PreStudy2019 Torsten Schreiber 93ttp-schreiber.de/Mathematik/Prestudy_Skript_08.pdf · Warum ist...

PreStudy 2019 93Torsten Schreiber

Diese Fragen sollten Sie auch ohne Skript beantworten können:

Auf welchen wesentlichen Schritten basiert die FREPL-Methode?

Wie kann man die Betragsstriche eliminieren?

Wofür benötigt man Ungleichungen?

Wie lösen Sie eine Bruchungleichung auf?

Wie stellen Sie eine Lösungsmenge zwischen zwei Zahlen dar?

Warum ist eine Probe der Ergebnisse unbedingt notwendig?

Wie lösen Sie eine auf ein Polynom basierte Ungleichung auf?

Wie können Sie eine Ungleichung grafisch darstellen?


Wiederholung

Diese Fragen sollten Sie ohne Skript beantworten können:

Was versteht man unter einem linearen Gleichungssystem?

Wie funktioniert das Einsetzungsverfahren?

Worauf ist beim Gleichsetzungsverfahren zu achten?

Wie kann man ein LGS mit zwei Gleichungen zeichnerisch lösen?

Wie zeichnen Sie eine Gerade in ein Koordinatensystem?

Was versteht man unter dem Additionsverfahren?

Was sucht man bei 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten?

Was bedeutet die Pivot-Zeile eines LGS?


Lösen Sie die folgenden Gleichungen und geben die Lösungsmenge an.

2

1

24

52 >−

−x

x1)

I.

2)

3)

124323 <−+ xxx


1|2

12| >− x

Lösen Sie das folgende Gleichungssystem, in dem Sie insgesamt alle 3 Verfahren anwenden.

Bestimmen Sie die Lösung des folgenden LGS mittels der Cramerschen Regel.

1)

2)

448

1323

−=+=−

yx

xya)

yx

xy

−=−=

6,025,0

5,012b)

yx

xy

35

3

2

315

1

6

1

3

1

−=

=+c)

1642

632

23

=++−=−+−

−=+−

zyx

zyx

zyx


Für die Sinus/ Cosinus-Funktion sind im Bereich der Addition der Argumente zwei Additionstheoreme definiert, wodurch stets bei rechtwinkliger Konstellation entweder ein Sinus oder ein Cosinus aus der Funktion entfernt werden kann.

)cos()sin()cos()sin()sin( abbaba ⋅±⋅=±1)

)2cos()2cos(10)2sin()2

2sin(

)2cos()2

sin()2

cos()2sin()2

2sin(

xxxx

xxx

=⋅+⋅=+

⋅+⋅=+

π

πππ90° Phasenverschiebung

der Sinusfunktion = Cosinusfunktion

)sin()sin()cos()cos()cos( bababa ⋅⋅=± m2)

)3sin()3sin()1()3cos(0)32

3cos(

)3sin()2

3sin()3cos()

2

3cos()3

2

3cos(

xxxx

xxx

−=⋅−+⋅=−

⋅+⋅=−

π

πππ270° Phasenverschiebung

der Cosinusfunktion = -Sinusfunktion



I. Geben Sie Schätzungen für die folgenden Werte an.

II. Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke soweit als möglich.

)300sin() °a )60cos() °b )400cos() °c )800sin() °d

)2

34sin() π−xa )2

2

1cos() xb +− π )32(

2

3cos() π+⋅ xc

III. Beweisen Sie den folgenden Zusammenhang.

( ))cos(12

1

2sin

2 xx −⋅=


I. Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke soweit als möglich.

)92sin() π−xa

( ) )5,3672

1cos() ππ −+⋅ xd

)54(12cos() π−⋅ xc

)5,75,2sin() π−xb

Eine rein trigonometrische Funktion (sinus/ cosinus) stellt eine Schwingung innerhalb einer bestimmbaren Periode und eines konstanten Wertebereichs dar, die für alle reellen Zahlen definiert ist.

Die vier Parameter in der Funktion beziehen sich zum einen auf die Verschiebung und zum anderen auf die Streckung/ Stauchung in der x-Achsen bzw. y-Achsen-Richtung:

a: Amplitudenfaktor Streckung/Stauchung in y-Achsen-Richtung

b: Periodenfaktor Streckung/Stauchung in x-Achsen-Richtung

c: Phasenverschiebung Verschiebung in x-Achsen-Richtung

d: Wertebereichverschiebung Verschiebung in y-Achsen-Richtung

Symmetrie:

Bei dem Periodenfaktor gilt für die neue Periode:

dcxbaxf ++⋅⋅= )sin()(

b

PP ALT

NEU =

SIN: Punktsymmetrie )sin()sin()()( xxxfxf −=−−−=

COS: Achsensymmetrie )cos()cos()()( xxxfxf −=−=


WS 2011/12 Torsten Schreiber 102

Anhand der folgenden Vierfeldertafel können die grundlegenden Eigenschaften einer trigonometrischen Funktion direkt abgelesen werden.

