Zum Tragverhalten dünnwandiger Profile Liangchi Du

Matrikel-Nr.: 36233

Sem.-Gr.: 04MBB

Verantw. Hochschullehrer: Prof. Dr.-Ing. Carsten Klöhn

Betreuer: Prof. Dr. –Ing. habil. Sylvio Simon

1

Inhaltverzeichnis 1. Danksagung...................................................................................................3 2. Einführung.....................................................................................................4

3. Dünnwandige Profile bei Querkraftschub

3.1. Querkraftschub 3.1.1. Vorbemerkungen...............................................................................5 3.1.2. Verteilung der Schubspannung im Querschnitt.............................5 3.1.3. Verlauf der Schubspannung in dünnwandigen Querschnitten.....6

3.2 Schubmittelpunkt......................................................................................7 3.3. FEM-Analyse.............................................................................................9

3.3.1 Querkraft im Schwerpunkt..............................................................13 3.3.1.1 I-Profil 3.3.1.2 U-Profil 3.3.1.3 L-Profil 3.3.1.4 geschlossenes-Kreisrohr-Profil 3.3.1.5 geschlitztes- Kreisrohr-Profil 3.3.1.6 Rechteck-Profil

3.3.2. Querkraft im Schubmittelpunkt.....................................................19 3.3.2.1 Punkt- und doppelsymmetrischen dünnwandige Profile 3.3.2.2 Profile ohne doppeltsymmetrischen Charakter

3.3.2.2.1 U-Profil 3.3.2.2.2 geschlitztes- Kreisrohr-Profil 3.3.2.2.3 L-Profil

4. Dünnwandige Profile bei Torsion

4.1 Vorbemerkungen...........................................................................................24 4 2 wölbfrei und nicht- wölbfrei.........................................................................24 4.3 Saint-Venant‘sche Torsion…………………………………………………25 4.4 FEM-Analyse.................................................................................................30

4.4.1. dünnwandige geschlossene Profile.......................................................30 4.4.1.1 geschlossenes-Kreisrohr-Profil 4.4.1.2 Rechteck-Profil

4.4.2. dümmwandige offene Profile................................................................36 4.4.2.1 I-Profil 4.4.2.2 U-Profil 4.4.2.3 L-Profil 4.4.2.4 geschlitztes- Kreisrohr-Profil

5. Vollprofile

5.1 Kreis- Vollprofile

2

5.1.1 Infolge Querkraft................................................................................47 5.1.2 Infolge Torsion.....................................................................................49

5.2 Rechteck- Vollprofile 5.2.1 Infolge Querkraft................................................................................53

5.2.2 Infolge Torsion.....................................................................................55

6. Zusammenfassung............................................................................................59 7. Modellenverzeichnis.........................................................................................60 8. Quellen………………………………………………………………………...61

3

1. Danksagung

Ich bedanke mich herzlich bei Prof. Dr.-Ing. Carsten Klöhn und Prof. Dr.-Ing. habil. Sylvio Simon für die freundlichen Betreuung.

4

2. Einführung Dünnwandige Profile haben in der letzten Zeit an wirtschaftlicher und technischer Bedeutung gewonnen. Sie werden zum Beispiel bei Leitbaukonstruktionen verwendet oder wo eine sparsame Nutzung von Material angestrebt wird. In dieser Arbeit werden dünnwandige Profile bei Querkraftschub und Torsion analysiert. Dies erfolgt durch Modellierung und Berechnung mit dem FEM- Programm "Ansys". Die Abbildung und Animationen der Ergebnisse erlaubt eine bessere Darstellung des Tragverhaltens dünnwandiger Profile. Modellierung: Um die Profile dünnwandig darzustellen, wird das Element Shell63 (Schalenelement) angewendet.

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3. Dünnwandige Profile bei Querkraftschub 3.1. Querkraftschub 3.1.1. Vorbemerkungen Beispiele für wesentliche Querkraftbeanspruchung sind:

Bild 3.1 (Quelle: Arbeitsmittel zur Technischen Mechanik 2, Prof. Dr.-Ing. Bernd W. Zastrau, TU Dresden, BIW )

3.1.2. Verteilung der Schubspannung im Querschnitt

Bild 3.2 (Quelle: FHW - FG Technische Mechanik - Prof. Dr.-Ing. Kanz)

6

∫= AdAQ τ

Q..Querkraft A...Fläche τ ...Schubspannung

3. 1. 3. Verlauf der Schubspannung in dünnwandigen Querschnitten

Annahmen:

•.Querschnitt ist parametrisiert durch umlaufende Koordinate s • Schubspannung über Dicke t des Querschnitts

konstant. ( )sττ =

• Dicke des Querschnittes ist veränderlich )(stt =

Bild 3.3

(Quelle: HAW Hamburg – FB MP – Ihlenburg – TM2)

