Warum Quantengase anders

sind

Schnupperuniversität

5. August 2015

Ute Löw

(1) Klassische Gase Luft und Wasserdampf, die Gasgleichung …

(2) Quantenwelt

Teilchen und Wellen

(3) Das Pauli-Prinzip

Verträgliche und unverträgliche Teilchen

(4) Weisse Zwerge (Fermionen) Was unsrer Sonne bevorsteht

(5) Bose Einstein Kondensation (Bosonen) Ein neuer Zustand der Materie

(1) Klassische Gase

Beispiele: Luft, Wasserdampf, Stickstoff

Welche Größen braucht

man, um ein Gas zu

beschreiben ?

(1) Klassische Gase

Beispiele: Luft, Wasserdampf, Stickstoff

Welche Größen braucht

man, um ein Gas zu

beschreiben ?

Volumen V

Gasmenge

Temperatur

Druck p

Typ des Gases, Luft anders

als Stickstoff ?

Im täglichen Leben verhalten sich verschiedene Gase

erstaunlich ähnlich.

Sie werden durch die allgemeine Gasgleichung oder

Gleichung des idealen Gases beschrieben.

Zusammenhang zwischen Druck, Volumen, Temperatur und

Gasmenge unabhängig

vom Typ des Gases.

Wichtig für viele

Bereiche des täglichen

Lebens.

Gleichung des idealen Gases:

mol)Kelvin ( /3143,8

teGaskonstan allgemeine

Molzahl

Kelvinin Temperatur

Volumen

Druck

JR

R

n

T

V

p

RnT

pV

TRnpVRnT

pV

Speziell: Boyle-Mariotte´sches Gesetz

Bei konstanter Temperatur und konstanter Teilchenzahl gilt also

pV=const Boyle-Mariotte´sches Gesetz.

Boyle-Mariotte‘sches Gesetz wurde bereits im

17.Jahrhunder gefunden.

Robert Boyle 1627-1691,

Edme Mariotte 1620-1684

An veschiedenen Gasen experimentell untersucht.

Ludwig Boltzmann 1844-1906

Mikroskopisches Modell eines Gases

Robert Boyle

Einfachstes mikroskopisches Modell eines Gases:

Moleküle, die sich in einer Box geradlinig bewegen.

Ideales Gas:

Gasteilchen bewegen sich

unabhängig, geradlinig,

und mit konstanter

Geschwindigkeit.

Stossen mit Wand zusammen

Gasteilchen sind punktförmig.

Einfachstes mikroskopisches Modell eines Gases:

Moleküle, die sich in einer Box geradlinig bewegen.

Ideales Gas:

Gasteilchen bewegen sich

unabhängig, geradlinig,

und mit konstanter

Geschwindigkeit.

Stossen mit Wand zusammen

Gasteilchen sind punktförmig.

J/K 1038.1

2

3

2

1

23

2

B

B

k

Tkvm

nGasteilcheder Masse m

gkeitGeschwindi mittlere v

Was geschieht, wenn wir das Gas immer mehr

zusammendrücken bzw immer mehr Teilchen in

den Behälter füllen und abkühlen?

Der Abstand der Teilchen wird immer kleiner.

Die Mikroskopische Natur der Teilchen, beschrieben durch

die Quantenmechnik wird wichtig.

Wie sehen die Teilchen im Innern aus?

Gasteilchen sind Atome oder Molekülen

Eigenschaften der Atome und Moleküle

=> Quantenmechanik

Alltagswelt: Einige tausend Kilometer, bis zu einigen

Tausendstel Millimetern

(2) Die Quantenwelt

Bei Abständen kleiner als 1 Millionstel

Millimeter verändert sich die Welt völlig.

Es gelten dann neue Gesetze:

Gesetze der Quantenmechanik.

Sehen einzelne Moleküle, Atome, Atomkerne

Bei etwa 1 Millionstel Millimeter:

Gesetze der Quantenmechanik.

Grenzlinie zwischen der klassischen Welt und der Quantenwelt

Anyone who can

contemplate quantum

mechanics without getting

dizzy, hasn´t properly

understood it.

( Jeder der die Quanten-Mechanik

studiert, ohne einen Schwindel zu

spüren hat sie nicht richtig

verstanden.)

Niels Bohr (1885-1962)

Bohr ´sches Atommodell, Mitbegründer der Quantenmechanik

Teilchen-Welle Dualität Wellen ( Lichtwellen, Röntgenstrahlen, Radiowellen, Wasser- wellen ) Teilchen (z.B. Kugel, Ball, Sandkorn)

Quantenwelt: Mikroskopische Teilchen wie das Elektron verhalten sich manchmal wie Wellen.

