Weierstraß-Institut für

Angewandte Analysis und Stochastik

Mohrenstr. 39 · 10117 Berlin · Tel. +49 30 203 72 0 · www.wias-berlin.de · 11.04.23

Adrian Lehmann

Die Beziérkurve

Die Beziérkurve · 11.04.23 · Seite 2

Inhalt

1. Allgemeines und Geschichte

2. Definition

3. Eigenschaften

4. Beispiele

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Allgemeines und Geschichte

● parametrisch modellierte Kurve

● Werkzeug für Vektorgrafiken

● in Computergrafik wegen mathematischer

Leichtigkeit und geometrischer Eleganz

● besteht aus relativ einfacher Formel, nicht aus

Pixeln

● wurde zum Anfang der 1960er von Pierre Bézier

und Paul de Casteljau entdeckt

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Definition

● Bezierkurve n-ten Grades besitzt n+1 Kontrollpunkte, die das Kontrollpolygon

bilden

Eigenschaften

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● Kurve liegt innerhalb der konvexen Hülle des Kontrollpolygons

● geht durch Endpunkte P0 und P

n

● C(0)=P0

● C(1)=Pn

● Kurve wird von Gerade höchstens so oft geschnitten wie Kontrollpolygon

● Kontrollpunkte auf einer Gerade → Strecke

● Einfluss eines Kontrollpunkts ist global

Beispiel 1: Lineare Beziérkurve

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● n=1

● 2 Kontrollpunkte P0 und P1 bestimmen Kurve, entspricht Gerade zwischen den

Punkten

Beispiel 2: Quadratische Beziérkurve

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● n=2

● durch Funktion C(t) für P0,P

1 und P

2 verfolgt

Beispiel 3: Kubische Kurven

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● n=3

● Bestimmt von 4 Punkten P0 bis P

3

● P1 legt fest in welche Richtung die Kurve in P

0 geht

● P2 legt fest aus welcher Richtung die Kurve zu P

3 geht

● Abstand von P0

und P1

bzw P2

und P3 bestimmen wie weit sich

Kurve in Richtung P1/P

2 bewegt bevor sie in Richtung P

3 läuft

Beispiel 3: Kubische Kurven

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Beispiel 3: Kubische Kurven

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Beziérkurve 4. Grades

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Beziérkurve 5. Grades

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Gebrochenrationale Beziérkurven

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● Vereinfacht: Beziérkurve, deren Kontrollpunkte mit Anziehungskraft versehen sind

Gebrochenrationale Beziérkurven

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Eckpunkt

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Glatter Punkt

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Symmetrischer Punkt

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