1

VI. Systeme mit vielen Freiheitsgraden und ihr Verhalten im Mittel:

WärmelehreVI.1. Gleichgewichtszustände und Zustandsgleichungen

2

VI.1.1. Problemstellung

System

z.B. Gas, Flüssigkeit, Photonen,

Gitterschwingungen,…

Umgebung, z.B. Wärmebad

Randbedingungen (z.B. Wände)

Typische Größe: 1 Mol 6,02·1023 Teilchen NA

NA #12C-Atome in 12 g des Kohlenstoff-Isotops 12C Avogadro-Konstante GAS

3

Beispiel: System von N Massenpunkten Klassische Mechanik

N,,2,1ifürrrFrFrmN

1jjiiji

exii

N 1023 gekoppelte, nichtlineare Differentialgleichungen

• Lösungsversuch beliebig hoffnungslos• Lösung experimentell unüberprüfbar• Datenmenge einer Lösung nicht mal annähernd zu bewältigen• Anfangsbedingungen nicht messbar/einstellbar• Lösung ist chaotisch extrem beschränkte zeitliche Gültigkeit

Folgerung:

• Makroskopische Konzepte sind notwendig• Ziel ist Beschreibung des Systems im statistischen Mittel• Suche vollständige Formulierung mit möglichst wenigen

relevanten makroskopischen Observablen

4

SystemMakro-Observablen

Makroskopische Phänomenologie Wärmelehre / Thermodynamik

Makro-Beschreibung aus wenigen Axiomen der Makro-Physik (eigenständige Theorie)

Statistische PhysikStatistische Auswertung der Mikrophysik

Klassische Mechanik / Quantenmechanik

5GAS

VI.1.2. Grundlegende Begriffe

1. Abgeschlossenes (isoliertes) System: Keinerlei Austausch mit Umwelt (Materie, Energie, Felder, Information,…) Beispiel: Thermoskanne mit Deckel

2. Geschlossenes System: Keinerlei Materie-Austausch mit Umwelt aber z.B. Austausch von Wärme, Volumenarbeit,… Beispiele: Dampfdruckkochtopf,

Zylinder mit beweglichem Kolben3. Offenes System:

Austausch von Materie (Wärme, Arbeit,…) Beispiel: Nicht verschlossener Kochtopf

4. Wärmebad: Unendliches Energiereservoir bei konstanter Temperatur

6

5. Zustandsgrößen/variablenObservablen, die das makroskopische System charakterisieren

Zustandsvariable energiekonjugierte Variable Einheiten

Druck p Volumen V [p]·[V] J

Temperatur T Entropie S [T]·[S] J

Chemisches Potential Teilchenzahl N []·[N] J

: Energie, die System bei Hinzufügen eines Teilchens gewinnt

S kB·ln mit ,,Zahl” der mikroskopischen Realisierungen Maß für die Unbestimmtheit des Mikrozustandes

6. ZustandsgleichungenBeziehungen zwischen (nicht unabhängigen) ZustandsvariablenBeispiel: Ideales Gas p V N kB T

7. ZustandsraumAufgespannt von vollständigem Satz unabhängiger Zustandsgrößen

7GAS

8. Intensive und extensive Zustandsgrößen

System 1

X, Y

System 2

X, Y

System 1 & 2

X, 2Y

X intensiv

Y extensiv

Beispiel: intensive Zustandsgrößen: p, T, extensive Zustandsgrößen: V, S, N, innere Energie

9. Relaxation: Beobachtung Gleichgewichtszustand nach kurzer Relaxationszeit (statistische Durchmischung)

Gas Vakuum

Schieber

Gashomogene

Gasverteilung (Gleichgewicht)

8

10.Quasistatische ProzesseZustandsänderungen, die langsam im Vergleich zur Relaxation ablaufen darstellbar als Folge von Gleichgewichtszuständen Kurve im Zustandsraum

p

V A

B

Kreisprozess

Beispiel: Ideales Gas p V N kB T (p,V)-Zustandsraum

p

V A

B

Quasistatischer Prozess A B

const.

