Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005

Binomialverteilung: Beispiel

0729.0729.001.010)9.0(1.02

5)2(

329.0656.01.05)9.0(1.01

5)1(

591.0591.011)9.0(1.00

5)0(

32

41

50

XP

XP

XP

Wahrscheinlichkeit für Antibiotika positiv P = 1/10

gezogene Stichprobe n = 5

• Hormonuntersuchung bei Kälbern

etc.

Anzahl der Erfolge bei n Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p

:X

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Stetige Zufallsgrößen

b

adxxfbXaP )()(

• Darstellung durch Dichtefunktion f

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:

dxxfbFXPb

)()(b)(

Verteilungsfunktion stetiger Zufallsgrößen

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

Dic

hte

b

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a b

Stetige Gleichverteilung

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Stetige Gleichverteilung

]);([~ baGX

)(1

)(

1)(

axab

xF

abxf

für

für

12

)()(

2)(

2abXVar

baXE

bxa

bxa

Beschreibung: X ist eine Größe zwischen a und b, kein Punkt wird bevorzugt

Beispiel: a=0, b=10, Wartezeit auf S-Bahn

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Erwartungswert und Varianz stetiger Zufallsgrößen

Ist stetig mit Dichtefunktion , so definiert man:xf

dxxfXExXEXEXVar

dxxxfXE

)())(()))((()(

)()(

22

X

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Erwartungswert von linear transformierten Zufallsgrößen

Für eine Zufallsvariable X gilt (mit beliebigen Konstanten a und b):

)()(

)()(2 XVarbXbaVar

XEbaXbaE

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Eine stetige Zufallsvariable X heißt normalverteilt mit den Parametern , kurz X~N , falls sie die folgende Dichtefunktion besitzt:

2,

2

2)(

2

1exp

2

1:)(

x

Xf X

2 und

Erwartungswert Varianz 2)( XVar

Normalverteilung: Definition

)(XE

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3210-1-2-3

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Dichte der Normalverteilung (müh=0, sigma=1)

3210-1-2-3

1.0

0.5

0.0

Verteilungsfunktion der Normalverteilung (müh=0, sigma=1)

Normalverteilung

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Normalverteilung

);(~ 2NX

dtexF

sfunktionVerteilung

dtexf

tx

x

2)(5,0

2)(5,0

2

1)(

2

1)(

Beschreibung: „Glockenkurve“

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Anwendung der Normalverteilung

Die Normalverteilung dient als Verteilungsmodellin vielen praktischen Fragestellungen, z.B. bei

• Metrische Größen einer Population• Summen und Durchschnitte von Zufallsgrößen• Natürliche Variabilität• Messfehler

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Beispiel zur Normalverteilung

Bei 250 Katzen wurde der Creatinwert im Blut gemessen:

Studie:Judit Zapirain Gastón et al. Prävalenzen des felinen Herpesvirus-1 felinen Calicivirus und von Chlamydophila felis in Mehrkatzenhaushalten

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Quantile der Normalverteilung: Beispiel

Beispiel: Fehler bei Messung

• P (X > 20)

• P (5 < X < 20)

• P (-2 < X < 15)

Es sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit =10 und =25.Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

2

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Chi-Quadrat Verteilung

nYVar

nYE

nXXY

NX

nXY

n

ii

i

2)(

)(

)(~

)1;0(~

)(~

2

1

2

2

Beschreibung: Summe der Quadrate von n normalverteilten Zufallsgrößen

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3020100

0.2

0.1

0.0

Dichte der Chi-squared-Verteilung (v)

v=4

v=10

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i.i.d. Zufallsgrößen

seien unabhängig und identisch verteilt.

Man schreibt auch dafür:

i.i.d. steht für „independent and identically distributed“.

Ist und ,

so gilt:

...,...,, 21 diiXXX n

nXXX

nVar

XXXn

E

nXXXVar

nXXXE

n

n

n

n

2

21

21

221

21

))...(1

(

))...(1

(

)...(

)...(

nXXX ,...,, 21

)( iXE2)( iXVar

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Grenzwertsätze

• Gesetz der großen Zahlen: Ist der Erwartungswert einer ZG X, so

liegt das der Mittelwert mit wachsendem n nahe bei

• Zentraler Grenzwertsatz: ist für große n annähernd normalverteilt. X

Bei einer Stichprobenziehung werden n Personen gefragt odern unabhängige Experimente durchgeführt. Man ordnet jedem Versuch eine Zufallsgröße Xn zu. Die n Zufallsgrößen sind dann i.i.d.Von Interesse ist dann u.a. die Verteilung des Stichprobenmittels

)...(1

: 21 nXXXn

X

X