Leseprobe

zu

Graphentheorie eine anwendungsorientierte Einführung

von Peter Tittmann

Print-ISBN: 978-3-446-46052-2

Ebook-ISBN: 978-3-446-46503-9

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fachbuch.de/buch/Graphentheorie/9783446460522

sowie im Buchhandel

© Carl Hanser Verlag, München

Vorwort

Mit der Entwicklung und dem massenhaften Einsatz des Computers hatdie Mathematik einen tiefgreifenden Wandel erfahren. Diese Veranderungenzeichnen sich durch eine starkere Betonung diskreter und algebraischer Me-thoden der Mathematik aus. Gleichzeitig erfordern moderne technische Ent-wicklungen wie Computer- und Kommunikationsnetze, Mobilfunksysteme,automatische Systeme im Logistikbereich und in der Gentechnologie zuneh-mend Methoden aus der Diskreten Mathematik. Dazu zahlen insbesondereGraphentheorie, Kombinatorik, Kombinatorische Optimierung, Kodierungs-theorie, Algorithmenanalyse und Computeralgebra.

Dieses Buch liefert eine Einfuhrung in die Graphentheorie – ein Lehrgebiet,das heute nicht nur in der Mathematikausbildung eine große Rolle spielt. Dievielfaltigen Anwendungen der Graphentheorie erlangten auch fur Informati-ker, Wirtschaftler, Chemiker und Ingenieure eine große Bedeutung. Graphenfinden uberall dort Anwendung, wo netzartige Strukturen zu analysieren sind.Das konnen Computernetze, Energieleitungssysteme, elektronische Schaltun-gen, chemische Verbindungen, wirtschaftliche Verflechtungsbeziehungen, Pro-grammablaufplane oder soziale Netze sein. Das Gemeinsame an all diesenErscheinungsformen von Netzen ist die abstrakte Grundstruktur, die mathe-matisch durch einen Graphen dargestellt werden kann.

Fur den Lernenden besitzt die Graphentheorie einen Vorteil gegenuber an-deren Lehrgebieten: Fur das Verstandnis der Graphentheorie sind nur ge-ringe Vorkenntnisse aus anderen Gebieten der Mathematik erforderlich. ImWesentlichen genugen mathematische Schulkenntnisse. Lediglich im zweitenund neunten Kapitel werden die Grundbegriffe der linearen Algebra voraus-gesetzt. Dafur wird aber vom Leser die Bereitschaft zum Mitdenken erwartet.

Um selbst Kenntnisse der Graphentheorie fur die Analyse von Netzwerkenoder fur die Entwicklung von Algorithmen einsetzen zu konnen, ist das Verste-hen der Denkweise der Graphentheorie wichtig. Eine große Zahl von Ubungs-aufgaben und zahlreiche Abbildungen sollen dem Leser helfen, dieses Ver-standnis zu erlangen. Zunachst muss jedoch das umfangreiche Vokabular derGraphentheorie erlernt werden. Aus diesem Grunde hat dieses Buch einenetwas starkeren Lehrbuchcharakter als die anderen Bande dieser Reihe. Einumfangreiches Sachwortverzeichnis und ein Symbolverzeichnis am Ende desBuches erleichtern das schnelle Wiederfinden der Definitionen.

6 Vorwort

Die hier vorliegende Einfuhrung in die Graphentheorie entstand aus einerVorlesungsreihe zur Graphentheorie fur Studenten der Angewandten Mathe-matik und der Computertechnologie an der Hochschule Mittweida.

Die ersten acht Kapitel dieses Buches behandeln die Grundlagen der Theo-rie ungerichteter Graphen. Nach einer Einfuhrung in den Sprachgebrauchder Graphentheorie im ersten Kapitel sind planare Graphen, Unabhangig-keit, Farbungsprobleme, der Zusammenhang von Graphen sowie Baume undKreise weitere Schwerpunkte. Das letzte Kapitel liefert eine kurze Einfuhrungzum Thema gerichtete Graphen.

Fur die Aufnahme dieses Textes in die Mathematik-Studienhilfen danke ichdem Herausgeber dieser Reihe, Herrn Prof. Dr. Bernd Engelmann. Beson-ders herzlich mochte ich mich bei Frau Christine Fritzsch vom Carl HanserVerlag fur viele wertvolle Hinweise und Ratschlage zur Gestaltung des Wer-kes bedanken. Mein Dank gilt auch meinem Kollegen Andre Ponitz fur dieUnterstutzung im Umgang mit dem Satzsystem LATEX.

