08-11-05 © Roland Angst 8. Übungsstunde Zeit:13h-15h Datum: 6.11.08 Raum: IFW B42 Linear Algebra...

08-11-05 © Roland Angst

8. Übungsstunde

Zeit: 13h-15hDatum: 6.11.08Raum: IFW B42

Linear Algebra HS08


Organisatorisches

■ Wechsel des Dozenten und Hauptassistenten■ Prof. Marc Pollefeys

▪ Vorlesung in Englisch

■ Roland Angst


Organisatorisches

■ Theoretische Aufgaben■ Behebe klar ersichtliche Fehler (Gegenprobe)

▪ Nicht einfach im Kommentar Rechenfehler erwähnen

■ Lösungsweg sollte klar ersichtlich sein

■ Praktische Aufgaben■ gesunden Menscherverstand einsetzen■ Nicht eingebaute Matlab-Funktion aufrufen um

eigentliche Aufgabe zu umgehen■ In Zukunft striktere Korrektur


Neue Übung (Serie 7)

■ Spätester Abgabetermin:■ 20. November 2008

■ 3 theoretische + 1 praktische Aufgaben


Repetition: Vektorraum

■ Nichtleere Menge mit zwei Operationen■ Addition:■ Skalare Multiplikation:■ Mit 8 Axiomen

▪ V1▪ V2▪ V3▪ V4▪ V5▪ V6▪ V7▪ V8

Skalarenkörper


Beispiele

■ Im Intervall [a,b] definierte, stetig reelle Funtionen■ Punktweise Addition

■ Punktweise skalare Multiplikation:

■ Im Intervall [a,b] m-mal stetig differenzierbare Funktionen

■ Polynome mit maximalem Grad m■ Details siehe später


Körper

■ Nichtleere Menge mit zwei Operationen■ Addition:■ Multiplikation:■ Mit 10 Axiomen


Definitionen

■ Linearkombination einer Vektormenge

■ Beispiel


Definitionen

■ Aufgespannter (oder erzeugter) Unterraum einer Vektormenge■ Menge aller möglichen Linearkombinationen

■ Beispiele■ Polynome vom max. Grad m

■ Spalten einer Matrix (siehe Aufg. 7.1 & 7.2.b)


Definitionen

■ Linear unabhängige Vektormenge

■ Linear abhängige Vektormenge

■ ist Linearkombination der restlichen Vektoren


Aufgabe 7.1

■ Abhängigkeiten von Vektoren■ Linear abhängig?

▪ Nicht-triviale Lösung für

■ Errinnerung: Aufgespannter Unterraum einer Vektormenge


Aufgabe 7.1

■ Abhängigkeiten von Vektoren■ Linear abhängig?

▪ Nicht-triviale Lösung für

▪ Rang von A < n Mittels Gauss-Elimination zu bestimmen

■ Linear unabhängig?▪ Rang von A = n (vollen Spaltenrang)

■ Erzeugend?▪ Jeder Vektor des Vektorraums lässt sich als Linearkombination des

Erzeugendensystems darstellen▪ Gleichungssystem hat Lösung für jede RHS

Rang von A = m (vollen Zeilenrang)


Aufgabe 7.1

Linear unabhängig Rang von A = n (vollen Spaltenrang)

Linear abhängigRang von A < n (nicht triviale Lösungen)

ErzeugendRang von A = m (vollen Zeilenrang)

Basis reguläre MatrixRang von A = n

=

=

=

=

•

•

•

•


Aufgabe 7.2

■ Unterräume■ Nichtleere Teilmenge U eines Vektorraums V die

bzgl. Addition und skalarer Multiplikation abgeschlossen ist

■ Ein Unterraum ist selbst auch ein Vektorraum


Aufgabe 7.2

■ Wie zeigt man ob U ein Unterraum von V ist?■ Abgeschlossen bzgl. Addition■ Abgeschlossen bzgl. Skalarer Multiplikation

■ Beispiele■ Ist der Nullraum ein Unterraum?

▪ Falls ja, von welchem Vektorraum?

■ Lösungsmenge eines homogenen Gleichungssystems

?▪ Beweis, Gegenbeispiel?


Aufgabe 7.2

■ Aufgabe 7.2.a■ Zeige wieso Lösungsmenge eines inhomogenen

Gleichungssystems kein Unterraum ist

■ Aufgabe 7.2.b■ Zeige, dass ein

Unterraum ist.


Aufgabe 7.3

■ = Vektorraum der Polynome vom maximalen Grad m

■ Addition

■ Skalare Multiplikation

■ Rein algebraische Definition■ Potenzen sind “Platzhalter”■ Dimension dieses Vektorraums?


Aufgabe 7.3.a

■ Basis für Polynom-Vektorraum■ Erzeugend■ Linear unabhängig

■ Standardbasis■ Monome:

▪ Erzeugend▪ Linear unabhängig


Aufgabe 7.3.a

■ Vektorraum:■ Mögliche Basis:■ Tipp: Satz 4.12

■ Jeder Vektor? ■ Wähle Monombasis


Aufgabe 7.3.a

■ Zu zeigen■ Jedes Polynom in Monombasis impliziert eine

eindeutige Linearkombination bzgl. Basispolynomen der anderer Basis

■ ist bekannt in Monombasis▪ Einsetzen▪ Koeffizientenvergleich der Monomterme▪ Liefert Gleichungssystem für


Aufgabe 7.3.b

■ Trivial, wenn 7.3.a gelöst…


Aufgabe 7.3.c

■ Polynom in unserer Basis

■ Gegeben■ 4 Funktionswerte yi an 4 verschiedenen Stellen ti

■ 4 Bedingungen…


Aufgabe 7.4

■ Matlab-Aufgabe■ Implementiere Vorgehen in Aufgabe 3.c in Matlab■ Für beliebig viele Basispolynome der gegebenen Form (d.h.

auch für mehr als m = 3)

■ 2 Funktionen■ a = interpol(t,f)

▪ A: Koeffizientent: Stützstellenf: Funktionswerte

■ f = eval_poly(a,t,tau)▪ A: Koeffizienten

t: Stützstellentau: Auswertestellenf: Funktionswerte


Aufgabe 7.4

■ Wie kann diese Polynombasis effizient ausgewertet werden?


Serie 6

■ Abgabe nächste Woche■ Fragen? ■ Probleme?


Vorlesung

■ Fragen? ■ Probleme?


Nachbesprechung Serie 4

■ Bestimme sodass orthogonal ist■ Mehrere Bedingungen an■ Sind alle erfüllt?

■ Fallunterscheidungen■

■ Komplexe Zahlen■ ■ x liegt auf Einheitskreis der komplexen Ebene



■ Matlab-Aufgabe■ Forward- und Backwardsubstitution■ Matrixprodukte anstatt Schleifen■ Gesunder Menschenverstand welche eingebauten

Matlabfunktionen verwendet werden können!



■ Individuelle Fehler■ Bei Unklarheiten zur LR-Zerlegung

■ Skript■ Mich fragen

■ Genereller Tipp■ Den Zug nicht abfahren lassen

▪ Lücken aufarbeiten um der Vorlesung folgen zu können

08-11-05 © Roland Angst 8. Übungsstunde Zeit:13h-15h Datum: 6.11.08 Raum: IFW B42 Linear Algebra...

Documents

Transcript of 08-11-05 © Roland Angst 8. Übungsstunde Zeit:13h-15h Datum: 6.11.08 Raum: IFW B42 Linear Algebra...