Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b...

Nürnberg

Vom Einfachen zum Komplexen

Mutfried Hartmann

Mit Übungsformaten arbeiten -von der Grundschule bis zur Oberstufe

Nürnberg

Vom Übungsformat …

Klimbim?

Klimbim?

Nürnberg

… zum Aufgabenformat

• Mathematische Reichhaltigkeit• Bezüge zu Standardstoff über Rechentraining hinaus• Eignung zur Realisierung von Bildungszielen

– „Die Schüler lernen zu beobachten und nach Gesetzmäßigkeiten zu suchen, zu ordnen, zu klassifizieren und zu strukturieren, zuverallgemeinern und zu spezifizieren, zu kombinieren und zu variieren. Dadurch wird auch kreatives und intuitives Denken alsein wesentliches Merkmal der Mathematik gefördert.“(Bayerischer LP Mathematik RS)

– „Beim Aufstellen und Begründen von Vermutungen … entwickeln sich Kreativität und Phantasie.“(Bayerischer LP Mathematik Gy)

Nürnberg

2

1

4

3

6

7

+ + = 12

+

+

= 1

212 = + +

alle Seitensummen haben denselben Wert Z („Zauberzahl“)

Das Zauberdreieck

Nürnberg

Mathematische Reichhaltigkeit des Zauberdreiecks

Phänomeneentdecken

Operativ vorgehen Algebraisieren


Analyse von Formaten / Phänomene erkunden 1Nürnberg

Schenkelsummen

3

5 8

4 7 1

3

5 8

4 7 1

3

5 8

4 7 1


Eck-Gegenmitten-Differenz

3

8

4 7

7-3 = 4

8-4 = 45-1 = 45

1


Teildreieckssummen T

3+5+8 = 16

5+4+7 = 16 8+7+1 = 16

4 7 1

3

5 8

3

8

1

5

4 7

3

5

4

8

7 1

3

5

4

8

7 1


Bruderdreieck

3

5 8

4 7 1 + + = 16

+

+

= 1

6

16 = + +

5

4 3

7 1 8


Zahlenkette M-T-Z-E

Z = 12

T = 16

+4

+4

+4

E = 8

M = 20

3

4 1

5 8

7

Nürnberg


Phänomeneentdecken



Nürnberg


Phänomeneentdecken

Operativ vorgehen AlgebraisierenAlgebraisieren

Phänomeneentdecken

Analyse von Formaten / Operativ vorgehen 1Nürnberg

Was bewirkt die Veränderung einer Zahl bei einem Zauberdreieck?

+c

Veränderung einer Eckzahl Veränderung einer Mittenzahl

+c

Zaubereigenschaft geht verloren!


Gibt es zauberinvariante Operationen?

+c

Eckzahl und Mittenzahl

+c

+c

+c

+c

alle Eckzahlen alle Mittenzahlen

+c +c

+c

alle Zahlen

+c

+c+c

+c +c

+c

Nürnberg


Phänomeneentdecken

Operativ vorgehen AlgebraisierenAlgebraisieren

Phänomeneentdecken

Nürnberg


Phänomeneentdecken


Phänomeneentdecken

Operativ vorgehen

Analyse von Formaten / Algebraisieren 1 Nürnberg

Entwicklung einer algebraischen Darstellung

Erzeugen von Zauberdreieckendurch zauberinvariante Operationen:

+k

+k +k

Gibt es noch andere Zauberdreiecke?

e

df

b c

a

= b+k

a

a c

c

b

b

= a+k

c+k =

Analyse von Formaten / Algebraisieren 2Nürnberg

Satz:Jedes Dreieck obiger Form ist ein Zauberdreieckund jedes Zauberdreieck ist von obiger Form.