Die zweite Auflage des Buches konnte ich fur einige Korrekturen nutzen. Ichbedanke mich insbesondere bei PD Dr. Peter John und bei Manja Reinwardtfur zahlreiche Hinweise und Verbesserungsvorschlage.

Ich bedanke mich bei jenen aufmerksamen Lesern des Buches, die mir Hin-weise, Kommentare und Anfragen schickten. Diese halfen mir, viele kleineVerbesserungen und Korrekturen in der nun vorliegenden dritten Auflage zurealisieren. Ebenso danke ich auch Frau Natalia Silakova vom Carl HanserVerlag fur die freundliche Unterstutzung bei der Buchproduktion.

Mittweida, Januar 2019 Peter Tittmann

Inhaltsverzeichnis

1 Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.1 Knotengrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.2 Wege und Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.3 Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2 Operationen mit Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.1 Entfernen von Knoten und Kanten . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.2 Fusion und Kontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.3 Brücken und Artikulationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.4 Operationen mit Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3 Spezielle Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.1 Der vollständige Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.2 Weg und Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.3 Bäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.4 Bipartite Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.5 Reguläre Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4 Isomorphe Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.1 Isomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.2 Gradfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Graphen und Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1 Die Adjazenzmatrix eines Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.1 Potenzen der Adjazenzmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.2 Zerlegbare Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 Die Inzidenzmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.1 Die Gradmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3 Abstände in Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.1 Radius, Durchmesser und Zentrum . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.2 Die Abstandsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4 Spannbäume (Gerüste) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.1 Die Anzahl der Spannbäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.2 Die Admittanzmatrix und der Satz von Kirchhoff . . . . . 40

3 Planare Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.1 Planare Einbettungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.1.1 Ebene Kurven und Einbettungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.1.2 Flächen eines planaren Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.1.3 Einbettungen auf der Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.1.4 Kreuzungszahl und Dicke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2 Die Eulersche Polyederformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2.1 Polyeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2.2 Die Polyederformel fur zusammenhängende Graphen . . . 49

8 Inhaltsverzeichnis

3.2.3 Die Polyederformel fur nicht zusammenhängende Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3 Anwendungen der Polyederformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3.1 Nichtplanare Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3.2 Der Satz von Kuratowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3.3 Maximale Kantenzahl planarer Graphen . . . . . . . . . . . . 54 3.3.4 Knotengrade in planaren Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3.5 Platonische Korper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4 Der duale Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4 Unabhangige Knoten- und Kantenmengen . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.1 Unabhangige Knotenmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.1.1 Die Unabhangigkeitszahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.1.2 Cliquen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.1.3 Die U berdeckungszahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2 Matchings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.2.1 Alternierende Wege – der Satz von Berge . . . . . . . . . . . 67 4.2.2 Der Satz von Konig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.3 Der Kantengraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.4 Faktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5 Farbungen von Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.1.1 Zulässige Färbungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.1.2 Die chromatische Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.1.3 Schranken fur die chromatische Zahl . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.2 Färbungen von planaren Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.3 Das chromatische Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.3.1 Der vollständige Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.3.2 Der Baum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.3.3 Die Dekompositionsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.3.4 Der Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.3.5 Chromatisches Polynom und chromatische Zahl . . . . . . . 86 5.3.6 Partitionen der Knotenmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.4 Eine Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6 Der Zusammenhang von Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.1 Der Knotenzusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.2 Der Kantenzusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.2.1 Schnittmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 6.2.2 Schnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.2.3 Die Kantenzusammenhangszahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 6.2.4 Knotenzusammenhang und Kantenzusammenhang . . . . 98

6.3 Trennende Knotenmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.3.1 Anwendung zur Berechnung der Unabhängigkeitszahl . . 99 6.3.2 Ein Berechnungsbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Inhaltsverzeichnis 9

6.3.3 Die Berechnung des chromatischen Polynoms . . . . . . . . . 101

6.4 Partielle k-Bäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.4.1 k-Bäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.4.2 Partielle k-Bäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.4.3 Serien-Parallel-Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7 Bäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 7.1 Eigenschaften von Bäumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.1.1 Die Anzahl der Bäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 7.1.2 Der Prüfercode und der Satz von Cayley . . . . . . . . . . . . 110 7.1.3 Isomorphieklassen von Bäumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.2 Wurzelbäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 7.3 Binäre Bäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8 Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 8.1 Kreise in Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

