02 Nachschlagewerk mit Aufgaben -...

Inhaltsverzeichnis

zum Nachschlagewerk mit Aufgaben

Graphen einer Funktion / Füllgraphen ....................................................................................... 2

Graphen einer Funktion / Füllgraphen - Aufgaben..............................................................................3

Satz des Pythagoras ...................................................................................................................... 4

Satz des Pythagoras - Aufgaben..............................................................................................................6

Flächen / Flächeninhalte zweidimensionaler Figuren ............................................................. 8

Flächen / Flächeninhalte zweidimensionaler Figuren - Aufgaben ..................................................9

Volumen / Rauminhalt eines Körpers .........................................................................................10

Volumen / Rauminhalt eines Körpers - Aufgaben ...............................................................................11 Trigonometrie in rechtwinkligen Dreiecken ............................................................................12

Trigonometrie in rechtwinkligen Dreiecken - Aufgaben................................................................17

Lineare Prozesse und Funktionen...............................................................................................18

Lineare Prozesse und Funktionen – Aufgaben ....................................................................................19

Quadratische Funktionen............................................................................................................20

Quadratische Funktionen – Aufgaben...................................................................................................21

exponentielle Wachstumsprozesse...........................................................................................22

Aufgaben zu den exponentiellen Wachstumsprozessen................................................................. 24

Wahrscheinlichkeitsrechnung....................................................................................................25

Wahrscheinlichkeitsrechnung - Aufgaben.......................................................................................... 28

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��

Graphen einer Funktion / Füllgraphen Funktion Funktionen beschreiben viele Vorgänge in der Natur und im alltäglichen Leben. Nicht immer erkennt man sofort „funktionale“ Zusammenhänge. So stellt die Telefon- oder Handyrechnung beispielsweise eine z.T. einfache, in der Gesamtheit aber auch komplizierte Funktion dar. Sie enthält konstante Werte wie z.B. eine monatliche Grundgebühr, aber auch variable Werte wie die Gebühr in Cent/Minute, die von unserem Telefonierverhalten abhängen können. Funktion Jedem Wert x einer Definitionsmenge wird eindeutig ein Wert y einer Wertemenge zugeordnet. Beispiel:

Ein Radfahrer fährt mit konstanter Geschwindigkeit von sm

6v = . Dann hat die Funktion f, die der Zeit t in

Sekunden die zurückgelegte Strecke s in Metern zuordnet, die Funktionsvorschrift

stsm

6t:f =⋅→ oder tsm

6)t(f ⋅=

Graph einer Funktion Funktionen können in einem Diagramm dargestellt werden, in der Regel in einem x-y-Koordinatensystem. Die Darstellung der Funktion als einzelne Punkte oder als zusammenhängende Linie heißt der Graph der Funktion. Die Achsenbeschriftung und die Einteilung der Achse passt man dem konkreten Sachverhalt an. Hier das Radfahrerbeispiel:

Da es sich um eine einfache proportionale Funktion handelt, ist der Graph eine Ursprungsgerade. Füllgraphen: Als Füllgraphen bezeichnet man die Darstellung des zeitlichen Verlaufs beim Füllen eines Gefäßes mit einer Flüssigkeit. Dabei können an den Koordinatenachsen die Zeit t, das Volumen V oder auch die Füllhöhe h verwendet werden. Ein Beispiel ist hier dargestellt: Eine Vase wird gleichmäßig mit Wasser befüllt. Im Füllgraphen wird an der horizontalen Achse die Zeit und an der vertikalen Achse die Füllhöhe h dargestellt: Zeit t

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�� Graphen einer Funktion / Füllgraphen - Aufgaben

Aufgabe 1: Zeichne den Füllgraphen für die folgende Flasche. Horizontale Achse: Zeit t, vertikale Achse: Füllhöhe h.

Aufgabe 2 Hier siehst Du einen Füllgraphen für die gleichmäßige Befüllung eines Parfümbehälters (genannt „Flakon“). Zeichne dazu den Querschnitt des passenden Gefäßes!

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�� Satz des Pythagoras

In rechtwinkligen Dreiecken haben die Seiten besondere Bezeichnungen:

Katheten: die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen. Hypotenuse: die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt. Es ist die längste Seite.

C Kathete b Kathete a A Hypotenuse c B Wenn c die Hypotenuse ist, dann gilt in rechtwinkligen Dreiecken:

a² + b² = c² Summe der gleich dem Flächeninhalt Flächeninhalte des Hypotenusen- der Katheten- quadrats. quadrate Graphische Darstellung: b² a² Kathetenquadrat Katheten- quadrat c² Hypotenusen- quadrat Alle Seiten und Aufgaben zum Satz des Pythagoras aus : MatheWerkstatt;Handreichung für den Mathematikunterricht in der Sekundarstufe l (1999)

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�� Satz des Pythagoras

Wenn zwei Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks bekannt sind, dann kann man mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die Länge der dritten Seite berechnen: 1. Beispiel:

a = 6cm Skizze: b c = 8cm a b = ? c c Rechnung: a² + b² = c² − a² 6² + b² = 8²

b² = c² − a² b² = 8² − 6²

b = a²c² − b² = ²68² −

= 3664 −

= 28

≈ 5,29 Antwort: b = 5,29 cm. 2. Beispiel: 15 cm 10 cm ? Berechne die fehlende Seitenlänge! Überlegung: Die fehlende Seiten liegt dem rechten Winkel gegenüber. Es ist also die

Hypotenuse c gesucht.

Rechnung: c² = a² + b²

c = b²a² +

= ²15²10 +

= 225100 +

= 325

≈ 18 Antwort: Die gesuchte Hypotenuse hat eine Länge von 18cm.

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�� Satz des Pythagoras - Aufgaben

WENN NÖTIG, RUNDE BEI DIESEN AUFGABEN SINNVOLL! Aufgabe 1: Sind die Dreiecke rechtwinklig? Begründe! a) a = 5 cm b = 6,5 cm c = 9 cm b) a = 30 cm b = 18 cm c = 24 cm c) a = 5 cm b = 13 cm c = 12 cm Aufgabe 2: Berechne! a) In einem rechtwinkligen Dreieck sind nur eine Kathete und die Hypotenuse bekannt:

a = 6cm, b = 10 cm. Berechne die Länge der anderen Kathete!

b) Berechne die Länge d der Diagonalen eines Rechtecks mit den Seitenlängen

8 cm und 15 cm. c) Welchen Umfang hat diese Figur?

