1 (C) 2007-09, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Finite Elemente Methoden bgFEM...

1(C) 2007-09, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz

Finite Elemente MethodenbgFEM

Pflichtwahlfach BuG/I

HS09

Hermann Knoll


Tragwerkstypen

Eindimensionaler Spannungszustand


Tragwerkstypen

Zweidimensionaler Spannungszustand


Tragwerkstypen

Dreidimensionaler Spannungszustand


Bedeutung der Symbole

• x, y, z Koordinaten

• u, v, w Verschiebungen x, y, xy, ... Dehnungen

x, y, z Normalspannungen

xy, xz, yz Schubspannungen

• E Elastizitätsmodul

• G Torsionsmodul, Schubmodul


Zustandsgrössen

• Verschiebungsgrössen (u, v, ...)

• Verzerrungsgrössen– Dehnungen (, , ...)

– Krümmungen

• Kraftgrössen (F, M, ...)

• Spannungen (, , m, ...)


Grundgleichungen

• Gleichgewichtsbedingungen

• kinematische Bedingungen(Verträglichkeit der Verzerrungen mit den Verschiebungsgrössen)

• Materialgesetz (z.B. Hooke'sches Gesetz)

• Randbedingungen: Auflager, äussere Lasten


Grundgleichungen von Fachwerkstab und Scheibe


Vorzeichendefinition der Spannungen

Positive Spannungen zeigen an einem positiven Schnittufer in die positive Koordinatenrichtung.

Das Schnittufer, dessen Normalvektor in die positive Koordinatenrichtung zeigt, heisst positives Schnittufer.


Verzerrung und Verschiebung

Die Verzerrungen lassen sich aus den Verschiebungen durch Differenzieren ermitteln.

Beim Stab gilt:

€

x =du

dx


und bei der Scheibe

€

x =∂u

∂x

εy =∂v

∂y

γ xy =∂u

∂y+

∂v

∂x


Scheibe

= L • u€

x

εy

γ xy

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟=

∂

∂x0

0∂

∂y∂

∂y

∂

∂x

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⋅u

v

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟


Spannungen

• Fachwerkstab • Scheibe

€

i =N i

Ai

τ ij =Qij

Aij


Verzerrungen

• Fachwerkstab

Dehnung

• Scheibe

Dehnungen

€

=du

dx

€

x

εy

γ xy

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟=

∂

∂x0

0∂

∂y∂

∂y

∂

∂x

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⋅u

v

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟


Hooke'sches Gesetz

• Fachwerkstab

E = Eleasitzitästmodul

• Scheibe (isotropes Material)

µ = Querdehnzahl€

x = E ⋅εx

€

x

σ y

τ xy

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟=

E

1−μ 2

1 μ 0

μ 1 0

0 01−μ

2

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⋅

εx

εy

γ xy

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟


Materialgesetze

Das Hooke'sche Gesetz ist ein Materialgesetz, welches im 1-dimensionalen Fall gültig ist.

Im 2-dimsensionalen Fall gibt es verschiedene Verhältnisse, je nachdem, ob das Material isotrop oder anisotrop ist. Die vorgängigen Gleichungen gelten für isotrope Materialien.

isotrop = in verschiedene Richtungengleichförmig strukturiert


Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen

Wenn sich ein Körper im Gleichgewicht befindet, ist für beliebige, infinitesimal kleine, virtuell auf den Körper einwirkende Verschiebungen, die die Auflagerbedingungen erfüllen, die gesamte innere virtuelle Arbeit gleich der äusseren virtuellen Arbeit.


Virtuelle Verschiebung

Eine virtuelle Verschiebung ist eine kleine, fiktive Verschiebung, die man zusätzlich zu den tatsächlichen Verschiebungen annimmt.


Virtuelle innere Arbeit im infinitesimalen Element

• Fachwerkstab


Virtuelle innere Arbeit

Die virtuelle innere Arbeit ist diejenige Arbeit, die die wirklichen inneren Kräfte leisten würden, wenn der virtuelle Verschiebungszustand aufgebracht würde.

€

Für den Fachwerkstab gilt :

dW i = Kraft ⋅differentielle virtuelle Verschiebung = σ x ⋅A( ) ⋅ ε xdx( )

Virtuelle Arbeit im gesamten System :

W i = A ⋅∫ ε x ⋅σ x ⋅dx


Scheibe


Scheibe

€

dW i = t ⋅σ x ⋅ε x ⋅dx ⋅dy + t ⋅σ y ⋅ε y ⋅dx ⋅dy + t ⋅τ xy ⋅ γ1 + γ 2( ) ⋅dx ⋅dy =

= t ⋅ σ x ⋅ε x + σ y ⋅ε y + τ xy ⋅γ xy( ) ⋅dx ⋅dy

W i = t ⋅ ε x ε y γ xy[ ]∫ ⋅

σ x

σ y

τ xy

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥⋅dxdy


Gleichgewichtsbedingung

Virtuelle innere und virtuelle äussere Arbeit müssen gleich sein:

€

W i = W a


Arbeit

Arbeit = Kraft x Weg

W = F • s = s • F


Virtuelle äussere Arbeit

Die virtuelle äussere Arbeit ist diejenige Arbeit, die die wirklichen äusseren Kräfte leisten würden, wenn der virtuelle Verschiebungszustand zusätzlich zu den wirklichen Lasten auf das System aufgebracht würde.

€

W a = u1 ⋅F1 + u2 ⋅F2 + u3 ⋅F3 + ... bzw.

W a = u1 u2 u3 ...[ ] ⋅

F1

F2

F3

...

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

€

W a = uT⋅F


Prinzip der virtuellen Kräfte

Bringt man auf einen Körper infinitesimal kleine, virtuelle Kräfte (Spannungen) auf, so ist die äussere virtuelle Arbeit gleich der gesamten inneren virtuellen Arbeit.


Typischer Verlauf einer FE-Berechnung

Vorlauf– Festlegen des Modelltyps

– Erzeugen bzw. Einlesen der Geometrie der Struktur

– Bereitstellen der Materialdaten

– Vernetzen der Struktur



Aufbau und Lösen des FE-Systems– Berechnen der Elementsteifigkeitsbeziehungen

– Zusammenbau zur Systembeziehung

– Einarbeiten der Randbedingungen

– Lösen des Gleichungssystems

– Berechnen der unbekannten Verschiebungen



Nachlauf– Berechnen der Dehnungen und Spannungen in den

Elementen

– Mitteln von Spannungsgrössen und graphische Darstellung

– Ergebnisauswertung

1 (C) 2007-09, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Finite Elemente Methoden bgFEM...

Documents

Transcript of 1 (C) 2007-09, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Finite Elemente Methoden bgFEM...