Zahlenspielereien am Pascalschen Dreieck Dr. Regula...

Taxi fahren in MannheimZahlenspielereien am Pascalschen Dreieck

Dr. Regula Krapf

Universitat Koblenz-Landau, Campus Koblenz

14. Dezember 2018

Straßennetze

Das Straßennetz von Koblenz ist sehr unregelmaßig. . .

Dr. Regula Krapf (Universitat Koblenz) Taxi fahren in Mannheim 14. Dezember 2018 2 / 29

Straßennetze

Das Straßennetz von Mannheim ist allerdings (fast) quadratisch, undgleicht somit einem Koordinatensystem.


Taxifahren in Mannheim

Die Taxizentrale von Mannheim befindet sich am Rand der Stadt. Wieviele Moglichkeiten hat eine Taxifahrerin ohne Umweg zu einer gegebenenStraßenkreuzung zu gelangen?

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

Taxizentrale

Ziel



Wir schreiben uber jeden Punkt im Koordinatensystem die Anzahlverschiedener Wege von der Taxizentrale zu diesem Punkt. Was fallt auf?

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

1 1 1 1 11

1 2 3 4 5

1 3 6 10

1 4 10

51

1



Um zum Ziel zu gelangen, muss man zuerst einer der Punkte A linksneben oder B direkt unter dem Ziel erreichen.

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

Taxizentrale

B

A

Ziel

Somit ist die Anzahl Moglichkeiten zum Ziel zu gelangen dieAnzahl Mogl. nach A zu gelangen + Anzahl Mogl. nach B zu gelangen.


Das Pascalsche Dreieck

Wenn man das Dreieck so dreht, dass die Taxizentrale an der Spitze steht,erhalt man das Pascalsche Dreieck.

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1...

......

......

......

...

Am Rand stehen Einsen; die anderen Eintrage entstehen durch Additionder beiden diagonal daruber liegenden Eintrage.


Zahlenfolgen im Pascalschen Dreieck

Im Pascalschen Dreieck finden sich in den Diagonalen viele interessanteZahlenfolgen:

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1...

......

......

......

...

In der 1. Diagonale finden sich alle naturlichen Zahlen, also 1, 2, 3, 4,. . .



In der 2. Diagonale befinden sich die Dreieckszahlen 1, 3, 6, 10,. . .

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1...

......

......

......

...

Es gilt d1 = 1 = 1

d2 = 3 = 1 + 2

d3 = 6 = 3 + 3 = 1 + 2 + 3

d4 = 10 = 6 + 4 = 1 + 2 + 3 + 4

...Dr. Regula Krapf (Universitat Koblenz) Taxi fahren in Mannheim 14. Dezember 2018 9 / 29

Die Dreieckszahlen

Wieso Dreieckszahlen? Sie lassen sich als als Dreiecke aus Kugelndarstellen:


Die Dreieckszahlen

Wie kann man allgemein die n-te Dreieckszahl

dn = 1 + 2 + 3 + . . . + n

berechnen?

Es gilt

2dn = n · (n + 1)⇒ dn =n(n + 1)

2.



In der 3. Diagonale befinden sich die Tetraederzahlen 1, 4, 10, 10,. . .

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1...

......

......

......

...

Es gilt t1 = 1 = d1

t2 = 4 = 1 + 3 = d1 + d2

t3 = 10 = 4 + 6 = d1 + d2 + d3

t4 = 20 = 10 + 10 = d1 + d2 + d3 + d4...


Die Tetraederzahlen

Wieso heißen die Zahlen

tn = d1 + d2 + d3 + . . . + dn

Tetraederzahlen?


Die Tetraederzahlen

Wie kann man die Tetraederzahlen berechnen?


Die Tetraederzahlen

Wie kann man die Tetraederzahlen berechnen?

⇒

Es gilt

6tn = n(n + 1)(n + 2)⇒ tn =n(n + 1)(n + 2)

6.



Was erhalt man, wenn man alle Zahlen in einer Zeile addiert?

1 = 11 + 1 = 2

1 + 2 + 1 = 41 + 3 + 3 + 1 = 8

1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 161 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32

1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1...

......

......

......

...

Man erhalt die Zweierpotenzen! Wieso?


Zweierpotenzen

Wieso ergibt die Summe der Eintrage derselben Zeile eine Zweierpotenz?

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

Taxizentrale1

5

10

10

5

1

Um zu einem der blauen Punkte zu gelangen, muss man 5-mal auswahlen,ob man hoch ↑ oder nach rechts → geht.

Es sind also 5 Entscheidungen, bei denen man jeweils 2 Moglichkeiten hat,also 25 Moglichkeiten.


Weitere Muster im Pascalschen Dreieck

Es finden sich viele weitere spannende Muster im Pascalschen Dreieck...Was erhalt man, wenn man alle geraden Zahlen anmalt?

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1


Das Sierpinski-Dreieck

Man erhalt ein besonderes Muster, das sogenannte Sierpinski-Dreieck.


Das Sierpinski-Dreieck

Das Sierpinski-Dreieck ist ein Beispiel fur ein Fraktal, ein graphischesGebilde, das bei Vergroßerung zu sich selbst ahnlich ist.


Fraktale

Fraktale kommen auch in der Natur vor:


Weitere Muster im Pascalschen Dreieck

Es finden sich viele weitere spannende Muster im Pascalschen Dreieck...Was erhalt man, wenn man alle geraden Zahlen anmalt?

Mogliche Fragestellungen:

Wieso erhalt man Dreiecke?

Was passiert, wenn man alle durch 3 teilbaren Zahlen/alle durch 5teilbaren Zahlen usw. markiert?


Mathematik an der Uni

Was macht eine Mathematikerin an einer Uni im Arbeitsalltag?

1 Forschung: Neue mathematische Satze entdecken, beweisen,veroffentlichen,. . .

2 Lehre: Vorlesungen/Seminare etc. halten, Ubungsaufgaben erstellen,Vorlesungsskript schreiben, Abschlussarbeiten betreuen, . . .

3 Administration


Wie arbeiten Mathematiker. . . ?

Ivory tower = ElfenbeinturmDr. Regula Krapf (Universitat Koblenz) Taxi fahren in Mannheim 14. Dezember 2018 24 / 29

Wie Mathematiker wirklich arbeiten. . .

Quelle: Berlin School of Mathematics


Frauen in der Mathematik


Forschung in der Mathematik

Was ist mathematische Forschung?

Fragen stellen

Muster erkennen

Vermutung außern

Vermutung beweisen (oder widerlegen)

Anwenden und Verallgemeinern

Dies erfordert vor allem:

Spaß an logischem Denken und Knobeln

Kreativitat

Ausdauer


Was kann man spater damit anfangen?

Karrieremoglichkeiten fur Mathematikerinnen:Mathematik-Absolventinnen sind sehr gesucht!

Uni-Karriere: Forschung, Lehre

Schule: Mathematik unterrichten

Versicherungen, Banken,. . .

IT-Bereich...


Vielen Dank fur eureAufmerksamkeit!


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