6 cm

8 cm

Aufgabe 3: Textaufgaben a) Ein Dorf hat einen Maibaum aufgestellt. Doch leider hat ihn schon in der ersten Mainacht die Gewalt

eines Gewittersturms in einer Höhe von 15 m so abgeknickt, dass seine Spitze den Boden 8 m vom Fuß des Stammes entfernt berührt. Wie hoch war der Maibaum, als er aufgestellt wurde?

b) Zwischen zwei Häusern, die 16 m voneinander

entfernt sind, wird genau in der Mitte eine Straßenlaterne angebracht. Das Stahlseil hängt 75 cm durch. Wie lang ist das Stahlseil?

c) Neben einem Supermarkt wird ein Parkplatz P Hauptstraße

angelegt, der die Form eines rechtwinkligen Dreiecks besitzt. Der Parkplatz nimmt an der P Querstraße Hauptstraße 96 m und an der Marktstraße Markt- 160 m ein. straße Welche Länge hat er an der Querstraße?

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�� Satz des Pythagoras - Aufgaben

WENN NÖTIG, RUNDE BEI DIESEN AUFGABEN SINNVOLL! Aufgabe 4: Berechne! a) In einem Dreieck

sind folgende Längen bekannt: a a = 7 cm; c1 = 14,26 cm; hc‘ = 4 cm. hc Wie lang ist die Seite c mit c = c1 + c2?

c1 c2 b) Welchen Umfang hat diese symmetrische Figur?

16 cm

12 cm 30 cm

5 cm

Aufgabe 5: Textaufgaben a) 12 m entfernt von einer 14 m hohen Fichte verläuft in 6 m Höhe eine Telefonleitung. Die Fichte soll

gefällt werden. Weise nach, dass im ungünstigsten Falle mit einer Gefährdung der Telefonleitung gerechnet werden muss, wenn die Fichte unmittelbar in Höhe des Erdbodens abgesägt wird. Zeige, dass keine Gefahr für die Telefonleitung besteht, wenn die Fichte 1,3 m über dem Erdboden abgesägt wird.

b) In einer 25 m² großen Quadratfläche sollen die beiden Diagonalen durch einen weißen Farbanstrich kenntlich gemacht werden. Wie lang sind die weißen Linien zusammen?

c) An einem Sendemast sind in 200 m Höhe drei Stahlseile angebracht, die am Erdboden 160 m entfernt

vom Mast verankert sind. Welche Länge hat ein Seil? Runde auf m!

d) Kann ein 14 cm langer Bleistift auf einer 13 cm langen und 7 cm breiten Deckfläche eines Quaders

liegen, ohne überzustehen? e) Eine Leiter, die an eine Hauswand angelehnt ist, steht am Boden 1,10 m vom Haus entfernt. Wie hoch

reicht die Leiter, wenn sie 5 m lang ist?

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�� Flächen / Flächeninhalte zweidimensionaler Figuren

Flächen sind aus unserer Alltagswelt nicht wegzudenken. Wo wir auch sind, wir stehen auf und sind umgeben von Flächen. In vielen Situationen ist es wichtig, den Flächeninhalt solcher Flächen zu bestimmen. In einigen Situationen reicht eine Annäherung durch ein Rechteck aus, dessen Flächeninhalt leicht durch „Länge mal Breite“ berechnet werden kann. In anderen Situationen kann man Flächen zerlegen oder ergänzen und auf bekannte Figuren zurückführen. Die unten stehenden Formeln können eine zusätzliche Hilfe bei der Berechnung von Flächeninhalten darstellen. Flächeninhalt Der Flächeninhalt einer Figur gibt an, wie groß die Fläche ist, die durch die Figur eingeschlossen ist. Methoden zur Bestimmung von Flächeninhalten Schätzen durch Vergleich mit bekannten Flächeninhalten, z. B mit der Größe einer Bodenfliese, eines Fußballfeldes. Berechnen. Durch Zerlegen und ergänzen lassen sich viele Figuren auf bekannte Flächen zurückführen, hier können die bekannten Formeln angewendet werden. Berechnen von Flächeninhalten bestimmter Figuren:

Quelle: Formelblatt der Freien und Hansestadt Hamburg für den Realschulabschluss

Einheiten von Flächeninhalten (→→→→ Umrechnung von Einheiten) Die Einheiten von Flächeninhalten sind km2 (Quadratkilometer), ha (Hektar, 10000m²) m2 (Quadratmeter), cm2 (Quadratzentimeter) usw. Beispiele für bestimmte Flächeninhalte 0,25 cm²: 1 Kästchen im Matheheft 0,25 m²: 1 graue Beton-Gehwegplatte ca. 5000 m² = 0,8 ha: ein Fußballfeld 356 970 km²: Fläche Deutschlands

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�� Flächen / Flächeninhalte zweidimensionaler Figuren - Aufgaben

Aufgabe 1 (*) Berechne den Flächeninhalt der folgenden Figuren:

a) Dreieck mit g = 3,5 cm und Höhe h = 2,2 cm, b) Trapez, bei dem die parallelen Seiten a = 5,8 cm und c = 3,6 cm und die Höhe h = 3 cm lang sind, c) Kreis mit dem Durchmesser d = 7,2 dm, d) Kreisring mit dem inneren Radius r1 = 3 cm und dem äußeren Radius r2 = 5 cm.

Aufgabe 2 (*) Berechne jeweils die fehlenden Größen (die Streckenbezeichnungen beziehen sich auf die o. a. Formeln).

Aufgabe 3 (**) Übertrage die abgebildeten Vielecke in dein Heft und bestimme ihren Flächeninhalt durch geschickte Zerlegung der Figur.

Aufgabe 4 (**) Berechne den Flächeninhalt der farbig hinterlegten Fläche (Kreisbogenausschnitt).

Aufgabe 5 (***) Berechne Flächeninhalt und Umfang der grau hinterlegten Fläche (ein großer und vier kleine Kreise).

Aus: Mathenetz 8 Ausgabe N, S. 77; Schroedel-Verlag, 2002

Aus: Mathematik Neue Wege 8, S. 156; Westermann-

Aus: Fit in Mathematik Übergang 10 - 11, S. 102;

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�� Volumen / Rauminhalt eines Körpers

In vielen Alltagssituationen begegnet uns der Rauminhalt. Man trinkt aus einer 33 ml-Dose oder schüttet sich ein Getränk aus einer Literflasche ein. Auch beim Umzug in eine andere Wohnung spielt das Volumen eine Rolle. Kartons und der Wagen müssen so gewählt werden, dass alles gepackt werden kann. Rauminhalt / Volumen Der Rauminhalt eines Körpers gibt an, wie viel in diesen Körper hineinpasst. Methoden zur Bestimmung von Volumina

- Schätzen durch Vergleich mit bekannten Rauminhalten, z. B mit dem Volumen eines Sandkorns oder dem eines Liters Milch.