8.1.1 Taille und Umfang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 8.1.2 Basiskreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

8.2 Hamiltonkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 8.3 Eulerkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

9 Gerichtete Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 9.1 Definitionen und Eigenschaften gerichteter Graphen . . . . . . . . . 129

9.1.1 Wege und Erreichbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 9.1.2 Zusammenhang und starker Zusammenhang . . . . . . . . . 130 9.1.3 Orientierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 9.1.4 Innen- und Außengrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

9.1.5 Quellen und Senken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 9.1.6 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 9.1.7 Kozyklen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 9.1.8 Zyklen- und Kozyklenraume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

9.2 Turniere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 9.3 Flüsse in Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Symbolverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

3 Planare Graphen – die EulerschePolyederformel

Planare Graphen sind solche Graphen, die sich ohne Uberkreuzungen vonKanten in eine Ebene zeichnen lassen. Wir nehmen hierbei an, dass die Kno-ten als Punkte in der Ebene dargestellt werden. Eine Kante entspricht danneiner Kurve, die zwei solche Knotenpunkte verbindet. Diese Definition ist je-doch immer noch unexakt. Was ist eine Kurve? Was heißt Uberkreuzung? Wirwerden diese Begriffe in den folgenden Abschnitten genauer klaren. Hierbeigelangen wir in ein Teilgebiet der Mathematik, das eng mit der Graphen-theorie verwandt ist – die Topologie. Das ist eine Art verallgemeinerte Geo-metrie, die ohne solche Begriffe wie Lange, Volumen oder Winkel auskommt.In der Topologie werden Eigenschaften von Figuren untersucht, die bei belie-bigen bijektiven stetigen Abbildungen erhalten bleiben. Dazu gehoren zumBeispiel Zusammenhang und Dimension, jedoch nicht Form und Große.

Zunachst mussen wir jedoch mit der hier gegebenen anschaulichen Definitioneines planaren Graphen auskommen. Planare Graphen haben unter anderemfur das Schaltkreis-Layout große Bedeutung. Hierbei geht es darum, elek-tronische Bauelemente so durch elektrische Leiterbahnen zu verbinden, dasskeine (oder moglichst wenige) Uberkreuzungen der Leitungen auftreten. Si-cher kann man nicht durch Probieren aller moglichen ebenen Darstellungenvon Graphen feststellen, ob ein Graph planar ist. Deshalb ist ein (moglichsteinfach uberprufbares) Kriterium fur die Planaritat von Graphen gesucht.

Dieses Kapitel liefert eine erste Einfuhrung in die Theorie der planaren Gra-phen. Leser, die mehr zu diesem Thema wissen mochten, sollten zum Beispieldie Bucher von Sachs [25] oder von Nishizeki und Chiba [21] lesen. Das letzt-genannte Buch liefert speziell auch eine schone Ubersicht zu Algorithmen furplanare Graphen.

3.1 Planare Einbettungen

3.1.1 Ebene Kurven und Einbettungen

Wie zeichnet man einen Graphen in eine Ebene? Zunachst ordnen wir denKnoten des Graphen Punkte der Ebene zu, sodass verschiedene Knoten stetsauf verschiedene Punkte der Ebene abgebildet werden. Die Ebene identifizie-ren wir mit der Punktmenge R2. Damit kann die Darstellung der Knoten alsPunkte in der Ebene durch eine injektive Abbildung φ : V → R2 beschrie-

3.1 Planare Einbettungen 45

ben werden. Hierbei heißt eine Abbildung φ injektiv, wenn aus x 6= y stetsφ(x) 6= φ(y) folgt. Um die Darstellung der Kanten exakt zu beschreiben,mussen wir zunachst einige Grundbegriffe klaren. Eine einfache (doppel-punktfreie) ebene Kurve ist eine stetige injektive Abbildung des Intervalls[0, 1] in die Ebene. Die Stetigkeit ist eine Voraussetzung dafur, dass die Kurvezusammenhangend ist. Die Injektivitat der Abbildung sichert die Vermeidungvon Doppelpunkten (Selbstuberschneidungen) der Kurve.

Bild 3.1: Einfache und nichteinfache Kurven

Das Bild 3.1 zeigt links einfache Kurven und rechts eine Kurve mit Dop-pelpunkten. Eine Kante zwischen den Knoten u ∈ V und v ∈ V ist eineeinfache Kurve mit den Endpunkten φ(u) und φ(v). Damit kann eine Kan-te insbesondere keine Selbstuberschneidungen besitzen. Verschiedene Kantenkonnen sich jedoch sehr wohl schneiden.

