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KombinatorikKombinatorik ist die Lehre vom Bestimmen der Anzahlen

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Man benötigt Kombinatorik, um z.B. bei Laplace-Experimenten die große Anzahl von Ergebnissen zu bestimmen.

Bsp: Beim Lotto 6 aus 49 gibt es 13983816 verschiedene Tipps.

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Produktregel Anzahl möglicher Menüs

bestimmen

4 Burger (Hamburger, Cheeseburger, McRib, BigMäc)

3 Beilagen (Pommes, Potatos, Salat)

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Produktregel

Urnenmodell:

Urne 1: Hamburger (Kugel 1), Cheesburger (Kugel 2),

McRib (Kugel 3), BigMäc (Kugel 4)Urne 2: Pommes (Kugel 1),

Potatos (Kugel 2), Salat (Kugel 3)

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Produktregel Urnenmodell LS S.186

Es gibt also 4·3 = 12 Möglichkeiten (Man multipliziert die Anzahl der Kugel aus den beiden Urnen miteinander)

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Produktregel Zusätzliche Option:

– 5 Getränke (Cola, Fanta, Wasser, Apfelschorle oder Kaffee)

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ProduktregelUrne 1: Hamburger (Kugel 1),

Cheesburger (Kugel 2), McRib (Kugel 3), BigMäc (Kugel 4)

Urne 2: Pommes (Kugel 1), Potatos (Kugel 2), Salat (Kugel

3)Urne 3: Cola (Kugel 1), Wasser (Kugel 2), Apfelsaftschorle (Kugel 3), Fanta (Kugel 4), Kaffee (Kugel 5)

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Produktregel

Es gibt 4·3·5 = 60 verschiedene Menus.

Anzahl der Kugeln in Urne 1

Anzahl der Kugeln in Urne 2

Anzahl der Kugeln in Urne 3

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Produktregel

Satz 1 (Produktregel)Gegeben sind k Urnen (U1, U2, ... Uk). In U1 liegen n1 Kugeln, in U2 liegen n2

Kugeln, ... , in Uk sind nk Kugeln.Dann gibt es n1·n2·...·nk Möglichkeiten ausjeder Urne genau eine Kugel zu ziehen.

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Mit Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge Fußball-Toto:

HSV – Frankfurt 3:1 Bochum – Aachen 2:2 Mainz – Nürnberg 2:1 Gladbach – Bremen 1:2

1 (Heimsieg) 0 (Unentschieden) 1 (Heimsieg)2 (Auswärtssieg)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man durch Raten diese vier Spiele richtig tippt, also den Tipp 1012 abgibt?

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Mit Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge Annahme (etwas

realitätsfremd): Sieg, Unentschieden und Niederlage haben die gleiche Wahrscheinlichkeit (p = 1/3)

Laplace-Experiment

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Mit Zurücklegen, mit Beachtung der ReihenfolgeAnzahl günstiger Ereignisse = 1

(der Tipp 1012)

LS 10 S.188

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Mit Zurücklegen, mit Beachtung der ReihenfolgeFür jedes Spiel zieht man also einer

Urne mit 3 Kugeln (0,1,2).Es gibt 4 Spiele = 4 Urnen.Also gibt es nach der Produktregel

3·3·3·3 = 34 = 81 Möglichkeiten.

P(1022) = 1/81 = 0,012 = 1,2%

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Mit Zurücklegen, mit Beachtung der ReihenfolgeEs ist egal, ob man aus vier gleichen Urnen je einmal zieht, oder aus einer Urne viermal zieht, wenn man die Kugel nach dem Ziehen zurücklegt.

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Mit Zurücklegen, mit Beachtung der ReihenfolgeSatz 2 (Mit Zurücklegen, mit

Beachtung der Reihenfolge) Aus einer Urne mit n Kugeln wird k-

mal mit Zurücklegen gezogen. Die gezogenen Kugeln werden in der Reihenfolge des Ziehens notiert.Dann gibt es nk verschiedene Möglichkeiten.

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Mit Zurücklegen, mit Beachtung der ReihenfolgeWie viele verschiedene 3-stellige Zahlen kann man mit den Ziffern 1, 7, 5 und 3 bilden, wenn sich die Zahlen wiederholen dürfen?

Bsp.: 175, 351, 117, 571, 777

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Mit Zurücklegen, mit Beachtung der ReihenfolgeLS 10 S.187

n = 4 (Anzahl der Kugeln in der Urne) k = 3 (dreimal Ziehen) m.Z. (mit Zurücklegen) m.B.d.R (mit Beachtung der Reihenfolge) Anzahl aller Möglichkeiten = 43 = 64

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Ohne Zurücklegen, mit Beachtung der ReihenfolgeWie viel verschiedene 4-stellige Zahlen kann man mit den Ziffern 1, 7, 5 und 3 bilden, wenn sich die Zahlen nicht wiederholen dürfen?

Bsp.: 1753, 7351, 1175, 5713, 7771

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Ohne Zurücklegen, mit Beachtung der ReihenfolgeU1: enthält alle 4 Zahlen (Kugeln) n1 = 4U2: enthält nur noch 3 Zahlen (Kugeln) n2 = 3U3: enthält nur noch 2 Zahlen (Kugeln) n3 = 2U4: enthält nur noch 1 Zahl (Kugel)

n4 = 1

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Ohne Zurücklegen, mit Beachtung der ReihenfolgeNach der Produktregel gibt es also 4·3·2·1= 24 Möglichkeiten.