Es wird dabei davon ausgegangen, dass es sich um eine Standardfunktion in der Form

�� oder �� ℎ � handelt.

Vierfeldertafel

� � ��

��

��

� � � � ��

� � 0; 1

�� 2�

� � � ��

� � �1; 1

$%� & �

��

� � � � ��

� � 0; 1

�� 2�

� � � � ��

� � �1; 1

Beispiel:

Vereinfachung:

Wertebereich:

Periode:

4)33

2sin(3)( ++⋅= πxxf

4)3

2sin()3()(

4)3

2cos()3sin()3cos()

3

2sin(3)(

+⋅−=

+

⋅+⋅⋅=

xxf

xxxf ππ

[ ] [ ] [ ]7;143;341;13 ∈==+−=+−⋅− yW

)3()(3

32

2 πππ +=== xfxfPNEU

4)3

2sin(34)

3

2cos(01)

3

2sin(3)(

4)3

2cos()2sin()2cos()

3

2sin(3)(

4)23

2sin(34))3(

3

2sin(3)(

+⋅−=+

⋅+⋅⋅−=

+

⋅+⋅⋅−=

++⋅−=++⋅−=

xxxxf

xxxf

xxxf

ππ

ππ


Beispiel:

Symmetrie: Punktsymmetrie

Skizze:

[ ]4)(4)( −−−=− xfxf

4)3

2sin()3()( +⋅−= xxf

)3

2sin(344)

3

2sin(34)( xxxf ⋅−=−+⋅−=−

[ ] )3

2sin(344)

3

2sin(34)( xxxf −⋅=

−+−⋅−−=−−−=


Vereinfachen Sie die folgenden Funktionen mittels der Additionstheoreme und bestimmen Sie den Wertebereich, das Symmetrieverhalten und fertigen Sie eine Skizze an.

)54sin(23)( π−⋅−= xxf1)

2) 5)2

5

2

1(sin2)(

2 +−⋅= πxxg

3) [ ]2)2cos(3)( +−⋅= πxxh

4) ))(2

1(cos

3

25)(

4xxk −⋅⋅+= π


Vereinfachen Sie die folgenden Funktionen mittels der Additionstheoreme und bestimmen Sie den Wertebereich, das Symmetrieverhalten und beweisen Sie die Periode.

)5,53sin(5,02)( π−⋅−= xxf1)

2) 8)5,125,2cos(4)( +−⋅−= πxxg

3) [ ] 35)24cos(2)( −+−⋅= πxxh

4)

−−⋅⋅+= 8))2(2

7sin(

4

14)( xxk π


Welche neuen Begriffe habe ich kennen gelernt?


Wiederholung

Diese Fragen sollten Sie ohne Skript beantworten können:

Wann ist der Sinus bzw. der Cosinus immer NULL?

Was versteht man unter einer Phasenverschiebung?

Was wird im Einheitskreis senkrecht (/waagerecht eingezeichnet?

Wie kann man am Einheitskreis mit dem Uhrzeigersinn drehen?

Warum ist Sinus zu Cosinus um 90° Phasenverschoben?

Wie ist der Tangens / Cotangens im rechtwinkligen Dreieck definiert?

Wann ist der Sinus gleich dem Cosinus?

Wofür braucht man die Additionstheoreme?


PreStudy 2019 Torsten Schreiber 109

( ) ( )na 00,..,0,0,0 ==

Handelt es sich um eine Struktur der Form , so handelt es sich um einen Raum, sofern u.a. die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

Addition: - assoziativ Komponentenweise Addition

- kommutativ Vertauschbarkeit der Komponenten

- neutrales Element - inverses Element

Multiplikation:

- binäre Operation- distributiv- assoziativ- neutrales Element

Die Objekte, die zu einer solchen Struktur gehören, nennt man zum einen Vektoren

und zum anderen Skalare , d.h. ein Vektor ist eine gerichtete Größe (Länge und Winkel), der mittels einem Skalar (Parameter) verkürzt/ verlängert werden kann.

( )ℜ∗+ℜ ,,,n

( ) ( )n

n aaaaaaa −=−−−−=−= ,..,,, 321

( )∗

( )+

ℜ∈∧ℜ∈ℜ→ℜℜ γβ ,;nnn ax

r

na ℜ∈∗rβ

( ) aaarrr

∗+∗=∗+ γβγβ( ) ( ) aa

rr∗∗=∗∗ γβγβ

aarr

=∗β

( )na ℜ∈r

( )ℜ∈β


=

⋅++⋅+⋅=⋅=

∗

=∗=n

i

nnii

nn

babababa

b

b

b

a

a

a

baba1

2211

2

1

2

1

.........