( ))()(

sItsQSs =τ mit I- Flächenträgheitsmoment bzgl.y-Achse

- Statisches Moment bzgl. y-Achse Verlauf des Schubflusses infolge Querkraft durch den Schubmittelpunkt:

Bild 3.4 U-Profil Bild 3.5 I-Profil Bild 3.6 L-Profil

7

Bild 3.7 geschlossenes-Kreisrohr-Profil Bild 3.8 geschlitztes- Kreisrohrprofil-Profil Bild 3.9 Rechteck-Profil

Bild 3.10 Kreis-Vollprofil Bild 3.11 Rechteck-Vollprofil

3.2 Schubmittelpunkt

Der Schubmittelpunkt, auch Querkraftmittelpunkt oder Drillruhepunkt genannt, ist derjenige Punkt eines Profilquerschnitts, durch den die Resultierende der Querkräfte gehen muss, um eine verdrehungsfreie Krafteinwirkung zu erreichen, bzw. um keine Torsion auf den Querschnitt auszuüben.

Als Querkräfte werden dabei alle Kräfte verstanden, die auf das Profil aus einer seitlichen Richtung einwirken. Das einfachste Beispiel ist die Last, die auf einen aufgebockten U-Träger einwirkt. Der Gegensatz zur Querkraft ist die Längskraft, die auf die Profil-Fläche in der Längsachse des Profilstrangs oder parallel dazu einwirkt.

Bei doppeltsymmetrischen Profilen (z. B. I-Profile) ist der Schubmittelpunkt identisch mit dem Schwerpunkt. Bei Profilen mit nur einer Symmetrieachse liegt er auf dieser, fällt aber nicht mit dem Schwerpunkt zusammen. Bei U-Profilen zum Beispiel liegt er gegenüber vom Schwerpunkt außerhalb des Profilquerschnittes.

Die Formel zur Berechnung des Schubmittelpunkts einfach symmetrischer Querschnitte ist:

8

( ) ( ) ( )dsstsrsrQ M ××=× ∫τ

Dabei ist:

Q - Querkraft, rM - Hebelarm der Querkraft zum Mittelpunkt, τ(s) -Schubspannung im Abschnitt, r(s) - Hebelarm der Schubspannung zur Biegeachse, t(s) - Dicke des Abschnitts

S....Schwerpunkt M....Schubmittelpunkt Bild 3.12 (Quelle: Technische Mechanik –Festigkeitslehre, Falkutät für Maschinenbau, Uni Paderborn )

•Soll ein Querschnitt nicht durch Torsion, beansprucht werden, so müssen die Querlasten durch den Schubmittelpunkt M gehen. •Besitzt der Querschnitt eine Symmetrieachse, dann liegt der Schubmittelpunkt auf ihr. •Bei punkt- und doppelsymmetrischen Querschnitten fallen Schubmittelpunkt M und der Schwerpunkt S zusammen.

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3.3 FEM-Analyse Sechs dünnwandige Profilen werden im Programm Ansys modelliert, um die deutliche Tragverhalten zu anzeigen. weil die Profile dünnwandig sind, wird die Elementtype Schell 63 (Schalenelement) im Programm Ansys angewendet. Geometrie der Modellen

1. I-Profil

B

2

Bil

h= 100 mm b= 50 mm s= 4.5 mm t= 6.8 mm Länge.....L=1m=1000mm S.....Schwerpunkt M....Schubmittelpunkt E= 2.1 105 N/mm2

μ= 0.3 ild 3.13

. U-Profil h= 100 mm b= 50 mm s = 6 mm t = 8.5 mm Länge.....L=1m=1000mm S.....Schwerpunkt M....Schubmittelpunkt R.....Mittelpunkt des Randes E= 2.1 105 N/mm2

μ= 0.3

d 3.14

10

Bemerkung: Bei der U-Profil, wenn Krafte auf den Schwerpunkt oder den Schubmittelpunkt direkt bewirken wollen, soll den Punkt mit den Fachwerk mit der Knoten der Ränder binden lassen. (Fachwerk.....Elementetype Link1) Es sieht folgendes aus: Bei Schwerpunkt: Bei Schubmittelpunkt:

Bild 3.15 Bild 3.16

3. L-Profil

b1= 100 mm

BemBei dPunk

b2= 63 mm s = 10 mm Länge.....L=1m=1000mm S.....Schwerpunkt M....Schubmittelpunkt E= 2.1 105 N/mm2

μ= 0.3

Bild 3.16

erkung: er L-Profil, wenn Krafte auf den Schwerpunkt direkt bewirken wollen, soll den t mit den Fachwerk (Link1) mit der Knoten der Ränder binden lassen.

