11

Geometrische Algebra Geometrische Algebra (GA)(GA)

Werner Benger, 2005Werner Benger, 2005

22

33

Abgeschlossene Vektoralgebra?Abgeschlossene Vektoralgebra?

Invertierbares Produkt von Vektoren?Invertierbares Produkt von Vektoren?Was bedeutet Vektordivision “Was bedeutet Vektordivision “aa//bb”” ??

aabb=C =C bb==aa-1-1CCBeachte: C nicht notwendigerweise Vektor!Beachte: C nicht notwendigerweise Vektor!

Inneres Produkt (nicht assoziativ): Inneres Produkt (nicht assoziativ): aabb Skalar Skalar Nicht invertierbarNicht invertierbar

z.B. z.B. aab b =0 mit =0 mit aa≠≠0, 0, bb≠≠00 aber orthogonal aber orthogonal

Äusseres Produkt (assoziativ): Äusseres Produkt (assoziativ): aabb Bivektor Bivektor Verallgemeinertes Kreuzprodukt des 3D: Verallgemeinertes Kreuzprodukt des 3D: aabb Nicht invertierbarNicht invertierbar

z.B. z.B. aab b =0 mit =0 mit aa≠≠0, 0, bb≠≠00 aber parallel aber parallel

Multiplikation von Vektoren

44

Bivektoren Bivektoren aabb

Beschreibt die durch Beschreibt die durch aa und und b b aufgespannte aufgespannte Fläche, Vorzeichen ist OrientierungFläche, Vorzeichen ist Orientierung

aabb bba a = -= -aabb

Definiert in beliebigen Dimensionen, antisymmetrisch (Definiert in beliebigen Dimensionen, antisymmetrisch ( nicht nicht kommutativ), assoziativ, distributiv, benötigt keine weitere Strukturkommutativ), assoziativ, distributiv, benötigt keine weitere Struktur

Multiplikation von Vektoren

55

Konstruktion von BivektorenKonstruktion von Bivektoren

Kein eindeutiger Rückschluss auf erzeugende Vektoren möglichKein eindeutiger Rückschluss auf erzeugende Vektoren möglich

aab b = = ((aa++λλbb))bb

aa++λλbb

bb

==

==

bbb b ==00

BasiselementBasiselement||aa|| ||bb| | sin sin

Multiplikation von Vektoren

66

Bivektoren im RBivektoren im R33

3 Basiselemente3 Basiselementeeexxeeyy, , eeyyeezz, , eezzeexx

Erweiterung: Erweiterung: eexxeeyyeezz ist Volumen ist Volumen

Multiplikation von Vektoren

77

Anforderung an Anforderung an das Geometrische Produktdas Geometrische Produkt

Für Elemente Für Elemente AA,,BB,,CC eines Vektorraumes mit eines Vektorraumes mit quadratischer Form Q(v) auf Vektoren v quadratischer Form Q(v) auf Vektoren v soll gelten:soll gelten:

1.1. Assoziativ: (Assoziativ: (AABB))CC = = AA((BBCC))

2.2. Links-distributiv: Links-distributiv: AA((BB++CC) = ) = AABB++AACC

3.3. Rechts-distributiv: (Rechts-distributiv: (BB++CC))AA= = BBAA++CCAA

4.4. Skalarprodukt: Skalarprodukt: aa22 = Q( = Q(aa) ) 11 | |aa||22

Das Geometrische Produkt

88

Eigenschaften des GPEigenschaften des GP

Satz von Pythagoras:Satz von Pythagoras: ||aa++bb||22 = | = |aa||22+|+|bb||22

((AA++BB)()(AA++BB) = ) = AA22 + + BB22

==AAAA++AABB++BBAA++BBBB

AABB = - = -BBAA für für AABB = 0 antisymm. wenn orthogonal= 0 antisymm. wenn orthogonal

Jedoch: nicht rein antisymmetrisch wegenJedoch: nicht rein antisymmetrisch wegen

||AABB||22 =|=|AA||2 2 ||BB||22 für für A ABB = 0 (d.h. = 0 (d.h. AA,,B B colinear: colinear: BB==AA))Das Geometrische Produkt