),(rrrrθ

Bei der Multiplikation von zwei Vektoren nutzt man die Methodik des inneren Produkts.

ℜ→ℜ∗ℜ nn

Es werden demzufolge die einzelnen Komponenten untereinander multipliziert und die Ergebnisse anschließend addiert. Als Ergebnis bekommt man somit keinen Vektor, sondern eine reelle Zahl.

Eigenschaften:

nicht binär

kommutativ

assoziativ

distributiv

positiv definiert

),(),( abbarrrr θθ =

),(),(),( bababarrrrrr

⋅=⋅=⋅ βθβθθβ),(),(),( cbcacbarrrrrrr θθθ +=+

00),(rrrr

≠∧> aaaθ

Beispiel: ( ) ( )=

=⋅+−⋅+⋅+−⋅=⋅=

−

−

∗

4

1

313412532

1

4

2

3

3

1

5

2

iii ba

Torsten Schreiber 111PreStudy 2019

⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅

=

×

=×

2121

1313

3232

3

2

1

3

2

1

abba

abba

abba

b

b

b

a

a

a

barr

Eine weitere Möglichkeit zwei Vektoren zu multiplizieren ist das äußere Produkts.Es wird stets diagonal multipliziert (siehe Determinaten), wobei rechts herum positiv und links herum negativ gerechnet wird.

nnn ℜ→ℜ×ℜ

Eigenschaften:

Binäre Operation:

antikommutativ

assoziativ

distributiv

abbarrrr

×−=×

bababarrrrrr

⋅×=×⋅=×⋅ βββ )(

)()()( cabacbarrrrrrr

×+×=+×

Beispiel:

−−=

⋅−⋅⋅−⋅−

−⋅−⋅=

×

− 1

11

7

2533

325)1(

)1(322

2

3

5

1

2

3


( ) ( ) ( ) αθθαθ cos,,...cos, 2211 ⋅⋅=⋅++⋅+⋅⇔⋅⋅= bbaabababababa nn

rrrrrrrr

Da es sich bei einem Vektor um ein n-dimensionales Objekt handelt, kann der erreichte Punkt entweder mittels Koordinaten oder via Länge und Winkel dargestellt werden.

Länge:

Normierter Vektor: (Länge ist Eins)

Abstand :

Winkel:

Cauchy-Schwarze Ungleichung

Orthogonalitätskriterium:

( )aaaaaa n

rrr,...

22

2

2

1 θ=+++=

aa

ar

rr

⋅= 10

( )baDrr

, ( ) ( ) ( )22

22

2

11 ... nn babababa −++−+−=−rr

( ) ( )1

,1

,arccos ≤

⋅≤−⇔

⋅=

ba

ba

ba

barr

rr

rr

rr θθα

( ) ( ) ( )000,090cos ≠∧≠∧==° babarrrrθ


Berechnen Sie – sofern möglich - das innere Produkt der folgenden Vektoren untereinander sowie deren Summe/ Differenz und bilden Sie jeweils den normierten Vektor.

1)

−=

6

3

0

2

ar

−

−=

5

2

6

4

cr

−=

4

0

3

br

−=

4

7

4

dr

−=

3

4er

Bestimmen Sie jeweils die fehlende Koordinate so, dass die jeweiligen Vektoren senkrecht aufeinander stehen und berechnen anschließend deren Abstände.

2)

−=

4

1

2

3

ar

a)

−

=

1

3

5

Xbr

−

−

=

2

0

3

2

Y

ar

b)

=

3

2

5

2

4

br


Berechnen Sie das innere Produkt der folgenden Vektoren, bestimmen Sie den Winkel sowie den Abstand zwischen den Vektoren und geben den normierten Vektor an.

1)

=1

3

2

ar

−=

2

1

5

4

cr

−−=

3

2

7

br

−

=

1

3

1

2

dr

−=

2

5er

Bestimmen Sie jeweils die fehlende Koordinate so, dass die jeweiligen Vektoren senkrecht aufeinander stehen und berechnen anschließend deren Abstände.

2)

−

=

3

1

2

xar

a)

−

=

4

3

2

xbr

−

=

0

4

3

1

yar

b)

−−=

2

3

2

5

2

br

a)

−=

3

1fr

c)b)

=x

a 3

8r

c)

−

−=

x

xb 4

4r


zbarrr

⋅++⋅+⋅ ζβα ...

Grundlage der (Un)Abhängigkeit von Vektoren ist dessen Linearkombination, d.h. es wird jeder Vektor mit einem beliebigen Skalar multipliziert und anschließend die Summe gebildet.

Im Fall der (Un)Abhängigkeits-Prüfung untersucht man, ob einer der Vektoren mittels einer Linearkombination der übrigen darstellbar ist, d.h. man bildet die Linearkombination der Vektoren und setzt diese Kombination gleich Null.