Bild 3.17

11

4. geschlossenes-Kreisrohr-Profil r= 50 mm t= 5 mm Länge.....L=1m=1000mm S.....Schwerpunkt M....Schubmittelpunkt E= 2.1 105 N/mm2

μ= 0.3 Bild 3.18

Bemerkung: Bei der geschlossenes-Kreisrohr-Profil, wenn Krafte auf den Schwerpunkt direkt bewirken wollen, soll den Punkt mit den Fachwerk (Link1) mit der Knoten der Ränder binden lassen.

Bild 3.19

5. geschlitztes- Kreisrohr-Profil r= 50 mm t= 5 mm Winkle des Schlitzes= 10 Grad Länge.....L=1m=1000mm S.....Schwerpunkt M....Schubmittelpunkt E= 2.1 105 N/mm2

μ= 0.3 Bild 3.20

12

Bemerkung: Bei der geschlitztes- Kreisrohr-Profil, wenn Krafte auf den Schwerpunkt oder den Schubmittelpunkt direkt bewirken wollen, soll den Punkt mit den Fachwerk (Link1) mit der Knoten der Ränder binden lassen.

Bild 3.21 Bild 3.22

6. Rechteck-Profil a= 100 mm b= 50 mm

BemBei dsoll d

t= 5 mm Länge.....L=1m=1000mm S.....Schwerpunkt M....Schubmittelpunkt E= 2.1 105 N/mm2

μ= 0.3

Bild 3.23

erkung: er Rechteck-Profil, wenn Krafte auf den Schwerpunkt direkt bewirken wollen, en Punkt mit den Fachwerk (Link1) mit der Knoten der Ränder binden lassen.

Bild 3.24

13

3.3.1 Querkraft im Schwerpunkt Wird das Profil einseitig fest eingespannt und im Schwerpunkt der anderen Seite mit einer Querkraft belastet, so kann das Tragverhalten folgendermaßen beschrieben werden. (z.B Querkraft= 1000N) 3.3.1.1 I-Profil: 1.Verschiebung

Bild 3.25

2.Verschiebung (Summe)

Bild 3.26

In den Bildern wird gezeigt, dass sich der ganze Körper in die Richtung der Kraft bewegt. Aus Sicht tritt es keine Torsion auf. Bei Kapitel „3.3.2.1 Punkt- und

14

doppelsymmetrischen dünnwandige Profile“ wird es bewiesen. 3.3.1.2 U-Profil: 1. Verschiebung

Bild 3.27

2.Verschiebung (Summe)

Bild 3.28

In den Bildern wird gezeigt, dass sich der ganze Körper in die Richtung der Kraft bewegt mit kleiner Torsion.

15

3.3.1.3 L-Profil: 1. Verschiebung

Bild 3.29

2.Verschiebung (Summe)

Bild 3.30

In den Bildern wird gezeigt, dass sich der ganze Körper in die Richtung der Kraft bewegt mit kleiner Torsion.

16

3.3.1.4 geschlossenes-Kreisrohr-Profil: 1.Verschiebung

Bild 3.31

2.Verschiebung (Summe)

Bild 3.32

In den Bildern wird gezeigt, dass sich der ganze Körper in die Richtung der Kraft bewegt. Aus Sicht tritt es keine Torsion auf. Bei Kapitel „3.3.2.1 Punkt- und doppelsymmetrischen dünnwandige Profile“ wird es bewiesen.

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3.3.1.5 geschlitztes- Kreisrohr-Profil: 1.Verschiebung

Bild 3.33

2.Verschiebung (Summe)

Bild 3.34

In den Bildern wird gezeigt, dass sich der ganze Körper in die Richtung der Kraft bewegt mit kleiner Torsion.

18

3.3.1.6 Rechteck-Profil: 1.Verschiebung

Bild 3.35

2.Verschiebung (Summe)

Bild3.36

In den Bildern wird gezeigt, dass sich der ganze Körper in die Richtung der Kraft bewegt. Aus Sicht tritt es keine Torsion auf. Bei Kapitel „3.3.2.1 Punkt- und doppelsymmetrischen dünnwandige Profile“ wird es bewiesen.

