KOMBINATORIK IN DER SCHULEbezi/Materialien/Otto...G LIEDERUNG 1. Erstbegegnungen mit...

KOMBINATORIK

IN DER SCHULE

Referenten: Florian Schmidt und Benjamin Otto

GLIEDERUNG

1. Erstbegegnungen mit kombinatorischem Denken

2. Das allgemeine Zählprinzip der Kombinatorik3. Die 4 kombinatorischen Grundfiguren4. Vielfachheiten5. 4‐Schritt‐Modell zum Lösen von

Kombinatorikaufgaben6. Lehrplaneinordnung7. Lernvoraussetzungen und Anwendungsgebiete

1. ERSTBEGEGNUNGEN MIT

KOMBINATORISCHEM DENKEN

ERSTBEGEGNUNGEN MIT KOMBINATORISCHEM DENKEN (1)

Anzahl an Geraden durch n Punkte in allgemeiner Lage

3 Punkte: 3 Geraden4 Punkte: 6 Geraden5 Punkte: 10 Geraden...n Punkte: ? Geraden

Ansatz:Von einem Punkt gehen (n‐1) Geraden zu (n‐1) Punkten aus. Multipliziert mit der Anzahl an Punkten n erhält man eine erste Anzahl an Geraden. Da man so aber jede Gerade doppelt zählt, muss man die Anzahl durch 2 dividieren, um das richtige Ergebnis zu erhalten. Man erhält also:

2)1()( −⋅

=nnnA

ERSTBEGEGNUNGEN MIT KOMBINATORISCHEM DENKEN (2)

Turm von Hanoi

Minimale Anzahl an Brechungen für eine Tafel Schokolade

Anzahl von Möglichkeiten der Darstellung einer natürlichen Zahl als Summe zweier natürlicher Zahlen

Bestimmung der Anzahl von Eckpunkten und Kanten von konvexen Polyedern (Euler‘sche Polyeder)

Anzahl der Diagonalen im (konvexen)n‐Eck

2. DAS ALLGEMEINE ZÄHLPRINZIP DER

KOMBINATORIK

DAS ALLGEMEINE ZÄHLPRINZIP DER KOMBINATORIK

Kombinatorik liefert Strategien für geschicktes Zählen

Beispiel: SpeisekarteWie viele unterschiedliche Essen kann man zusammenstellen?

ANSATZ: BAUMDIAGRAMM

SpeisekarteVorspeisenTomatensuppeRindfleischsuppe

HauptgerichteHähnchen mit Reis

Bratwurst mit Pommes FritesSchnitzel mit Salzkartoffeln

NachspeisenEis

Pudding


Rechnerische Bestimmung der Anzahl:

Anzahl an Wahlmöglichkeiten pro Gang:

2 3

Vor‐speise

Haupt‐gericht

Nach‐speise

2× × = 12


Ableiten einer allgemeinen Zählregel:

Sind n‐gliedrige Sequenzen a1 a2 a3 ... an zu bilden, und gibt esk1Besetzungen für die 1. Stelle a1,k2Besetzungen für die 2. Stelle a2,...knBesetzungen für die n‐te Stelle an,so gibt es insgesamt k1 ∙ k2 ∙ ... ∙ kn verschiedene n‐gliedrige Sequenzen.

Besteht ein Experiment aus n einfachen Teilversuchen, die unabhängig voneinander auszuführen sind, und gibt esk1Möglichkeiten für den 1.Teilversuch,k2Möglichkeiten für den 2.Teilversuch,...knMöglichkeiten für den n‐ten Teilversuch,Dann hat das zusammengesetzte Experiment insgesamtk1 ∙ k2 ∙ ... ∙ knverschiedene mögliche Ergebnisse

3. DIE KOMBINATORISCHEN

GRUNDFIGUREN

EINE ERSTE KLEINE AUFGABE

Mustafa möchte sich ein Zahlenschloss für sein Fahrrad kaufen. Dazu hat er die Wahl zwischen zwei Schlössern gleicher Qualität. Schloss A vier Ringe, jeder mit den sechs verschiedenen Ziffern 1 bis 6.Schloss B hat drei Ringe, jeweils mit den Ziffern 1 bis 8. Mustafa möchte das sicherste Schloss kaufen.

Für welches entscheidet er sich?

Lösung:

Für Schloss A gibt es 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 64 = 1296 Einstellmöglichkeiten.