Existiert nur die sogenannte Triviallösung der Form , dann sind die Vektoren linear unabhängig. Sollte eine der entstehenden Lösungen sein, dann sind sie linear abhängig.

0......rrrrrrr

=⋅++⋅+⋅⇔⋅++⋅=⋅ zbazba ζβαζβα0... ==== ζβα

0≠

Beispiel: 0

1

5

2

3

2

3

2

1

4

1

2

3

1

5

2

3

;

2

3

2

1

;

4

1

2

3

rrrr=

−

−

⋅+

−

−

⋅+

⋅

−

−

=

−

−

=

= γβαcba

2

3

1

−==

−=

γβ

α


In einer Basis sind Objekte/ Vektoren enthalten, die einen zugehörigen n-dimensionalen Raum komplett aufspannen können.

Demzufolge besteht der Euklidische Vektorraum aus den 3 Koordinaten-Einheits-Vektoren:

Grundvoraussetzung ist die lineare Unabhängigkeit, d.h. eine begrenzte Anzahl von linear unabhängiger Vektoren bilden eine Basis, wobei die Anzahl der enthaltenen Vektoren die Dimension des Raums angibt.

Die Dimension ist unabhängig von der Anzahl der Komponenten/ Koordinaten eines Vektors.

=

=

=1

0

0

;

0

1

0

;

0

0

1

321 eeerrr

3ℜ

linear unabhängig

normiert (Länge 1)

orthogonal

Orthonormalsystem

Beispiel: Die drei Vektoren (letztes Beispiel) sind linear unabhängig und bilden demzufolge

auch eine Basis. Da es sich um drei Basisvektoren handelt, spannen Sie einen Raum

der 3. Dimension auf.


Frage: Bilden die gegebenen Vektoren eine Basis des ?

0

5

1

3

;

3

1

2

;

2

3

1rrrrrrr

=⋅+⋅+⋅

−=

−=

−= cbacba γβα

3ℜ

0532

0113

0321

=+−−=++=−+

γβαγβαγβα )3(| −⋅ 2| ⋅

++

0110

01050

0321

=−+=+−=−+

⇔γβ

γβγβα

5| ⋅ +

0

0500

0110

0321

===⇔=+=−+=−+

⇔ γβαγγβγβα

Triviallösung: Die Vektoren sind linear unabhängig.

Es handelt sich somit um eine Basis

−

−

−=

5

1

3

;

3

1

2

;

2

3

1

B mit der Dimension 3.

Somit kann durch diese Basis der aufgespannt werden.3ℜ


1)

−=

−=

−=

=6

5

6

;

3

2

2

;

0

1

5

;

3

1

2

dcbarrrr

Sind die folgenden 3 Vektoren linear unabhängig?

Stellen Sie den Vektor als Linearkombination von dar.

cbarrr

,,

cbarrr

,,dr

2) Prüfen Sie, ob die gegebenen Vektoren eine Basis bilden und geben die maximal mögliche Dimension mit dem zugehörigen Raum an.

−

=

−

=

=

−=

4

0

7

9

;

1

2

1

3

;

5

1

0

2

;

3

1

2

1

dcbarrrr

3) Bestimmen Sie die Parameter so, dass das Vektorsystem mit

, und linear unabhängig ist.

ℜ∈βα , )3v,2v,1v(T)1,,1(1v −= α T)0,1,2(2v = T)1,,3(3v β−−=

,

,


Stellen Sie den Vektor als Linearkombination der Vektoren dar.1)

Bilden die gegebenen Vektoren eine Basis? Geben Sie die max. mögliche Dimension an.2)

−=

4

2

1

3

ar

−

−=

2

3

2

1

br

=

5

4

11

1

xr

=

1

3

1

2

ar

xr

dcbarrrr

,,,

−

−

=

3

2

2

1

br

−−

=

2

1

2

3

cr

−

−

=

2

2

3

2

dr

−=

1

2

3

1

cr

−

−

=

2

8

9

3

dr

3ℜ=ℜℜℜ xxAls Grundlage für Geraden- und Ebenenberechnung im 3-dimensionalen Raum dient der Euklidische Verktorraum .

Die Vektoren können nicht nur senkrecht, sondern auch in der waagerechten der sogenannten transponierten Form dargestellt werden.

Tzyx );;(

Tzyxp );;(=

r

jk

i

T

T

T

k

j

i

)1;0;0(

)0;1;0(

)0;0;1(

=

=

=Koordinaten-einheitsvektoren

X-Achse

Z-Achse

Y-Achse

Winkel:

Betrag:222

zyxrp ++==r

r

zpk

r

ypj

r

xpi === ),cos(;),cos(;),cos(

rrr



Für die Vektorrechnung im Bereich von Geraden, Ebenen und Körper ist es wichtig die beiden möglichen Arten von Vektoren zu unterscheiden.