b a+k c

c+k b+k

a


Phänomene im Licht der Analyse

b a+k c

c+k b+k

a

Eck-Gegenmitten-Differenz k

BruderdreieckZ=a+b+c+2k

c b+k

ab

a+k

c+k

TeildreieckswertT=a+b+c+2k

Kette M-T-Z-EM=a+b+c+3kT=a+b+c+2kZ=a+b+c+1kE=a+b+c+0k

Nürnberg

„Die Schüler lernen zu beobachten und nach Gesetzmäßigkeiten zu suchen, zu ordnen, zu klassifizieren und zu strukturieren, zu verallgemeinern und zu spezifizieren, zu kombinieren und zu variieren. Dadurch wird auch kreatives und intuitives Denken als ein wesentliches Merkmal der Mathematik gefördert.“ (Bayerischer LP Mathematik)

„Die Schüler lernen zu beobachten und nach Gesetzmäßigkeiten zu suchen, zu ordnen, zu klassifizieren und zu strukturieren, zu verallgemeinern und zu spezifizieren, zu kombinieren und zu variieren. Dadurch wird auch kreatives und intuitives Denken als ein wesentliches Merkmal der Mathematik gefördert.“ (Bayerischer LP Mathematik)

Zwischenbilanz

Nürnberg

VerkettungDimension

Regel

Anzahl

Operation

Art der Belegung

Form

• nur bestimmte Zahlen

• unterschiedliche Zauberzahlen

• ...

• Multiplikation

• kgV

• ggT

• Mittelwert

• ...

Wie variieren?

Nürnberg

Benachbartes System

Didaktisches Modell zu Übungsformaten

Phänomene

entdecken

Operativ

vorgehen

Algebraisieren

Ausgangssystem

Phänomene

entdecken

Operativ

vorgehen

Algebraisieren

Variieren

Analogisieren

Analogisieren

Analogisieren

Nürnberg

VerkettungDimension

Regel

Anzahl

Operation

Art der Belegung

Form



• ...

• Multiplikation

• kgV

• ggT

• Mittelwert

• ...

Wie variieren?

