1 Kapitel 5: Zustandsgleichung und Zustandsänderung idealer Gase Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 5.1...

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Kapitel 5: Zustandsgleichung und Zustandsänderung idealer Gase

Pro

f. D

r.-I

ng

. C

h.

Fra

nke

5.1 Gasgleichung, Gaskonstante und Molvolumen

5.1.1 Ideales Gasverhalten5.1.2 Reales Gasverhalten

5.2 Quasistatische Zustandsänderung idealer Gase

5.2.4 Die isentrope Zustandsänderung5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung

5.3 Kreisprozesse

3

5.1.1 Ideales GasverhaltenP

rof.

Dr.

-In

g.

Ch

. F

ran

ke

• Ideale Gasgleichung:

• Ideale Gasgleichung in extensiven Zustandsgrößen:

• Spezielle oder spezifische Gaskonstante:

TRvp

TRmVp

T

vplimR

0p

10

5.1.1 Ideales GasverhaltenP

rof.

Dr.

-In

g.

Ch

. F

ran

ke

• Ideale Gasgleichung für stationäre Fließprozesse:

TRmVp

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5.3 Kreisprozesse

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• Realen Prozessen werden spezielle ZÄ zugeordnet

Isobare: Rohrströmung, Wärmeübertrager ohne Druckverluste, Brennkammer

Isochore: geschlossene Behälter, schnell ablaufende Reaktionen im Motor

Isotherme: Wärmeübertrager mit Phasenwechsel, langsam ablaufende Kompression bzw. Expansion mit Wärmeab- bzw. zufuhr

Isentrope: Adiabate Maschinenprozesse mit vernachlässigbaren Verlusten

• Falls keine der speziellen ZÄ zutrifft, wird die so genannte polytrope ZÄ verwendet

Polytrope: Beliebige ZÄ

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• Beschränkt man sich auf reversible ZÄ, so wird es möglich, für reale Prozesse sogenannte Vergleichsprozesse zu definieren, die

I. einfach zu berechnen sind

II. einige wesentliche Eigenschaften des realen Prozesses wiedergeben

• Für die Berechnung benötigt werden dann lediglich:

der Anfangszustand

III. als optimale Prozesse als Maßstab für die Güte des realen Prozesses dienen können

eine Angabe über den Verlauf

eine Angabe über den Endzustand

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• Im Kapitel 5.2 werden für alle 5 erwähnten ZÄ folgende Angaben gemacht:

I. die thermische Zustandsgleichung

II. die spezifische Volumenänderungsarbeit

III. die spezifische Druckänderungsarbeit

IV. die reversibel übertragene Wärme (q12)rev , bzw. die Summe aus Wärme und Dissipationsarbeit q12 + ψ12

2

1

v12 dvpw

2

1

p12 dpvw

• Im Kapitel 5.2 werden Änderungen der kinetischen und potentiellen Energien grundsätzlich nicht berücksichtigt!

0zzg2

cc12

21

22

20


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• Achtung! Die spezifische Volumenänderungsarbeit gibt nur den reversiblen Anteil (w12)rev der an einem einfachen, geschlossenen System verrichteten Arbeit an

Die spezifische Druckänderungsarbeit gibt nur den reversiblen Anteil (wt12)rev der technischen Arbeit bei einem stationären Fließprozess an

• Die gesamte Arbeit gemäß: w12 = (w12)rev + ψ12

bzw. wt12 = (wt12)rev + ψ12

wird mit Hilfe des 1. HS berechnet:

w12 + q12 = u2 – u1

bzw. wt12 + q12 = h2 – h1

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5.3 Kreisprozesse

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5.2.4 Die isentrope Zustandsänderung

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• Maschinen wie Pumpen, Verdichter und Turbinen können meist als adiabat behandelt werden

• Wegen: adiabat + reversibel =► isentrop

Der zugehörige isentrope Maschinenprozess kann als Gütebeurteilung des realen Prozesses dienen

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• Aus den beiden Formulierungen der Gibbs´schen FundamentalformelT∙ds = du + p∙dv = 0T∙ds = dh – v∙dp = 0

und der idealen Gasgleichungp∙v = R∙T

mit dem Isentropenexponenten κ :v

p

c

c

Isentropengleichung: constvp

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• Der Isentropenexponent κ ist eine Stoffgröße und für Ideale Gase eigentlich eine Temperaturfunktion

Tc

TcT

v

p

• Für einatomige Gase (He, Ne, Ar, Kr, Xe) gilt:3

5

• Auch sonst kann man bis 200°C meist mit konstantem κ rechnen:

t

κ

Que

lle:

Bae

hr/K

abel

ac:

The

rmod

ynam

ik,

Spr

inge

r V

erla

g ,

13.

Auf

l.