Bild 3.2: Drei Darstellungen eines Graphen in der Ebene

Das Bild 3.2 zeigt drei verschiedene Darstellungen eines Graphen in der Ebe-ne. Nur die erste Darstellung besitzt Kantenuberschneidungen, die beidenanderen jedoch nicht. Die Knoten sind hierbei durch kleine schwarze Kreisedargestellt, um sie besser sichtbar zu machen. Eine Darstellung eines Gra-phen G in der Ebene ohne Kantenuberkreuzungen nennen wir eine planareEinbettung von G.

Wir werden bald sehen, dass nicht jeder Graph eine planare Einbettung be-sitzt. Damit ergibt sich das Problem, zu entscheiden, welche Graphen planareEinbettungen besitzen und welche nicht. Wir nennen einen Graphen, der eineplanare Einbettung besitzt, einen planaren Graphen.

46 3 Planare Graphen

3.1.2 Flachen eines planaren Graphen

Eine Punktmenge G der Ebene R2 heißt zusammenhangend, wenn je zweiPunkte aus G durch eine ganz innerhalb von G verlaufende Kurve verbundenwerden konnen. Es sei G = (V,E) ein planarer Graph. Wir betrachten eineEinbettung von G in die Ebene. Wenn wir alle Kanten und Knoten von G(genauer: alle Kurven und Punkte, die den Kanten und Knoten entsprechen)aus der Ebene entfernen, so zerfallt die Ebene in zusammenhangende Gebiete.Diese Gebiete nennen wir die Flachen der Einbettung.

FF

F F

F

12

3

45

Bild 3.3: Flachen einer Einbettung

Das Bild 3.3 zeigt die Flachen einer Einbettung eines planaren Graphen.Die dargestellte Flache F5 ist hierbei die unendliche (außere) Flache. EinGraph ist offensichtlich genau dann planar, wenn alle seine Komponentenplanar sind.

3.1.3 Einbettungen auf der Kugel

Jeder Einbettung eines Graphen G in der Ebene kann auch eine Einbettungvon G auf der Kugeloberflache zugeordnet werden. Um die Einbettung indie Kugeloberflache zu konstruieren, betrachten wir eine stereographischeProjektion. Dazu denken wir uns eine Kugel K, die auf der Einbettungsebe-ne E von G liegt. Den Beruhrungspunkt von K mit E nennen wir auch denSudpol der Kugel. Bild 3.4 verdeutlicht diese Situation. Die vom Nordpol Nder Kugel ausgehenden Strahlen zu den Knoten und Kanten der Einbettungvon G in E schneiden die Kugeloberflache in genau einem Punkt. Die Mengealler dieser Schnittpunkte liefert die gesuchte Einbettung von G in K. Ausdieser Konstruktion folgt auch, dass jede Flache einer Einbettung eines Gra-phen in eine Ebene als außere Flache einer Einbettung gewahlt werden kann.Wir mussen dazu nur die Kugel in der Ebene weiterrollen, bis der Nordpol inder gewunschten Flache Fi liegt und anschließend die stereographische Pro-

3.1 Planare Einbettungen 47

jektion in der umgekehrten Richtung ausfuhren. Dabei erhalten wir eine neueEinbettung des Graphen in die Ebene, die nun Fi als außere Flache besitzt.Zwei Einbettungen eines Graphen in die Ebene, die durch diese Konstruk-tion auseinander hervorgehen, heißen aquivalent. Man kann zeigen, dassfur dreifach zusammenhangende (siehe Abschnitt 6.1) planare Graphen dieEinbettung bis auf Aquivalenz eindeutig bestimmt ist.

N

S

K

E

Bild 3.4: Stereographische Projektion

Wir haben gesehen, dass jeder Graph, der in die Ebene eingebettet wer-den kann, auch eine Einbettung auf der Kugeloberflache besitzt. Fur andereFlachen trifft dies nicht in jedem Falle zu. Auf einem Torus (eine Flache inForm eines Fahrradschlauches) kann man einen vollstandigen Graphen K7

einbetten. In der Ebene gelingt dies bereits fur den K5 nicht mehr. Die Ein-bettbarkeit von Graphen bietet damit auch eine Moglichkeit zur Klassifikati-on von Flachen. Dieser Sachverhalt findet in der Topologie Anwendung. Eineelementare Einfuhrung in die kombinatorische Topologie liefert das Buch vonArmstrong [2].