- Berechnen. Bei bestimmten Körpern lässt sich das Volumen berechnen. Berechnen von Rauminhalten bestimmter Körper:

Quelle: Formelblatt der Freien und Hansestadt Hamburg für den Realschulabschluss

Kurz: Für die Körper auf der linken Seite gilt: „Volumen = Grundfläche ⋅ Höhe“ Für die Pyramide und den Kegel gilt: „Volumen = ⅓ ⋅ Grundfläche ⋅ Höhe“ Volumen von zusammengesetzten Körpern Das Volumen eines unbekannten Körpers kann auch berechnet werden, wenn sich dieser aus Teilkörpern zusammensetzt, deren Volumina man kennt bzw. berechnen kann. Man berechnet dann die Rauminhalte der Teilkörper und addiert alle berechneten Volumina zusammen. Einheiten von Rauminhalten (→→→→ Umrechnung von Einheiten) Die Einheiten von Rauminhalten sind km3 (Kubikkilometer), m3 (Kubikmeter), dm3 (Kubikdezimeter) usw. Die Einheit l (Liter) ist auch ein Rauminhalt. Es gilt: 1 l = 1 dm³. Beispiele für bestimmte Rauminhalte Ca. 1 mm³: Sandkorn, Stecknadelkopf Ca. 1 cm³: 1 kleiner Spielwürfel 1 dm³: 1 Literflasche, 1 Liter Milch ca. 100 l = 100 dm³: eine Badewannenfüllung ca. 60 m³: Rauminhalt eines etwas größeren Zimmers

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�� Volumen / Rauminhalt eines Körpers - Aufgaben

Aufgabe 1 Berechne die Volumina der folgenden Körper:

a) Kegel mit Radius r = 3,5 cm und Höhe h = 5,2 cm b) Kugel mit einem Radius von r = 5 cm c) Prisma mit einem gleichseitigen Dreieck (Seitenlänge a = 4 cm) als Grundfläche und einer Höhe von

h = 5 cm. Aufgabe 2 Eine zylindrische Regentonne hat eine lichte Weite von 60 cm und ist innen 85 cm hoch. Wie viel Liter fasst die Tonne? Wie hoch stehen 150 l Wasser in ihr? Aus: LS 10, Ausgabe A, S. 153; Ernst Klett-Verlag; 2004

Aufgabe 3 Gegeben ist eine Pyramide mit einem Quadrat (Seitenlänge a = 10 cm) als Grundfläche und der Höhe h = 15 cm.

a) Berechne das Volumen. b) Verändere die Grundkante a [die Höhe h] so, dass die Pyramide ein Volumen von 550 cm³ besitzt.

Aufgabe 4 Wähle bei der rechts abgebildeten Verpackung die Länge x so, dass ein Volumen von 600 cm³ entsteht. Aus: mathelive 10 Erweiterungskurs, S. 75; Ernst-Klett-Verlag, 2003

Aufgabe 5

a) Bestimme die Volumina der „Würfel mit Loch“.

b) Welches Volumen hat ein massiver Würfel mit denselben Ausmaßen? Vergleiche.

Aus: mathelive 10 Erweiterungskurs, S. 76; Ernst-Klett-Verlag; 2003

Aufgabe 6 In einem Würfel werden die Mittelpunkte der benachbarten Seitenflächen miteinander verbunden. Es entsteht innen ein Oktaeder. Welchen Bruchteil des Würfelvolumens nimmt das Oktaeder ein? Aus: mathelive 10 Erweiterungskurs, S. 76; Ernst-Klett-Verlag; 2003

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�� Trigonometrie in rechtwinkligen Dreiecken

Tangens – tan – Sinus – sin – Kosinus – cos – Tangens – tan – Sinus – sin – Kosinus – cos – Tangens – tan – Sin

Du kennst hoffentlich den Satz des Pythagoras und weißt, dass er dir helfen kann, eine Seitenlänge eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen, wenn du die anderen beiden Seitenlängen kennst. Was machst du aber nun, wenn du zum Beispiel eine Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ausrechnen möchtest, bei dem du einen Winkel und eine Seite kennst (und natürlich den 90° Winkel). Man kann dieses Dreieck zeichnen (Kongruenzsätze), also müsste man es doch auch berechnen können! Hier helfen dir: Tangens – tan – Sinus – sin – Kosinus – cos Tangens: Mit Hilfe des Tangens eines Winkels kannst du die Länge einer Kathete berechnen, wenn du die andere Kathetenlänge kennst! Oder: Du kannst den Winkel zwischen den beiden Katheten berechnen, wenn du die Kathetenlängen kennst! Erklärung: Beim Tangens geht es zunächst einmal um Steigungen ! Steigungen werden mit folgender Formel berechnet:

Steigung = dunterschieHorizontal

schiedHöhenunter =

Ankathete

teGegenkathe

a

b

c

d

e

f Da die Steigung auf der ganzen Strecke (stell dir vor, du fährst bergauf) die gleiche ist, gilt auch

ba

= fe

dc

=

Wie groß die Steigung ist, hängt vom Verhältnis (dem Quotienten) beider Strecken ab. Wenn das Verhältnis der Strecken gleich ist, ist der Winkel zwischen ihnen auch gleich. Es ist der sogenannte Steigungswinkel.

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Zu jeder Steigung gehört eine bestimmter Steigungswinkel, also eine bestimmte Winkelgröße:

Beispiel : Zur Steigung = m60m30 = 0,5 gehört die Winkelgröße 26,6°

Jeder (Steigungs)winkel gehört zu einer bestimmten Steigung: Beispiel: Zum (Steigungs)winkel 45° gehört die Steigung 1 = 100% Man muss nicht mit dem Geodreieck Winkel und Strecken ausmessen, um herauszufinden welche Steigung zu welchem Winkel gehört. Das kannst du deinem Taschenrechner entlocken! Die Zaubertaste heißt tan = Tangens. Probiere es mit dem obigen Beispiel aus! tan 45° = 1 und tan –1 (0,5) = 26,6°

Nun aber zur Anwendung! Gehe bei Berechnungen nach folgendem Schema vor:

1. Aufstellen der Gleichung 2. bekannte Werte einsetzen 3. Gleichung umstellen 4. Wert berechnen

1. Beispiel: Du möchtest wissen, wie lang die Seite a ist?

Aufstellen der Gleichung: tan α =Ankathete

teGegenkathe

Werte einsetzen: tan 30° =acm7

Gleichung umstellen und Wert berechnen: a = 12,12 cm

2. Beispiel : Du möchtest wissen, wie groß der Winkel α ist?

Aufstellen der Gleichung: tan α= Ankathete

teGegenkathe

Werte einsetzen: tan α= cm8

cm6 = 0,75

Gleichung umstellen und Wert berechnen:

α = tan –1 (0,75) = 36,9

7 cm

30°

8 cm

6 cm

α

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2. Sinus: Mit Hilfe des Sinus eines Winkels kannst du

- die Länge der Gegenkathete berechnen, wenn du die Hypotenusenlänge kennst! - die Länge der Hypotenuse berechnen, wenn du die Länge der Gegenkathete kennst! - Den dazugehörigen Winkel berechnen.

