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Dr. Martin Nollenburg · Vorlesung Algorithmische Geometrie Voronoi-Diagramme und Delaunay-Triangulierungen

Martin Nollenburg

Vorlesung Algorithmische Geometrie

LEHRSTUHL FUR ALGORITHMIK I · INSTITUT FUR THEORETISCHE INFORMATIK · FAKULTAT FUR INFORMATIK

Voronoi-Diagramme & Delaunay-Triangulierungen

07.06.2011

Erinnerung: Voronoi-Diagramm

V(p) = {x ∈ R2 : |px| < |qx| ∀q ∈ P \ {p}}

V({p, p′}) = {x ∈ R2 : |px| = |p′x| < |qx| ∀q ∈ P \{p, p′}}

V(p) = {x ∈ R2 : |px| < |qx| ∀q ∈ P \ {p}}

p′′

V({p, p′, p′′}) = ∂V(p) ∩ ∂V(p′) ∩ ∂V(p′′)

V(p) = {x ∈ R2 : |px| < |qx| ∀q ∈ P \ {p}}

p′′

V({p, p′, p′′}) = ∂V(p) ∩ ∂V(p′) ∩ ∂V(p′′)

q ∈ V({p, p′})⇔ CP (q) ∩ P = {p, p′}

V(p) = {x ∈ R2 : |px| < |qx| ∀q ∈ P \ {p}}

p′′

V({p, p′, p′′}) = ∂V(p) ∩ ∂V(p′) ∩ ∂V(p′′)

q ∈ V({p, p′})⇔ CP (q) ∩ P = {p, p′}q = V({p, p′, p′′})⇔ CP (q) ∩ P ⊇ {p, p′, p′′}

Wdh: Beach-Line

Definition: Die Beach-Line β` ist die untere Kontur derParabeln f `p fur die bereits besuchten Punkte.

Beob.: Beach-Line ist x-monotonSchnittpunkte der Beach-Line

”zeichnen“ die

Voronoi- Kanten

Wdh: Beach-Line

Ziel: speichere (implizit) aktuelle Kontur β` statt Vor(P )∩ `

Wdh: Punkt-Events

trifft ` auf einen Punkt, kommt neue Parabel zu β` hinzu

die beiden Schnittpunkte erzeugen neue Teilkante

Lemma: Neue Bogen auf β entstehen nur durch Punkt-Events.

Korollar: β besteht aus maximal 2n− 1 Parabelbogen

Wdh: Kreis-Events

verschwindet der Bogen fur pj so laufen f `pi, f `pj

, f `pkdurch

einen gemeinsamen Punkt q

Kreis CP (q) geht durch pi, pj , pk und beruhrt `⇒ q ist Voronoi-Knoten

Lemma: Bogen von β werden nur durch Kreis-Events entfernt.

Def.: Der unterste Punkt des Kreises durch drei Punkte mitkonsekutiven Bogen auf β definiert ein Kreis-Event.

Lemma: Fur jeden Voronoi-Knoten gibt es ein Kreis-Event.

Datenstrukturen

doppelt-verkettete Kantenliste (DCEL) D fur Vor(P )Achtung: am Schluss bounding box wg. Halbgeraden einfugen

Datenstrukturen

balancierter binarer Suchbaum T fur implizite Beach-Line– Blatter entsprechen Parabelbogen von links nach rechts– innerer Knoten 〈pi, pj〉 entspricht Schnittpunkt von pi und pj– Pointer von inneren Knoten auf zugeh. Kanten in D

〈p4, p5〉

〈p2, p3〉

〈p1, p2〉〈p3, p4〉

〈p5, p4〉

p1 p2 p3 p4

Datenstrukturen

balancierter binarer Suchbaum T fur implizite Beach-Line– Blatter entsprechen Parabelbogen von links nach rechts– innerer Knoten 〈pi, pj〉 entspricht Schnittpunkt von pi und pj– Pointer von inneren Knoten auf zugeh. Kanten in D