3.1.4 Kreuzungszahl und Dicke

Wenn ein Graph nichtplanar ist, so interessiert man sich manchmal fur die

”Starke der Abweichung von der Planaritat“. Um diesen Begriff etwas genauer

zu fassen, fuhren wir einige Maße fur diese Abweichung ein. Die Kreuzungs-zahl (crossing number) ν(G) eines Graphen G ist die minimale Anzahl vonKantenuberkreuzungen, die bei einer Darstellung des Graphen in der Ebe-ne auftritt. Es erweist sich jedoch als recht schwierig, diese Zahl fur einengegebenen Graphen zu bestimmen.

48 3 Planare Graphen

Bild 3.5: Zerlegung eines nichtplanaren Graphen

Ein anderes Maß ist die Dicke (thickness) θ(G) eines Graphen G. Das istdie minimale Anzahl planarer Untergraphen von G, deren Vereinigung G ist.Wir konnen uns diese Untergraphen als Schichten vorstellen, die ubereinandergelegt sind. Das Bild 3.5 zeigt einen nichtplanaren Graphen der Dicke 2 undeine Darstellung der beiden planaren Untergraphen als ubereinander gelegteSchichten. Solche Darstellungen sind fur das Layout elektrischer Schaltungenvon Interesse. Die exakte Bestimmung der Dicke eines Graphen ist ebenfallsein recht schwieriges Thema. Fur vollstandige Graphen kennt man zumindestdas Ergebnis.

Satz 3.1 (Beineke und Harary)Die Dicke eines vollstandigen Graphen mit n (n 6= 9, n 6= 10) ist

θ(Kn) =

⌊n+ 7

6

⌋.

Es gilt θ(K9) = θ(K10) = 3.

Hierbei sei fur jedes x ∈ R die Zahl bxc die großte ganze Zahl gleich oderkleiner x. Den Beweis dieses Satzes findet man in dem Buch von Harary [15].

3.2 Die Eulersche Polyederformel

3.2.1 Polyeder

Ein Polyeder ist ein durch ebene Flachenstucke berandeter Korper (einVielflachner). Wir wollen hier ausschließlich konvexe Polyeder betrach-ten. Das sind solche Polyeder, in denen zwei Punkte des Polyeders stets durcheine ganz im Polyeder verlaufende Strecke verbunden werden konnen. Einkonvexes Polyeder kann folglich weder Dellen noch Locher besitzen. Wurfelund Tetraeder sind Beispiele fur konvexe Polyeder. Wir wollen uns im Fol-

3.2 Die Eulersche Polyederformel 49

genden nur fur die kombinatorischen Eigenschaften konvexer Polyeder, nichtjedoch fur die geometrischen Eigenschaften interessieren. KombinatorischeEigenschaften sind die Anzahl der Seitenflachen, der Ecken und Kanten oderdie Anzahl der Randkanten einer Seitenflache. Geometrische Eigenschaftensind Kantenlangen, Winkel zwischen Kanten oder das Volumen eines Korpers.

Bild 3.6: Das Kantengerust eines Wurfels als planarer Graph

Was haben Polyeder mit planaren Graphen zu tun? Fur die Untersuchungder kombinatorischen Eigenschaften eines Polyeders genugt die Betrachtungdes Kantengerustes, das sich auf folgende Weise auf einen planaren Graphenabbilden lasst. Wir fuhren zunachst eine Zentralprojektion mit dem Kan-tengerust so aus, dass das Bild als Graph auf einer Kugeloberflache sicht-bar wird. Anschaulich kann man sich diesen Prozess wie folgt vorstellen.Wir platzieren zunachst das Kantengerust des Polyeders (zum Beispiel einesWurfels) im Inneren einer Hohlkugel. Nun stellen wir uns wiederum im In-neren des Polyederkantengerustes eine punktformige Lichtquelle vor. Dannfallt der Schatten der Kanten des Polyeders auf die Kugelinnenflache. Die-ser Schatten bildet dort einen Graphen, der keine Kantenuberkreuzungenaufweist. Schließlich konnen wir den auf der Kugeloberflache eingebettetenGraphen mittels stereographischer Projektion in die Ebene abbilden. Aufdiese Weise konnen wir die kombinatorischen Eigenschaften eines Polyedersmit einem planaren Graphen darstellen. Das Bild 3.6 zeigt einen planarenGraphen, der das Kantengerust eines Wurfels reprasentiert.

