1

Vorlesung 20.11.2006

Kombinatorische Grundaufgaben (2)

2

Grundproblem der Kombinatorik:

Bestimmen der Anzahl der Möglichkeiten, in den vorgegebene Objekte unter bestimmten Bedingungen zusammengestellt werden können.

Unterschiedliche Bedingungen (Forderungen) unterschiedliche Regeln zur Anzahlbestimmung

In der Vorlesung am 13.11.2006:

Anordnung von vorgegebenen Objekten zu einer „Kette“ bestimmter Länge Permutationen und Variationen

3

Charakteristische Eigenschaft der in der letzten Vorlesung betrachteten Probleme:

Für die Bildung der Entscheidungsfamilien war die Reihenfolge wesentlich: mehrstufige Entscheidungsprozesse, Entscheidungsketten, Entscheidungsabfolgen

Die festgelegte Reihenfolge machte eine Veranschaulichung durch einen Entscheidungsbaum möglich:

2. Entscheidungsstufe1. Entscheidungsstufe 3. Entscheidungsstufe . . .

4

Neue Problematik:

Für die Auswahl von Objekten aus einer Grundmenge ist es nicht mehr interessant, in welcher Reihenfolge sie ausgewählt wurden.

Annalena zieht 3 Lose. Wird ein Gewinn dabei sein?

Wenn sie ihre 3 Lose öffnet, ist es nicht mehr wichtig, in welcher Reihenfolge sie gezogen wurden, sondern nur noch ob ein Gewinn dabei ist.

5

Antje meint: „11 verschiedene Spielgeräte! Wenn ich jeden Tag zwei andere Geräte auswähle, dann kann ich länger als 3 Monate spielen, ohne dass ich mich wiederhole.“ Hat Antje Recht?

Besonderheit der Aufgabe:

Es geht um Zusammenstellungen von 2 Objekten aus 11 gegebenen Objekten; aber: die Anordnung der Objekte in solch einer Zusammenstellung spielt keine Rolle!

6

Präzisierung der Aufgabe: Wir legen fest, dass die 2 Spielgeräte für einen Tag jeweils verschieden sein sollen.

D. h.: Wir bilden Spielgeräte-Mengen aus 2 verschiedenen Spielgeräten.

+

+ : Prima Idee!

{ , }

7

Kombinationen von Objekten:

Gegeben ist eine Menge von n Objekten.Wir bilden Zusammenstellungen (=Mengen) von

jeweils k dieser Objekte.

Gesucht ist die Anzahl aller k-elementigen Teilmengen.

Aus der Menge der 11 Spielgeräte sollen 2-elementige Teilmengen gebildet werden.

Wie viele verschiedene 2-elementige Teilmengen gibt es?

{ , } { , }

{ , } . . .

8

{ , }

Wie wählt Antje die Spielgeräte aus? Genau hinschauen!

Sie wählt zunächst das Seil und dann das Wackelbrett

oder

sie wählt zunächst das Wackelbrett und dann das Seil.

Anschließend geht sie, beladen mit der Spielgeräte-Menge

, auf den Schulhof.{ , }

Unser Vorgehen:erst alle möglichen Anordnungen der gewählten Geräte berücksichtigen,

dann „vergessen“ wir diese Anord-nungen gleich wieder.

Uns interessiert ja nur die Menge der ausgewählten Geräte.

9

Lösungsidee „dahinter“:

(0) Vorüberlegung: Für jede Menge aus k Elementen gibt es k! Möglich- keiten, ihre Elemente anzuordnen. (Permutation von k verschiedenen Objekten)

(1) Wir ordnen die k Elemente jeder (Spielgeräte-)Teilmenge zunächst „künstlich“ an, und berechnen dann die Anzahl der Variationen, k Elemente ohne Wiederholung aus n gegebenen Elementen auszuwählen

und machen

(2) zum Schluss die „Anordnung“ wieder rückgängig, indem wir durch k! dividieren. Rechnung:

Anzahl der Kombinationen, k Objekte aus n gegebenen Objekten auszuwählen, ohne Wiederholungen zuzulassen =

!:))1((...)1( kknnn Anzahl der Variationen o. W. für die Auswahl von k aus n Objekten

Anzahl der Anordnungen (Permutationen) von k Objekten

2 Spielgeräte 2! = 2x1 Möglichkeiten, diese beiden Geräte in eine Reihenfolge (Anordnung) zu bringen.

Die Auswahl von 2-Spielgeräte-Ketten aus der gesamten Spielgerätemenge kann auf 11x10 Weisen erfolgen.

Die Auswahl-Reihenfolge interessiert uns ja gar nicht!

Es gibt nur Auswahlmöglichkeiten!11 10 11 10

552! 2

Im Zähler stehen

gerade k Faktoren.