〈p4, p5〉

〈p2, p3〉

〈p1, p2〉〈p3, p4〉

〈p5, p4〉

p1 p2 p3 p4

Priority Queue Q fur die Punkt- und Kreis-Events– Pointer von Kreis-Events auf zugeh. Blatter in T und umgekehrt

Fortune’s Sweep Algorithmus

VoronoiDiagram(P ⊂ R2)

Q ← new PriorityQueue(P ) // Punkt-Events sortiert nach y

T ← new BalancedBinarySearchTree() // Beach-Line

D ← new DCEL() // DS fur Vor(P )

while not Q.empty() dop← Q.ExtractMax()if p Punkt-Event then

HandlePointEvent(p)else

α← Bogen von β, der entfernt werden sollHandleCircleEvent(α)

behandle innere Restknoten von T (Halbgeraden von Vor(P ))return D

Steven Fortune,1986

Punkt-Events behandeln

HandlePointEvent(Punkt p)

Suche in T den Bogen α vertikal uber p.Hat α pointer auf Kreis-Event in Q, losche es aus Q.

Teile α in α0 und α2.Sei α1 neuer Bogen fur p.

In T :

q 〈q, p〉

q 〈p, q〉

α0 α1α0

α2α1

In T :

q 〈q, p〉

q 〈p, q〉

Schnittpunkte

α0 α1α0

α2α1

In T :

q 〈q, p〉

q 〈p, q〉

Fuge Kanten 〈q, p〉 und 〈p, q〉 in D ein.

Schnittpunkte

α0 α1α0

α2α1

In T :

q 〈q, p〉

q 〈p, q〉

Prufe 〈·, α0, α1〉 und 〈α1, α2, ·〉 auf Kreis-Events.

Schnittpunkte

α0 α1α0

α2α1

In T :

q 〈q, p〉

q 〈p, q〉

Schnittpunkte

α0 α1α0

α2α1

In T :

Laufzeit?

q 〈q, p〉

q 〈p, q〉

Schnittpunkte

α0 α1α0

α2α1

In T :

Laufzeit?

O(log n)

Kreis-Events behandeln

HandleCircleEvent(Bogen α)

ααleft

αright

p′′

T .delete(α); Schnittpunkte in T updaten

ααleft

αright

p′′

Entferne alle Kreis-Events zu α aus Q.

ααleft

αright

p′′

Fuge Knoten V({p, p′, p′′}) und Kante V({p, p′′}) in D ein.

ααleft

αright

p′′

Update potenzielle Kreis-Events 〈·, αleft, αright〉 und〈αleft, αright, ·〉 in Q.

ααleft

αright

p′′

ααleft

αright

p′′

Laufzeit?

ααleft

αright

p′′

Laufzeit?

O(log n)

Satz: Fur eine Menge P von n Punkten berechnet Fortune’sSweep Algorithmus das Voronoi-Diagramm Vor(P ) inO(n log n) Zeit und O(n) Platz.

Beweisskizze:jedes Event benotigt O(log n) Zeitn Punkt-Events≤ 2n− 5 Kreis-Events (= #Knoten von Vor(P ))Fehlalarme erzeugen & loschen bereits inklusive

Bemerkung:

degenerierte Eingaben diesmal unproblematisch:Kreis-Events vor Punkt-Events, sonst Reihenfolge beliebigKreis-Events fur k ≥ 4 Punkte: Lange-0 Kanten undKnotenduplikate im Postprocessing entfernenzweideutiges Punktevent: beliebigen Bogen wahlen

Beweisskizze:jedes Event benotigt O(log n) Zeitn Punkt-Events≤ 2n− 5 Kreis-Events (= #Knoten von Vor(P ))Fehlalarme erzeugen & loschen bereits inklusive

Diskussion

Gibt es weitere Varianten von Voronoi-Diagrammen?

Diskussion

Ja! Beispielsweise kann der Algorithmus bei gleicher Laufzeit undPlatzbedarf auch fur Voronoi-Diagramme von Strecken modifiziertwerden.Auch andere Metriken wie Lp oder additiv/multiplikativ gewichtete Voronoi-Diagrammesind moglich.

