Entwicklung einer algebraischen Darstellung
a
a
a
a+b
b
b
c
b+c
c
d
a+d
c+d
a+ b+k
c+b+k
a+d+k
d+c+k
= c+d+k
Zauberzahl=
a+b+c+d+k= a+d+k
= a+b+k
b+c+k =
Satz:Jedes Viereck obiger Form ist ein Zauberviereckund jedes Zauberviereck ist von obiger Form.
Nürnberg
Das Zaubertetraeder
8
5
0
4
1
2
4
3
76
Zauberzahl = 9Zauberzahl = 9
Nürnberg
Nürnberg
Verbindung zwischen Geometrie und Arithmetik
Phänomene
entdecken
Operativ
vorgehen
Algebraisieren
Geometrie/
Symmetrie
Nürnberg
VerkettungDimension
Regel
Anzahl
Operation
Art der Belegung
Form
• nur bestimmte Zahlen
• unterschiedliche Zauberzahlen
• ...
• Multiplikation
• kgV
• ggT
• Mittelwert
• ...
Nürnberg
Zauberwürfel
Zauberwert = 20
1
28
7 3
4
6
9
Nürnberg
Phänomene im Zauberwürfel
Zauberwert = 20
1
28
7 3
4
6
91
4
7
6
Nürnberg
3
4
1
28
7
6
9
4-34-3
2-12-1
9-89-8
7-67-6
Phänomen 1: Raumdiagonalen
Nürnberg
Phänomen 2: Gegenkanten
1010
1010
1010
101055
551515
1515
88
88
1212
1212
Nürnberg
Phänomen 3: Gegenflächendiagonalen
33 332222 - 2- 2
- 2- 2
Nürnberg
1
28
7 3
4
6
91
7
4
9
2121
2
4
6
9
2121
27 3
9
2121
28
7
4
2121
2121
2121
Phänomen 4: Dreibeinsumme
2121
Nürnberg
1
28
7 3
4
6
91
4
6
8
1919
1
3
6
9
19
28
3
6
1919
1
8
7 31919
1919
1919
19191919
2121
2121
2121
2121
Phänomen 4: Dreibeinsumme
Nürnberg
1919
1919
19191919
2121
2121
2121
27
4
1
8
3
6
9
Phänomen 4: Dreibeinsumme
Nürnberg
Zauberinvariante Operation 1
Nürnberg
Zauberinvariante Operation 2
Nürnberg
Struktur des Zauberwürfels
b
b
d
d
a
a
c
c
Jeder Würfel obigen Typs ist ein Zauberwürfel!
Ist jeder Zauberwürfel aber auch von diesem Typ?
b+k a-k
c-kd+k
Nürnberg
ab
cd
hf
ge
Beliebiger Zauberwürfel
= b+k= c-k
= a-k= d+k
Satz:Jeder Würfel obigen Typs ist ein Zauberwürfel und jeder Zauberwürfel ist von diesem Typ!
ab
cd
b+kd+k
a-k
c-k
Operativ erzeugter Zauberwürfel
Struktur des Zauberwürfels
Zauberwert = a+b+c+d
Nürnberg
Zauberdodekaeder
Zauberwert = 33
Nürnberg
Zahlenpaare
4
8
50
14
6
7
3
8
9
12
6
1
2
8
13
11
3
4
8
3
5 17
2
Nürnberg
4
8
50
14
6
7
3
8
9
12
6
1
2
8
13
11
3
17
23
5 17
Zahlenpaare
2
Nürnberg
Drei Summanden
4
8
50
14
6
7
3
8
9
12
6
1
2
8
13 11
3
172525
2525
2
Nürnberg
4
8
50
14
6
7
3
8
9
12
6
1
2
8
13 11
3
17
1414
1414
Nürnberg
4
8
50
14
6
7
3
8
9
12
6
1
2
8
13 11
3
17
1414
1414
Nürnberg
Nürnberg
Fünf Summanden
3333
3333
3333
3333
Nürnberg
Nürnberg
Zauberinvariante Operation
Nürnberg
Operative Erzeugung einer Lösung
a
a
aa
b
bb
b
c
cc
c
d
d
d
d
e
e
e
e
Nürnberg
Zweite operative Lösung
Nürnberg
Zweite operative Lösung
Nürnberg
Zweite operative Lösung
a
a
aa
b
bb
b
c
cc
c
d
d
d
d
e
e
e
e
a‘
e‘
d‘b‘
a‘
b‘c‘
e‘
d‘
a‘b‘
c‘
c‘
e‘
d‘
b‘
d‘
e‘
a‘
c‘
Nürnberg
Zweite spezielle Lösung
Nürnberg
a+a‘
a+e‘
a+d‘
a+b‘
b+a‘
b+b‘b+c‘
b+e‘
c+d‘
c+a‘
c+b‘
c+c‘
d+c‘
d+e‘
d+d‘
d+b‘
e+d‘
e+e‘
e+a‘
e+c‘
Struktur des gesamten Innentetraeder-Raums
Nürnberg
Vektorraum der Zahlendodekaeder
Lassen sich mit den Innentetraedern alle Zauberdodekaeder erzeugen?