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3.3.2. Querkraft im Schubmittelpunkt 3.3.2.1 Punkt- und doppelsymmetrischen dünnwandige Profile (a) I-Profil: (b) geschlossenes-Kreisrohr-Profil: (c) Rechteck-Profil: Verschiebung (Vektor)

Bild 3.37 Bild 3.38 Bild 3.39

Bei den punkt/doppeltsymmetrischen Profilen liegt der Schubmittelpunkt auf dem Schwerpunkt. In den drei Bildern wird gezeigt, dass sich der ganze Körper in die Richtung der Kraft bewegt, Es tritt keine Torsion auf. 3.3.2.2 Profile ohne doppeltsymmetrischen Charakter 3.3.2.2.1 U-Profil: In diesem Kapitel soll das Verhalten des Profils bei einer Kraftbelastung im Schubmittelpunkt, Mittelpunkt des Randes oder Schwerpunkt verglichen werden. Querkraft im (a).Schubmittelpunkt (b). Mittelpunkt des Randes (c). Schwerpunkt 1. Verschiebung:

Bild 3.40 Bild 3.41 Bild 3.42

20

2. Verschiebung (Summe):

Bild 3.43 Bild 3.44 Bild 3.45

3. Verschiebung (Vektor):

Bild 3.46 Bild 3.47 Bild 3.48

4. Verschiebung (Vektor-Vorn)

Bild 3.49 Bild 3.50 Bild 3.51

Auf den obigen Bildern (unter Bild 3.49) wird gezeigt, dass bei einer Belastung im Schubmittelpunkt keine Torsion auftritt, sondern dass sich der ganze Körper in die Richtung bewegt, in der die Kraft wirkt. Bei den Bildern unter Bild 3.50 und Bild 3.51 wird ersichtlich, dass neben einer Biegung auch Torsion auftritt. 3.3.2.2.2 geschlitztes- Kreisrohr-Profil In diesem Kapitel soll das Verhalten des Profils bei einer Kraftbelastung im Schubmittelpunkt, Mittelpunkt des Randes oder Schwerpunkt verglichen werden. Querkraft im (a) Schubmittelpunkt (b) Mittelpunkt des Randes (c) Schwerpunkt

21

1.Verschiebung:

Bild 3.52 Bild 3.53 Bild 3.54 2.Verschiebung (Summe):

Bild 3.55 Bild 3.56 Bild 3.57 3. Verschiebung (Vektor):

Bild 3.58 Bild 3.59 Bild 3.60 4. Verschiebung (Vektor-Vorn)

Bild 3.61 Bild 3.62 Bild 3.63 Auf den obigen Bildern unter Bild 3.61 wird gezeigt, dass bei einer Belastung im Schubmittelpunkt keine Torsion auftritt, sondern dass sich der ganze Körper in die Richtung bewegt, in der die Kraft wirkt. Bei den Bildern unter Bild 3.62 und Bild 3.63 wird ersichtlich, dass neben einer Biegung auch Torsion auftritt.

22

3.3.2.2.3 L-Profil: In diesem Kapitel soll das Verhalten des Profils bei einer Kraftbelastung im Schubmittelpunkt oder Schwerpunkt verglichen werden. Querkraft im (a) Schubmittelpunkt (b) Schwerpunkt. 1.Verschiebung:

Bild 3.64 Bild 3.65 2. Verschiebung (Summe)

Bild 3.66 Bild 3.67 3. Verschiebung (Vektor)

Bild 3.68 Bild 3.69

23

4. Verschiebung (Vektor-Vorn)

Bild 3.70 Bild 3.71 Wirkt die Querkraft im Schubmittelpunkt tritt keine Torsion auf. Die Bewegung des Profils ist nicht entlang der Richtung der angreifenden Kraft, sondern schräg nach unten, da die Kraft nicht entlang der Hauptachse angreift. Es liegt keine Torsion vor. Liegt eine Kraftbelastung im Schwerpunkt vor tritt Torsion auf.

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4. Dünnwandige Profile bei Torsion

4.1 Vorbemerkungen Beispiele für Torsion: Papierrolle

Bild 4.1 (Quelle: Festigkeitslehre - klipp und klar, Maritta Petersen, Jens J. Göttsche, ISBN 3-446-40415-5)

4.2 wölbfrei und nicht- wölbfrei Je nach der Geometrie des Querschnitts können infolge Torsion sowohl Schubspannung als auch Längsspannungen entstehen. Wenn nur Schubspannung existieren, dann spricht man von Saint-Venant‘sche Torsion (reiner Torsion). Längsspannungen können nur entstehen, wenn eine freie Verformung in Längrichtung nicht möglich ist, das ist die sog. Wölbkrafttorsion (Verwölbung = Verschiebung in Längsrichtung infolge Torsion).