99

Geometrisches ProduktGeometrisches Produkt

William Kingdon Clifford (1845-79): William Kingdon Clifford (1845-79): Zusammenlegen von innerem und äusserem Zusammenlegen von innerem und äusserem Produkt zu geometrischem Produkt Produkt zu geometrischem Produkt AAB B (1878):(1878):

AABB :=:= A ABB AABB

Ergebnis kein Vektor, sondern Skalar + Bivektor!Ergebnis kein Vektor, sondern Skalar + Bivektor!

Operiert auf “Multivektoren”Operiert auf “Multivektoren”

Untermenge der TensoralgebraUntermenge der Tensoralgebra

Geometrisches Produkt ist invertierbar!Geometrisches Produkt ist invertierbar!

Das Geometrische Produkt

1010

MultivektorkomponentenMultivektorkomponenten

RR22: : AA = = AA00 + + AA11 e e00 + + AA22 e e11 + + AA33 e e00ee11

RR33: : AA = =

AA00

+ +

AA11 e e00 + + AA22 e e11 + + AA33 e e2 2

++

AA44 e e0 0 ee11++AA55 e e1 1 ee22++AA66 e e0 0 ee22

++

AA77 e e0 0 ee1 1 ee22

Struktur von Multivektoren

2.7819…

++ ++

++ ++

++

++

++

1111

Struktur von MultivektorenStruktur von Multivektoren

Linearkombination antisymm. Potenzen - 2Linearkombination antisymm. Potenzen - 2n n KomponentenKomponenten

0D 1 Skalar

1D 1 Skalar, 1 Vektor

2D 1 Skalar, 2 Vektoren, 1 Bivektor

3D 1 Skalar, 3 Vektoren, 3 Bivektoren, 1 Volumen

4D 1 Skalar, 4 Vektoren, 6 Bivektoren, 4 Volumen, 1 Hypervolumen

5D …

Struktur von Multivektoren

1212

UmkehrungUmkehrung

Vektoren Vektoren aa,,bb::

aab b = = ½ (½ (aab b ++ b baa)) symmetrischer Anteil symmetrischer Anteil

aab b = = ½ (½ (aab b -- b baa) ) antisymmetrischer antisymmetrischer AnteilAnteil

aab b = -(= -(aabb)) ( (eexxeeyyeezz) Dual in 3D) Dual in 3D

Rechnen mit Multivektoren

1313

Reflexion an einem VektorReflexion an einem Vektor

Einheitsvektor Einheitsvektor nn, Vektor v , Vektor v vv┴┴++vv║║

Vektor v auf n projiziert: Vektor v auf n projiziert: vv║║=(v =(v n) n n) n

Reflektierter Vektor Reflektierter Vektor w = w = vv┴┴ – – vv║ ║ = v – 2= v – 2vv║║

somit somit w = v – 2(v w = v – 2(v n) n n) n

mit GP w = v – 2[mit GP w = v – 2[½½(vn+nv) ] n = v – vnn – nvn(vn+nv) ] n = v – vnn – nvn

w = -nvnw = -nvn

Rechnen mit Multivektoren

1414

Geometrisches QuadratGeometrisches Quadrat

Betrachte (Betrachte (AABB))22 von Bivektorbasiselement von Bivektorbasiselement mit |mit |AA|=1, ||=1, |BB|=1, |=1, AABB = 0= 0