Ortsvektor: Stellt die direkte Verbindung vom Ursprung zu einem beliebigen Punkt im Raum dar.

Richtungsvektor: Werden zwei beliebige Punkte im Raum verbunden, so erhält man den Richtungsvektor, der sich stets ausder Differenz zwischen Endpunkt und Anfangspunkt berechnet.

Aa 0=r

abABrr

−=

X-Achse

Y-Achse

ar

br

xr

Beispiel:

Ortsvektor:

Richtungsvektor:

−=

=

2

1;

1

3barr

−−

=

−

−=

3

2

1

3

2

1xr

Eine Gerade ist die graphische Darstellung einer linearen Gleichung bestehend aus Steigung und Startpunkt bzw. Achsenabschnitt und wird in folgenden zwei Arten dargestellt.

Parameterfreie Form:b=Achsenabschnitt; m = Steigung

Parameterform:= Ortsvektor (Startpunkt); = Richtungsvektor

bxmy +⋅=

ABax ⋅+= αrr

ar

)7;2(

)5;3(

==

B

A

AB

Beispiel:

Parameterfreie Form:

Parameterform:

232

57 −=−−=

∆∆=

x

ym

112)2(7 =⋅−−=⋅−= xmyb112 +⋅−= xy

−⋅+

−=

−−−−−

⋅+

−=

−=∧

−=

5

1

3

3

1

2

)3(2

12

2)1(

3

1

2

2

2

1

3

1

2

ααxbarrr


2)

)3;2();5;2( −== BA

Berechnen Sie sowohl die parameterfreie als auch die Parameterform der Gerade durch die folgenden Punkte und fertigen Sie eine Skizze an.

3) Geben Sie die Parameterform der Geraden durch folgende Punkte an.

=

−=

2

2

1

;

1

3

2

barr

,

,

a) )6;2();3;1( −=−= BAb)

a)

−=

−=4

2

5

;

2

3

4

barr

b)

4) Prüfen Sie, ob die folgenden 3 Punkte auf einer Geraden liegen.

−=

−=

−=

1

6

5

;

2

1

2

;

3

4

1

cbarrr

a) b)

−=

−=

−−=

2

1

2

;

3

1

4

;

1

2

3

zyxrrr

1) Berechnen Sie das äußere Produkt der folgenden Vektoren.

TTba )5;2;1(;)3;1;2( −=−=rr

a) b) TT bc )1;3;5(;)1;4;2( =−=rr


Im Euklidischen Vektorraum handelt es sich um einen 3-dimensionalen Raum, der durch die 3 Koordinanteneinheitsvektoren als Basis definiert ist.Da eine Gerade nur ein 2-dimensionales Objekt ist, existieren insgesamt vier mögliche Lagerelationen:

Gerade = Startpunkt + Parameter * Richtungsvektor

parallel: linear abhängige Richtungsvektoren, wobei der Startpunkt der ersten Gerade nicht auf der zweiten Geraden liegt.

identisch: linear abhängige Richtungsvektoren, wobei der Startpunkt der ersten Gerade auf der zweiten Geraden liegt.

schneiden sich: linear unabhängige Richtungsvektoren. Beim Gleichsetzen der beiden Geraden ergibt sich eine eindeutige Lösung für die Parameter.

windschief: linear unabhängige Richtungsvektoren. Beim Gleichsetzen der beiden Geraden ergibt sich ein Widerspruch für die Parameter.

3ℜ


Aufgrund der definierten Lagerelationen ergibt sich der folgende Entscheidungsbaum:

1111 : baxgrrr

⋅+= α 2222 : baxgrrr

⋅+= β

21 bbrr

⋅= γ

112 baarrr

⋅+= α 21 gg =

JA NEIN

JA JA NEINNEIN

identisch parallel Schnittpunkt windschief

Abhängigkeit der Richtungsvektoren

Gleichsetzen der GeradenPrüfen des Startpunkts


Beispiel:

1. Abhängigkeit der Richtungsvektoren:

2. Gleichsetzen der Geraden:

Aufgrund des Widerspruchs müssen die beiden Geraden windschief zueinander liegen.

−−⋅+

−=

4

2

3

2

3

1

: 11 αxgr

−⋅+

−=

1

2

1

4

1

2

: 22 βxgr

4

1

3

1

2

1

4

2

3

−===

−⋅=

−−

γγγ

γ

614

222

313

21

=−−−=−−=−

⇔=βα

βαβα

gg

2| ⋅ )1(| −⋅

907

804

313

=−−=−=−

⇔α

αβα

7

92 −=∧−=⇔ αα


1) Wie liegen die folgenden Geraden zueinander?

2) Bestimmen Sie die Parameterform der Geraden und geben deren Lage zueinander an.