Diskussion

Ja! Beispielsweise kann der Algorithmus bei gleicher Laufzeit undPlatzbedarf auch fur Voronoi-Diagramme von Strecken modifiziertwerden.Auch andere Metriken wie Lp oder additiv/multiplikativ gewichtete Voronoi-Diagrammesind moglich.

Voronoi-Diagramm fur Polygone definieren diesog. Mittelachse, die z.B. in der Bildverarbeitungwichtig ist.

Auch farthest-point Voronoi-Diagramme sindmoglich.

Diskussion

Ja! Beispielsweise kann der Algorithmus bei gleicher Laufzeit undPlatzbedarf auch fur Voronoi-Diagramme von Strecken modifiziertwerden.

Was passiert in hoheren Dimensionen?

Auch andere Metriken wie Lp oder additiv/multiplikativ gewichtete Voronoi-Diagrammesind moglich.

Diskussion

Ja! Beispielsweise kann der Algorithmus bei gleicher Laufzeit undPlatzbedarf auch fur Voronoi-Diagramme von Strecken modifiziertwerden.

Was passiert in hoheren Dimensionen?

Die Komplexitat von Vor(P ) steigt auf Θ(ndd/2e) und die Laufzeit zurBerechnung auf O(n log n+ ndd/2e).

Auch andere Metriken wie Lp oder additiv/multiplikativ gewichtete Voronoi-Diagrammesind moglich.

Anregungen aus der Zwischenevaluation

Druckversion der Folienab sofort online verfugbar

Beweise und Tafel/Folienalle Beweise in der Literatur (meist [BCKO08]) detailliertnachlesbar

Musterlosung fur UbungsblatterAndreas wird die Losungsideen schriftlich skizzieren

Folien schneller und fehlerfrei online stellensind auch bisher immer kurz nach der Vorlesung verfugbar;bei Fehlern bitte Bescheid geben!

Delaunay-Triangulierungen

Grafik c© Rodrigo I. Silveira

Terrainmodellierung

Hohenmesspunktep = (xp, yp, zp)

Terrainmodellierung

Projektionπ(p) = (px, py, 0)

Terrainmodellierung

Interpolation 1: jeder Punkt bekommt Hohe des nachsten Messpunktes

Terrainmodellierung

Interpolation 1: jeder Punkt bekommt Hohe des nachsten Messpunktes

Terrainmodellierung

Interpolation 2: trianguliere Messpunkte und interpoliere auf Dreiecken

Terrainmodellierung

Aber wie sieht eine gute Triangulierung aus?

Triangulierung von Punkten

Def.: Eine Triangulierung einer Punktmenge P ⊂ R2 ist einemaximale planare Unterteilung mit Knotenmenge P .

Beob.:

Beob.: alle inneren Facetten sind Dreiecke

außere Facette ist Komplement der konvexen Hulle

CH(P )

Satz 1: Sei P eine Menge von n nicht kollinearen Punkten undh die Anzahl Punkte auf CH(P ).

Dann hat jede Triangulierung von P t(n, h) Dreieckeund e(n, h) Kanten.

CH(P )

Dann hat jede Triangulierung von P t(n, h) Dreieckeund e(n, h) Kanten. Berechne t und e!

CH(P )

Dann hat jede Triangulierung von P (2n− 2− h)Dreiecke und (3n− 3− h) Kanten.

Zuruck zur Hoheninterpolation

Hohe 985 Hohe 23

Intuitiv: Vermeide zu schmale Dreiecke!

Hohe 985 Hohe 23

Intuitiv: Vermeide zu schmale Dreiecke!

Oder: maximiere die kleinsten Dreieckswinkel!