Für Schloss B gibt es 8 ∙ 8 ∙ 8 = 83 = 512 Einstellmöglichkeiten.

Mustafa wird sich für Schloss A entscheiden.

EIN ÄHNLICHES PROBLEM: DAS FUßBALL‐TOTO

Wie viele Möglichkeiten gibt es, einen Fußballtoto‐Tippschein auszufüllen, wenn für jede der neun Begegnungen der ersten Bundesliga entweder1 – Heimsieg2 – Unentschieden3 – Auswärtssieg getippt wird?

Lösung:

Für jedes der 9 Spiele gibt es drei Entscheidungen, also nach der allgemeinen Zählregel 3 ∙ 3 ∙ ... ∙ 3 ∙ 3 = 39 = 19683 Möglichkeiten.

VERALLGEMEINERUNG: PERMUTATION MIT

WIEDERHOLUNG

Definition 1 (Permutation mit Wiederholung)

Gegeben seien n Zeichen a1, a2, a3, ... , an. Jede k‐gliedrige Sequenz, bei der an jeder Stelle irgendeines der n Zeichen steht, und bei denen Sequenzen als verschieden angesehen werden, die dieselben Zeichen in unterschiedlicher Reihenfolge enthalten, heißt

geordnete Sequenz (Wort) mit Wiederholung der Länge k aus n Zeichen oder kurz Permutation mit Wiederholung.

Satz 1

Aus n Zeichen a1, a2, a3, ... , an kann man auf n ∙ n ∙ … ∙ n = nk

verschiedene Arten k‐Permutationen mit Wiederholung erzeugen.

EIN ANDERES PROBLEM:

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, dass fünf zufällig ausgewählte Personen

1. An verschiedenen Wochentagen

2. In verschiedenen Monaten

Geburtstag haben?

Lösung zu 1.:

Wie gehen von sieben Wochentagen aus. Für die Person P1 gibt es dann 7 Möglichkeiten, für die Person P2 gibt es nur noch 6 Möglichkeiten (da es verschiedene Wochentage sein sollen) usw. Nach dem allgemeinen Zählprinzip gibt es dann insgesamt

7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 = 2520 Möglichkeiten,

dass fünf Personen an verschiedenen Wochentagen Geburtstag haben.

WIEDER EIN ANDERES PROBLEM?

Wie viele Wörter (= Sequenzen) kann man aus den Buchstaben des Wortes

BALI bilden?

Lösung:

Betrachtet man die vier Buchstaben nacheinander und überlegt sich, an welcher Stelle im Wort diese stehen können, so erhält man für den erstenBuchstaben vier Stellen, für den zweiten 3 Stellen, für den dritten 2 Stellen und für den letzten eine mögliche Position im Wort.Nach dem allgemeinen Zählprinzip gibt es dann insgesamt

4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 4! = 24 Wörter,

die man aus den Buchstaben des Wortes BALI bilden kann.

VERALLGEMEINERUNG: K‐PERMUTATION OHNE

WIEDERHOLUNG AUS N ZEICHEN

Definition 2 (kPermutation ohne Wiederholung)

Gegeben seien n Zeichen a1, a2, a3, ... , an. Jede k‐gliedrige Sequenz (k ≤ n), in der jedes der n Zeichen höchstens ein Mal vorkommt, und bei denen Sequenzen als verschieden angesehen werden, die sich nur in der Reihenfolge der Anordnung ihrer Zeichen unterscheiden, heißt

kPermutation ohne Wiederholung unter Beobachtung der Reihenfolge aus einer Menge von n Zeichen.

Satz 2

Aus n Zeichen a1, a2, a3, ... , an kann man auf

n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2) ∙ ... ∙ (n – (k – 1)) =

verschiedene Arten k‐Permutationen ohne Wiederholung mit k ≤ n erzeugen.)!(

!kn

n−

WIEDER EINE KLEINE AUFGABE

Wie viele Möglichkeiten hat man von sieben Feldern drei anzukreuzen, wenn man drei verschiedene Farben benutzt?

Wie ändert sich das Ergebnis wenn man nur eine Farbe benutzt?

Lösung:

(a) Man hat Möglichkeiten.

(b) Man hat jetzt nur noch Möglichkeiten.

210!4!7

)!(!