Erklärung: Beim Sinus geht es ähnlich wie beim Tangens auch um Verhältnisse (Quotienten) zweier Dreiecksseiten zueinander!

Es gilt:

Sinus α =Hypotenuse

teGegenkathe

Gehe bei Berechnungen nach folgendem Schema vor: 1. Aufstellen der Gleichung 2. bekannte Werte einsetzen 3. Gleichung umstellen und 4. Wert berechnen

1. Beispiel: Berechnen der Hypotenuse Aufstellen der Gleichung

sin α =Hypotenuse

teGegenkathe

bekannte Werte einsetzen: sin 30° =c

cm6

Gleichung umstellen und Wert berechnen: c = 12 cm

2. Beispiel: Berechnen der Gegenkathete 1. Aufstellen der Gleichung:

sin α =Hypotenuse

teGegenkathe

bekannte Werte einsetzen: sin 30° =cm5b

Gleichung umstellen und Wert berechnen: b = 2,5 cm

Gegen- kathete

Hypotenuse

α Ankathete

6 cm c

30 °

b 5 cm

30 °

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3. Beispiel: Berechnen des Winkels Aufstellen der Gleichung

sin β =Hypotenuse

teGegenkathe

bekannte Werte einsetzen: sin β =cm8cm5

= 0,625


β Sin – 1 (0,625) = 38,7 ° Tipp: Es gibt viele Aufgaben (die meisten), bei denen das Dreieck nicht vorgegeben ist. Du musst es selber (als Skizze) zeichnen und sehr genau, darauf achten, dass du es richtig beschriftest! Erst dann kann das Rechnen losgehen! 3. Kosinus: Mit Hilfe des Kosinus eines Winkels kannst du - die Länge der Ankathete berechnen, wenn du die Hypotenusenlänge kennst! - die Länge der Hypotenuse berechnen, wenn du die Länge der Ankathete kennst! - Den dazugehörigen Winkel berechnen.

Erklärung: Beim Kosinus geht es ähnlich wie bei Tangens und Sinus um Verhältnisse (Quotienten) zweier Dreiecksseiten zueinander !

Es gilt:

Kosinus α =HypotenuseAnkathete

Gehe bei Berechnungen nach folgendem Schema vor: 1. Aufstellen der Gleichung 2. bekannte Werte einsetzen 3. Gleichung umstellen und 4. Wert berechnen

5 cm 8 cm

β

Gegen- kathete

Hypotenuse

α Ankathete

6 cm

c

30 °

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1. Beispiel: Berechnen der Hypotenuse Aufstellen der Gleichung

cos α =HypotenuseAnkathete

bekannte Werte einsetzen: cos 30° =c

cm6

Gleichung umstellen und Wert berechnen: c = 6,9 cm

2. Beispiel: Berechnen der Ankathete 1. Aufstellen der Gleichung

cos α =HypotenuseAnkathete

bekannte Werte einsetzen: cos 30° =cm5a

Gleichung umstellen und Wert berechnen: a = 4,3 cm 3. Beispiel: Berechnen des Winkels Aufstellen der Gleichung

cos β =HypotenuseAnkathete

bekannte Werte einsetzen: cos β =cm8

cm5= 0,625


β = cos– 1 (0,625) = 51,3 °

Tipp: Es gibt viele Aufgaben (die meisten), bei denen das Dreieck nicht vorgegeben ist. Du musst es selber (als Skizze) zeichnen und sehr genau, darauf achten, dass du es richtig beschriftest! Erst dann kann das Rechnen losgehen!

a

5 cm

30 °

5 c m

8 c m

β

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�� Trigonometrie in rechtwinkligen Dreiecken - Aufgaben

1. Aufgabe: Das Dreieck ABC hat den rechten Winkel in C und α = 36° . Die Seite a ist 1,94 m lang. Berechne die fehlenden Seiten b und c. 2.. Aufgabe: Das Dreieck ABC hat den rechten Winkel in B und α = 54° . Die Seite c ist 1,82 m lang. Berechne die fehlenden Seiten b und a. 3. Aufgabe: Das Dreieck ABC hat den rechten Winkel in C . Berechne c und α , wenn die Seite b = 5,53 cm und die Seite a = 2,58 cm lang ist. 4. Aufgabe: Eine Seilbahn steigt um 23° an. Die Entfernung der Bergstation von der Talstation wird auf einer Landkarte mit 2,3 km ermittelt. Wenn man einmal davon absieht, dass das Seil immer etwas durchhängt, kann trotzdem der Höhenunterschied h und die Länge des Seils s bestimmt werden. Welche Höhe h wird überwunden ? Wie lang ist das Seil ? 5. Aufgabe: Ein Landvermesser soll die Entfernung zwischen den Orten A und C ausmessen. Leider liegt eine sumpfige Landschaft zwischen beiden Orten. Der Landvermesser sucht mit Hilfe eines Winkelspiegels einen Punkt B so, dass der Winkel ABC 90° beträgt. Von B peilt er beide Orte A und C unter einem Winkel von 42° an. Das Messergebnis von B nach C ergibt 400 m. Wie weit sind A und C voneinander entfernt ? 6. Aufgabe: Von der Spitze eines Leuchtturmes sieht man ein Schiff unter dem Sen- kungswinkel α = 4°. Wie weit ist das Schiff vom Leuchtturm entfernt, wenn der Beobachter 90 m über dem Meer steht ? (Skizze !) 7. Aufgabe: Die Entfernung des Mondes zur Erde wird mit Hilfe eines Laserstrahls gemessen. Sie beträgt 384400 km. Von der Erde aus sieht man den Mond unter einem Sehwinkel α = 0,5158°. Wie groß ist der Durchmesser des Mondes ? 8. Aufgabe: Steht an einer Straße folgendes Schild, so bedeutet es, dass auf einer Straßenlänge von 100 m die Straße um 15 m ansteigt. a) Unter welchem Winkel steigt die Straße an ? b) Welche Winkel und Steigungen liegen bei 10%, 15%, 20 %, 30 % vor ? 9. Aufgabe: In größerer Höhe befindet sich an einem Fabrikschornstein ein Längsriss.

Der Eigentümer will nun wissen, wie lang dieser Riss ist. Dazu peilt er vom Fuß des Schornsteins, der 85 m entfernt ist, das untere und das obere Ende des Risses unter den Winkeln α = 40,1° und β = 55,5° an. Wie lang ist der Riss ?