−=

−−

=2

1

4

;

3

4

1

:1 bagrr

,

,

a)

a)

−

−⋅+

−=4

8

2

1

5

2

: 11 αxgr

−⋅+

−

−=

2

4

1

2

3

1

: 22 βxgr

b)

−⋅+

−=5

2

1

5

3

1

: 11 αxgr

−−⋅+

−−=

8

5

2

3

6

2

: 22 βxgr

−=

=4

7

6

;

1

2

9

:2 dcgrr

( ) ( )TTbag 3;1;1;5;2;2:1 −=−=rr

b) ( ) ( )TTdcg 5;2;3;2;3;1:2 −=−=rr



,

,

a)

−⋅+

=5

2

1

5

3

1

: 11 αxgr

⋅+

=4

3

2

7

1

2

: 22 βxgr

b)

−⋅+

=4

2

1

5

3

2

: 11 αxgr

−

−⋅+

−=

12

6

3

3

7

0

: 22 βxgr


2) Prüfen Sie, ob die folgenden 3 Punkte auf einer Geraden liegen.

−=

=

−−

=5

1

2

;

3

4

5

;

1

2

3

cbarrr

a) b)

=

−−

=

−=

0

12

2

;

6

3

4

;

2

5

2

zyxrrr


Liegen die folgenden 3 Punkte auf einer Geraden?1)

2)

TTT cba )1;5;6(;)1;2;4(;)3;1;2( −−=−==rrr

Bestimmen Sie die Parameterform der Geraden und geben deren Lage zueinander an.

( ) ( )TTbag 2;2;4;1;2;3:1 −=−=rr ( ) ( )TT

dcg 8;4;1;2;4;3:2 −−=−=rr


−⋅+

−=

2

1

4

2

5

3

: 11 αxgr

−−⋅+

−=

4

1

3

6

2

8

: 22 βxgr


Eine Ebene im wird ähnlich wie eine Gerade durch Orts- und Richtungsvektoren definiert,wobei die Parameterform mittels einem Orts- und zwei zugehörigen Richtungsvektoren gebildet werden kann.Bei der Bildung der Ebenengleichung ist die lineare Unabhängigkeit der Vektoren Voraussetzung.

3ℜ

Beispiel: ( ) ( ) TTTcba )5;3;1(;2;2;4;1;2;3 −−=−=−=rrr

−−−−−−

⋅+

−−−−

−⋅+

−=

)1(5

23

31

)1(2

22

34

1

2

3

: βαxer

acabaxe ⋅+⋅+= βαrr:

ℜ∈

−

−⋅+

−⋅+

−= βαβα ,;

4

1

4

3

4

1

1

2

3

: xer


Die sogenannte parameterfreie Darstellung basiert auf der Hesse‘schen Normalform und lautet in der allgemeinen Beschreibung .

Voraussetzung zur Bildung ist des Stellungsvektors.Bei dem Stellungsvektor handelt es sich um den Vektor, der senkrecht auf der zugehörigen Ebene steht. Er wird mittels äußerem Produkt der Stellungsvektoren gebildet.

Beispiel:

dzcybxa =⋅+⋅+⋅

ℜ∈

−−−

⋅+

−−

⋅+

−= βαβα ,;

4

1

4

3

4

1

1

2

3

: xer

−−=

−⋅−−−⋅−−⋅−−−⋅⋅−−−⋅−

=

−−−

×

−−

=15

16

19

)4()4()1()1(

)1()4()4(3

3)1()4()4(

4

1

4

3

4

1

nr

=

−−

c

b

a

15

16

19

dzyx =⋅−⋅−⋅ 151619

40)1(15216319 =−⋅−⋅−⋅ 40151619 =⋅−⋅−⋅ zyx


Will man die gegenseitige Lage von einer Geraden zu einer Ebene näher bestimmen, so werden die beiden Gleichungen in der Parameterform gleichgesetzt und mittels Gaußverfahren gelöst.

Es entstehen dadurch 3 unterschiedliche Lösungsklassen:

Keine Lösung: Die Gerade verläuft parallel zur EbeneEine Lösung: Es existiert ein Schnittpunkt zwischen Gerade und EbeneUnendliche Lösungen: Die Gerade liegt in der Ebene

Beispiel: ℜ∈

−⋅+

=∧

−−−

⋅+

−−

⋅+

−= γβαγβα ,,;

1

1

2

1

2

2

:

3

1

4

3

4

1

4

2

3

: xgxerr

533

04

124

=+−=−−−

−=−−−=

γβαγβαγβα

ge

)4(| −⋅ )3(| ⋅

25150

47150

124

=−−=

−=−−−⇔

γβγβγβα

3;15

17;

15

7

6200

47150

124

=−=−=⇔==

−=−−−⇔ γβα

γγβγβα

Schnittpunkt

− 2

5

8


Will man die gegenseitige Lage von einer Ebene zu einer Ebene näher bestimmen, so werden die beiden Gleichungen ähnlich wie bei Geraden/ Ebenen gleichgesetzt und können u.a. ebenfalls mittels Gaußverfahren gelöst.