3.2.2 Die Polyederformel fur zusammenhangende Graphen

Es sein nun G = (V,E) ein zusammenhangender planarer Graph, fur den unseine Einbettung in der Ebene vorliegt. Die Anzahl der Knoten von G sei n,die Anzahl der Kanten m. Die Anzahl der Flachen der Einbettung bezeichnenwir mit f . Diese drei Zahlen erfullen eine bemerkenswert einfache Beziehung,die Leonhard Euler (1707 – 1783) entdeckte.

50 3 Planare Graphen

Satz 3.2 (Euler)Fur jeden zusammenhangenden planaren Graphen gilt

n+ f = m+ 2. (3.1)

Insbesondere ist die Anzahl der Flachen eines planaren Graphen un-abhangig von der konkreten Einbettung in die Ebene.

Wir bezeichnen die Gleichung (3.1) im Folgenden als Eulersche Polyeder-formel.

Beweis: Wir fuhren den Beweis durch vollstandige Induktion nach der Anzahlder Knoten und Kanten. Fur einen Graphen mit nur einem Knoten und keinerKante gilt die Formel offensichtlich. In diesem Falle ist n = 1, f = 1 undm = 0. Es sei nun G ein Graph mit n Knoten und m Kanten, welcher dieEulersche Polyederformel (3.1) erfullt. Wir werden zeigen, dass dann auchjeder Graph, der einen Knoten oder eine Kante mehr besitzt, diese Formelerfullt.

Nehmen wir zunachst einen Knoten hinzu. Damit der neue Graph wiederzusammenhangend ist, mussen wir gleichzeitig eine neue Kante erzeugen.Entweder wir platzieren den Knoten auf einer der vorhandenen Kanten, wobeidiese Kante in zwei neue Kanten unterteilt wird oder wir setzen den Knotenin irgendeine Flache und verbinden ihn durch eine neue Kante mit einembereits vorhandenen Knoten. In beiden Fallen nimmt die Anzahl der Knotenund Kanten um je 1 zu und die Anzahl der Flachen bleibt konstant. Damitaddieren wir je 1 zu beiden Seiten der Gleichung (3.1), sodass diese Gleichunggultig bleibt.

Eine neue, in G eingefugte Kante verlauft ganz im Inneren einer Flache derEinbettung. Diese Flache wird folglich in zwei neue Flachen zerlegt. Damitnimmt bei dieser Operation die Anzahl der Kanten und Flachen um je 1 zu,sodass wiederum die Eulersche Polyederformel erhalten bleibt. Folglich giltsie fur alle zusammenhangenden planaren Graphen. �

Die Eulersche Polyederformel lasst sich fur den Wurfel nach Bild 3.6 leichtuberprufen. Dieser Graph (ebenso wie der Wurfel als Korper) besitzt 8 Kno-ten (Ecken), 12 Kanten und 6 Flachen. Tatsachlich ist 8 + 6 = 12 + 2. Dieoben beschriebene Projektion des Kantengerustes eines konvexen Polyedersbegrundet auch den Namen Polyederformel, obwohl wir zunachst eine Be-ziehung uber planare Graphen bewiesen haben.

3.3 Anwendungen der Polyederformel 51

3.2.3 Die Polyederformel fur nicht zusammenhangendeGraphen

Die Eulersche Polyederformel lasst sich auch fur nicht zusammenhangendeGraphen verallgemeinern. Es sei G ein planarer Graph mit c Komponenten.Fur jede Komponente gilt die Beziehung (3.1). Wir mussen jedoch beach-ten, dass sich alle Komponenten die außere Flache teilen. Damit haben wirinsgesamt c− 1 Flachen weniger. Es folgt n+ f − (c− 1) = m+ 2 oder

n+ f − c−m = 1.

Die relativ einfache Polyederformel besitzt erstaunlich weitreichende Kon-sequenzen fur die gesamte Theorie planarer Graphen sowie zahlreiche An-wendungen in der Topologie. Sie lasst sich noch allgemeiner fassen, sodass sieauch fur Flachen beliebigen Geschlechts (was immer das ist) und fur hoherdi-mensionale Raume gilt. Eine elementare Einfuhrung zu diesen Fragen liefertdas Buch von Boltjanskij und Efremovic [8].