==− knn

356

210=

BINOMIALKOEFFIZIENTEN

Definition 3.1

Einen Ausdruck der Form werden wir fortan als Binomialkoeffizientenbezeichnen und (sprich: „n über k“) schreiben.

)!(!!

knkn−⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kn

Anwendung:Pascal‘schesDreieck

VERALLGEMEINERUNG: KOMBINATION OHNE

WIEDERHOLUNG

Definition 3.2 (Kombination ohne Wiederholung)

Gegeben seien n Zeichen a1, a2, a3, ... , an. Jede k‐gliedrige Sequenz aus diesen Zeichen mit den Eigenschaften, dass Sequenzen mit gleichen Zeichen in verschiedener Anordnung als gleich angesehen werden und sämtliche Zeichen in den Sequenzen voneinander verschieden sind, heißt

ungeordnete Sequenz ohne Wiederholung der Länge k aus n Zeichenoder kurz Kombination ohne Wiederholung.

Satz 3


verschiedene Arten k‐Kombinationen ohne Wiederholung erzeugen.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kn

HOTELZIMMERBELEGUNG

In einem Hotel sind noch 5 Zimmer frei. Jedes der Zimmer ist ein Dreibettzimmer. Am Abend kommen noch drei Wanderburschen A,B,C. Wie viele Möglichkeiten hat der Hotelier, die Gäste unterzubringen, wenn jedem Gast per Zufall eines der 5 Dreibettzimmer zugewiesen wird und zugelassen wird, dass in einem Zimmer eventuell zwei oder gar drei Personen schlafen? Der Hotelier will nur wissen, welche Zimmer mit wie vielen Personen belegt sind.

LÖSUNG

Mögliche Anordnungen:

3‐0‐0‐0‐0; 0‐1‐0‐2‐0; 1‐0‐0‐1‐1;

Bezeichnen wir fortan die Trennung zwischen den Zimmern mit 0 und die Belegung des Zimmers von einem Gast als 1, so erhalten wir:

1‐1‐1‐0‐0‐0‐0; 0‐1‐0‐0‐1‐1‐0; 1‐0‐0‐0‐1‐0‐1;

Aus dem Kästchen‐Beispiel wissen wir, dass wir drei Einsen und Vier Nullen in

verschiedenen Möglichkeiten auf Sieben Plätze anordnen können.

353

13537

!4!3!7

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⋅

VERALLGEMEINERUNG: KOMBINATION MIT

WIEDERHOLUNG

Definition 4 (Kombination mit Wiederholung)

Gegeben seien n Zeichen a1, a2, a3, ... , an. Jede k‐gliedrige Sequenz aus diesen Zeichen mit den Eigenschaften, dass Sequenzen mit gleichen Zeichen in verschiedener Anordnung als gleich angesehen werden und in einer Sequenz Zeichen wiederholt auftreten können, heißt

ungeordnete Sequenz mit Wiederholung der Länge k aus n Zeichenoder kurz Kombination mit Wiederholung.

Satz 4


verschiedene Arten k‐Kombinationen mit Wiederholung erzeugen.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+kkn 1

ZUSAMMENFASSUNG DER

KOMBINATORISCHEN FIGUREN (1)

Anordnung von kElementen aus der Menge von n Elementen

Ohne Wiederholung Mit Wiederholung

Mit Beachtung der Reihenfolge

Ungeordnete Sequenz ohne Wiederholung der Länge k aus nElementen.

Permutation ohne Wiederholung.

Geordnete Sequenz mit Wiederholung der Länge k aus n Elementen.

Permutation mit Wiederholung.

Ohne Beachtung der Reihenfolge

Ungeordnete Sequenz ohne Wiederholung der Länge k aus nElementen.

Kombination ohne Wiederholung.

Ungeordnete Sequenz mit Wiederholung der Länge k aus nElementen.

Kombination mit Wiederholung.

ZUSAMMENFASSUNG DER

KOMBINATORISCHEN FIGUREN (2)

Anordnung von kElementen aus der Menge von n Elementen

Ohne Wiederholung Mit Wiederholung



)!(!kn

n−

kn

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kn

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+kkn 1

BEISPIEL: URNENMODELL

Ziehen von k Kugeln aus einer Menge von nKugeln

Ohne Zurücklegen Mit Zurücklegen


Geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen vom Umfang k aus nElementen.

Geordnete Stichprobe mit Zurücklegen vom Umfang k aus nElementen.


Ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen vom Umfang k aus nElementen.

Ungeordnete Stichprobe mit Zurücklegen vom Umfang k aus nElementen.

4. VIELFACHHEITEN

ANWENDUNGEN DER KOMBINATORISCHEN FIGUREN: VIELFACHHEITEN (1)

1. Wie viele Wörter mit vier Buchstaben kann man aus den Buchstaben von BALL bilden?

2. Wie viele Wörter mit fünf Buchstaben kann man aus den Buchstaben von BALLA bilden?

3. Wie viele Wörter mit zehn Buchstaben kann man aus den Buchstaben von BALLABALLA bilden?

Lösung zu 1:Um die Frage zu beantworten, bezeichnen wir die beiden L mit L1 und L2 und zählen die Wörter, die man aus B, A, L1 und L2 bilden kann. Je zwei Wörter aus den Buchstaben von BAL1L2 entsprechen dann einem Wort aus den Buchstaben von BALL ( BL1AL2 und BL2AL1 sollten also als ein Wort gezählt werden) weil man L1 und L2 auf 2=2! Arten anordnen kann.

Insgesamt gibt es also Möglichkeiten.12!2!4=

ANWENDUNGEN DER KOMBINATORISCHEN FIGUREN: VIELFACHHEITEN (2)

Gegeben seien die zwei Zeichen 7 und 8. Wie viele 4‐stellige Sequenzen, in denen die 7 dreimal und die 8 einmal auftritt, gibt es?

Lösung:

Man stellt sich die 10‐stellige Sequenz als 10 Plätze vor. Aus den 10 Plätzen wählt

man einen für die 1 aus. Das geht auf Möglichkeiten.

Es bleiben neun Plätze übrig, von denen man 2 für die Zahl 2 auswählt, das

geht auf Arten. Von den sieben restlichen Plätzen wählt man 3 für

die 3 aus, das ergibt Möglichkeiten. Es bleiben vier Plätze für die 4

übrig, dafür gibt es Möglichkeiten.

Das macht insgesamt Möglichkeiten.

101

10=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

3629

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

3537

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

101

10=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1260044

37

29

110

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

VERALLGEMEINERUNG: K‐STELLIGE SEQUENZ MIT

WIEDERHOLUNGEN BEI VORGEGEBENEN VIELFACHHEITEN

Definition 5 (kSequenz mit Wiederholungen und Vielfachheiten)

Gegeben seien n Zeichen a1, a2, a3, ... , an. Jede k‐stellige Sequenz mit k ≥ 2, in der das Zeichen ai genau kimal (ki ≥ 1) vorkommt (1 ≤ i ≤ n) und für die gilt k1 + k2 + k3 + ... + kn = k heißt

kstellige Sequenz mit Wiederholungen bei vorgegebenen Vielfachheiten.

Satz 5

Aus n Zeichen a1, a2, a3, ... , an kann man

k‐stellige Sequenzen bilden, für die gilt: Das Zeichen ai kommt genau kimal vor(ki≥ 1) für alle 1 ≤ i ≤ n und ∑=

=n

i i kk1

!!!!!

321 nkkkkk

⋅⋅⋅⋅ K

VERALLGEMEINERUNG: K‐STELLIGE SEQUENZ MIT

WIEDERHOLUNGEN BEI VORGEGEBENEN VIELFACHHEITEN

Bemerkung 1

Für die Bestimmung der Anzahl k‐stelliger Sequenzen mit Wiederholungen und vorgegebenen Vielfachheiten nach Satz 5 gilt folgender Zusammenhang:

!!!!!

321

121

3

21

2

1

1 nn

n

kkkkk

kkkkk

kkkk

kkk

kk

K

KK

⋅⋅⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

5. VIER‐SCHRITT‐MODELL

ZUR LÖSUNG VON

KOMBINATORIKAUFGABEN

NOTWENDIGKEIT

o Bietet eineMöglichkeit wie man an kombinatorische Aufgaben herangehen kann

o Hilfreich für Schüler, da diese oft große Probleme mit den Kombinatorischen Fragestellungen haben

o Probleme bestehen oft in der Wahl der anzuwendenden Grundfigur und in der Bestimmung der Parameter für die Formeln

o Somit kann das folgende Modell eine Hilfe darstellen

o ABER: Aufgabenstellungen können auch einen einfacheren oder mehrere Lösungen besitzen (vgl. Beispiel aus Veranstaltung)

1. SCHRITT

Angabe passender Sequenzen für die konkret gegebene Aufgabe, die als spezielle Lösungen möglich sind.