10

Anzahl der Kombinationen von k Objekten aus n gegebenen Objekten ohne Wiederholung:

!:))1((...)1( kknnn

!)!(

!

!

))1((...)1(

kkn

n

k

knnn

Bezeichnung:

Den Term schreibt man abkürzend auch .

Gelesen: „n über k“

Der Term wird Binomialkoeffizient genannt.

!)!(

!

kkn

n

k

n

k

n

11

Spielgeräte-Beispiel:

Gegeben sind (n=) 11 Spielgeräte.

Aus diesen insgesamt 11 Spielgeräten werden (k=) 2 herausgegriffen Es wird eine Teilmenge von 2 Spielgeräten gebildet.

Unser Problem: Wie viele verschiedene 2-elementige Spielgeräte-Teilmengen können gebildet werden, wenn wir voraussetzen, dass die beiden gewählten Spielgeräte unterschiedlich sind?

In der Sprache der Kombinatorik: Wie viele Kombinationen gibt, 2 Geräte aus insgesamt 11 Geräten auszuwählen, wenn keine Wiederholungen zulässig sind?

12

Vorgehen:(0) Jede solche 2-elementige Spielgeräte-Teilmenge wird von uns „künstlich“ angeordnet: die Teilmenge {Spielgerät , Spielgerät} wird vorübergehend „ersetzt“ durch die beiden möglichen Ketten, die daraus bildbar sind: Kette 1: „Spielgerät , Spielgerät“ , Kette 2: „Spielgerät , Spielgerät“ .

Es gibt 2! (= ) solche 2-er-Ketten.

(1) Anzahl der Variationen von Spielgeräte-2-er-Ketten, ohne Wiederholung:

(2) Das „zu feine Hinschauen“ machen wir rückgängig: Dividieren durch 2!

gesuchte Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten:

12

1011

5512

1011

!2)!211(

!11

2

11

13

War Antjes Vermutung richtig?

Es gibt 55 Möglichkeiten, beliebige 2 Spielgeräte auszuwählen.

11 Schulwochen (jeweils zu 5 Tagen) lang kann Antje auswählen, ohne sich wiederholen zu müssen.

Es reicht also für etwas weniger als 3 Monate (= 12 Wochen) – aber leider nicht für mehr. Antje hat sich also geirrt.

14

Gibt es eine Möglichkeit, Binomialkoeffizienten leicht auszurechnen?

Pascalsches Dreieck:

Blaise Pascal,

französischer Mathematiker,

1623-1662

15

In Europa galt Pascal lange Zeit als Erfinder der „Pascalschen Dreiecks“.

In Wirklichkeit war es bei den chinesischen Mathematikern schon Jahrhunderte vorher bekannt.

Alte Chinesische Darstellung des Pascalschen Dreiecks

16

Zusammenhang des Pascalschen Dreiecks mit den Binomialkoeffizienten:

. . .

17

Beispiel:

Ein Händler hat 5 verschiedene Sorten Äpfel.Er verkauft Tüten beliebiger Zusammenstellung mit jeweils 10 Äpfeln.

Wie viele verschiedene Zusammenstellungen sind denkbar?

Unser Problem: Zusammenstellung von 10 Objekten aus 5 Sorten; dabei treten (natürlich) Sorten-Wiederholungen auf

Kombination mit Wiederholung von 10 Objekten aus 5 Bereichen

18

Lösung:

Bildliche Darstellung für zwei mögliche Apfelzusammenstellungen :

Wir reduzieren diese Darstellungen auf das mathematisch Wichtige:

00000 00000

000 000 000 0

19

Jeder Apfel wird durch eine Null wiedergegeben,

die Sorten-Zugehörigkeiten lassen sich aus den „wichtigen Trennwänden“ ablesen.

Symbolische Darstellung:

0 1 000 1 1 00 1 0000

1 000 1 000 1 000 1 0

Die vier relevanten Trennwände sind durch die Einsen wiedergegeben ,

die Äpfel – jeweils nach ihren Sorten aufgeteilt – durch Nullen in den entsprechenden Abteilungen.

Sorte 1 Sorte 2 Sorte 3 Sorte 4 Sorte 5

20

Damit er nicht in jede Apfeltüte hineinschauen muss, notiert sich der Händler einfach ihren Inhalt auf der Außenseite:

00100000110010

Statt nun Was verbirgt sich in der Apfeltüte 00100000110010 ?

Sorte 1: 2 Äpfel , Sorte 2: 5 Äpfel , Sorte 3: kein Apfel , Sorte 4: 2 Äpfel , Sorte 5: 1 Apfel

21

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 10 Äpfel aus 5 Sorten auszuwählen?