AABB==AABB=-=-BBAA

((AABB))2 2 = (= (AABB) () (AABB) = -() = -(AABB) () (BBAA)=-)=-AA((BBBB)) A A== -1-1

BasiselementBasiselement

Rotation

1515

Quaternionen Algebra mittels GAQuaternionen Algebra mittels GA

In 2D: Komplexe ZahlenIn 2D: Komplexe Zahleni:= i:= eexxeeyy, , i i2 2 = -1= -1

In 3D: QuaternionenIn 3D: Quaternioneni:= i:= eexxeeyy= = eexxeeyy, j:= , j:= eeyyeez z = = eeyyeezz, k:=, k:=eexxeezz==eexxeezz

ii2 2 = -1, j= -1, j2 2 = -1 , k= -1 , k2 2 = -1= -1

ijk = (ijk = (eexxeeyy)()(eeyyeezz)()(eexxeezz) = -1) = -1

In 4D: BiquaternionenIn 4D: Biquaternionen

Rotation

1616

Multiplikation von Multiplikation von Vektoren und BivektorenVektoren und Bivektoren

Rechtsmultiplikation entspricht Rotation (CCW)Rechtsmultiplikation entspricht Rotation (CCW)eex x i = i = eex x ((eexxeeyy) = () = (eexxeex x )) eeyy= = eeyy

==

eey y i = i = eeyy((eexxeeyy)=-)=-eeyy((eeyyeexx)= -)= -eexx

==

Rotation

1717

Allgemeine Rotation in 2DAllgemeine Rotation in 2D

Mehrfache RotationMehrfache Rotationeex x i i = (i i = (eex x i) i = i) i = eey y i = -i = -eex x = -1 = -1 eex x

Beliebiger Vektor: Beliebiger Vektor: (A(Axx eex x + A+ Ay y eeyy) i = A) i = Axx eex x ii + A+ Ay y eey y i = Ai = Axx eeyy - A- Ay y eexx

Rotation um beliebigen Winkel:Rotation um beliebigen Winkel: AA cos cos + + A iA i sin sin ≡≡ “ “AA e e ii” ”

rotiert Vektor A um Winkel rotiert Vektor A um Winkel in in FlFlääche iche i

Rotation

1818

RotorRotor

RotorRotor R:=eR:=eii =cos=cos + + ii sin sin mit mit ii Bivektor, Bivektor, i²=-1i²=-1 RR-1-1=e=e--ii =cos=cos - - ii sin sin inverser Rotorinverser Rotor In 2D In 2D ääquivalent: v Rquivalent: v R-2 -2 = R= R2 2 v = R v Rv = R v R-1-1

Jedoch bei Dim>2 Trivektor-Anteil:Jedoch bei Dim>2 Trivektor-Anteil:Rv = v Rv = v coscos + sin + sin ( (ii v + v + ii v v ))

R v RR v R-1 -1 = = vv┴ ┴ + e+ eii vv║ ║ ee--i i == vv┴ ┴ + + vv║ ║ ee-2-2ii

wegen iwegen ivv┴┴ = 0 = 0 R R vv┴ ┴ RR-1 -1 == vv┴┴

Produkt von Rotoren ist mehrfache RotationProdukt von Rotoren ist mehrfache Rotation R=ABCD, RR=ABCD, R-1-1=DCBA ist “reverse” von R=DCBA ist “reverse” von R Rotor anwendbar auf beliebige MultivektorenRotor anwendbar auf beliebige Multivektoren

Rotation

ii

1919

SymmetrienSymmetrien

Mehrfachreflexionen an rMehrfachreflexionen an r11,r,r22,r,r33, … sind , … sind HintereinanderausfHintereinanderausführung von Vektoren:ührung von Vektoren: rr33rr22rr1 1 v rv r11rr22rr3 3 (nicht m(nicht mögl. mitögl. mit Quaternionen) Quaternionen)

Symmetriegruppen in MolekSymmetriegruppen in Molekülen und ülen und Kristallen sind charakterisiert durchKristallen sind charakterisiert durch drei Einheitsvektoren drei Einheitsvektoren aa,,bb,,cc ganzzahliges Triplet ganzzahliges Triplet {p,q,r}{p,q,r} mit mit ((abab))pp = ( = (bcbc))qq = ( = (caca))rr = -1 = -1z.B.: Methan (Tetraeder) {3,3,3}, Benzol {6,2,2}z.B.: Methan (Tetraeder) {3,3,3}, Benzol {6,2,2}