Da es sich bei dem zugehörigen Vektorraum um das Euklidische System handelt, entfällt die Möglichkeit der windschiefen Lage.

Dadurch entstehen 3 unterschiedliche Lösungsklassen:

Keine Lösung: Die erste Ebene verläuft parallel zur zweiten EbeneEs entsteht aufgrund des Gleichungssystems ein Widerspruch

bzw. sind die beiden Stellungsvektoren linear abhängig.

Unendliche Lösungen I: Die erste Ebene schneidet die zweite Ebene (Schnittgerade)Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist von einer Variablen abhängig bzw. sind die Stellungsvektoren linear unabhängig.

Unendliche Lösungen II: Die erste Ebene liegt in der zweiten Ebene (Identität).Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist von zwei Variablen abhängig bzw. sind die Stellungsvektoren linear abhängig und der zugehörige Abstand ist Null.


Da es relativ kompliziert ist drei Gleichungen mit 4 Unbekannten mittels Gaußverfahren nach den richtigen Variablen freizustellen, empfiehlt es sich mittels der Stellungsvektoren der Ebenen die Lage der Ebenen zu klassifizieren.Dadurch ergibt sich die folgende Lösungsmethodik:

1. Parameterfreien FormEs wird im ersten Schritt mittels Stellungsvektoren die parameterfreie Form gebildet.

2. Abhängigkeit der Richtungsvektoren:Sind die beiden Stellungsvektoren linear abhängig muss mittels Abstand Parallelität oder Identität geprüft werden. Sonst liegt eine Schnittgerade vor.

3. Äußeres Produkt:Durch Bildung des äußeren Produkts (Vektorprodukt) der Stellungsvektoren der beiden Ebenen erhält man den Richtungsvektor der Schnittgeraden.

4. Gemeinsamer Punkt:Mittels Vorbelegung einer beliebigen Variablen und anschließender Lösung des entstehenden Gleichungssystems kann ein gemeinsamer Punkt (Startvektor) berechnet werden.


Beispiel: ℜ∈

−+

−

−⋅+

−=∧

−−−

⋅+

−−

⋅+

−= δγβαδγβα ,,,;

2

2

3

1

1

2

2

2

3

:

3

1

1

3

2

1

4

2

3

: 21 xexerr

=

−×

−

−=

−=

−−−

×

−−

=1

1

0

2

2

3

1

1

2

:;

1

0

9

3

1

1

3

2

1

: 2211 nenerr

4220110:

31402709:

2

1

=++⇔=++=++⇔=−+

dzyxe

dzyxe

4:

319:

2

1

=+

=−

zye

zxe

45:3159:5 21 =+∧=−= yexez

14 −=∧=⇔ yx

Parameterfreie Darstellung:

−=

×

−=×

9

9

1

1

1

0

1

0

9

21 nnrr

Richtungsvektor der Schnittgeraden:

Startvektorder Schnittgeraden:

−+

−=9

9

1

5

1

4

: εxgr

Schnittgeraden


Bilden Sie die parameterfreie Darstellung und die Parameterform der folgenden ?1)

2)

TTT cba )2;2;1(;)1;2;4(;)3;1;2( −=−==rrr

Bestimmen Sie die jeweils andere Darstellungsform der Ebenen.

3) Wie liegen die folgenden Ebenen zueinander?

5432: =+− zyxe

−⋅+

−⋅+

−=1

2

3

2

1

2

1

2

1

: βαxer

a) b)

−⋅+

⋅+

−=3

0

1

1

2

3

4

1

2

:1 βαxer

−⋅+

−⋅+

−=

3

1

3

4

1

2

2

0

1

:2 δγxer


Bilden Sie die parameterfreie Darstellung der folgenden Ebenen und deren Lage.2)

3) Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Gerade und Ebene zueinander.

4) Wie liegen die folgenden Ebenen zueinander?

+

=3

1

2

3

8

3

: εxgr TTTe )1;4;2(,)2;1;3(,)5;2;1(: −

−

−⋅+

−⋅+

−=

1

2

1

1

2

4

3

2

1

:1 βαxer

−⋅+

⋅+

−=

4

4

1

0

8

10

2

3

2

:2 δγxer

TTTe )4;2;2(,)0;2;2(,)1;1;1(:1 −−−− TTTe )1;2;1(,)1;6;3(,)1;0;2(:2 −−

Bilden Sie die Parameterdarstellung der folgenden Geraden und deren Lage.1)TTg )4;7;0(,)2;3;1(:1

TTg )6;9;7(,)6;8;10(:2 −−


Zur Berechnung von einem Abstand definieren wie den Punkt Q und die Gerade in der Form

mit als Startpunkt und als Richtungsvektor der Geraden n.