2. SCHRITT (1)

Korrekte Beantwortung der entscheidenden Grundfragen:

K1: Sind in der Sequenz Wiederholungen von Elementen möglich ?(ja/nein)

K2: Ist die Reihenfolge der Elemente in der Sequenz zu beachten?(ja/nein)

K3: Sind Vielfachheiten von Elementen vorgegeben?(ja/nein)

2. SCHRITT (2)

Frage (K1)

Frage (K2)

(oW/Rb) (oW/Rnb)

Frage (K3)

(mW/vA) Frage (K2)

(mW/Rb) (mW/Rnb)

ja

ja

jaja

nein

nein

neinnein

zurück

3. SCHRITT

Übertragung in ein Modell sowie die

Bestimmung von n, k und gegebenenfalls der Vielfachheiten .ik

4. SCHRITT

Bestimmung des Ergebnisses.

BEISPIELAUFGABE

Im Supermarkt „Kaufrausch“ gibt es folgendes Sonderangebot:

Beim Kauf von sechs Joghurts der Firma „Joghuretta“ bekommt

man einen Sonderpreis, welcher deutlich unter dem

sechsfachen Preis eines einzelnen Joghurts liegt. Bei der Wahl

der sechs Joghurts kann man zwischen zehn vorhandenen

Sorten frei wählen. Jede Sorte hat denselben Einzelpreis.

Auf wie viele Arten ist die Nutzung dieses Sonderangebots

möglich?

BEISPIELAUFGABE – LÖSUNG (1)

Schritt 1:

Einkaufsbeispiele:

S1 – S3 – S5 – S6 – S7 – S9

S1 – S2 – S2 – S2 – S10 – S10

S4 – S4 – S4 – S4 – S4 – S4


Schritt 2:

Siehe Diagramm

Es handelt sich also folglich um die kombinatorische Figur: (mW/Rnb).


Schritt 3 und Schritt 4:

n = 10 (10 verschiedene Sorten)

k = 6 (6 Joghurts sollen gekauft werden)

A =

=

= 5005

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+kkn 1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+6

1610

6. LEHRPLANEINORDNUNG

EINORDNUNG DER THEMATIK IN DEN THÜRINGER LEHRPLAN

Kombinatorik kein eigenständiges Thema im LehrplanKlassenstufe 10, Stochastik I, S2 „Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten“, unter S2.3 „Begriff der Wahrscheinlichkeit kennen und anwenden“:

Klassenstufe 11: Zahlenfolgen und Grenzwerte:Anwendung der Beweismethode der vollständigen Induktion auf geometrisch‐kombinatorische Probleme (vgl. Eingangsbeispiele)

„(...) Hier sollen auch einfache Regeln der Kombinatorik wie

;

einbezogen werden.“

nnn ⋅−= )!1(! ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅+−

=⋅−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

1!!

!k

nkkn

kknn

kn

7. LERNVORAUSSETZUNGEN UND

ANWENDUNGSGEBIETE

LERNVORAUSSETZUNGEN

• Rechnen mit gebrochenen Zahlen (Klasse 6)

• Potenzen mit ganzzahligem Exponenten (Klasse 8)

• Fakultät einer natürlichen Zahl

• Binomialkoeffizienten

Werden erst im Zusammenhang mit der Kombinatorik eingeführt

ANWENDUNGSGEBIETE

• Stochastik 1 (Klasse 10):

• S2: Laplace ‐Wahrscheinlichkeit

• S5: Binomialverteilung/Bernoulli – Versuche

• Stochastik 2 (Klasse 12):

• S6: Normalverteilung (im Zusammenhang mit Bernoulli und Binomialverteilung)

• Hypergeometrische Verteilung

LITERATUR

KÜTTING, H.: Elementare Stochastik. 2. Auflage. Spektrum Verlag, 2008.

LEMMERMEYER, F.: „Kombinatorik“. In Wurzel, Ausgabe 11/2008.

THÜRINGER KULTUSMINISTERIUM: Lehrplan für das Gymnasium, Mathematik, 1999.

ULSHÖFER, K.: „Macht doch die Aufgaben selbst! Zum Thema ‚Kombinatorik‘ in Klasse 10“. In Mathematik in der Schule, Ausgabe 12, 1998.