1926 Schrödingergleichung Erwin Schrödinger (1887-1961)

Lichtwellen verhalten sich manchmal wie Teilchen. Man spricht von Lichtquanten

1900 Lichtquantenhypothese von Max Planck: Photoeffekt, Schwarzkörperstrahlung,

spezifische Wärme von Festkörpern

Mikroskopische Teilchen wie das Elektron verhalten sich manchmal wie Wellen. Lichtwellen verhalten sich manchmal wie Teilchen. den sog. Photonen (= Lichtteilchen)

Teilchen-Welle Dualität

Materiewellen Wahrscheinlichkeitsdichte

2 ),( tx

2),( tx

Ununterscheidbarkeit von Teilchen.

Weiterer wesentlicher Unterschied zwischen

Quantenwelt und Alltagswelt:

Quantenmechanische Teilchen sind ununterscheidbar.

Alltagswelt: Zwei Bälle, die völlig gleich aussehen.

Werden hin und her geworfen.

Wenn Sie gut aufpassen können Sie mit dem

Auge die Bälle verfolgen und wissen

Welcher der war, der zuerst rechts in der Hand lag.

Bei Quantenteilchen ist das nicht möglich: Sie sind

Ununterscheidbar.

Spin

Fundamentale Eigenschaft von Atomen, Kernen und

Elementarteilchen:

Sie haben einen Eigendrehimpuls: Spin

Spin bedeutet eigentlich Drehung

Teilchen mit Spin zeigen ganz spezifische Änderung

ihrer Energie, wenn man sie in ein Magnetfeld bringt.

Beispiel: Elektron, Positron, Proton: Spin ½

Photon, W-Bosonen : Spin 1

Spin-Quantenzahlen entsprechen qubits

bei Quantencomputern

(3) Pauli Prinzip

Wolfgang Pauli (1900-1958)

Nobelpreis 1945

Pauli-Prinzip:

Keine zwei Elektronen können

sich im gleichen Zustand

befinden.

Anschaulich: Elektronen können

sich nicht beliebig nähern,

sie stoßen sich aufgrund des

Pauliprinzips ab.

Ein Gas von Fermionen ähnelt

einem Bienenschwarm und das

bei T=0.

Ein Gas von Elektronen ähnelt einem Bienenschwarm.

Pauli-Prinzip: Keine zwei Elektronen können

im gleichen Zustand sein.

Das Pauliprinzip gilt nicht nur für

Elektronen, sondern für eine ganze Klasse

von Teilchen, den sog. Fermionen.

Benannt nach Enrico Fermi.

Genauer formuliert: Teilchen mit

halbzahligem Spin ( wie das Elektron )

nennt man Fermionen.

Weitere Beispiele für Fermionen:

Proton, das Neutron, Quarks.

Pauli-Prinzip: Keine zwei Fermionen können

im gleichen Zustand sein.

Enrico Fermi

Das Pauli Prinzip mathematischer ausgedrückt

Systeme bestehend aus zwei Fermionen haben eine

Wellenfunktion die antisymmetrisch ist, wenn man die

Fermionen vertauscht.

)1,2()2,1(

Verallgemeinerung: Systeme bestehend aus mehreren

Fermionen haben eine Wellenfunktion die

antisymmetrisch ist, wenn man zwei der Fermionen

vertauscht.

Ganz anders verhalten sich die Bose-Teilchen

oder Bosonen.

Beispiele für Bosonen: das Photon, Helium-Kerne,

Eichbosonen, Gluonen.

Beliebig viele Bosonen können sich

im gleichen Zustand befinden.

)1,2()2,1(

Systeme bestehend aus zwei Bosonen

haben eine Wellenfunktion die

symmetrisch ist, wenn man die

Bosonen vertauscht.

Dass Teilchen als Fermionen oder Bosonen auftreten hat

Konsequenzen in allen Bereichen der Atom, Kern und Teilchenphysik.

Atommodell: Orbitale in

den Atomen werden so

werden nach dem Pauli-

Prinzip mit Elektronen

aufgefüllt.

Würde man mit Bosonen

auffüllen, so wären

alle Bosonen in einem

Orbital.

Periodensystem der

Elemente

Im folgenden zwei besonders spektakuläre Beispiele:

Fermionen: Weißen Zwerge

Bosonen : Bose Einstein Kondensation

(4) Weiße Zwerge (was unserer Sonne bevorsteht) Das Rätsel des Sirius B Begleitstern des Sirius:

8.6 Lichtjahre von uns

entfernt

Bessel 1844 aus Bahndaten:

Sirius binäres Sternsystem.

