Post on 06-Apr-2015
von Jasmin Boeß
Gliederung
Wozu benötigen wir Determinanten? Herleitung der Cramer‘schen Regel Was ist eine Determinante? Cramer‘sche Regel (2x2 Matrizen) Übungsbeispiele Regel von Sarrus Cramer‘sche Regel (3x3 Matrizen) Übungsbeispiele
Wozu benötigen wir Determinanten? zum Lösen von Gleichungssystemen Gauss-Verfahren
Bsp: 2x1 – 3x2 = 5 | *7
7x1 + 5x2 = 9 | *2
2x1 - 3x2 = 5
- 31x2 = 17
x2 = 17/-31 x1 = 52/31
-
Herleitung der Cramer‘schen Regel
(2x2 Matrix)I: a11x1 + a12x2 = b1 | *a22
II: a21x1 + a22x2 = b2 | *a12
Ia: a11a22x1 + a12a22x2 = a22b1
IIa: a21a12x1 + a22a12x2 = a12b2
a11a22x1 – a21a12x1 = a22b1 – a12b2
x1(a11a22-a21a12) = a22b1 – a12b2
x1 =
Ia – IIa
a22b1 – a12b2
a11a22-a21a12
Herleitung der Cramer‘schen Regel
(2x2 Matrix)I: a11x1 + a12x2 = b1 | *a21
II: a21x1 + a22x2 = b2 | *a11
Ia: a11a21x1 + a12a21x2 = a21b1
IIa: a21a11x1 + a22a11x2 = a11b2
a22a11x2 – a12a21x2 = a11b2 – a21b1
x2(a22a11-a12a21) = a11b2 – a21b1
x2 =a11b2 – a21b1
a22a11-a12a21
IIa – Ia
Was ist eine Determinante? Definition
Eine Determinante ordnet einer
(n;n)-Matrix A eindeutig eine reelle
oder komplexe Zahl det A zu.
Schreibweise
● =a11a22-a12a21
a11 a12
a21 a22
+-
=> Determinante
Cramer‘sche Regel
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
X1 =
X2 =
a22b1 - a12b2
a11a22 - a21a12
a11b2 - a21b1
a22a11 - a12a21
• inhomogene Gleichungssysteme; LGS mit genau einer Lösung
x1 =a11a22 - a21a12
b1a22 - b2a12=
b1 a12
b2 a22
a11 a12
a21 a22
x2 = =a11b2 - a21b1
a11a22 - a12a21
a11 b1
a21 b2
Cramer‘sche Regel
a11 a12
a21 a22
Übungsbeispiel
2x1 – 3x2 = 5
7x1 + 5x2 = 9
x1 =
5 -39 5
2 -37 5
=5*5-(-3)*9
2*5-(-3)*7=
52
31
x2 =
2 57 9
=2*9-5*7
2*5-(-3)*7=
17
31-
Zähler: Ergebnis + anderer x-WertNenner: Koeffizienten der x-Werte
2 -37 5
11x1 - 13x2 = 20
5x1 - 12x2 = 1
7x1 + 7x2 = 10
rx1 - rx2 = 1
11x1 - 13x2 = 20
5x1 - 12x2 = 1
x1 = = =
x2 = = =
20 -13 1 -12
11 -13 5 -12
20*(-12)-(-13)*1
11*(-12)-(-13)*5
227
67
11 20 5 1 11*1-20*5 89
6711 -13 5 -12
11*(-12)-(-13)*5
7x1 + 7x2 = 10
rx1 - rx2 = 1
x1 = = = =
x2 = = =
10 7 1 -r
7 7 r -r
10*(-r)-7*1
7*(-r)-7*r
-10r-7
-14r
7 10 r 1 7*1-10*r -10r+7
7 7 r -r
7*(-r)-7*r
10r+7
14r
-14r
Regel von Sarrusa11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12
a21 a22
a31 a32
- + + +
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
=a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32
- a13 a22 a31 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33
- -
x1 =1
D
b1 a12 a13
b2 a22 a23
b3 a32 a33
x2 =1
D
a11 b1 a13
a21 b2 a23
a31 b3 a33
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3
x3 =1
D
a11 a12 b1
a21 a22 b2
a31 a32 b3
D =a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Cramer‘sche Regel
Übungsbeispiel
3x1 + 5x2 - 7x3 = 46x1 + 4x2 - 12x3 = 93x1 - 3x2 - 6x3 = 2
x1 =1
D
4 5 - 79 4 -122 -3 - 6
D =3 5 - 76 4 -123 -3 - 6
=
x2 =1
D
3 4 - 76 9 -123 2 - 6
=
x1 =1
D
3 5 46 4 93 -3 2
=
30
155
15
30
=31
6
=
=
1
2
60
302
x1 + x2 + x3 = 10
5x1 + 7x2 - 9x3 = 11
3x1 + 2x2 - 25x3 = 30
x1 + x2 + x3 = 10
5x1 + 7x2 - 9x3 = 11
3x1 + 2x2 - 25x3 = 30
x1 =1
D
10 1 111 7 - 930 2 -25
=
x2 =1
D
1 10 15 11 - 93 30 -25
=
x1 =1
D
1 1 105 7 113 2 30
=
-70
-1753
1092
-70
=1753
70
=
=
-78
5
-39
-70
D =1 1 15 7 - 93 2 -25
39
70
Quellen
Analytische Geometrie mit linearer Algebra; Lambacher Schweizer; S. 18 + 19
http://www.mathe-online.at/ materialien/klaus.berger/files/Matrizen/determinante.pdf