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• Wegen cp(T) – cv(T) = R > 0, gilt immer κ > 1

Die Isentrope fällt im p-v-Diagramm steiler ab als die Isotherme

p

v

Isentrope: p∙vκ = const

Isotherme: p∙v = const

v1

p1

1

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• Aus der Isentropengleichung:

mit der idealen Gasgleichung p∙v = R∙T

constvp

1-

1

2

-1

2

1

1

2

p

p

v

v

T

T

(Isentropengleichungen)

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• Spezifische Volumenänderungsarbeit

oder:

v12w

1

p

pTcTTcw

1-

1

21v12v

v12

1

p

p

1-

TRw

1-

1

21v12

aus: 0dvpdudsTdTcv

dTcdvp v

dw v

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• Spezifische Druckänderungsarbeit

oder:

p12w

1

p

pTcTTcw

1-

1

21p12p

p12

v12

1-

1

21p12 w1

p

p

1-

TRw

ebenso:

Druck- und Volumenänderungsarbeit unterscheiden sich nur durch den Isentropenexponent κ

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• Wärme und Dissipationsenergie q12 + ψ12

0q0dsTq 1212

2

1

1212

Eine irreversible ZÄ kann nur isentrop sein, wenn Wärmeabgeführt wird

Eine reversible ZÄ kann nur isentrop sein, wenn sieadiabat verläuft

adiabat + reversibel =► isentrop

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• Isentroper Verdichterwirkungsgrad ηsV

Verhältnis von theoretisch (minimal) aufzuwendender (isentroper)Antriebsarbeit zu tatsächlich aufzuwendender Antriebsarbeit

real

s

t

tsV h

h

w

w

12

21

• Ist die spezifischen Wärmekapazität annähernd konstant, gilt:

12

12sV TT

TT

wobei: 1-

1

212 p

pTT

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Beispiel: Kompression von Wasserdampf von 1 bar, 150°C auf 10 bar

Δh s

= 6

00 k

J/kg

Δh r

eal =

860

kJ/

kg

s in kJ/(kg∙K)

2

1 → 2´: Idealfall (minimale Arbeit)

1real

s

t

tsV h

h

w

w

12

21

1 → 2 : Realfall (tatsächliche Arbeit)

0,70860

600sV

2´• (adiabate) Kompression in einem Verdichter

h

in

kJ/k

g

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• Isentroper Turbinenwirkungsgrad ηsT

Verhältnis von tatsächlich gewonnener Turbinenarbeit zu theoretischmaximal zu gewinnender (isentroper) Arbeit

s

real

t

tsT h

h

w

w

21

12

• Ist die spezifischen Wärmekapazität annähernd konstant:

12

12sT TT

TT

wobei: 1-

1

212 p

pTT

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• (adiabate) Expansion in einer Turbine

Beispiel: Expansion in Dampfturbinevon 50 bar, 400°C auf 0,1 bar

Δh s

= 1

095

kJ/k

g

Δh r

eal =

821

kJ/

kg

h

in

kJ/k

gs in kJ/(kg∙K)

2´

2

1 → 2´: Idealfall (größtmögliche Arbeit) 1

s

real

t

tsT h

h

w

w

21

12

1 → 2 : Realfall (tatsächliche Arbeit)

0,751095

821sT

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5.3 Kreisprozesse

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5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung

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• Kann einem realen Prozess keine der Iso-ZÄ zugeordnet werden, wählt man eine Ersatz-ZÄ in der Form:

constvp n

• Vorteil: wegen des gleichen Aufbaus wie muss in den Gleichungen für die isentrope ZÄ nur κ gegen n ausgetauscht werden

constvp

• Der Paramteter n wird als Polytropenexponent bezeichnet

• n ist (im Gegensatz zu κ) keine Stoffgröße

• Die Zustandsgleichung p∙vn = const wird als Polytropengleichung bezeichnet

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1

2

2

1

1

2

2

1

2

1

1

2

2

1

vv

ln

TT

ln

noder

TT

pp

ln

pp

ln

noder

vv

ln

pp

ln

n

n

1-n

1

2

n-1

2

1

1

2

p

p

v

v

T

T

(Polytropengleichungen)

(für technische Anwendungen liegt n oft im Bereich 1 < n < κ)

• Bei der Polytropengleichung handelt es sich um eine einparametrige Approximationsfunktion, deren Parameter n so gewählt wird, dass die Zustandsfunktion durch Ein- und Ausgangs- bzw. Anfangs- und Endzustand verläuft → Bestimmungsgleichungen für n:

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• Weiter muss gelten:

• Spezifische Volumenänderungsarbeit v12w

1

p

p

1-n

TRTT

1-n

Rw

n

1-n

1

2112

v12

• Spezifische Druckänderungsarbeit p12w

1

p

p

1-n

TRnTT

1-n

Rnw

n

1-n

1

2112

p12

Druck- und Volumenänderungsarbeit unterscheiden sich nur durch den Polytropenexponent n

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• Aus:

12v1212 TT1-n

-ncq

vv dw

dTc

dvpduddq

12v1212 TT1-n

Rcq

• Oder mit der spezifischen polytropen Wärmekapazität1-n

-ncc vn

12n1212 TTcq

• cn ist keine Stoffgröße

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• Jetzt können alle 5 ZÄen auf einfache Weise im p-v-Diagramm dargestellt werden:

p∙va = const

für a = 0 :

für a = 1 :

für a = κ :

für a = n :

für a → ∞:

Cvp 0 Cp Isobare

Cvp 1 Cvp Isotherme

Cvp

Cvp n

Isentrope

Polytrope

a

1

a

p

CvCvp

01

p

C

p

Cv

IsochoreCv

mit:

40


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Darstellung von p∙va = C im normierten p-v-Diagramm

Isotherme (a = 1)

1

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Darstellung im normierten p-v-Diagramm

Isotherme (a = 1)Isentrope (a = 1,4)

1

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Isotherme (a = 1)Isentrope (a = 1,4)Isobare (a = 0)

1

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ng

. C

h.