Entdeckung: 1862 Alvan Graham Clarke

18 inch Refraktor

RADIEN:

Radius von Sirius B 5500 km

Erdradius 6380 km

Sonnenradius 695 000 km

kg 10*5.98 Erdmasse

kg 1099.1 eSonnenmass

24

30

MASSEN:

Masse von Sirius B beträgt 98 % der Sonnenmasse

Dichte 3 Millionen

Gramm/Kubikzentimeter

“Erdbeschleunigung”?

2210

s

m

r

MGg

Erde

ErdeErde

Gravitationskonstante G=6.673 10¯⁸ cm³/s²g

2

6

2104.4

s

m

r

MGg

SiriusB

SiriusBSiriusB

Alles ist 440 000 mal schwerer als auf der Erde

1928 zur Zeit der Anfänge der

Quantemechanik

Chandrasekhar liest in Buch von

Eddington über neue Klasse

von Sternen.

Absurd? Gerade das Absurde ist interessant.

Was wirkt einem Gravitationskollaps

entgegen?

2r

mGMKGrav

Modell eines Sterns: Unsere Sonne: Kernfusion ( Wasserstoff -> Helium )

erzeugt Wärme => Druck

Gravitation kompensiert diesen Druck

Weißer Zwerg: Gravitation kompensiert

Entartungsdruck der Fermionen

Gravitation: Anziehende Wechselwirkung

Zwischen Masse:

Figur aus :Kip Thorne Gekrümmter Raum und

verbogene Zeit.

Woraus besteht ein Weißer Zwerg?

Bei einer Temperatur von 10 Millionen Kelvin (im Inneren des weißen

Zwerges) ist das Helium Atom ionisiert. d.h. es liegt ein Gas aus Helium

Kernen und Elektronen vor.

Helium Atom Helium Kern

Zwei Elektronen

Die Elektronen bilden ein Fermi-Gas mit Elektronen/Kubikzentimeter 3010

Welche Sterne werden zu Weißen Zwergen?

Bedingung für die Stabilität eines Weißen Zwerges:

Gravitation und Fermidruck halten sich das Gleichgewicht.

Chandrasehkar-Grenze für die Masse von Weißen Zwergen:

Sterne bis zu der 1.4 fachen Sonnenmasse werden zu Weißen

Zwergen.

Sterne mit noch größeren Massen

werden zu Neutronen-Sternen oder

Schwarzen Löchern.

(5) Bose-Einstein Kondensation

Im Jahr 1924 schickt indische Physiker Bose an Einstein eine Arbeit

zum Planck´schen Strahlungsgesetz für Photonen

Einstein verallgemeinert die Arbeit und sagt vorher, dass bei hinreichend

tiefen Temperaturen, Bosonen sich alle im tiefsten Quantenzustand des

Systems befinden Bose-Einstein Kondensation

Solche Kondendation tritt nur für Bosonen auf.

Lange Jahre versuchte man diesen

Materie-Zustand zu finden.

1995 Experimentelle Evidenz für Bose-Einstein Kondensat.

Eric A.Cornell, Wolfgang Ketterle, Carl. E. Wiemann

Nobelpreis 2001

Für die Erzeugung der Bose-Einstein-Kondensation (BEC) in verdünnten

Gasen aus Alkaliatomen, und für frühere grundsätzliche Studien

über die Eigenschaften der Kondensate

Probleme:

Geeigente Bosonen finden: Rubidium Atome

Gase müssen möglichst verdünnt sein, damit die Atome

keine Moleküle bilden, oder stark wechselwirken.

Sehr tiefe Temperaturen. BEC bei 170 Nano Kelvin.

Magnetische Falle:

Laser Kühlung

Vedampfungskühlung

Messung der Geschwindigkeitsverteilung: 200 nK, 100nK ,20 nK

Bose-Einstein Kondensation: Neuer Materiezustand

Atome befinden sich alle im selben Quantenzustand.

Anwendungen: Superfluidität, optische Eigenschaften.

Zusammenfassend:

Bei tiefen Temperaturen und hohen Dichten verhalten

sich Gase ganz anders als das einfache kinetische Modell

vorhersagt ( Allgemeine Gasgleichung ).

Quantenmechanik spielt eine zentrale Rolle

Unterschied

zwischen Bosonen (Teilchen mit ganzzahligem

Spin) => Kondensation

und Fermionen (Teilchen mit halbzahligem Spin), die sich

aufgrund des Pauli-Prinzips abstossen (Fermidruck) =>

Aufbau des Periodensystems, weisse Zwerge.