3.3 Anwendungen der Polyederformel

3.3.1 Nichtplanare Graphen

Die Eulersche Polyederformel gestattet uns auf einfache Weise zu zeigen,dass es tatsachlich nichtplanare Graphen gibt. Unser Ziel ist es zunachst,moglichst kleine nichtplanare Graphen zu finden. Dabei konnen wir uns aufschlichte Graphen beschranken, da fur jede planare Einbettung eines Graphenbeliebig viele parallele Kanten und Schlingen erganzt werden konnen, ohnedie Planaritat zu storen.

Folgerung 3.3Der vollstandige Graph K5 ist nichtplanar.

Beweis: Wir zeigen diese Aussage indirekt mit der Eulerschen Polyederformel.Angenommen K5 ist ein planarer Graph. Eine Einbettung musste dann

f = m+ 2− n = 10 + 2− 5 = 7

Flachen besitzen. Jede Flache wird von mindestens drei Kanten berandet.Andererseits berandet jede Kante gleichzeitig zwei Flachen. Damit folgt

3f ≤ 2m.

Sachwortverzeichnis

Abstand, 33Abstandsmatrix, 36adjazent, 13Adjazenzmatrix, 29Admittanzmatrix, 40Adresse, 114aquivalente Einbettung, 47Alphabet, 110alternierender Weg, 67Anfangsknoten, 129antiparallele Bogen, 130Artikulation, 18aufspannender Untergraph, 15Außengrad, 132azyklischer Graph, 130

Basiskreis, 121Baum, 21– binarer, 115– planarer, 114Berge, 67Binarcode, 115binarer Baum, 115bipartiter Graph, 23Blatt, 108Block– einer Partition, 87– eines Graphen, 95Bogen, 129Bogenfolge, 130Bogenmenge, 129Bruder, 113Brucke, 18

Catalan, Eugene Charles, 116Catalan-Zahlen, 116Cayley, Arthur, 111chromatische Zahl, 77chromatisches Polynom, 82Clique, 64Cliquenzahl, 64crossing number, 47

Dekomposition, 38Dekompositionsbaum, 39Dekompositionsformel, 38Dicke, 48disjunkte Vereinigung, 19Dominationszahl, 66dominierende Knotenmenge, 65Dreieck, 15Dreiecksungleichung, 33dualer Graph, 56Dualitat, 56Durchmesser, 34

Einbettung– aquivalente, 47– planare, 45einfache Kurve, 45elementarer Kozyklus, 136Elementarzyklus, 133Endknoten, 12, 129Entfernen– einer Kante, 16– eines Knotens, 16erreichbar, 130erweiternder Weg, 67Euler, Leonhard, 49Eulersche Polyederformel, 50Eulersche Tour, 125Eulerscher Graph, 125Eulerscher Kantenzug, 125Exzentrizitat, 34

Funffarbensatz, 81Farbung, 76– zulassige, 77Faktor, 72Faktorielle– fallende, 83Faktorisierung, 72fallende Faktorielle, 83Flache, 46– außere, 46

166 Sachwortverzeichnis

Fluss, 144– Wert, 144– zulassiger, 144Flussnetzwerk, 143Frequenzplanung, 88Funknetz, 88Fusion, 17

geordneter Wurzelbaum, 114gerichtete Kante, 129gerichteter Graph, 129– schlichter, 130– stark zusammenhangender, 131– zusammenhangender, 130gesattigte Knotenmenge, 61gesattigter Knoten, 66gesattigtes Matching, 66geschlossene Kantenfolge, 15girth, 120gleiche Graphen, 25Grad, 13, 132Gradfolge, 26Gradmatrix, 33Graph– azyklischer, 130– bipartiter, 23– dualer, 56– Eulerscher, 125– gerichteter, 129– k-zusammenhangender, 93– kantenloser, 21– leerer, 21– orientierbarer, 131– planarer, 45– regularer, 24– schlichter, 13– schlichter gerichteter, 130– selbstdualer, 57– stark zusammenhangender, 131– ungerichteter, 12– unterliegender, 130– vollstandiger, 20– vollstandiger bipartiter, 24– zusammenhangender, 15, 130Graphen