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 10 Nullen und 4(Trennwand-)Einsen auf 14 (= 10 + 4 ) Plätzen zu verteilen?

Möglichkeiten (Haben wir die 4 Einsen verteilt, müssen nur die restlichen 10 Plätze mit Nullen aufgefüllt werden.)

4

14

Kombination mit Wiederholung von k Elementen aus n Sorten:

Es gibt Möglichkeiten.

k

nk )1(

In unserem Apfel-Beispiel: k = 10 und n = 5

22

Spielgeräte-Beispiel:

Wir wählen aus den 11Sorten von Spielgeräten 2-er-Zusammenstellungen,

Aber nun soll es auch möglich sein, dass eine Gerätesorte auch zweimal ausgewählt wird.

Kombination mit Wiederholung von 2 Geräten aus 11 Sorten:

verschiedene Möglichkeiten662

1112

2

12

2

1112

OOGeräte- sorte 1: Pedolo

Geräte-sorte 2:Softball

Sorte 3 Sorte 4 Sorte 5 Sorte 6 Sorte 7 Sorte 8 Sorte 9 Sorte 10

Sorte 11

Eine der 66 möglichen Auswahlen von 2 Geräten ist hier dargestellt.

1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

23

Entscheidet sich Antje für diese Auswahlmethode – d.h. wählt sie an jedem Schultag aus den 11 Spielgerätesorten jeweils 2 Geräte für sich und ihre Freundin Aigul aus, wobei für beide Mädchen auch zwei gleiche Geräte ausgewählt werden dürfen,

so kommt es in 66 Tagen (= 13 5-Tage-Wochen + 1 Tage) zu keiner Auswahlwiederholung.

Die Spielgerätesorten reichen nun also für mehr als 3 Monate.

24

Beispiel:Holger möchte für eine Party eine Lichterkette aufhängen.Er hat 5 rote Lampen, 4 grüne Lampen und 3 gelbe Lampen.

Wie viele verschiedene Lichterketten sind möglich?

Lösung:Die Lichterkette besteht aus 5+4+3, also aus 12 Lampen 12 Plätze in unserer Kette sind zu belegen.

1.Schritt: Wie viele Möglichkeiten gibt es, in der 12-er-Kette die 5 roten Lampen zu platzieren? Möglichkeiten

2. Schritt: Wie viele Möglichkeiten gibt es, auf den restlichen 7 Plätzen die 4 grünen Lampen zu verteilen? Möglichkeiten

3. Schritt: Wie viele Möglichkeiten gibt es, auf den restlichen 3 Plätzen die 3 gelben Lampen zu verteilen? Möglichkeiten

5

12

4

7

3

3

25

Platz 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Platznummern der 5 roten Lampen Möglichkeiten,

hier eine davon: Platz 1, 2, 4, 7, 12,

dann Platznummern der 4 grünen Lampen noch Möglichkeiten,

hier eine davon: Platz 5, 8,9,11,

Zum Schluss die Platznummern für die 3 gelben Lampen nur noch

Möglichkeiten,

hier eine davon: Platz 3, 6, 10.

12

5

12 5

4

12 5 4 3

3 3

26

Gesuchte Gesamtanzahl für die verschiedenen möglichen Lichterketten:

12 7 3 12! 7! 3! 12!

5 4 3 7! 5! 4! 3! 0! 3! 5! 4! 3!

12 11 10 9 8 7 6 11 5 9 8 727720

4 3 2 3 2 1

27

Was haben wir untersucht? Permutation mit Wiederholung:

Gegeben n Objekte aus s verschiedenen Sorten mit den Vielfachheiten n1, n2, …, ns , also:

Dann gibt es verschiedene Anordnungsmöglichkeiten.

nnnn s ...21

!...!!

!

21 snnn

n

!3!4!5

!12

!3

!3

!4!3

!7

!5!7

!12

In unserem Beispiel:

Insgesamt 12 Objekte (=Lampen)

5 Lampen der Sorte „rot“

4 Lampen der Sorte „grün“

3 Lampen der Sorte „gelb“

28

Übersicht über die kombinatorischen Grundaufgaben:

Anzahlen für ohne Wiederholung mit Wiederholung

Variation

Permutation

Kombination

)1(...)1( knnn kn

!n !...!

!

1 snn

n

k

n

k

nk 1

Dabei bedeutet:

n die Gesamtzahl der zur Verfügung stehenden Objekte

k die Anzahl der auszuwählenden Objekte

n1, …, ns Anzahlen der Objekte in den entsprechenden

Objektsorten

29

Schwierigkeit: Beim konkret vorgegebenen Problem erkennen, um welche Grundaufgabe es sich handelt.

Versuchen, das Grundlegende der Situation zu erfassen,

Überlegen, ob Hilfsmittel wie Entscheidungsbaum,

Produktregel,

Binomialkoeffizienten

oder Sortenbildung helfen können.