Fakultät: 4·3·2·1 = 4! (gelesen: 4 Fakultät) 5·4·3·2·1 = 5! (5 Fakultät) 6·5·4·3·2·1 = 6! (6 Fakultät) 0! = 1

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Ohne Zurücklegen, mit Beachtung der ReihenfolgeEs ist egal, ob man aus vier Urnen je einmal zieht, in denen jeweils eine Kugel weniger liegt oder ob man aus einer Urne viermal zieht, wenn man die Kugel nach dem Ziehen nicht zurücklegt.

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Ohne Zurücklegen, mit Beachtung der ReihenfolgeWenn man aus einer Urne mit n Kugeln alle Kugeln ohne Zurücklegen zieht (k=n) und die Reihenfolge beachtet, dann gibt es n! Möglichkeiten.

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Mehrfaches Ziehen aus einer UrneWie viel verschiedene 2-stellige Zahlen kann man mit den Ziffern 1, 7, 5 und 3 bilden, wenn sich die Zahlen nicht wiederholen dürfen?Urne 1 enthält 4 Kugeln, Urne 2 enthält 3 Kugeln, also gibt es 4·3=12 Möglichkeiten

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Ohne Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge

4 3 2 1 4! 4!12 4 32 1 2! (4 2)!

Anzahl der Ziehungen

Anzahl der Kugeln

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Ohne Zurücklegen, mit Beachtung der ReihenfolgeEs ist wieder egal ob man aus 2 Urnen mit 4 bzw. 3 Kugeln einmal zieht, oder aus einer Urne mit 4 Kugeln ohne Zurücklegen zweimal zieht.

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Ohne Zurücklegen, mit Beachtung der ReihenfolgeSatz 3 (Ohne Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge)

Aus einer Urne mit n Kugeln wird k-mal ohneZurücklegen gezogen. Die gezogenen Kugelnwerden in der Reihenfolge des Ziehens notiert.Dann gibt es n!/(n-k)! verschiedene Möglichkeiten.

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Ohne Zurücklegen, ohne Beachtung der ReihenfolgeWie viele Möglichkeiten zum Ankreuzen der Lottozahlen gibt es beim Mini-Lotto 3 aus 7? Bsp. (2, 3, 5) (1, 4, 7) (2, 6, 3)Problem: (2, 3, 5), (2, 5, 3), (3, 5, 2) (3, 2, 5), (5, 2, 3), (5, 3, 2) sind die gleichen Tipps. D.h. man beachtet die Reihenfolge nicht.

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Ohne Zurücklgen, ohne Beachtung der ReihenfolgeWie viele gleiche Möglichkeiten gibt es, wenn man k Kugeln zieht?

k=3: 3·2·1=3! Möglichkeitenk=4: 4·3·2·1=4! MöglichkeitenAllgemein: k! Möglichkeiten

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Ohne Zurücklgen, ohne Beachtung der ReihenfolgeAlle Möglichkeiten mit Beachtung der ReihenfolgeTeilen durch die Anzahl der gleichen Tipps (3!)

7! 210(7 3)!

7! 35(7 3)! 3!

Anzahl der Kugeln

Anzahl der Ziehungen

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Ohne Zurücklgen, ohne Beachtung der Reihenfolge

nn!(n k)! k! k

BinomialkoeffizientLies: n über k

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Satz 4: Aus einer Urne mit n Kugeln werden k Kugeln gezogen, wobei die Reihenfolge nicht beachtet wird. Dann gibt es

nn! Möglichkeiten.(n k)! k! k

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Ohne Zurücklgen, ohne Beachtung der ReihenfolgeMit welcher Wahrscheinlichkeit hat man 3 Richtige beim Lotto 5 aus 12?Urne 1: 5 Kugeln für die 5 richtigen ZahlenUrne 2: 7 Kugeln für die 7 falschen Zahlen

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Ohne Zurücklgen, ohne Beachtung der ReihenfolgeUrne 1: n = 5 (Anzahl der Kugeln) k = 3 (Ziehungen aus Urne 1) ohne Zurücklegen (o. Z.) ohne Beachtung der Reihenfolge (o.B.d.R.)

5 5!#AM= 102! 3!3

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Ohne Zurücklgen, ohne Beachtung der ReihenfolgeUrne 2: n = 7 (Anzahl der Kugeln) k = 2 (Ziehungen aus Urne 2) ohne Zurücklegen (o. Z.) ohne Beachtung der Reihenfolge (o.B.d.R.)

7 7!#AM= 215! 2!2

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Ohne Zurücklgen, ohne Beachtung der Reihenfolge

Nach der Produktregel gibt es 5 7 10 21 210 günstige Möglichkeiten.3 2

und12 792 Möglichkeiten insgesamt.5

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Ohne Zurücklgen, ohne Beachtung der Reihenfolge

Also ist5 73 2 210P(3Richtige) = 0,2712 792

5

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Was muss ich wissen?

n: Wie viele Kugeln sind in der Urne?k: Wie oft wird gezogen?Mit (ohne) Zurücklegen?Mit (ohne) Beachtung der Reihenfolge?

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o.Z. m.Z.

m.B.d.R

nk

o.B.d.R

n n!(n k)! k!k

n!

(n k)!