CUKROWICZ, J. ET AL.: MatheNetz 10, Westermann, 2004.

Friedrich‐Schiller‐Universität Jena Fakultät für Mathematik und Informatik Abteilung Didaktik Prof. Dr. Bernd Zimmermann Didaktik der Mathematik Modul B Referenten: Florian Schmidt, Benjamin Otto

Kombinatorik in der Schule 1 Erstbegegnungen mit kombinatorischem Denken

• Anzahl an Geraden durch n Punkte in allgemeiner Lage • Turm von Hanoi • Bestimmung der Anzahl von Eckpunkten und Kanten von (konvexen) Polyedern (Eulerische Polyeder) • Anzahl der Diagonalen im n‐Eck

2 Das allgemeine Zählprinzip der Kombinatorik

Erfahrbar z. B. am Problem der Menuzusammenstellung von einer Speisekarte (Wie viele verschiedene Menüs können gewählt werden?)

3 Die 4 kombinatorischen Grundfiguren

3.1 Permutationen mit Wiederholung

Aufgabe: Wie viele Möglichkeiten gibt es, einen Fußballtoto‐Tippschein auszufüllen, wenn für jede der neun Begegnungen der ersten Bundesliga entweder 1 – Heimsieg 2 – Unentschieden 3 – Auswärtssieg getippt wird?

Sind n‐gliedrige Sequenzen a1, a2, a3, ... , an zu bilden, und gibt esk1 Besetzungen für die 1. Stelle a1, k2 Besetzungen für die 2. Stelle a2, ... kn Besetzungen für die n‐te Stelle an, so gibt es insgesamt k1∙ k2 ∙ ... ∙ kn verschiedene n‐gliedrige Sequenzen.

Speisekarte

Vorspeisen Tomatensuppe Rindfleischsuppe

Hauptgerichte Hähnchen mit Reis

Bratwurst mit Pommes Frites

Schnitzel mit Salzkartoffeln

Nachspeisen Eis

Pudding

Mit 2 ∙ 3 ∙ 2 = 12 Möglichkeiten

Definition (Permutation mit Wiederholung)

Gegeben seien n Zeichen a1, a2, a3, ... , an. Jede k‐gliedrige Sequenz, bei der an jeder Stelle irgendeines der n Zeichen steht, und bei denen Sequenzen als verschieden angesehen werden, die dieselben Zeichen in unterschiedlicher Reihenfolge enthalten, heißt

geordnete Sequenz (Wort) mit Wiederholung der Länge k aus n Zeichen oder kurz Permutation mit Wiederholung.

Satz Aus n Zeichen a1, a2, a3, ... , an kann man auf

nk verschiedene Arten k‐Permutationen mit Wiederholung erzeugen.

3.2 Permutationen ohne Wiederholung

Aufgabe: Wie viele Wörter (= Sequenzen) kann man aus den Buchstaben des Wortes BALI bilden?

3.2 Kombinationen ohne Wiederholung

Aufgabe: Wie viele Möglichkeiten gibt es, von sieben Kästchen drei anzukreuzen?

3.3 Kombinationen mit Wiederholung

Aufgabe: Wie viele Möglichkeiten gibt es, drei Personen auf fünf Zimmer zu verteilen, wenn jedes Zimmer mit bis zu drei Personen belegt werden kann.

Definition (k‐Permutation ohne Wiederholung)Gegeben seien n Zeichen a1, a2, a3, ... , an. Jede k‐gliedrige Sequenz (k ≤ n), in der jedes der n Zeichen höchstens ein Mal vorkommt, und bei denen Sequenzen als verschieden angesehen werden, die sich nur in der Reihenfolge der Anordnung ihrer Zeichen unterscheiden, heißt

k‐Permutation ohne Wiederholung unter Beobachtung der Reihenfolge aus einer Menge von n Zeichen.


n∙ (n – 1) ∙ (n – 2) ∙... ∙ (n – (k – 1)) = n!(n − k)!

verschiedene Arten k‐Permutationen ohne Wiederholung mit k ≤ n erzeugen.