2020

DifferentalgeometrieDifferentalgeometrie

Ableitungsoperator:Ableitungsoperator:

:= := eeμμ μμ mit mit μμ==//xxμμ, e, eμμee==μμ

Anwendbar auf beliebige MultivektorenAnwendbar auf beliebige Multivektoren

z.B.: mit z.B.: mit vv Vektorfeld: Vektorfeld:vv = = vv + + vvmit mit vv Gradient (Skalar) Gradient (Skalar)

und und vv Rotation (Bivektor) Rotation (Bivektor)

2121

Maxwell in 3DMaxwell in 3D

Faraday-Feld: F = Faraday-Feld: F = EE + + B B :=:=eexxeeyyeezz

Stromdichte: J = Stromdichte: J = - - jj Maxwell-Gleichung: Maxwell-Gleichung: F/ F/ tt + + F = JF = J

F = F = EE + + B B = = E E + + EE + + BB + + BBSkalar : Skalar : EE = = Vektor : Vektor : E E / / tt + + BB = -= -jj

Bivektor: Bivektor: BB / / tt + + EE = 0= 0

Pseudoskalar: Pseudoskalar: BB = 0= 0

2222

ClCl33(R) & Spinoren(R) & Spinoren

GA in 3D ist reprGA in 3D ist reprääsentierbar durch Paulimatrizen:sentierbar durch Paulimatrizen:

4 komplexe Zahlen 4 komplexe Zahlen 8 Komponenten = 2 8 Komponenten = 233

Basisvektoren {Basisvektoren {eexx,,eeyy,,eezz} mit GP haben gleiche } mit GP haben gleiche algebraische Eigenschaften wie Pauli-Matrizen {algebraische Eigenschaften wie Pauli-Matrizen {xx,,yy,,zz}}Pauli-Spinor Pauli-Spinor (2 komplexe Zahlen, 4 Komponenten) (2 komplexe Zahlen, 4 Komponenten)wegen wegen *=*= reell: reell:

= = ½½ e eBB

ein Rotor (gerader Multivektor: 1 Skalar, 3 Bivektorkomponenten), ein Rotor (gerader Multivektor: 1 Skalar, 3 Bivektorkomponenten), d.h. d.h. ist eine “Anweisung” zu strecken und zu rotieren ist eine “Anweisung” zu strecken und zu rotieren beschreibt Interaktion mit dem Magnetfeldbeschreibt Interaktion mit dem Magnetfeld

0 1

1 0

0 -i

+i 0

1 0

0 -1x x = = (( )) y y = = (( )) z z = = (( ))

2323

Spacetime Algebra (STA)Spacetime Algebra (STA)

GA in 4D mit Minkowski-Metrik (+,-,-,-)GA in 4D mit Minkowski-Metrik (+,-,-,-)

WWäähle orthogonale Basis {hle orthogonale Basis {00, , 11, , 22, , 33} } Mit 2Mit 2μμνν = = μμνν+ + ννμμ= 2= 2ηημνμν d.h. d.h. 00

22 = -= -kk

22 = 1 = 1

Struktur: 1,4,6,4,1 ( nStruktur: 1,4,6,4,1 ( n44 , 16-dimensional ) , 16-dimensional ) Bivektor-Basis: Bivektor-Basis: k k := := kk 00

Pseudoskalar: Pseudoskalar: 00 11 2 2 3 3 = = 112233

1 {1 {μμ} {} {kk, , kk} {} {μμ} } 1 Skalar 4 Vektor 6 Bivektoren 4 Pseudovektoren 1 Pseudoskalar1 Skalar 4 Vektor 6 Bivektoren 4 Pseudovektoren 1 Pseudoskalar