Bild4.2 (Quelle: Massivbau, Prof.Dr.-Ing.Rudolf Baumgart, Hochschule Darmstadt)

25

Einteilung der Querschnitte (wölbfrei und nicht- wölbfrei)

Bild 4.3 (Quelle: Festigkeitslehre - klipp und klar, Maritta Petersen, Jens J. Göttsche, ISBN 3-446-40415-5)

Wölbfrei sind Kreis-, Kreisringquerschnitte, quadratische Hohlquerschnitte mit konstanter Wanddicke sowie Querschnitte aus dünnwandigen Querschnittsteilen, deren Schwerelinien sich in einem Punkt treffen. Beliebige Hohlquerschnitte und beliebige Vollquerschnitte sind zwar nicht wölbfrei, weisen aber unter Torsionsbeanspruchung so geringe Verwölbungen auf, dass sie wie wölbfreie Querschnitte behandelt werden können. Offene dünnwandige Querschnitte sind nicht wölbfrei und müssen bei Behinderung der Endquerschnitte mit der Theorie der Wölbkrafttorsion berechnet werden. Die Behinderung der Verwölbung kann durch Einspannungen, andere Querschnitte, dicke Kopfplatten oder Ähnliches erfolgen. 4.3 Saint-Venant‘sche Torsion: Nur Schubspannungen Beispiel: Rechteckrohr, doppelsymmetrisch

Bild 4.4 (Quelle: Stahlbau, M. Mensinger, Bauwesen, TU Muenchen)

• Es treten nur Schubspannungen auf • Der Querschnitt verwölbt sich nicht

26

• Durch Integration des Produktes der Schubspannungen und des Hebelarms zum Schubmittelpunkt über den Querschnitt erhält man das Torsionsmoment

Bild 4.5 (Quelle: Stahlbau, M. Mensinger, Bauwesen, TU Muenchen)

Strahlensatz Hookesches Gesetz Gleichgewicht Torsionsträgekeitsmom

Torsionssteifigkeit

Grenzübergang l gegen

( )G

Mdxdx ==ϕϕ '

ent ∫=A

T dArI 2

TGI

0 + Gleichgewicht:

( )T

T

Ix

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Vollquerschnitte

Bild 4.6 (Quelle: Stahlbau, M. Mensinger, Bauwesen, TU Muenchen)

Prandtlsche Membrananalogie: • Torsionsbeanspruchung entspricht Druck • Torsionsmoment Tv = 2 x das Volumen welches durch die Querschnittsoberfläche und die Membranoberfläche begrenzt wird • Die Schubspannungen verlaufen tangential zur Membran, ihr Wert ist gleich der jeweiligen Neigung der Membran. Für Vollquerschnitte folgt daraus:

Nährung nach Saint-Venant für Vollquerschnitte Schubspannungsverteilung bei Vollquerschnitten

Bild 4.7 (Quelle: Skript zur Vorlesung Technische Mechanik Teil 2 Festigkeitslehre, Prof. Dr. Werner Diewald, FH Mannheim)

28

dünnwandige Querschnitte, hier vereinfacht: t=const.

B

M

1

2

2

Ω•=•

2TM

tτ

ild 4.8 (Quelle: Stahlbau, M. Mensinger, Bauwesen, TU Muenchen)

Ω = Am = von der Profilmittellinie umschlossene Fläche

tτ = T = „Schubfluss“

embrananalogie

. Bredtsche Formel

. Bredtsche Formel

. Bredtsche Formel für t nicht konstant

Arbeitssatz

Hook

1. Bredtsche Formel

St. Venant

29

2. Bredtsche Formel Schubspannungsverteilung bei dünnwandigen Querschnitte.

Bild 4.9 Bild 4.10 Bild 4.11 geschlossenes-Kreisrohr-Profil geschlitztes- Kreisrohr-Profil Rechteck-Profil

Bild 4.12 Bild 4.13 Bild 4.14 U-Profil L-Profil I- Profil

30

4.4 FEM-Analyse: Torsion durch den Mittelpunkt Wird das Profil einseitig fest eingespannt und im Schwerpunkt der anderen Seite mit einer Torsion belastet, so kann das Tragverhalten folgendermaßen beschrieben werden. 4.4.1. dünnwandige geschlossene Profile 4.4.1.1 geschlossenes-Kreisrohr-Profil Es kann nicht direkt im Mittelpunkt eine Torsion gegben. Es wird so modelliert, dass in jedem Knoten von dem Kreisumfang eine Kraft entgegen der Uhrzeigerrichtung gegegben wird, um Torsion zu erzeugen. 36 Knoten werden genommen, dann kriegt jede Knote F=1000N. 1.Verschiebung:

Bild 4.15

31

2.Verschiebung (Summe)

Bild 4.16 3.Verschiebung (Vektor)

Bild 4.17

32

4.Verschiebung (Vektor-Vorn).