Untervektorraum der ZauberdodekaederUntervektorraum der
Innentetraederraum
Vektorraum der
Zauberdodekaederraum
= Innentetraederraum
z.a
z.n
z.r
z.j
z.o
z.b
z.f
z.s
z.c
z.k
z.t
z.g
z.p
z.l
z.h
z.d
z.q
z.i
z.m
z.e
a
n
r
j
o
b
f
s
c
k
t
g
p
lh
d
q
im
e
Z. =
a‘
n‘
r‘
j‘
o‘
b‘
f‘
s‘
c‘
k‘
t‘
g‘
p‘
lh‘
d‘
q‘
i‘m‘
e‘a
n
r
j
o
b
f
s
c
k
t
g
p
lh
d
q
im
e
+
a+a‘
n+n‘
r+r‘
j+j‘
o+o‘
b+b‘
f+f‘
s+s‘
c+c‘
k+k‘
t+t‘
g+g‘
p+p‘
l+l‘
h+h‘
d+d‘
q+q‘
i+i‘m+m‘
e+e‘
=
a‘
n‘j‘
o‘
b‘
f‘
c‘
k‘
t‘p‘
h‘
d‘
q‘
i‘
e‘a
nj
o
b
f
c
k
tp
h
d
q
i
e
+
a+a‘
n+n‘
j+j‘
o+o‘
b+b‘
f+f‘
c+c‘
k+k‘
t+t‘p+p‘
h+h‘
d+d‘
q+q‘
i+i‘
e+e‘
=r‘ s‘
g‘
l m‘
r s
g
l m
r+r‘ s+s‘
g+g‘
l+l‘ m+m‘
A B A+B
z.a
z.nz.j
z.o
z.b
z.f
z.c
z.k
z.tz.p
z.h
z.d
z.q
z.i
z.e
a
nj
o
b
f
c
k
tp
h
d
q
i
e
Z .
=Z.A
z.r z.s
z.g
z.l z.m
s
g
l m
r
AHat der Innentetraederraum dieselbe Dimension wie der Zauberdodekaederraum?
Hat der Innentetraederraum dieselbe Dimension wie der Zauberdodekaederraum?
Nürnberg
a b c d e z
a b g h m z
p q r s t z
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =
M M
Dimension des Zauberdodekaeder-Raums
21 Variable12 Gleichungen
Nürnberg
Zauberbedingung als Matrizengleichung
1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
q
r
s
t
•
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
=
Nürnberg
1 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 13 3
1 20 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 13 3
1 20 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 13 3
1 20 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 13 3
2 10 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 03 3
1 20 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 03 3
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
− − −
− − − − − − −
− − −
− − −
0 1 1 0 0 0 1 1
2 10 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 13 3
2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 03 3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1
− − − − − − − − −
−
Rang
12 unabhängige Gleichungen
= 12
Nürnberg
Dimension des Lösungsraumes:
D = 21 – 12 = 9
Gleichungssystem mit 21 Variablen
12 unabhängige Gleichungen
Dimension des Zauberdodekaeder-Raums
Nürnberg
Innentetraeder-Raum
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
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Je 9 der Innentetraeder sind linear unabhängig!
Je 9 der Innentetraeder sind linear unabhängig!
Die 10 Innentetraeder sind linear abhängig!
Die 10 Innentetraeder sind linear abhängig!
Nürnberg
Der Vektorraum der Zauberdodekaeder hat
die Dimension 9
Der von den Innentetraedern aufgespannte Zauberraum hat die Dimension 9
Satz:Der Vektorraum der Zauberdodekaeder ist der von den Innentetraedern aufgespannte Zauberraum.
Satz:Der Vektorraum der Zauberdodekaeder ist der von den Innentetraedern aufgespannte Zauberraum.
Analyse von Formaten / Algebraisieren 2Nürnberg
Jedes Dodekaeder entsprechend obiger Belegung ist ein Zauberdodekaeder und jedes Zauberdodekaeder ist von obiger Form.
Jedes Dodekaeder entsprechend obiger Belegung ist ein Zauberdodekaeder und jedes Zauberdodekaeder ist von obiger Form.
a+a‘
a+e‘
a+d‘a+b‘
b+a‘
b+b‘b+c‘
b+e‘
c+d‘
c+a‘c+b‘
c+c‘
d+c‘
d+e‘
d+d‘
d+b‘
e+d‘
e+e‘
e+a‘
e+c‘
Nürnberg
Zusammenfassung
• Übungsformate aus der Grundschule können aufgrund ihrer mathematischen Reichhaltigkeit in der Sekundarstufe eingesetzt werden zum Erreichen – mathematischer Lernziele in verschiedenen Bereichen
(Algebra, Gleichungslehre, Vektorraumbegriff,…) und– allgemeiner Bildungsziele ( beobachten lernen, nach
Gesetzmäßigkeiten suchen, strukturieren, variieren)• Als fruchtbar erweist sich dabei das Methodentripel:
– Phänomene entdecken– Operativ vorgehen – Algebraisieren
• Systematisches Variieren und Analogisieren zeigen sich als schlagkräftiges Instrument kreativen Arbeitens in der Mathematik
Nürnberg