Weierstraß-Institut für Angewandte Analysis und Stochastik Mohrenstr. 39 · 10117 Berlin · Tel....
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Weierstraß-Institut für Angewandte Analysis und Stochastik Mohrenstr. 39 · 10117 Berlin · Tel. +49 30 203 72 0 · www.wias-berlin.de · 03.07.22 Adrian Lehmann Die Beziérkurve
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Weierstraß-Institut für
Angewandte Analysis und Stochastik
Mohrenstr. 39 · 10117 Berlin · Tel. +49 30 203 72 0 · www.wias-berlin.de · 11.04.23
Adrian Lehmann
Die Beziérkurve
Die Beziérkurve · 11.04.23 · Seite 2
Inhalt
1. Allgemeines und Geschichte
2. Definition
3. Eigenschaften
4. Beispiele
Die Beziérkurve · 11.04.23 · Seite 3
Allgemeines und Geschichte
● parametrisch modellierte Kurve
● Werkzeug für Vektorgrafiken
● in Computergrafik wegen mathematischer
Leichtigkeit und geometrischer Eleganz
● besteht aus relativ einfacher Formel, nicht aus
Pixeln
● wurde zum Anfang der 1960er von Pierre Bézier
und Paul de Casteljau entdeckt
Die Beziérkurve · 11.04.23 · Seite 4
Definition
● Bezierkurve n-ten Grades besitzt n+1 Kontrollpunkte, die das Kontrollpolygon
bilden
Eigenschaften
Die Beziérkurve · 11.04.23 · Seite 5
● Kurve liegt innerhalb der konvexen Hülle des Kontrollpolygons
● geht durch Endpunkte P0 und P
n
● C(0)=P0
● C(1)=Pn
● Kurve wird von Gerade höchstens so oft geschnitten wie Kontrollpolygon
● Kontrollpunkte auf einer Gerade → Strecke
● Einfluss eines Kontrollpunkts ist global
Beispiel 1: Lineare Beziérkurve
Die Beziérkurve · 11.04.23 · Seite 6
● n=1
● 2 Kontrollpunkte P0 und P1 bestimmen Kurve, entspricht Gerade zwischen den
Punkten
Beispiel 2: Quadratische Beziérkurve
Die Beziérkurve · 11.04.23 · Seite 7
● n=2
● durch Funktion C(t) für P0,P
1 und P
2 verfolgt
Beispiel 3: Kubische Kurven
Die Beziérkurve · 11.04.23 · Seite 8
● n=3
● Bestimmt von 4 Punkten P0 bis P
3
● P1 legt fest in welche Richtung die Kurve in P
0 geht
● P2 legt fest aus welcher Richtung die Kurve zu P
3 geht
● Abstand von P0
und P1
bzw P2
und P3 bestimmen wie weit sich
Kurve in Richtung P1/P
2 bewegt bevor sie in Richtung P
3 läuft
Beispiel 3: Kubische Kurven
Die Beziérkurve · 11.04.23 · Seite 9
Beispiel 3: Kubische Kurven
Die Beziérkurve · 11.04.23 · Seite 10
Beziérkurve 4. Grades
Die Beziérkurve · 11.04.23 · Seite 11
Beziérkurve 5. Grades
Die Beziérkurve · 11.04.23 · Seite 12
Gebrochenrationale Beziérkurven
Die Beziérkurve · 11.04.23 · Seite 13
● Vereinfacht: Beziérkurve, deren Kontrollpunkte mit Anziehungskraft versehen sind
Gebrochenrationale Beziérkurven
Die Beziérkurve · 11.04.23 · Seite 14
Eckpunkt
Die Beziérkurve · 11.04.23 · Seite 15
Glatter Punkt
Die Beziérkurve · 11.04.23 · Seite 16
Symmetrischer Punkt
Die Beziérkurve · 11.04.23 · Seite 17