Bild 4.18 Jede Elememt bewegt sich entgegen der Uhrzeigerrichtung. Auf den obigen Bildern unter Bild 4.18 wird gezeigt, dass die Kräfte auf den Umfang erfolgreich gewüschte Torsion erzeugen. 5.Torsion (Z-Richtung)

Bild 4.19

33

4.4.1.2 Rechteck-Profil Es kann nicht direkt im Mittelpunkt eine Torsion gegben. Es wird so modelliert, dass in jedem Knoten von dem Umfang eine Kraft entgegen der Uhrzeigerrichtung gegegben wird, um Torsion zu erzeugen. 30 Knoten werden genommen, dann kriegt jede Knote F=+100N. 1.Verschiebung:

Bild 4.20 2.Verschiebung(Summe)

Bild 4.21

34

3.Verschiebung(Vektor)

Bild 4.22 4.Verschiebung(Vektor-Vorn)

Bild 4.23

Auf den obigen Bildern unter Bild 4.23 wird gezeigt, dass die Kräfte auf den Umfang erfolgreich gewüschte Torsion erzeugen.

35

5.Torsion (Z-Richtung)

Bild 4..24 6. Verschiebung (Z-Richtung) bei der Liniemitte

Bild 4.25 Auf den Bildern wird aufgezeigt, dass bei einer Belastung des Profils im Schwerpunkt mit einer Torsion eine Verwölbung auftritt. In diesem Fall verschieben sich zwei Kanten nach außen und die anderen zwei nach innen.

36

4.4.2. dümmwandige offene Profile 4.4.2.1 I-Profil 1.Verschiebung:

Bild 4.26 2. Verschiebung (Summe):

Bild 4.27

37

3. Verschiebung(Vektor)

Bild 4.28 4. Verschiebung(Vektor-Vorn)

Bild 4.29

38

5. Verschiebung (Z-Richtung) bei der Liniemitte

Bild 4.30 Auch bei diesem Profil wird mit den Bildern aufgezeigt, dass bei einer Belastung des Profils im Schwerpunkt mit einer Torsion eine Verwölbung auftritt. In diesem Fall verschieben sich zwei Kanten nach außen und die anderen zwei nach innen. 4.4.2.2 U-Profil Es kann nicht direkt im Schwerpunkt eine Torsion gegben. Es wird so modelliert, dass eine Kräftepaar auf der oben und unten Seite, um Torsion zu erzeugen. 1. Verschiebung:

Bild 4.31

39

2. Verschiebung(Summe)

Bild 4.32

Bild 4.33

40

3. Verschiebung(Vektor)

Bild 4.34 4. Verschiebung(Vektor-Vorn)

Bild 4.35

Auf den obigen Bildern unter Bild 4.35 wird gezeigt, dass die Kräfte erfolgreich gewüschte Torsion erzeugen.

41

5. Verschiebung (Z-Richtung)

Bild 4.36

4.4.2.3 L-Profil 1. Verschiebung Es kann nicht direkt im Schwerpunkt eine Torsion gegben. Es wird so modelliert, dass eine Kräftepaar auf dem ober Punkt und der unten Rand, um Torsion zu erzeugen.

Bild 4..37

42

2. Verschiebung(Summe)

Bild 4.38 3. Verschiebung(Vektor)

Bild 4.39

43

4. Verschiebung(Vektor-Vorn)

Bild 4.40 Auf den obigen Bildern unter Bild 4.40 wird gezeigt, dass die Kräfte auf den Umfang erfolgreich gewüschte Torsion erzeugen. 4.4.2.4 geschlitztes- Kreisrohr-Profil

(a) geschlitztes- Kreisrohr-Profil (fest)

eine Seite des Profils im Wand fest eingespannt eine Torsion durch den Mittelpunkt (Krafte der entgegen der Uhrzeigerrichtung statt Torsion)

(b) geschlitztes- Kreisrohr-Profil (frei)

beide Seiten frei gelagert Verschiebung in gegenseitige Richtungen definiert

44

1. Verschiebung

Bild 4.41 Bild 4.42 2. Verschiebung (Summe)

Bild 4.43 Bild 4.44 3. Verschiebung (Vektor)

Bild 4.45 Bild 4.46

45

4. Verschiebung(Vektor-Vorn)

Bild 4.47 Bild 4.48 5.Torsion(Z-Richtung)

Bild 4.49 Bild 4.50 6. Verschiebung (Z-Richtung)

Bild 4.51 Bild 4.52

46

6. Verschiebung (Z-Richtung) (Zoom)

Bild 4.53 Bild 4.54 Bei des Falls 1, rotiert der Körper selber nicht leicht, weil eine Seite im Wand eingespannt wird. Bei der Fall 2, wird es eine typische torsion angezeigt, weil die beide Seite frei sind, nur mit definierter Verschiebung.