30

Beispiel:

Nussknacker Klasse 1, S. 81, Knacknüsse aus dem Abschnitt Rechnen im Zahlenraum bis 20

Bilde mit den farbigen Zahlenkärtchen möglichst viele Plus- oder Minus-Aufgaben .

31

Wie viele Plus-Aufgaben lassen sich mit den grünen Zahlenkärtchen 3 5 7 10 13 und den blauen Kärtchen 0 2 3 5

in der Form + finden?

Geeignetes Hilfsmittel scheint der Entscheidungsbaum zu sein:

1. Auswahl des grünen Kärtchens,

2. Auswahl des blauen Kärtchens.

32

Grünes Kärtchen Blaues Kärtchen Summe der beiden Zahlen

30 3

568

2

3

5

50 5

78

10

2

3

5

7

0 79

1012

2

3

5

100 10

121315

2

3

5

130 13

151618

2

3

5

Unter den insgesamt 5x4 (=20) bildbaren grün-plus-blau-Aufga-ben gibt es also 9 Mög-lichkeiten für richtige Grün-plus-Blau=Rot-Aufgaben.

33

Wie viele Minus-Aufgaben lassen sich mit den grünen Zahlenkärtchen 3 5 7 10 13 und den blauen Kärtchen 0 2 3 5

in der Form - finden?

Geeignetes Hilfsmittel scheint wieder der Entscheidungsbaum zu sein: 1. Auswahl des grünen Kärtchens, 2. Auswahl des blauen Kärtchens.

Andere mögliche Herangehensweise:

2 Plätze sind zu belegen (Minuend und Subtrahend),

für den ersten Platz stehen 5 verschiedene Objekte zur Verfügung, für den zweiten Platz 4 verschiedene Objekte.

Insgesamt 5x4 (=20) Möglichkeiten, hieraus 2-er-Ketten zu bilden.

Für jede dieser 20 Minus-Aufgaben ist zu überprüfen, ob ein erlaubtes rot-Ergebnis entsteht.

34

Grünes Kärtchen Blaues Kärtchen Differenz der beiden Zahlen

30 3

10-2

2

3

5

50 5

72

0

2

3

5

7

0 7542

2

3

5

100 10

875

2

3

5

130 13

11108

2

3

5

Achtung: Diese Aufgabe ist in Klasse 1 nicht ausführbar!

Unter den insgesamt 5x4 (=20) bildbaren grün-minus-blau-Aufga-ben gibt es also 8 Möglichkeiten für richtige grün-minus-blau=rot-Aufgaben.

35

Kombinatorische Probleme – Wie findet man einen Lösungsansatz?

Hilfreiche Fragen, die Lösungsansätze ermöglichen:

Ist die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten überschaubar?

systematisches Aufschreiben aller Auswahlmöglichkeiten könnte helfen.

Systematisches Aufschreiben kann das Aufschreiben aller möglichen Fälle bedeuten, systematisches Aufschreiben kann aber auch das Andeuten einer systematischen Bildungsstruktur für die Auswahl bedeuten.

Kann der Auswahlvorgang für die Objekte in eine Abfolge von Schritten gegliedert werden?

Dann können Entscheidungsbäume können hilfreich sein.

Wichtige Gedanken und Verfahren der heutigen Vorlesung:

36

Sollen die auszuwählenden Objekte in einer Kette angeordnet werden? Dann können Entscheidungsbäume können hilfreich sein.

Können die Objekte der Grundmenge in Kästen (oder Sorten) eingeteilt werden? Dann kann die „Apfelsorten-Idee“ hilfreich sein.

Wird bei jedem Abarbeitungsschritt zum Bilden der Kette ein Objekt aus jeweils dem gleichen Objektfundus gewählt?

Produktregel Potenz der Objektzahl der Grundmenge: nk

37

Nimmt bei jedem Abarbeitungsschritt zum Bilden der Kette der Objektfundus jeweils um ein Objekt (das gerade herausgenommene) ab?

Produktregel für Experimente, die sich von Schritt zu Schritt um ein Element in der Grundmenge verringern:

Geht es um beliebige Auswahl von k verschiedenen Elementen aus einer gegebenen Grundmenge von n Elementen?

wenn die Reihenfolge der Auswahl unwichtig ist:

))1((...)1( knnn

k

n

38

Andere Ansätze für den Umgang mit Anzahlbestimmungen sind möglich!

Die jeweilige konkrete Situation zu verstehen suchen,

mit eigenen Worten beschreiben,

überlegen, welche Bedingungen Sie dabei benutzen,

aus den Bedingungen Schlüsse ziehen,

sich an ähnliche Problemstellungen erinnern,

. . .