Winkeloptimale Triangulierungen

T A(T ) = (60◦, 60◦, 60◦, 60◦, 60◦, 60◦)

Sei P ⊂ R2 eine Punktemenge, T eine Triangulierungvon P und m die Anzahl der Dreiecke. Dann istA(T ) = (α1, . . . , α3m) der Winkelvektor von T mitden sortierten Dreieckswinkeln α1 ≤ · · · ≤ α3m.

T A(T ) = (60◦, 60◦, 60◦, 60◦, 60◦, 60◦) T ′

A(T ′) = (30◦, 30◦, 30◦, 30◦, 120◦, 120◦)

Fur zwei Triangulierungen T und T ′ von P definiere dieOrdnung A(T ) > A(T ′) als lexikographische Ordnung.

T A(T ) = (60◦, 60◦, 60◦, 60◦, 60◦, 60◦) T ′

A(T ′) = (30◦, 30◦, 30◦, 30◦, 120◦, 120◦)

Fur zwei Triangulierungen T und T ′ von P definiere dieOrdnung A(T ) > A(T ′) als lexikographische Ordnung.

T heißt winkeloptimal, falls A(T ) ≥ A(T ′) fur alleTriangulierungen T ′ von P .

Kantenflips

Def.: Sei T eine Triangulierung. Eine Kante e von T heißtunzulassig, wenn der kleinste Winkel der zu einzidenten Dreiecke durch einen Kantenflip großer wird.

Kantenflips

mini αi = 30◦

Kantenflips

mini αi = 30◦

flip(T , e)

Kantenflips

mini αi = 30◦

eT ′ T

flip(T , e)e′

Kantenflips

mini αi = 30◦mini αi = 60◦

eT ′ T

flip(T , e)e′

Kantenflips

mini αi = 30◦mini αi = 60◦

Beob.: Sei e eine unzulassige Kante von T und T ′ = flip(T , e).Dann gilt A(T ′) > A(T ).

T ′ Tflip(T , e)

Der Satz von Thales

Satz 2: Alle Dreiecke aus den Endpunktendes Kreisdurchmessers und einesHalbkreispunktes sind rechtwinklig.

Der Satz von Thales

Satz 2: Alle Dreiecke aus den Endpunktendes Kreisdurchmessers und einesHalbkreispunktes sind rechtwinklig.

Satz 2′: Alle Dreiecke aus den Endpunkten einer Sekante` = ab und eines Kreispunktes c auf der gleichen Seitevon ` haben den gleichen Winkel an c. Fur Dreiecke∆abd mit d innerhalb des Kreises gilt ∠adb > ∠acd,fur e außerhalb des Kreises gilt ∠aeb < ∠acd.

c c′e

∠aeb < ∠acb = ∠ac′b < ∠adb

Zulassige Triangulierungen

Lemma 1: Seien ∆prq und ∆pqs zwei Dreiecke in T und Cder Umkreis von ∆prq. Dann ist pq unzulassiggenau dann wenn s ∈ int(C).Bilden p, q, r, s ein konvexes Viereck (s 6∈ ∂C) so istentweder pq oder rs unzulassig.

Beweisskizze:

θpsθrq

ϕpr > θpr

ϕps > θps

ϕrq > θrq

ϕqs > θqs

Beweisskizze:

θpsθrq

ϕpr > θpr

ϕps > θps

ϕrq > θrq

ϕqs > θqsϕp

ϕp > θrq

ϕq > θpr

Bem.: Charakterisierung symmetrisch bzgl. r und ss ∈ ∂C ⇒ pq und rs zulassigKante unzulassig ⇒ Viereck konvex

Def.: Triangulierung ohne unzulassige Kanten heißt zulassig.

Gibt es immer eine zulassige Triangulierung?

while T hat unzulassige Kante e doflip(T , e)

return T

while T hat unzulassige Kante e doflip(T , e)

return Tterminiert, da A(T ) wachst und#Triangulierungen endlich (< 30n, [Sharir, Sheffer 2011])

Zwischenbilanz

Es gilt: Jede winkeloptimale Triangulierung ist zulassig.

Aber ist jede zulassige Triangulierung auch winkeloptimal?