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�� Lineare Prozesse und Funktionen

Lineare Funktionen beschreiben viele Vorgänge im alltäglichen Leben. Beispiele sind Tarife mit einer Grundgebühr (Konstante) und einer verbrauchsabhängigen Gebühr (linearer Anstieg). Auch in den Naturwissenschaften – speziell der Physik - hängen viele Größen linear voneinander ab. Die lineare Funktion

bxa)x(foderbxax:f +⋅=+⋅→ lautet die allgemeine Funktionsvorschrift einer linearen

Funktion. Dabei bedeuten a die Steigung des Graphen und b der y-Achsenabschnitt. Graph einer linearen Funktion Beispiel: Der Stromtarif. Ein Energieunternehmen bietet seinen Kunden bei einem bestimmten Jahresverbrauch an elektrischer Energie folgenden Tarif an: Jahresgrundgebühr („Bereitstellung“) 30€ und Arbeitspreis

(verbrauchsabhängig) kWh€

18,0kWhCt

18 = . (kWh ist die elektr. Energieeinheit „Kilowattstunde“).

Die Funktionsvorschrift für den Jahresgesamtpreis lautet dann 60x18,0)x(f +⋅= , wobei x der

Verbrauch in kWh bedeutet. Der zugehörige Graph sieht so aus: Wie viel zahlt ein

Kunde, der 1600 kWh Verbrauch hat?

Man setzt x = 1600 in die Funktionsvorschrift ein: €00,34860160018,0)1600(f =+⋅=

Wie viele kWh an Energie kann ein Kunde für 600€ verbrauchen? Man setzt für den Funktionswert 600 ein und löst die lineare Gleichung nach x auf:

300018,0

540x540x18,060x18,0600 ==⇔=⋅⇔+⋅=

Antwort: Der Kunde kann 3000kWh verbrauchen. Ist nach dem Schnittpunkt zweier (linearer) Funktionsgraphen gefragt, setzt man die beiden Funktionsvorschriften gleich.

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�� Lineare Prozesse und Funktionen – Aufgaben

Aufgabe 1 Ein Airbus A310 hat 200km nach dem Start noch 32.000kg Treibstoff, nach 300km sind es noch 28.000kg. Begründe, warum die Funktionsgleichung, mit deren Hilfe sich die Abnahme der Treibstoffmenge des

Airbus (linear) beschreiben lässt, xkm

kg40kg000.40x

km100

kg4000kg000.40)x(f ⋅−=⋅−= lautet! Dabei ist x

die seit dem Start zurückgelegte Strecke. Berechne die Restmenge an Treibstoff bei der Landung nach 800km! Mit wie viel Treibstoff ist das Flugzeug gestartet? Wie weit hätte der Airbus maximal kommen können? Zeichne den Graph zur Funktionsvorschrift! Aufgabe 2 Achim muss als Schlussläufer der Klasse 8a beim letzten Wechsel der 4 X 100m-Staffel 3m Vorsprung von Bernd aus der 8b aufholen. Achim läuft 100m in 13,5s, Bernd in 14,0s. Beide laufen (vereinfacht angenommen) mit konstanten Geschwindigkeiten.

Wenn x die Zeit in Sekunden ist, kann man mit der Funktionsvorschrift xs5,13m100

)x(a ⋅= die von Achim

zurückgelegte Strecke berechnen. Begründe dies. Trage den Funktionsgraph in ein Koordinatensystem ein. Wie lange braucht Achim für die ersten 60m? Bestimme die Funktionsvorschrift für Bernds Lauf und berücksichtige dabei seinen Vorsprung von 3m! Wie lange braucht Bernd noch ins Ziel, wenn Achim gerade startet? Wer erreicht somit zuerst das Ziel? Wie groß ist der Vorsprung des Gewinners im Ziel? g)* Sofern Achim Bernd überholt hat, berechne den Ort, an dem er Bernd überholt hat! Aufgabe 3 Das Energieversorgungsunternehmen des Einführungsbeispiels bietet neben dem angegebenen Tarif

60x18,0)x(f +⋅= auch noch zwei weitere Tarife an:

Tarif g: x36,0)x(g ⋅= und Tarif h: 150x08,0)x(h +⋅=

Interpretiere die beiden Funktionsvorschriften! Für welche Kunden (Verbrauch) dürfte sich Tarif g, für welche Kunden Tarif h lohnen? Wie viel zahlt ein Kunde bei einem Verbrauch von 800 kWh in den einzelnen Tarifen? Wie viel kann ein Kunde für 180€ in den einzelnen Tarifen an Strom verbrauchen? Ab welchem Verbrauch lohnt sich für einen Kunden der Wechsel der Tarifart? Aufgabe 4

Ein Güterzug befährt mit hkm

60 eine eingleisige Strecke. 5km hinter ihm folgt ein Personenzug. Die

nächste Ausweichstelle befindet sich 10km vor dem Güterzug. Wie schnell darf der Personenzug höchstens fahren, wenn ein Sicherheitsabstand von 1km eingehalten werden muss. (Die Zuglänge selbst bleibt hier unberücksichtigt!)

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�� Quadratische Funktionen

Das Weg-Zeit-Gesetz bei Beschleunigungsvorgängen wie dem freien Fall ist eine quadratische Funktion. Ebenso wird die Bahn eines geworfenen Gegenstandes vereinfacht durch eine „Wurfparabel“ beschrieben. Die quadratische Funktion

cxbxa)x(fodercxbxax:f 22 +⋅+⋅=+⋅+⋅→ lautet die allgemeine Funktionsvorschrift einer

quadratischen Funktion. Aufstellen einer quadratischen Funktion und ihr Graph Beispiel: Einzäunungsaufgabe (siehe Mathematikbücher). An einer Hauswand soll mit einem 20m langen Zaun eine möglichst große rechteckige Fläche eingezäunt

werden. Nennt man die beiden Rechteckseiten x und y, erhält man als Bedingung yx220 += , weil der

20m lange Zaun sich aus drei Stücken zusammensetzt und die Hauswand nicht berücksichtigt werden muss.

Die Rechteckfläche wird mit yxA ⋅= berechnet. Eine Funktion der Fläche in Abhängigkeit von x erhält

man, wenn man die erste Gleichung nach y auflöst und den Term in die

Flächenformel einsetzt: x20x2)x220(x)x(Ax220yyx220 2 +−=−⋅=⇒−=⇔+= . Stellt man

diese Funktion im Koordinatensystem dar und berücksichtigt dabei, dass es nur Sinn macht wenn A positiv ist erhält man folgende Parabel: Man sieht sofort am Graph, dass das Flächenmaximum für x=5 mit A(5)=50 erreicht wird. Die Maße der eingezäunten Fläche sind dann 5m X 10m. Rechnerisch bestimmt man das Maximum, indem man den Scheitelpunkt der Parabel berechnet:

[ ] 50)5x(225)5x(2)x10x(2x20x2)x220(x)x(A 2222 +−−=−−−=−−=+−=−⋅=

Scheitelpunktkoordinaten sind (5/50). Die Nullstellen der Funktion lassen sich auch sofort ablesen: x=0 und x=10. Der x-Wert des Scheitelpunkts muss dann in der Mitte liegen, also bei x=5. Wichtiges Merkmal einer jeden Parabel sind der Scheitelpunkt S und die Nullstellen. Für die allgemeine

Parabelgleichung cxbxa)x(f 2 +⋅+⋅= gibt es Formeln zur Berechnung.