Nürnberg

Das Zauberviereck

0 8 2

6 7

4 5 110 = + +

+ + = 10

+

+

= 1

0+

+ =

10

Nürnberg

Zauberviereck

Phänomene

entdecken

Operativ

vorgehen

Algebraisieren

Zauerdreieck

Phänomene

entdecken

Operativ

vorgehen

Algebraisieren

Analogisieren

Analogisieren

Analogisieren

Nürnberg

Phänomene des Zaubervierecks

Gleiche Phänomene– Entdeckung durch Identifizieren

Analoge Phänomene– Entdeckung durch Analogisieren

Neue Phänomene– Entdeckung durch Probieren

Phänomene im Zauberviereck: IdentifizierenNürnberg

3

5 8

4 7 1

Phänomene entdecken durch Identifizieren

Schenkelsummen

99 99

Phänomene im Zauberviereck: IdentifizierenNürnberg

Identisches Phänomen im Zauberviereck

0 8 2

6 7

4 5 1

8 2

6

4

0 8

7

1

0

6

5 1

2

7

4 5

Schenkelsummen

88

88 1010

1010

66

66

99

99

Phänomene im Zauberviereck: AnalogisierenNürnberg

3

8

4 7

7-3 = 4

8-4 = 45-1 = 45

1

Eck-Gegenmitten-Differenz


0 8 2

6 7

4 5 1

0

7

5 1

7

5 1

7

5

1313

Erster Analogisierungsversuch


0 8 2

6 7

4 5 1

0 8 2

6 7

4 5 1

0 8 2

6 7

4 5 1

0 8 2

6 7

4 5 1

Eck-Gegendreiecks-Differenz

1313 1313

1313 1313

Erster Analogisierungsversuch


0 8 2

6 7

4 5 1

Zweiter Analogisierungsversuch

8

54 14 1


0 8 2

6 7

4 5 1

Zweiter Analogisierungsversuch

8 - (4+1) = 38 - (4+1) = 3

6-(2+1) = 36-(2+1) = 3

5-(0+2) = 35-(0+2) = 3

7-(4+0) = 37-(4+0) = 3

0 8 2

6 7

4 5 1

0 8 2

6 7

4 5 1

0 8 2

6 7

4 5 1

0 8 2

6 7

4 5 1

Mitte-Gegenecken-Differenz

Phänomene im Zauberviereck: ProbierenNürnberg

0 8 2

6 7

4 5 1

Gegenmitten

Neues Phänomen

8

5

1313

6 7 1313

Nürnberg

Zauberviereck

Phänomene

entdecken

Operativ

vorgehen

Algebraisieren

Zauberdreieck

Phänomene

entdecken

Operativ

vorgehen

Algebraisieren

Analogisieren

Analogisieren

Analogisieren


Was bewirkt die Veränderung einer Zahl bei einem Zauberviereck?

+c

Veränderung einer Eckzahl

Veränderung einerMittenzahl

+c

Zaubereigenschaft geht verloren!


Zauberinvariante Operationen

Zwei Eckzahlen

+c

+c

Eckzahl und zwei Mittenzahlen

+c

+c

+c

+c

+c +c

+c

Alle Mittenzahlen

-c +c

-c

Kombinationen solcher Operationen


Propädeutik des Vektorraumbegriffs

0 8 2

6 7

4 5 1

7 6 4

9 8

1 11 5

7 14 6

15 15

5 16 6

+ =

0 8 2

6 7

4 5 1

0 24 6

18 21

12 15 3

=

10 17 27

10 303

Nürnberg

Zauberviereck

Phänomene

entdecken

Operativ

vorgehen

Algebraisieren

Zauberdreieck

Phänomene

entdecken

Operativ

vorgehen

Algebraisieren

Analogisieren

Analogisieren

Analogisieren



a

a

a

a+b

b

b

c

b+c

c

d

a+d

c+d

a+ b+k

c+b+k

a+d+k

d+c+k

Ist jedes Zauberviereck von dieser Form?


d g c

h f

a e b


a

a

a

a+b

b

b

c

b+c

c

d

a+d

c+d

a+ b+k

c+b+k

a+d+k

d+c+k

= c+d+k

Zauberzahl=

a+b+c+d+k= a+d+k

= a+b+k

b+c+k =

Satz:Jedes Viereck obiger Form ist ein Zauberviereckund jedes Zauberviereck ist von obiger Form.

Nürnberg

Das Zaubertetraeder

8

5

0

4

1

2

4

3

76

Zauberzahl = 9Zauberzahl = 9

Nürnberg

Nürnberg

Verbindung zwischen Geometrie und Arithmetik

Phänomene

entdecken

Operativ

vorgehen

Algebraisieren

Geometrie/

Symmetrie

Nürnberg

VerkettungDimension

Regel

Anzahl

Operation

Art der Belegung

Form



• ...

• Multiplikation

• kgV

• ggT

• Mittelwert

• ...

Nürnberg

Zauberwürfel

Zauberwert = 20

1

28

7 3

4

6

9

Nürnberg

Phänomene im Zauberwürfel

Zauberwert = 20

1

28

7 3

4

6

91

4

7

6

Nürnberg

3

4

1

28

7

6

9

4-34-3

2-12-1

9-89-8

7-67-6

Phänomen 1: Raumdiagonalen

Nürnberg

Phänomen 2: Gegenkanten

1010

1010

1010

101055

551515

1515

88

88

1212

1212

Nürnberg

Phänomen 3: Gegenflächendiagonalen

33 332222 - 2- 2

- 2- 2

Nürnberg

1

28

7 3

4

6

91

7

4

9

2121

2

4

6

9

2121

27 3

9

2121

28

7

4

2121

2121

2121

Phänomen 4: Dreibeinsumme

2121

Nürnberg

1

28

7 3

4

6

91

4

6

8

1919

1

3

6

9

19

28

3

6

1919

1

8

7 31919

1919

1919

19191919

2121

2121

2121

2121


Nürnberg

1919

1919

19191919

2121

2121

2121

27

4

1

8

3

6

9


Nürnberg

Zauberinvariante Operation 1

Nürnberg

Zauberinvariante Operation 2

Nürnberg

Struktur des Zauberwürfels

b

b

d

d

a

a

c

c

Jeder Würfel obigen Typs ist ein Zauberwürfel!

