Post on 16-Sep-2019
Taxi fahren in MannheimZahlenspielereien am Pascalschen Dreieck
Dr. Regula Krapf
Universitat Koblenz-Landau, Campus Koblenz
14. Dezember 2018
Straßennetze
Das Straßennetz von Koblenz ist sehr unregelmaßig. . .
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Straßennetze
Das Straßennetz von Mannheim ist allerdings (fast) quadratisch, undgleicht somit einem Koordinatensystem.
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Taxifahren in Mannheim
Die Taxizentrale von Mannheim befindet sich am Rand der Stadt. Wieviele Moglichkeiten hat eine Taxifahrerin ohne Umweg zu einer gegebenenStraßenkreuzung zu gelangen?
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
Taxizentrale
Ziel
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Taxifahren in Mannheim
Wir schreiben uber jeden Punkt im Koordinatensystem die Anzahlverschiedener Wege von der Taxizentrale zu diesem Punkt. Was fallt auf?
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
1 1 1 1 11
1 2 3 4 5
1 3 6 10
1 4 10
51
1
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Taxifahren in Mannheim
Um zum Ziel zu gelangen, muss man zuerst einer der Punkte A linksneben oder B direkt unter dem Ziel erreichen.
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
Taxizentrale
B
A
Ziel
Somit ist die Anzahl Moglichkeiten zum Ziel zu gelangen dieAnzahl Mogl. nach A zu gelangen + Anzahl Mogl. nach B zu gelangen.
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Das Pascalsche Dreieck
Wenn man das Dreieck so dreht, dass die Taxizentrale an der Spitze steht,erhalt man das Pascalsche Dreieck.
11 1
1 2 11 3 3 1
1 4 6 4 11 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1...
......
......
......
...
Am Rand stehen Einsen; die anderen Eintrage entstehen durch Additionder beiden diagonal daruber liegenden Eintrage.
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Zahlenfolgen im Pascalschen Dreieck
Im Pascalschen Dreieck finden sich in den Diagonalen viele interessanteZahlenfolgen:
11 1
1 2 11 3 3 1
1 4 6 4 11 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1...
......
......
......
...
In der 1. Diagonale finden sich alle naturlichen Zahlen, also 1, 2, 3, 4,. . .
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Zahlenfolgen im Pascalschen Dreieck
In der 2. Diagonale befinden sich die Dreieckszahlen 1, 3, 6, 10,. . .
11 1
1 2 11 3 3 1
1 4 6 4 11 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1...
......
......
......
...
Es gilt d1 = 1 = 1
d2 = 3 = 1 + 2
d3 = 6 = 3 + 3 = 1 + 2 + 3
d4 = 10 = 6 + 4 = 1 + 2 + 3 + 4
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Die Dreieckszahlen
Wieso Dreieckszahlen? Sie lassen sich als als Dreiecke aus Kugelndarstellen:
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Die Dreieckszahlen
Wie kann man allgemein die n-te Dreieckszahl
dn = 1 + 2 + 3 + . . . + n
berechnen?
Es gilt
2dn = n · (n + 1)⇒ dn =n(n + 1)
2.
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Zahlenfolgen im Pascalschen Dreieck
In der 3. Diagonale befinden sich die Tetraederzahlen 1, 4, 10, 10,. . .
11 1
1 2 11 3 3 1
1 4 6 4 11 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1...
......
......
......
...
Es gilt t1 = 1 = d1
t2 = 4 = 1 + 3 = d1 + d2
t3 = 10 = 4 + 6 = d1 + d2 + d3
t4 = 20 = 10 + 10 = d1 + d2 + d3 + d4...
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Die Tetraederzahlen
Wieso heißen die Zahlen
tn = d1 + d2 + d3 + . . . + dn
Tetraederzahlen?
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Die Tetraederzahlen
Wie kann man die Tetraederzahlen berechnen?
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Die Tetraederzahlen
Wie kann man die Tetraederzahlen berechnen?
⇒
Es gilt
6tn = n(n + 1)(n + 2)⇒ tn =n(n + 1)(n + 2)
6.
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Zahlenfolgen im Pascalschen Dreieck
Was erhalt man, wenn man alle Zahlen in einer Zeile addiert?
1 = 11 + 1 = 2
1 + 2 + 1 = 41 + 3 + 3 + 1 = 8
1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 161 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32
1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1...
......
......
......
...
Man erhalt die Zweierpotenzen! Wieso?
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Zweierpotenzen
Wieso ergibt die Summe der Eintrage derselben Zeile eine Zweierpotenz?
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
Taxizentrale1
5
10
10
5
1
Um zu einem der blauen Punkte zu gelangen, muss man 5-mal auswahlen,ob man hoch ↑ oder nach rechts → geht.
Es sind also 5 Entscheidungen, bei denen man jeweils 2 Moglichkeiten hat,also 25 Moglichkeiten.
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Weitere Muster im Pascalschen Dreieck
Es finden sich viele weitere spannende Muster im Pascalschen Dreieck...Was erhalt man, wenn man alle geraden Zahlen anmalt?
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
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Das Sierpinski-Dreieck
Man erhalt ein besonderes Muster, das sogenannte Sierpinski-Dreieck.
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Das Sierpinski-Dreieck
Das Sierpinski-Dreieck ist ein Beispiel fur ein Fraktal, ein graphischesGebilde, das bei Vergroßerung zu sich selbst ahnlich ist.
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Fraktale
Fraktale kommen auch in der Natur vor:
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Weitere Muster im Pascalschen Dreieck
Es finden sich viele weitere spannende Muster im Pascalschen Dreieck...Was erhalt man, wenn man alle geraden Zahlen anmalt?
Mogliche Fragestellungen:
Wieso erhalt man Dreiecke?
Was passiert, wenn man alle durch 3 teilbaren Zahlen/alle durch 5teilbaren Zahlen usw. markiert?
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Mathematik an der Uni
Was macht eine Mathematikerin an einer Uni im Arbeitsalltag?
1 Forschung: Neue mathematische Satze entdecken, beweisen,veroffentlichen,. . .
2 Lehre: Vorlesungen/Seminare etc. halten, Ubungsaufgaben erstellen,Vorlesungsskript schreiben, Abschlussarbeiten betreuen, . . .
3 Administration
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Wie arbeiten Mathematiker. . . ?
Ivory tower = ElfenbeinturmDr. Regula Krapf (Universitat Koblenz) Taxi fahren in Mannheim 14. Dezember 2018 24 / 29
Wie Mathematiker wirklich arbeiten. . .
Quelle: Berlin School of Mathematics
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Frauen in der Mathematik
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Forschung in der Mathematik
Was ist mathematische Forschung?
Fragen stellen
Muster erkennen
Vermutung außern
Vermutung beweisen (oder widerlegen)
Anwenden und Verallgemeinern
Dies erfordert vor allem:
Spaß an logischem Denken und Knobeln
Kreativitat
Ausdauer
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Was kann man spater damit anfangen?
Karrieremoglichkeiten fur Mathematikerinnen:Mathematik-Absolventinnen sind sehr gesucht!
Uni-Karriere: Forschung, Lehre
Schule: Mathematik unterrichten
Versicherungen, Banken,. . .
IT-Bereich...
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Vielen Dank fur eureAufmerksamkeit!
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