Definition (Kombination ohne Wiederholung)Gegeben seien n Zeichen a1, a2, a3, ... , an. Jede k‐gliedrige Sequenz aus diesen Zeichen mit den Eigenschaften, dass Sequenzen mit gleichen Zeichen in verschiedener Anordnung als gleich angesehen werden und sämtliche Zeichen in den Sequenzen voneinander verschieden sind, heißt ungeordnete Sequenz ohne Wiederholung der Länge k aus n Zeichen oder kurz Kombination ohne Wiederholung.

Definition (Kombination mit Wiederholung) Gegeben seien n Zeichen a1, a2, a3, ... , an. Jede k‐gliedrige Sequenz aus diesen Zeichen mit den Eigenschaften, dass Sequenzen mit gleichen Zeichen in verschiedener Anordnung als gleich angesehen werden und in einer Sequenz Zeichen wiederholt auftreten können, heißt ungeordnete Sequenz mit Wiederholung der Länge k aus n Zeichen oder kurz Kombination mit Wiederholung.

!! · !


verschiedene Arten k‐Kombinationen ohne Wiederholung erzeugen.

1


verschiedene Arten k‐Kombinationen mit Wiederholung erzeugen.

3.3 Zusammenfassung

4 Vielfachheiten

Aufgabe: Gegeben seien die vier Zahlen 1, 2, 3, 4. Wie viele 10‐stellige Sequenzen, in denen die 1 einmal, die 2 zweimal, die 3 dreimal und die 4 viermal auftritt, gibt es?

5 Vier‐Schritt‐Modell zum Lösen von Kombinatorikaufgaben • Schritt 1: Beispiele finden die der Aufgabenstellung gerecht werden. • Schritt 2: Ermittlung der kombinatorischen Grundfigur mittels der drei Grundfragen

K1: Sind in der Sequenz Wiederholungen von Elementen möglich? K2: Ist die Reihenfolge der Elemente in der Sequenz zu beachten? K3: Sind Vielfachheiten von Elementen vorgegeben?

• Schritt 3: Übertragung der Aufgabenstellung in das Modell; Bestimmung von n und k. • Schritt 4: Ergebnis bestimmen

Frage (K1)

Frage (K2)

(oW/Rb) (oW/Rnb)

Frage (K3)

(mW/vA) Frage (K2)

(mW/Rb) (mW/Rnb)

Sequenz von k Elementen aus einer Menge von n Elementen

Ohne Wiederholung

Mit Wiederholung

Mit Berücksichtigung der Reihenfolge

Ohne Berücksichtigung der Reihenfolge

ja

ja

ja

janein

nein

nein

nein

Definition (k‐Sequenz mit Wiederholungen und Vielfachheiten)Gegeben seien n Zeichen a1, a2, a3, ... , an. Jede k‐stellige Sequenz mit k ≥ 2, in der das Zeichen ai genau ki mal (ki ≥ 1) vorkommt (1 ≤ i ≤ n) und für die gilt k1 + k2 + k3 + ... + kn = k heißt k‐stellige Sequenz mit Wiederholungen bei vorgegebenen Vielfachheiten.

Satz Aus n Zeichen a1, a2, a3, ... , an kann man

!!!!!

321 nkkkkk

⋅⋅⋅⋅ K

k‐stellige Sequenzen bilden, für die gilt: Das Zeichen ai kommt genau ki mal vor

(ki ≥ 1) für alle 1 ≤ i ≤ n und ki = ki=1

n∑

6 Lehrplanbezug und Anwendungsgebiete

• Kombinatorik im Thüringer Lehrplan kein eigener Themenschwerpunkt – lediglich Behandlung einiger kombinatorischer Grundbegriffe in Stochastik I, Klasse 10 empfohlen

• Verständnis kombinatorischer Figuren Voraussetzung für Bestimmung von Laplace‐Wahrscheinlichkeiten, Behandlung der Binomial‐ und hypergeometrischen Verteilung

Literatur:

• Kütting, H.: Elementare Stochastik. 2. Auflage. Spektrum Verlag, 2008. • Lemmermeyer, F.: „Kombinatorik“. In Wurzel, Ausgabe 11/2008. • Thüringer Kultusministerium: Lehrplan für das Gymnasium, Mathematik, 1999. • Ulshöfer, K.: „Macht doch die Aufgaben selbst! Zum Thema ‚Kombinatorik‘ in Klasse 10“. In Mathematik in der

Schule, Ausgabe 12, 1998.

Hinweis: Die vollständige Präsentation findet ihr auch unterhttp://users.minet.uni‐jena.de/~schmitzm/midida/start.html

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