Ist jeder Zauberwürfel aber auch von diesem Typ?

b+k a-k

c-kd+k

Nürnberg

ab

cd

hf

ge

Beliebiger Zauberwürfel

= b+k= c-k

= a-k= d+k

Satz:Jeder Würfel obigen Typs ist ein Zauberwürfel und jeder Zauberwürfel ist von diesem Typ!

ab

cd

b+kd+k

a-k

c-k

Operativ erzeugter Zauberwürfel

Struktur des Zauberwürfels

Zauberwert = a+b+c+d

Nürnberg

Zauberdodekaeder

Zauberwert = 33

Nürnberg

Zahlenpaare

4

8

50

14

6

7

3

8

9

12

6

1

2

8

13

11

3

4

8

3

5 17

2

Nürnberg

4

8

50

14

6

7

3

8

9

12

6

1

2

8

13

11

3

17

23

5 17

Zahlenpaare

2

Nürnberg

Drei Summanden

4

8

50

14

6

7

3

8

9

12

6

1

2

8

13 11

3

172525

2525

2

Nürnberg

4

8

50

14

6

7

3

8

9

12

6

1

2

8

13 11

3

17

1414

1414

Nürnberg

Nürnberg

Fünf Summanden

3333

3333

3333

3333

Nürnberg

Nürnberg

Zauberinvariante Operation

Nürnberg

Operative Erzeugung einer Lösung

a

a

aa

b

bb

b

c

cc

c

d

d

d

d

e

e

e

e

Nürnberg

Zweite operative Lösung

Nürnberg

Zweite operative Lösung

a

a

aa

b

bb

b

c

cc

c

d

d

d

d

e

e

e

e

a‘

e‘

d‘b‘

a‘

b‘c‘

e‘

d‘

a‘b‘

c‘

c‘

e‘

d‘

b‘

d‘

e‘

a‘

c‘

Nürnberg

Zweite spezielle Lösung

Nürnberg

a+a‘

a+e‘

a+d‘

a+b‘

b+a‘

b+b‘b+c‘

b+e‘

c+d‘

c+a‘

c+b‘

c+c‘

d+c‘

d+e‘

d+d‘

d+b‘

e+d‘

e+e‘

e+a‘

e+c‘

Struktur des gesamten Innentetraeder-Raums

Nürnberg

Vektorraum der Zahlendodekaeder

Lassen sich mit den Innentetraedern alle Zauberdodekaeder erzeugen?

Untervektorraum der ZauberdodekaederUntervektorraum der

Innentetraederraum

Vektorraum der

Zauberdodekaederraum

= Innentetraederraum

z.a

z.n

z.r

z.j

z.o

z.b

z.f

z.s

z.c

z.k

z.t

z.g

z.p

z.l

z.h

z.d

z.q

z.i

z.m

z.e

a

n

r

j

o

b

f

s

c

k

t

g

p

lh

d

q

im

e

Z. =

a‘

n‘

r‘

j‘

o‘

b‘

f‘

s‘

c‘

k‘

t‘

g‘

p‘

lh‘

d‘

q‘

i‘m‘

e‘a

n

r

j

o

b

f

s

c

k

t

g

p

lh

d

q

im

e

+

a+a‘

n+n‘

r+r‘

j+j‘

o+o‘

b+b‘

f+f‘

s+s‘

c+c‘

k+k‘

t+t‘

g+g‘

p+p‘

l+l‘

h+h‘

d+d‘

q+q‘

i+i‘m+m‘

e+e‘

=

a‘

n‘j‘

o‘

b‘

f‘

c‘

k‘

t‘p‘

h‘

d‘

q‘

i‘

e‘a

nj

o

b

f

c

k

tp

h

d

q

i

e

+

a+a‘

n+n‘

j+j‘

o+o‘

b+b‘

f+f‘

c+c‘

k+k‘

t+t‘p+p‘

h+h‘

d+d‘

q+q‘

i+i‘

e+e‘

=r‘ s‘

g‘

l m‘

r s

g

l m

r+r‘ s+s‘

g+g‘

l+l‘ m+m‘

A B A+B

z.a

z.nz.j

z.o

z.b

z.f

z.c

z.k

z.tz.p

z.h

z.d

z.q

z.i

z.e

a

nj

o

b

f

c

k

tp

h

d

q

i

e

Z .