47

5. Vollprofile 5.1 Kreis- Vollprofile FEM-Analyse Weil das Profil Vollprofil ist, wird mit der Elementtype Solid 95 im Programm Ansys modelliert. Geometrie der Modellen

r= 20 mm

B

5 Wew .

B

Länge...L= 500 mm S...Schwerpunkt M...Schubmittelpunkt

ild 5.1

.1.1 Infolge Querkraft

ird das Profil einseitig fest eingespannt und im Schwerpunkt der anderen Seite mit iner Querkraft belastet, so kann das Tragverhalten folgendermaßen beschrieben erden. (z.B Querkraft= 10000N)

1.Verschiebung

ild 5.2

48

2. Verschiebung(Summe)

Bild 5.3

3. Verschiebung(Vektor)

Bild 5.4

49

4. Verschiebung(Vektor-Vorn)

Bild 5.5

Auf den obigen Bildern wird gezeigt, dass bei einer Belastung im Schubmittelpunkt keine Torsion auftritt, sondern dass sich der ganze Körper in die Richtung bewegt, in der die Kraft wirkt. 5.1.2 Infolge Torsion Wird das Profil einseitig fest eingespannt und im Mittelpunkt der anderen Seite mit einer Torsion belastet, so kann das Tragverhalten folgendermaßen beschrieben werden. Bei der Solidelement, gibt es keine Möglichkeit direkt eine Torsion zu aufbringen. Es wird so modelliert, dass in jedem Knoten von dem Kreisumfang eine Kraft entgegen der Uhrzeigerrichtung gegegben wird, um Torsion zu erzeugen. 32 Knoten werden genommen, dann kriegt jede Knote F=100N. .

50

1.Verschiebung

Bild 5.6

2. Verschiebung (Summe)

Bild 5.7

51

3. Verschiebung(Vektor)

Bild 5.8 4. Verschiebung(Vektor-Vorn)

Bild 5.9

Auf den obigen Bildern unter Bild 5.9 wird gezeigt, dass die Kräfte auf den Kreisumfang erfolgreich gewüschte Torsion erzeugen.

52

5. Verschiebung (Z-Richtung) bei der Liniemitte.

Bild 5.10 Keine Wölbung. Das Kreis-Vollprofil ist wölbfrei. 6. bei Linienmitte, Schubspannung (YZ) bei Zylinderkoordinaten

Bild 5.11 Bild 5.12

Auf den obigen Bildern unter Bild 5.11 wird gezeigt, dass die Schupannung entlang der Radiusrichtung immer größer wird. (Bild 5.12 Theoretische Schubspannnungsverlauf)

53

5.2 Rechteck- Vollprofile

FEM-Analyse Weil das Profil Vollprofil ist, wird mit der Elementtype Solid 95 im Programm Ansys modelliert. Geometrie der Modellen

a=100 mm

B

5 Wew 1

b = 50 mm Länge...L= 500 mm S...Schwerpunkt M...Schubmittelpunkt

ild 5.13

.2.1 Infolge Querkraft

ird das Profil einseitig fest eingespannt und im Schwerpunkt der anderen Seite mit iner Querkraft belastet, so kann das Tragverhalten folgendermaßen beschrieben erden. (z.B Querkraft= 1000N)

. .Verschiebung

Bild 5.14

54

2. Verschiebung(Summe)

Bild 5.15

3.Verschiebung(Vektor)

Bild 5.16

55

4. Verschiebung(Vektor-Vorn)

Bild 5.17

Auf den obigen Bildern wird gezeigt, dass bei einer Belastung im Schubmittelpunkt keine Torsion auftritt, sondern dass sich der ganze Körper in die Richtung bewegt, in der die Kraft wirkt. 5.2.2 Infolge Torsion Wird das Profil einseitig fest eingespannt und im Mittelpunkt der anderen Seite mit einer Torsion belastet, so kann das Tragverhalten folgendermaßen beschrieben werden. Bei der Solidelement, gibt es keine Möglichkeit direkt eine Torsion zu aufbringen. Es wird so modelliert, dass in jedem Knoten von dem Umfang eine Kraft entgegen der Uhrzeigerrichtung gegegben wird, um Torsion zu erzeugen. 60 Knoten werden genommen, dann kriegt jede Knote F=+100N.

56

1. Verschiebung

Bild 5.18

2. Verschiebung(Summe)

Bild 5.19

57

3. Verschiebung(Vektor)

Bild 5.20

4. Verschiebung(Vektor-Vorn)

Bild 5.21 Auf den obigen Bildern unter Bild 5.21 wird gezeigt, dass die Kräfte auf den Umfang erfolgreich gewüschte Torsion erzeugen.