Die Delaunay-Triangulierung

Def.: Der Graph G = (P,E) mitE = {pq | V(p) und V(q) sind benachbart}heißt Dualgraph von Vor(P ).

Sei Vor(P ) das Voronoi-Diagramm einer Punktmenge P .

Def.: Die geradlinige Zeichnung von G heißt Delaunay-GraphDG(P ).

DG(P )

Def.: Die geradlinige Zeichnung von G heißt Delaunay-GraphDG(P ).

DG(P )

Georgy Voronoy(1868–1908)

Boris Delone(1890–1980)

Eigenschaften

Satz 3: DG(P ) ist kreuzungsfrei.

Eigenschaften

Beweisskizze:

Der Bisektor b(p, q) definiert eine Voronoi-Kante⇔ ∃r ∈ b(p, q) mit CP (r) ∩ P = {p, q}.

Die Kante pq ist in DG(P )⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q mit p und q auf dem Rand.

Eigenschaften

Beweisskizze:

Beob.: Ein Voronoi-Knoten v in Vor(P ) mit Grad kentspricht einem konvexen k-Eck in DG(P ).

Eigenschaften

Beweisskizze:

Beob.: Ein Voronoi-Knoten v in Vor(P ) mit Grad kentspricht einem konvexen k-Eck in DG(P ).

Ist P in allgemeiner Lage (keine 4 Punkteauf eine Kreis), so sind alle Facetten inDG(P ) Dreiecke →Delaunay-Triangulierung

Charakterisierung

Satz uber Voronoi-Diagramme:

Ein Punkt q ist ein Voronoi-Knoten⇔ |CP (q) ∩ P | ≥ 3,der Bisektor b(pi, pj) definiert eine Voronoi-Kante⇔ ∃q ∈ b(pi, pj) mit CP (q) ∩ P = {pi, pj}.

Charakterisierung

Satz 4: Sei P eine Menge von Punkten.Punkte p, q, r sind Knoten der gleichen Facette inDG(P ) ⇔ Kreis durch p, q, r ist leerKante pq ist in DG(P )⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q

Charakterisierung

Satz 4: Sei P eine Menge von Punkten.Punkte p, q, r sind Knoten der gleichen Facette inDG(P ) ⇔ Kreis durch p, q, r ist leerKante pq ist in DG(P )⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q

Satz 5: Sei P Punktmenge und T eine Triangulierung von P .T ist Delaunay-Triangulierung⇔ Umkreis jedes Dreiecks ist im Inneren leer.

Zulassigkeit und Delaunay-Triangulierungen

Satz 6: Sei P Punktmenge und T eine Triangulierung von P .T ist zulassig ⇔ T ist Delaunay-Triangulierung.

Beweisskizze:

tBeweisskizze:

Beob.: Ist P in allgemeiner Lage ist DG(P ) eindeutig

⇒ zulassige Triangulierung ist eindeutig

wissen: T winkeloptimal ⇒ T zulassig

⇒ DG(P ) winkeloptimal!

Ist P nicht in allgemeiner Lage, so ist zumindest furjede Triangulierung einer

”großen“ Facette von

DG(P ) der minimale Winkel gleich (Ubung!).

Zusammenfassung

Satz 7: Fur n beliebige Punkte kann in O(n log n) Zeit eineDelaunay-Triangulierung berechnet werden.(Voronoi-Diag. + Triangulierung

”großer“ Facetten)

Zusammenfassung

Satz 7:

Korollar: Fur n Punkte in allgemeiner Lage kann in O(n log n)Zeit eine winkeloptimale Triangulierung berechnetwerden.Sind die Punkte nicht in allgemeiner Lage, lasst sichzumindest eine Triangulierung mit maximalemkleinsten Winkel in O(n log n) Zeit berechnen.

Fur n beliebige Punkte kann in O(n log n) Zeit eineDelaunay-Triangulierung berechnet werden.(Voronoi-Diag. + Triangulierung

”großer“ Facetten)

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