=Z.A

z.r z.s

z.g

z.l z.m

s

g

l m

r

AHat der Innentetraederraum dieselbe Dimension wie der Zauberdodekaederraum?

Hat der Innentetraederraum dieselbe Dimension wie der Zauberdodekaederraum?

Nürnberg

a b c d e z

a b g h m z

p q r s t z

+ + + + =

+ + + + =

+ + + + =

M M

Dimension des Zauberdodekaeder-Raums

21 Variable12 Gleichungen

Nürnberg

Zauberbedingung als Matrizengleichung

1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

m

n

o

p

q

r

s

t

•

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

=

Nürnberg

1 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 13 3

1 20 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 13 3

1 20 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 13 3

1 20 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 13 3

2 10 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 03 3

1 20 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 03 3

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

− − −

− − − − − − −

− − −

− − −

0 1 1 0 0 0 1 1

2 10 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 13 3

2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 03 3

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1

− − − − − − − − −

−

Rang

12 unabhängige Gleichungen

= 12

Nürnberg

Dimension des Lösungsraumes:

D = 21 – 12 = 9

Gleichungssystem mit 21 Variablen

12 unabhängige Gleichungen

Dimension des Zauberdodekaeder-Raums

Nürnberg

Innentetraeder-Raum

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

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Je 9 der Innentetraeder sind linear unabhängig!

Je 9 der Innentetraeder sind linear unabhängig!

Die 10 Innentetraeder sind linear abhängig!

Die 10 Innentetraeder sind linear abhängig!

Nürnberg

Der Vektorraum der Zauberdodekaeder hat

die Dimension 9

Der von den Innentetraedern aufgespannte Zauberraum hat die Dimension 9

Satz:Der Vektorraum der Zauberdodekaeder ist der von den Innentetraedern aufgespannte Zauberraum.

Satz:Der Vektorraum der Zauberdodekaeder ist der von den Innentetraedern aufgespannte Zauberraum.


Jedes Dodekaeder entsprechend obiger Belegung ist ein Zauberdodekaeder und jedes Zauberdodekaeder ist von obiger Form.

Jedes Dodekaeder entsprechend obiger Belegung ist ein Zauberdodekaeder und jedes Zauberdodekaeder ist von obiger Form.

a+a‘

a+e‘

a+d‘a+b‘

b+a‘

b+b‘b+c‘

b+e‘

c+d‘

c+a‘c+b‘

c+c‘

d+c‘

d+e‘

d+d‘

d+b‘

e+d‘

e+e‘

e+a‘

e+c‘

Nürnberg

Zusammenfassung

• Übungsformate aus der Grundschule können aufgrund ihrer mathematischen Reichhaltigkeit in der Sekundarstufe eingesetzt werden zum Erreichen – mathematischer Lernziele in verschiedenen Bereichen

(Algebra, Gleichungslehre, Vektorraumbegriff,…) und– allgemeiner Bildungsziele ( beobachten lernen, nach

Gesetzmäßigkeiten suchen, strukturieren, variieren)• Als fruchtbar erweist sich dabei das Methodentripel:

– Phänomene entdecken– Operativ vorgehen – Algebraisieren

• Systematisches Variieren und Analogisieren zeigen sich als schlagkräftiges Instrument kreativen Arbeitens in der Mathematik

Nürnberg

Vom Einfachen zum Komplexen - didmath.ewf.uni … · Zauberdreiecke? e f d b c a = b+k a a c c b b...

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