Scheitelpunkt:

+−− c

a4b

/a2b

S2

; Nullstellen: 2

2

a4ac4b

a2b

x−

±−=

Teilt man in der quadratischen Gleichung 0cxbxa 2 =+⋅+⋅ zunächst durch a, erhält man die quadr.

Gl. der Normalparabel 0qxpx2 =+⋅+ , deren Lösungen die Formel q2p

2p

x2

−

±−= liefert.

Eingezäunte Fläc he

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

45,00

50,00

55,00

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0

Se it e nlänge x

21

�� Quadratische Funktionen – Aufgaben

Aufgabe 1

xbxa)x(w 2 ⋅+⋅−= kann für verschiedene positive a und b als „Wurfparabel“ aufgefasst

werden. Welche praktische Bedeutung dabei die Variablen a und b (genannt „Parameter der Parabel“) haben, sei dem Physikunterricht vorbehalten. Für drei verschiedene Zahlenpaare a, b sollen… a) die Wurfparabel gezeichnet, b) die Wurfhöhe (y-Wert des Scheitelpunktes) berechnet und c) die Wurfweite berechnet werden. 1.1 a=0,05 und b=4,5 1.2 a=0,05 und b=3,0 1.3 a=0,01 und b=0,9 Ergänzung zur Aufgabe 1: Bestimme in Variablenform die Wurfweite W und die Wurfhöhe H in Abhängigkeit von a und b (also zwei „Formeln“)! Aufgabe 2

Für den Fall eines Gegenstands aus der Höhe h (in Meter) gilt – sofern der Höhenunterschied nicht groß ist und die Luftreibung vernachlässigt werden kann – folgende einfache Formel für die Höhe y über dem Erdboden, wobei x für die Fallzeit in Sekunden steht:

2x5hy ⋅−=

a) Bestimme für eine Anfangshöhe von h=10m, wo sich der Gegenstand A nach 0,1s, 0,2s, 0,5s, 1s, 1,5s befindet!

b) Nach welcher Zeit x hat der Gegenstand A tatsächlich den Boden erreicht? c) Eine halbe Sekunde nach dem Loslassen des Gegenstands A wurde ein anderer Gegenstand

B aus nur 5m Höhe fallengelassen. Welcher der beiden Gegenstände A oder B erreicht den Boden zuerst?

Aufgabe 3

Ein alter Schifffahrtskanal hat die Querschnittsform einer Parabel. Bedeuten x und y die Abmessungen in Metern, kann man die Parabelgleichung aus folgenden Daten des Kanals bestimmen. Dabei soll der Einfachheit halber der Parabelquerschnitt achsensymmetrisch zur y-Achse sein. Der Kanal ist an der tiefsten Stelle 8m tief und hat am oberen Rand eine Breite von 40m.

a) Bestimme aus den Daten die Parabelgleichung (eine Skizze ist hilfreich)! Lösung:

8x501

y 2 −⋅=

Aus Sicherheitsgründen gibt es für die Befahrbarkeit des Kanals Einschränkungen für die Schiffe bzw. Boote: Der Tiefgang darf maximal 3m betragen, wobei noch unter dem Kiel 1m Wassertiefe bis zum Grund vorhanden sein muss. Wie breit darf die Fahrrinne maximal festgelegt werden? Welchen Abstand hat sie auf jeder Seite zum Ufer?

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�� exponentielle Wachstumsprozesse

Ob radioaktiver Zerfall, ob festverzinsliche Wertpapiere, ob Abkühlungsvorgänge – Vorgänge, bei denen eine Größe in gleich großen Abschnitten immer um den gleichen Prozentsatz wächst bzw. fällt, kommen häufig in der „Welt“ vor. Die Exponentialfunktionen bieten das Werkzeug, mit dem sich solche Wachstumsvorgänge grundsätzlich beschreiben lassen. Die Exponentialfunktion

nac)n(f ⋅= mit Anfangswert c und Wachstumsfaktor 100p

1%p1a +=+=

mit Wachstumsrate p. Die Variable n kann in verschiedenen Zeiteinheiten gegeben sein

n21)n(f ⋅= n

2

11)n(f

⋅=

Beispiel für exponentielles Wachstum Die Bevölkerung eines Inselstaats beträgt zur Zeit 3 Mio.. Man geht davon aus, dass das Bevölkerungswachstum von derzeit 1,2 % pro Jahr auch weiterhin Bestand haben wird. Die zugehörige Wachstumsfunktion lautet:

n012,13)n(f ⋅= [in Mio.], n in Jahren, da 012,11002,1

1%2,11a =+=+=

Von Jahr zu Jahr müsste man also die Anzahl der Bevölkerung mit 1,012 multiplizieren. Je größer die Bevölkerung wird, desto mehr Menschen kommen pro Jahr dazu.

Merke: Ist die Wachstumsrate p positiv (etwas wird mehr), so ist der Wachstumsfaktor a größer als 1. Ist die Wachstumsrate p negativ (etwas wird weniger), so liegt der Wachstumsfaktor a zwischen 0 und 1. Ein Wachstumsfaktor a kleiner als oder gleich Null macht keinen Sinn, also a > 0

Möchte man nun berechnen, wie groß die Bevölkerung z.B. in 10 Jahren sein wird, setzt man für n 10 ein: z.B. 38,3012,13)10(f 10 ≈⋅= [Mio.]

Verdopplungs- und Halbwertszeit Bei einer wachsenden Exponentialfunktion ist die Verdopplungszeit derjenige Zeitraum, in dem sich die Größe verdoppelt. Bei fallenden Exponentialfunktionen spricht man entsprechend von der Halbwertszeit.

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�� exponentielle Wachstumsprozesse

Beispielaufgaben exponentielles Wachstum Bestimmen der Funktionsgleichung Tier A hat bei seiner Geburt eine Masse von 3 kg. Es nimmt wöchentlich um rund 4% seiner Masse zu.