2424

Basis-Bivektoren der STABasis-Bivektoren der STA

kk: 3 zeitartige Bivektoren: 3 zeitartige Bivektoren

k k : 3 raumartige Bivektoren: 3 raumartige Bivektoren

xxyy

zz

x x yyzz

2525

Struktur von BivektorenStruktur von Bivektoren

Beliebiger Bivektor darstellbar Beliebiger Bivektor darstellbar als als

B = BB = Bkkkk = a = ak k kk + + bbkkk k = = aa + + bb a,ba,b: 3-Vektoren (relativ zu: 3-Vektoren (relativ zu 00)) aa zeitartiger Anteil zeitartiger Anteil bb raumartiger Anteil raumartiger Anteil

Einteilung inEinteilung in ““komplexer” Bivektor:komplexer” Bivektor:

keine gemeinsamen Richtungen, keine gemeinsamen Richtungen, spannt vollen Raum aufspannt vollen Raum auf

““simpler” Bivektor:simpler” Bivektor:eine Richtung gemeinsam, eine Richtung gemeinsam,

reduzierbar auf einzelnes reduzierbar auf einzelnes “Blatt”“Blatt”

2626

Spacetime-RotorSpacetime-Rotor

Raumzeit-Rotor: R = eRaumzeit-Rotor: R = eBB =e =ea+a+b b e e|B| B/|B||B| B/|B|

R = eR = eaa++bb= = eeaaeebb = = [cosh a + sinh a ][cosh a + sinh a ] [ cos b + [ cos b + sin b ] sin b ] = =

[cosh |a| + a/|a| sinh |a| ][cosh |a| + a/|a| sinh |a| ] [cos |b| + [cos |b| + b/|b| sin|b| ] b/|b| sin|b| ]

Interpretation:Interpretation:Rotation in raumartiger Ebene Rotation in raumartiger Ebene bb um Winkel um Winkel |b||b|

Hyperbolische Rotation in zeitartiger Ebene Hyperbolische Rotation in zeitartiger Ebene aa==aa 0 0

mit “Boost-Faktor” (Geschwindigkeit) mit “Boost-Faktor” (Geschwindigkeit) tanhtanh|a||a|

Lorentz-Transformation in Lorentz-Transformation in aa , , 00 !!

2727

Maxwell Gleichungen in 4DMaxwell Gleichungen in 4D

Vierdimensionaler Gradient Vierdimensionaler Gradient := := μμμμ

Elektromagnetisches 4-Potential A:Elektromagnetisches 4-Potential A: F = F = A = A = A - A - AA

wobei wobei A=0 in Lorentz-EichungA=0 in Lorentz-Eichung

Faraday-Feld: F = (E + Faraday-Feld: F = (E + B) B) 0 0

Reiner Bivektor (vgl. 3D), jedoch komplex:Reiner Bivektor (vgl. 3D), jedoch komplex:

E zeitartiger Anteil, B raumartigE zeitartiger Anteil, B raumartig

Maxwell-Gleichung: Maxwell-Gleichung: F = J F = J vgl. Formenkalkül: d*F = J mit F eine 2-Form, F=dAvgl. Formenkalkül: d*F = J mit F eine 2-Form, F=dA

2828

Dirac-GleichungDirac-Gleichung

Relativistischer Impuls in SchrRelativistischer Impuls in Schröödingergleichung:dingergleichung: E=pE=p22/2m /2m E E2 2 = m= m22 – p – p22

((αα00mcmc²² + + ∑∑ ααjj p pjj c c)) = i = i ħħ / / t tmit mit ααj j Dirac-Matrizen (4Dirac-Matrizen (44)4)

in Dirac-Basis: in Dirac-Basis: 00 = = αα00, , ii = = αα00 ααi i mit [mit [μμ,,νν]] = 2 = 2 ηημνμν

Kovariante SchreibweiseKovariante Schreibweise ∑∑ μμ μμ = mc = mc²²

In GA haben Basisvektoren {In GA haben Basisvektoren {00, , 11, , 22, , 33} } gleiche algebraischen Eigenschaften wie Dirac-gleiche algebraischen Eigenschaften wie Dirac-Matrizen:Matrizen:

= mc= mc²² 00

2929

GA in der ComputergraphikGA in der Computergraphik

Homogene Koordinaten (4D):Homogene Koordinaten (4D):ZusZusäätzliche Koordinate etzliche Koordinate e, 3-Vektor: A, 3-Vektor: Aii / A / A

Erlaubt einheitliche Beschreibung von Richtungen Erlaubt einheitliche Beschreibung von Richtungen und Punkten, Standard z.B. in OpenGLund Punkten, Standard z.B. in OpenGL

Konforme, homogene Koordinaten (5D):Konforme, homogene Koordinaten (5D):ZusZusäätzliche Koordinaten etzliche Koordinaten e00, e, e

Signatur (+,+,+,+,-) , eSignatur (+,+,+,+,-) , e00ee=-1, |e=-1, |e00|| = |e= |e|| =0=0

Erlaubt Beschreibung geometrischer Objekte Erlaubt Beschreibung geometrischer Objekte (Kugel, Linie, Ebene, …) als Vektoren in 5D(Kugel, Linie, Ebene, …) als Vektoren in 5DVereinigungen und Schnitte von Objekten sind Vereinigungen und Schnitte von Objekten sind algebraische Operationen (“meet”, “join”)algebraische Operationen (“meet”, “join”)

3030

Objekte in Konformer 5D GAObjekte in Konformer 5D GA

PunktPunkt x + ex + e00 + |x| + |x|22/2 e/2 e

Paar von PunktenPaar von Punkten aabb

LinieLinie aabbee

KreisKreis aabbcc

EbeneEbene aab b c c ee

KugelKugel aabbccdd

3131

ImplementierungenImplementierungen

Auswertung zur Laufzeit Auswertung zur Laufzeit geoma (2001-2005), GABLE geoma (2001-2005), GABLE

(symbolic GA)(symbolic GA)

Matrix-basiertMatrix-basiert CLU (2003)CLU (2003)

Code-GeneratorCode-Generator Gaigen (-2005)Gaigen (-2005)

Template Meta Programming Template Meta Programming GLuCat, BOOST (~2003)GLuCat, BOOST (~2003)

Erweiterung von Erweiterung von ProgrammiersprachenProgrammiersprachen

3232

LiteraturLiteratur

http://modelingnts.la.asu.edu/http://modelingnts.la.asu.edu/ http://www.mrao.cam.ac.uk/˜cliffordhttp://www.mrao.cam.ac.uk/˜clifford

David Hestenes: David Hestenes: New Foundations for Classical Mechanics (Second Edition)New Foundations for Classical Mechanics (Second Edition) . . ISBN 0792355148ISBN 0792355148, , Kluwer Academic Publishers (1999)Kluwer Academic Publishers (1999)

Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the Mathematical Language of Physics Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the Mathematical Language of Physics (David Hestenes)(David Hestenes)

Geometric (Clifford) Algebra: a practical tool for efficient geometrical representationGeometric (Clifford) Algebra: a practical tool for efficient geometrical representation (Leo Dorst, (Leo Dorst, University of Amsterdam)University of Amsterdam)

An Introduction to the Mathematics of the Space-Time AlgebraAn Introduction to the Mathematics of the Space-Time Algebra (Richard E. Harke, University of (Richard E. Harke, University of Texas)Texas)

EUROGRAPHICS 2004 Tutorial:EUROGRAPHICS 2004 Tutorial: Geometric Algebra and its Application to Computer Graphics Geometric Algebra and its Application to Computer Graphics (D. (D. Hildenbrand, D. Fontijne, C. Perwass and L. Dorst)Hildenbrand, D. Fontijne, C. Perwass and L. Dorst)

Rotating Astrophysical Systems and a Gauge Theory Approach to GravityRotating Astrophysical Systems and a Gauge Theory Approach to Gravity (A.N. Lasenby, C.J.L. (A.N. Lasenby, C.J.L. Doran, Y. Dabrowski, A.D. Challinor, Cavendish Laboratory, Cambridge), astro-ph/9707165Doran, Y. Dabrowski, A.D. Challinor, Cavendish Laboratory, Cambridge), astro-ph/9707165