58

5. Verschiebung (Z-Richtung) bei der Mitte des geschnittenen Profils Rechteck-Vollprofil Kreis-Vollprofil

Verwölbung Wölbfrei

Bild 5.22 Bild 5.23 Die beiden oben dargestellten Bilder zeigen die Begriffe „Verwölbung“ und „wölbfrei“. Beim Rechteck-Vollprofils tritt „Verwölbung“ auf. Zwei Kanten verschieben sich nach vorn, die anderen beiden nach hinten. Das Kreis-Vollprofil dreht sich gleichmäßig und ist somit wölbfrei. 6. bei der Mitte des geschnittenen Profils, Schubspannung (YZ) bei der Zylinder-Koordinaten

Bild 5.24 Bild 5.25

Auf den obigen Bildern unter Bild 5.24 wird gezeigt, dass die Schupannung von den Mittelpunkt nach außen lansam größer wird. (Bild 5.25 Theoretische Schubspannnungsverlauf)

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6. Zusammenfassung Mit der Finite-Element-Methode im Programm Ansys wurden die dünnwandige Profile modelliert. Dadurch werden die Tragverhalten dünnwandiger Profile angezeigt und die Kenntnisse sind besser darzustellen und zu verstehen.

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7. Modellenverzeichnis 1. I-Profil 1.1. I-Profil(Querkraft) 1.2. I-Profil(Torsion) 2. U-Profil 2.1.U-Profil(Querkraft)

2.1.1.U-Profil(Schwerpunkt) 2.1.2.U-Profil(Rand) 2.1.3.U-Profil(Schubmittelpunkt)

2.2 U-Profil(Torsion) 3. L-Profil

3.1.L-Profil(Querkraft) 3.1.1.L-Profil(Schwerpunkt) 3.1.2.L-Profil(Schubmittelpunkt) 3.2.L-Profil(Torsion) 4. geschlossenes-Kreisrohr-Profil

4.1 geschlossenes-Kreisrohr-Profil (Querkraft) 4.2 geschlossenes-Kreisrohr-Profil (Torsion)

5. geschlitztes- Kreisrohr-Profil

5.1 geschlitztes- Kreisrohr-Profil (Querkraft) 5.1.1 geschlitztes- Kreisrohr-Profil (Schwerpunkt) 5.1.2 geschlitztes- Kreisrohr-Profil (Rand) 5.1.3 geschlitztes- Kreisrohr-Profil (Schubmittelpunkt)

5.2 geschlitztes- Kreisrohr-Profil (Torsion) 5.2.1 geschlitztes- Kreisrohr-Profil(fest) 5.2.2 geschlitztes- Kreisrohr-Profil(frei)

6.Rechteck-Profil

6.1 Rechteck-Profil(Querkraft) 6.2. Rechteck-Profil (Torsion) 7.Kreis-Vollprofil

7.1.Kreis-Vollprofil (Querkraft) 7.2.Kreis-Vollprofil (Torsion)

8.Rechteck-Vollprofil 8.1 Rechteck- Vollprofil (Querkraft)

8.2 Rechteck- Vollprofil (Torsion)

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8. Quellen Vorlesungsnotiz der Technischen Mechanik, Prof. Dr.-Ing. Carsten Klöhn,

HTWK Leipzig FEM-Praktilum(E-Learning), Prof. Dr.-Ing. Carsten Klöhn, HTWK Leipzig Technischen Mechanik (Band 2 Festigkeitslehre), Peter Hagedorn, Verlag Harri

Deutsch Technischen Mechanik, Göldner Pfefferkorn, Fachbuchverlag, Leipzig Taschenbuch der Technischen Mechanik, Winkler Aurich, Fachbuchverlag,

Leipzig Arbeitsmittel zur Technischen Mechanik 2, Prof. Dr.-Ing. Bernd W. Zastrau, TU

Dresden, BIW Skript zur Vorlesung Technische Mechanik Teil 2 Festigkeitslehre, Prof. Dr.

Werner Diewald, FH Mannheim HAW Hamburg – FB MP – Ihlenburg – TM2 Wikipedia…Schubmittelpunkt Technische Mechanik –Festigkeitslehre, Falkutät für Maschinenbau, Uni

Paderborn Stahlbau, M. Mensinger, Bauwesen, TU Muenchen Festigkeitslehre - klipp und klar, Maritta Petersen, Jens J. Göttsche, ISBN

3-446-40415-5 Massivbau, Prof.Dr.-Ing.Rudolf Baumgart, Hochschule Darmstadt Technischen Mechanik, Fischer/Güther,Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie

Leipzig. Stuttgart

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