Stelle die Gleichung der Wachstumsfunktion auf:

nac)n(f ⋅= , kg3c = , 02,1%21a =+= d.h. x04,13)n(f ⋅= [in kg], n in Wochen

Bestimmen von Funktionswerten / zu erwarteten Daten Wie viel wiegt Tier A nach 20 Wochen? kg573,604,13)20(f 20 ≈⋅=

Bestimmen des Anfangswerts Das 5 kg schwere Tier B ist 12 Wochen alt, wie schwer war es bei seiner Geburt, wenn es die gleiche

Wachstumsrate von 4 % besitzt? kg504,1c)12(f 12 =⋅= also kg123,304,1

kg5c

12≈=

Bestimmen der Wachstumsrate / des Wachstumsfaktors Tier C wog bei der Geburt 1,5 kg und nach vier Wochen 2 kg. Wie groß ist seine Wachstumsrate (ein

exponentielles Wachstum vorausgesetzt)? ckg5,1)0(f == , kg2)4(f = , kg2akg5,1)4(f 4 =⋅=

kg5,1

kg2a 4 = d.h. 075,1

5,12

a 4 ±=±=

Also a=1,075 und p %=7,5 %

Bestimmen des Anfangswerts und der Wachstumsrate Tier D wurde erst zehn Wochen nach seiner Geburt gewogen. Damals brachte es schon 8 kg auf die

Waage. Nach 15 Wochen wog es dann 9,5 kg. Wie viel wog es bei seiner Geburt, wenn man von einem

exponentiellen Wachstum ausgeht? kg8)10(f = , kg5,9)15(f =

kg8ac)10(f 10 =⋅= d.h. 10a

kg8c = und kg5,9ac)15(f 15 =⋅= d.h.

15a

kg5,9c =

1510 a

kg5,9

a

kg8= ,

kg8

kg5,9

aa10

15

= , 85,9

a5 = , 035,185,9

a 5 ≈= und kg671,5035,1

kg8c

10≈=

Bestimmen der Zeit Wann wird Tier D die 15 kg Marke überschreiten? kg15035,1kg671,5)n(f n =⋅=

645,2kg671,5

kg15035,1 n ≈= 274,28

035,1lg

645,2lg645,2logn 035,1 ≈== d.h. nach 29 Wochen

Die negative Lösung kann man weglassen, da sie keinen Sinn ergibt.

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�� Aufgaben zu den exponentiellen Wachstumsprozessen

Aufgabe 1 Im Jahre 2003 betrug die Einwohnerzahl einer Großstadt ca. 200000; ein Jahr später waren es 2000 weniger. a) Gib eine Funktionsgleichung an, mit deren Hilfe sich der Abnahmeprozess exponentiell beschreiben

lässt. b) Wie lautet die Prognose für die Entwicklung der Einwohnerzahl in den Jahren 2010 und 2020? c) In welchem Zeitraum hätte sich die Bevölkerungszahl halbiert? Aufgabe 2 Frau Peters ist 30 Jahre alt und möchte sich für ihren Ruhestand ein zusätzliches finanzielles Polster verschaffen. Eine Bank würde ihr einen Zinssatz von 6% zahlen, falls sie ihr Geld für 35 Jahre fest anlegt Wie viel müsste sie jetzt einzahlen, damit ihr nach den 35 Jahren ca. 100.000 € zur Verfügung stünden? Aufgabe 3 Eistee kann einen Koffeingehalt von 50 mg pro 0,33 l Dose haben. Bei einem Jugendlichen setzt die Wirkung des Koffeins nach ca. 1 Stunde ein. Der Koffeingehalt im Blut nimmt dann exponentiell mit einer Halbwertszeit von 3 Stunden ab. Wann sind nur noch 0,01 mg Koffein im Blut vorhanden, wenn der Abbau ca. 1 Stunde nach dem Trinken einer Dose beginnt? Aufgabe 4 Als die Anzahl einer Bakterienkultur nach 3 Stunden zum ersten Mal gemessen wurde, waren es schon 49. Nach 10 Stunden maß man noch einmal und erhielt 157. Wie viele Bakterien wurden am Anfang eingesetzt, wenn man von einem exponentiellen Wachstum ausgeht?

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�� Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist historisch betrachtet eine recht junge mathematische Disziplin. Es geht vor allem darum, zufällig entstandene Daten zu erheben und auszuwerten (Statistik) und Wahrscheinlichkeiten für in der Zukunft zufällig auftretende Ereignisse anzugeben. Zufallsereignis oder -experiment Ein Ereignis, bei dem man vorher das Ergebnis nicht sicher vorhersagen kann, nennt man Zufallsereignis. Zufallsexperimente, z. B. das Werfen eines Würfels, haben in der Regel mehrere mögliche Ergebnisse, die zusammen die Ergebnismenge bilden (im Beispiel {1;2;3;4;5;6}). Jede Teilmenge E der Ergebnismenge heißt Ereignis (im Beispiel ist das Ereignis „gerade Augenzahl“ E={2;4;6}). Einelementige Ereignisse werden auch Ergebnisse oder Elementarereignisse genannt. Methoden zur Auswertung von Zufallsereignissen Man kann erhobene Daten zunächst notieren und dann statistisch auswerten. Führt man ein Zufallsexperiment 100-mal durch und ein Ereignis tritt 20-mal auf, so trat es mit der absoluten Häufigkeit Habsolut = 20 und mit der relativen Häufigkeit Hrelativ = 20 / 100 = 1/5 = 0,2 auf. Allgemein gilt bei einem Zufallsexperiment für die relative Häufigkeit Hrelativ eines Ereignisses:

VersucheallerHäufigkeit

EreignissederretensintEdesHäufigkeitHrelativ =

Berechnen von Wahrscheinlichkeiten Kennt man durch sehr häufiges Durchführen eines Zufallsexperiments die relative Häufigkeit für das Eintreten eines Ereignisses E, so kann man für die Zukunft annehmen, dass diese relative Häufigkeit auch die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von E in der Zukunft ist. Manchmal kann man auch anhand von Symmetrieüberlegungen annehmen, dass alle möglichen Ereignisse gleich wahrscheinlich sind (z. Bsp. Die sechs Seiten des Würfels, die beiden Seiten einer Münze, gleich große Felder beim Glücksrad, …). Man spricht in solchen Fällen von einer Laplace-Annahme und von Laplace-Wahrscheinlichkeiten. Laplace-Experimente Zufallsversuche mit gleichen Chancen für alle möglichen Ergebnisse bzw. Elementarereignisse werden auch Laplace-Experimente (oder Laplace-Versuche) genannt. Die Wahrscheinlichkeit p für das zukünftige Eintreten eines Ereignisses E kann bei einem Laplace-Versuch

folgendermaßen berechnet werden: Ergebnisse möglichen aller Anzahl

Ergebnisse günstigen E von Eintreten das für aller Anzahl)E(p = .

Die Aussage „Das Ereignis E tritt mit der Wahrscheinlichkeit p auf“ bedeutet: Wenn der Zufallsversuch sehr oft wiederholt wird, kann man damit rechnen, dass die relative Häufigkeit für das Auftreten von E dem Wert p sehr nahe kommt. Das Würfeln mit einem (regelmäßigen) Würfel wird als Laplace-Experiment betrachtet. Das Würfeln einer

6 hat somit die Wahrscheinlichkeit 61

)6" ist Augenzahl"(p = . Das Würfeln einer geraden Zahl besitzt die

Wahrscheinlichkeit.21

63

)Augenzahl" gerade"(p ==

Das hier auch die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse (Würfeln der 2, der 4 oder der 6) addiert werden können, wird als Summenregel bezeichnet:

21

61

61

61

))6(p)4(p)2(p)Augenzahl" geradep(" =++=++= .