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Isotherme (a = 1)Isentrope (a = 1,4)Isobare (a = 0)Isochore (a → ∞)

1

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• a kann auch beliebige andere Werte annehmen, s. Kapitel 5, Aufg. 3: a = -1

a = -1

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• a kann auch beliebige andere Werte annehmen, s. Kapitel 5, Aufg. 3: a = -1; Aufg. 5: a ≈ -2

a = -1a = -2

Polytrope ZÄen

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5.3 Kreisprozesse

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5.3 KreisprozesseP

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• Jeder Prozess, der ein Fluid von einem gegebenen Anfangszustand über mehrere Zwischenzustände wieder in den Anfangszustand zurück bringt heißt Kreisprozess

z.B. der Wasserkreislauf in einem Dampfkraftwerk (Vergleichsprozess)

Pumpe

Turbine

Kondensator

Dampferzeuger

1

2 3

4

a b

a b

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5.3 KreisprozesseP

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• Darstellung des Dampfkraftprozesses im T-s-Diagramm:

T

s

1

2

3

4

a b

1 → 2 : isentrope Druckerhöhung

2 → a : isobare Vorwärmung

a → b : isobare Verdampfung

b → 3 : isobare Überhitzung

3 → 4 : isentrope Entspannung

4 → 1 : isobare Kondensation

1

32

4

60

5.3 KreisprozesseP

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ke

• 1. HS für Kreisprozesse:

Für einen beliebigen, stationären Kreisprozess bestehend aus n ZÄen gilt für die Gesamtbilanz (geschlossener Kontrollraum):

ZÄ 1ZÄ i

ZÄ 3ZÄ 2

ZÄ n

(wt)n,n+1 = (wt)n,1 qn,n+1 = qn,1

(wt)12

q12

(wt)23 q23 (wt)34 q34

(wt)i,i+1

qi,i+1

Die Summe aller technischenArbeiten zuzgl. der Summe allerWärmen, die über die Grenzegeht ist gleich Null:

0qwn

1i

n

1it 1ii,1ii,

wobei Zustand n+1 gleichZustand 1 ist

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5.3 KreisprozesseP

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ke

• Mit der Definition der Nutzarbeit des Kreisprozesses als insgesamt abgegebene technische Arbeit:

tn

1it w-w-

1ii,

n

1i1ii,t qw-

1. Hauptsatz für Kreisprozesse

„Die Nutzarbeit des Kreisprozesses (-wt) ist gleich dem Überschuss der als Wärme aufgenommenen Energie über die als Wärme abgegebene“

62

5.3 KreisprozesseP

rof.

Dr.

-In

g.

Ch

. F

ran

ke

Schlussfolgerungen:

• Wird dem Kreisprozess insgesamt mehr Wärme zugeführt als abgeführt wird,

so ist die Nutzarbeit positiv, (die technische Arbeit des KP insgesamt ist negativ)

Der KP gibt Arbeit nach außen ab, es handelt sich um eineWärmekraftanlage

• Zweck der Wärmekraftanlage ist es, Nutzarbeit zu liefern

• z.B. Dampfkraftanlage oder Verbrennungsmotor

0qw-n

1i1ii,t

63

5.3 KreisprozesseP

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Ch

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ke

Schlussfolgerungen:

• Wird dem Kreisprozess insgesamt mehr Wärme entzogen als zugeführt,

so ist die Nutzarbeit negativ, (die technische Arbeit des KP insgesamt ist positiv)

Der KP benötigt Arbeit von außen, es handelt sich um eineKälteanlage

• Zweck der Kälteanlage ist der Transport von Wärme von niedriger zu höherer Temperatur

• z.B. Kühlschrank oder Wärmepumpe

0qw-n

1i1ii,t

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5.3 KreisprozesseP

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ke

• Das Nutzen-Aufwand-Verhältnis bei thermischen Anlagen heißt thermischer Wirkungsgrad:

Aufwand

Nutzen

• Thermische Anlage: Anlage, die einen Wärmestrom von einer Wärmequelle erhält und einen Wärmestrom an eine Wärmesenke abgibt. Außerdem wird Arbeit von einem anderen System aufgenommen oder an ein solches abgegeben

Die thermischen Anlagen unterteilen sich in Wärmekraftanlagen, Verbrennungskraftanlagen und Kälteanlagen (das Nutzen/Aufwand-Verhältnis bei Kälteanlagen wird als Leistungsziffer ε bezeichnet)

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