Punkt zu Gerade:

Gerade zu Gerade (parallel):

Gerade zu Gerade (windschief):

1

11 )(

b

PQbd r

r−×

=

nnnn bPxgrr

⋅+= α:nP nb

r

1

121 )(

b

PPbd r

r−×

=

21

2112 )()(

bb

bbPPd rr

rr

×

×∗−=


Beispiel Punkt zu Gerade:

−⋅+

−−=

4

2

3

2

4

3

: 11 αxgr

=3

1

2

Q

−

−−−−−−

−

=

−

−×

−

=

−

−−−

×

−

=

4

2

3

)2(15

)15(4

2010

4

2

3

5

5

1

4

2

3

4

2

3

2

4

3

3

1

2

4

2

3

d

1

11 )(

b

PQbd r

r−×

=

67,329

390

42)3(

)13(11)10(

222

222

≈=++−

−++−=d


Beispiel Gerade zu Gerade:(parallel)

⋅+

−−=

3

1

2

3

1

2

: 11 αxgr

−−−−

−

=

−×

=

−−−

×

=

3

1

2

)1(8

143

127

3

1

2

7

4

1

3

1

2

3

1

2

3

1

2

4

3

1

3

1

2

d

31,514

395

312

9)17()5(

222

222

≈=++

++−=d

1

121 )(

b

PPbd r

r−×

=

⋅+

=9

3

6

4

3

1

: 22 βxgr


Gerade zu Gerade:(windschief)

−⋅+

−=

2

1

4

2

5

3

:1 αxgr

−

−⋅+

−=

1

2

3

1

2

2

:2 βxgr

2225)2()3(

5

2

3

3

3

5

1

2

3

2

1

4

1

2

3

2

1

4

2

5

3

1

2

2

+−+−

−−

∗

−−

=

−

−×

−

−

−×

−∗

−−

−=d

89,338

24

38

15615≈=

−+−=

21

2112 )()(

bb

bbPPd rr

rr

×

×∗−=


Zur Berechnung von einem Abstand definieren wie den Punkt Q sowie die Gerade in der Form

mit als Startpunkt und als Richtungsvektor der Geraden n und die

zugehörige Ebene in der parameterfreien Darstellung .

Aufgrund der parameterfreien Form der Ebene ergibt sich direkt der Stellungsvektor

Die Abstände werden wie folgt definiert:

Punkt zu Ebene:

Gerade/Ebene zu Ebene:

n

PQnd r

r)( 0−∗

=

nnnn bPxgrr

⋅+= α:nP nb

r

n

nPPd r

r∗−

=)( 12

dzcybxae =⋅+⋅+⋅:

Tcban );;(=r

222cba

dczbyaxd

++

−++= Hessesche Normalform


Ebene zu Ebene :(parallel)

Punkt zu Ebene :

3352:1 =+− zyxe 86104:2 =−+− zyxe

14,138

7

3)5(2

9108

3

5

2

3

5

2

1

2

5

2

0

1

222≈=

+−+

−+−=

−

−∗

−

−=d

n

nPPd r

r∗−

=)( 12

523:1 =−+− zyxe )1;4;2(=Q

222cba

dczbyaxd

++

−++= 8,014

3

)2(3)1(

512432)1(

222≈=

−++−

−⋅−⋅+⋅−=d


1. Punkt zu Gerade:

2. Punkt zu Ebene (parallel):

3. Gerade zu Gerade (windschief):

4. Gerade zu Ebene:

)1;2;1();3;1;2(: −== BAg )2;5;2( −=Q

−

−⋅+

−⋅+

=1

3

2

2

1

3

2

0

1

: βαxer

1332: =++ zyxe

)15;1;4(=Q

−⋅+

=4

3

1

3

1

2

:1 αxgr

⋅+

−=

3

0

4

1

5

1

:2 βxgr

−−

⋅+

−=

2

4

1

1

1

0

: αxgr


1. Punkt zu Gerade:

2. Punkt zu Ebene:

3. Gerade zu Gerade :

4. Gerade zu Ebene:

)2;5;2();4;1;3(: −=−= BAg )1;3;2(−=Q

TTTe )1,2,1(;)4,3,1(;)5,1,2(: −−−−

42: =+− zyxe

)4;1;2( −=Q

−⋅+

−=

1

4

2

5

3

1

:1 αxgr

−

−⋅+

−=3

12

6

1

2

3

:2 βxgr

−⋅+

=1

3

2

0

2

1

: αxgr

Welche neuen Begriffe habe ich kennen gelernt?


Torsten Schreiber 147PreStudy 2019

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