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Baumdiagramm und Pfadregel Bei mehrstufigen Zufallsversuchen hilft häufig die Darstellung des Versuchs in einem Baumdiagramm. Hier werden zu jeder Stufe des Versuchs die möglichen Ereignisse aufgeschrieben und an den Pfaden zu den Ereignissen die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten notiert.

(Quelle: Mathematik Neue Wege 8, S. 220, Schroedel-Verlag, 2002.) Hilfsmittel beim Bestimmen von Anzahlen (Kombinatorik) Um bei Laplace-Experimenten die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu bestimmen, benötigt man die Anzahl der für das Ereignis günstigen und aller möglichen Ergebnisse. Diese Anzahlen können sehr groß sein. Man kann sie dann nur mit großer Mühe und unter erheblichem Zeitaufwand durch Auszählen ermitteln. Man kann die Anzahlen dann mit Hilfsmitteln aus der Kombinatorik (der Lehre vom Bestimmen von Anzahlen) berechnen. Besonders wichtig sind die so genannten Urnenmodelle, bei denen zur besseren Anschauung angenommen wird, dass Kugeln unter bestimmten Voraussetzungen aus Urnen gezogen werden.

Auch gleichzeitige Zufallsversuche (Bsp.: gleichzeitiges Werfen zweier Würfel) können häufig als mehrstufig betrachtet und daher durch ein Baumdiagramm dargestellt werden.

Die Rechenregel wird oft als Pfadregel bezeichnet.

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Produktregel: Gegeben sind k verschiedene Urnen. In der ersten Urne sind n1 verschiedene Kugeln, in der zweiten Urne sind n2 verschiedene Kugeln, …, und in der k-ten Urne sind nk verschiedene Kugeln. Dann gibt es n1⋅n2⋅...⋅nk. verschiedene Möglichkeiten, aus jeder der Urnen genau eine bestimmte Kugel zu ziehen. Beispiel: Wenn ein Autokennzeichen (abgesehen von der Bezeichnung des Landkreises oder der Stadt) genau aus zwei Buchstaben und drei Ziffern bestehen soll, wobei die erste Ziffer keine Null sein darf, dann gibt es dafür genau 26⋅26⋅9⋅10⋅10=608400 verschiedene Möglichkeiten (in den ersten beiden Urnen „lagen“ die 26 Buchstaben des Alphabets, in der dritten Urne 9 Ziffern und in den letzten beiden Urnen jeweils 10 Ziffern). Reihenfolge beim Ziehen mit Zurücklegen: Aus einer Urne mit n Kugeln werden nacheinander k Kugeln gezogen, wobei die gezogenen Kugeln immer sofort nach der Ziehung wieder in die Urne zurück gelegt werden. Die gezogenen Kugeln werden in der Reihenfolge des Ziehens notiert. Dann sind nk verschiedene Reihenfolgen (k-Tupel) möglich. Beispiel: Wenn ein normaler Spielwürfel achtmal hintereinander geworfen und die gewürfelten Augenzahlen in der Reihenfolge der Würfe notiert werden, dann gibt es 68 = 1679616 verschiedene Ziffernreihenfolgen der Länge 8 (also 8-Tupel) aus den Ziffern 1 bis 6. Reihenfolge beim Ziehen ohne Zurücklegen: Aus einer Urne mit n Kugeln werden nacheinander k Kugeln ohne Zurücklegen gezogen und in der Reihenfolge des Ziehens notiert. Dann sind n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅...⋅(n-k+1) verschiedene Reihenfolgen (k-Tupel) möglich. Beispiel: Eine Fahne soll aus drei unterschiedlich farbigen horizontal angeordneten Streifen bestehen. Es stehen 6 Farben zur Verfügung, wie viele unterschiedliche Fahnen könnten hergestellt werden? Für den oberen Streifen stehen alle 6 Farben zur Verfügung, für den mittleren nur noch 5 und für den unteren 4 Farben. Es gibt also 6⋅5⋅4 = 120 verschiedene Kombinationen für die Fahne, falls die drei Streifen unterschiedliche Farben haben müssen. Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge („Lottoziehung“): Aus einer Urne mit n Kugeln werden gleichzeitig (oder nacheinander, wobei die Reihenfolge aber keine Beachtung findet und gezogene Kugeln nicht zurück gelegt werden) k Kugeln gezogen. Dann gibt es

k...321

)1kn(...)2n()1n(nkn

⋅⋅⋅⋅+−⋅⋅−⋅−⋅

=

, k ≤ n

verschiedene Möglichkeiten für unterschiedliche Zahlenkombinationen.

Beispiel: Beim Lotto 6 aus 49 gibt es 13983816654321

4445464748496

49=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

unterschiedliche

Möglichkeiten für verschiedene Zahlenkombinationen.

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�� Wahrscheinlichkeitsrechnung - Aufgaben

Aufgabe 1 (*) Petra hat mit einem normalen Spielwürfel 400-mal gewürfelt und die absoluten Häufigkeiten der einzelnen Augenzahlen notiert. Berechne die relativen Häufigkeiten der einzelnen Augenzahlen in Prozent. Augenzahl 1 2 3 4 5 6

Absolute Häufigkeit

71 59 66 59 75 70

Relative Häufigkeit

Aufgabe 2 (**) Aus einer Urne mit zwei blauen und drei roten Kugeln werden nacheinander rein zufällig zwei Kugeln

a) mit Zurücklegen nach dem ersten Zug, b) ohne Zurücklegen nach dem ersten Zug gezogen.

Zeichne für beide Fälle je ein Baumdiagramm und berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei rote Kugeln [„p(RR)“], und dass genau eine rote Kugel [„p(einmal Rot)“] gezogen wird. Aufgabe 3 (**) Von 759 Schülern eines Gymnasiums spielen 174 ein Saiteninstrument und 98 spielen Klavier. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim blinden Ziehen aus der Schülerkartei ein Schüler gezogen wird,

a) der ein Saiteninstrument, b) der nicht Klavier spielt?

Aufgabe 4 (***) Eine ideale Münze (Chance für das oben liegen der beiden Seiten ist gleich und für die Kante gleich Null) wird 8-mal geworfen und jedes Mal notiert, ob Zahl oder Wappen gefallen ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit

a) erhält man nur Münzbilder einer Sorte, b) erhält man zuerst zweimal Wappen und dann nur noch Zahl, c) erhält man mindestens einmal Zahl?

Aus: LS 8 Ausgabe A, S. 195; Klett-

Aus: Mathematik Neue Wege 8, S. 221, Schroedel-Verlag,

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