– gleiche, 25Grapheninvariante, 26

Hamilton, William Rowan, 122Hamiltonkreis, 122Hamiltonweg, 122Hohe, 114Hyperwurfel, 25

induzierter Untergraph, 15injektiv, 45Innengrad, 132inzident, 12Inzidenzmatrix, 32isolierter Knoten, 13isomorph, 25, 140isomorphe Graphen, 25

k-Baum, 103– partieller, 104k-fach kantenzusammenhangend, 98k-farbbar, 80k-zusammenhangend, 93Kante, 12– gerichtete, 129Kantenfolge, 15– geschlossene, 15– Lange, 15Kantengraph, 70kantenloser Graph, 21Kantenmenge– unabhangige, 66Kantenzusammenhangszahl, 98Kapazitat, 144– eines st-Schnittes, 145Kirchhoff, Gustav Robert, 40Knoten, 12– gesattigter, 66– isolierter, 13knotendisjunkt, 95Knotenmenge– dominierende, 65– gesattigte, 61– maximale unabhangige, 61– st-trennende, 94

Sachwortverzeichnis 167

– trennende, 93– unabhangige, 61Knotenuberdeckung, 65– minimale, 65Knotenzusammenhangszahl, 94Konig, Denes, 69Kokreis, 139Komplement, 18Komplementargraph, 18Komponente, 15– starke, 131Kontinuitatsgleichung, 144Kontraktion, 17konvexes Polyeder, 48Kozyklenbasis, 137Kozyklenraum, 137Kozyklus, 136– elementarer, 136– linear abhangiger, 136Kreis, 15, 21, 130Kreuzungszahl, 47Kuratowski, Kazimierz, 52Kurve, 45

Lange, 130– einer Kantenfolge, 15Laplace-Matrix, 40leerer Graph, 21line graph, 71linear abhangig, 136

Masche, 139Matching, 66– gesattigt, 66– maximales, 66– perfektes, 66maximale unabhangige Menge, 61maximales Matching, 66Maximalfluss, 145Maximalgrad, 14Menger, 95minimale Schnittmenge, 96Minimalgrad, 14Minor, 17

Nachbarschaft, 13

Nachfolger, 112

orientierbarer Graph, 131Orientierung, 131

parallel, 13parallele Bogen, 130Parallelersetzung, 106partieller k-Baum, 104Partition, 86– unabhangige, 87perfektes Matching, 66planare Einbettung, 45planarer Baum, 114planarer Graph, 45Platonische Korper, 55Polya, George, 112Polyeder, 48– konvexes, 48– regulares, 55Polynom– chromatisches, 82Produkt– von Graphen, 19Prufer, Heinz, 110

Quelle, 133

r-Faktorisierung, 72Radius, 34Randknoten, 34regularer Graph, 24regulares Polyeder, 55Ruckkehrbogen, 144Ruckwartsbogen, 146Rundreiseproblem, 119

schlichter gerichteter Graph, 130schlichter Graph, 13Schlinge, 13, 130Schnitt, 96, 97Schnittmenge, 96Sechsfarbensatz, 80selbstdualer Graph, 57Senke, 133Serien-Parallel-Graph, 106

168 Sachwortverzeichnis

Serienersetzung, 105Sohn, 113sp-Graph, 106Spannbaum, 37st-Schnitt, 145st-trennend, 94st-Weg, 94stark zusammenhangend, 131starke Komponente, 131stereographische Projektion, 46Stern, 24symmetrische Differenz, 121

Taille, 120thickness, 48Torus, 107transitiv, 130trennende Knotenmenge, 93Triangulation, 54Turnier, 140– isomorphes, 140Tutte-Polynom, 88

Uberdeckungszahl, 65Umfang, 120unabhangige Kantenmenge, 66unabhangige Knotenmenge, 61– maximale, 61unabhangige Partition, 87Unabhangigkeitszahl, 61ungerichteter Graph, 12Untergraph– aufspannnender, 15– induzierter, 15

unterliegender Graph, 130

Vater, 113Verbesserungsweg, 146Vereinigung– disjunkte, 19– von Graphen, 19Verschmelzen, 17vollstandiger Graph, 20Vorganger, 112Vorwartsbogen, 146

Weg, 15, 21, 130– alternierender, 67– erweiternder, 67Wert eines Flusses, 144Wort, 110Wurzel, 112Wurzelbaum, 112– geordneter, 114

Zentrum, 34zerlegbare Matrix, 31zulassige Farbung, 77zulassiger Fluss, 144zusammenhangend, 15zusammenhangende Punktmenge, 46zusammenhangender Graph, 130Zusammenhangszahl, 94Zyklenbasis, 137Zyklenraum, 137zyklomatische Zahl, 137Zyklus, 133– linear abhangiger, 136