TT,V

p p p

TT, V+dV

p dp p

Wärmebad (Heizung)

thermischer Kontakt

…Beispiel: Kolben

9

11.Reversible und irreversible Prozesse

N,,2,1ifürrrFrFrmN

1jjiiji

exii

Mikrophysik:

invariant unter Ersetzung t t tMikroskopische Dynamik ist zeitlich umkehrbar (reversibel)!

Makrophysik: Dynamik der Zustandsgrößen kann irreversibel sein

Gas Vakuum

Schieber

Gasirreversibel:

reversibel:

quasi-statisch

Ekin = const.

S wächst

Ekin S

10

VI.1.3. Temperatur (vorläufige, empirische Definition)

Beobachtung: Für alle hinreichend dünne Gase ( NV 0 ) gilt bei gleicher Temperatur T

.constTκN

pVBoyle-Mariotte-Gesetz:

thermischer Kontakt Austausch von Wärmeenergie T1 T2 (im Gleichgewicht)

Gas 1

111 NVp

1

11

N

Vp

Gas 2

222 NVp

2

22

N

Vp

Experimentell:

11

Methoden zur Temperaturmessung:

b) Wärmeausdehnung Quecksilber- / Alkoholthermometer

c) T-abhängiger elektrischer Widerstand Demo-Experiment

Eiswasser0 °C

warmes WasserTemperatur T

Konstantan (Ni, Cu)

Kupfer (Cu) (Cu)Uth = f (T)

d) Thermospannung Thermoelement

e) Wärmestrahlung

Pyrometer

Stefan-Boltzmann-Gesetz

P T4

a) Boyle-Mariotte-Gesetz Gasthermometer

12

Definition: Fixpunkte der Celsius-Skala

Gefrierpunkt von H2O: TF 0 ºC

Siedepunkt von H2O: TS 100 ºCºC Grad Celsius

( bei Normaldruck von 1 atm 1,01325105 Pa 760 Torr )

TC-Skala:

mit dem Gasthermometer

TTC1 FS1001

Hierzu ausgenutzt: Ausdehnung flüssiger / fester Körper

... oder einfacher auf der Quecksilbersäule

13

Definition von TC mit dem Gasthermometer:

const.V const.V

flexibler Schlauch

Gas

p Vρ

z.B. Quecksilber

feste Marke

Vakuum

Höhenadjustierung

Gas0 °C

TC

h

UHeizung

TC

C0pTpΔphgρ C

14

T in ºC

C0C0κ

Tκ0C Tγ1VVTV C bei p,N

const. V bei TC 0 ºC

a)

C0C0κ

Tκ0C Tγ1ppTp C bei V,N const.

p bei TC 0 ºC

b) Gay-Lussac-Gesetz

Experimenteller Befund: C273,15

1 γ

Gasthermometer: V const. 0

0C

0

0C

hhTh

γ1

ppTp

γ1

CT

.constTκN

pVBoyle-Mariotte:

Gasthermometer-Def. von T (T) ist linear in T

15

Definition: Absolute Temperatur T, T 1 K 1

Kelvin

CΔTKΔT)b

0pK0T)a

C

C0C Tγ1pTp bei V const.

Aus Gay-Lussac-Gesetz

folgt: C15,273T0p γ1

C

Folgerung: CT15,273KT C

TTκN

pV

16

Thermische Ausdehnung flüssiger / fester Körper

r

E Bindungspotential im Kristall

Ruhelage (T = 0)

Wärmeschwingung

Abstand benachbarter

Atome

thermische Ausdehnung

Tr

TrTΔTr

r

rΔ

L

LΔTrr

T ≪ T

Tr

Trα

TΔαL

LΔ

Linearer Ausdehnungs-koeffizient 1C1α

Volumenausdehnung:

LLd

VVd3 3LV

TΔγVVd

3αγ linearer Raumausdehnungskoeffizient

17

VI.1.4. Wärme

Zuführung der Wärmemenge Q Temperaturänderung T

Definition (alte Einheit): 1 kcal 1 Kilokalorie ist diejenige Wärmemenge, die benötigt wird, um 1kg Wasser bei Normaldruck von 14,5 ºC auf 15,5 ºC zu erwärmen.

Intuitiv: thermische Energieform

thermischer Kontakt

Wärmebad (Heizung)

TTB .constN

.constV

TQ

18

Umwandlung elektrischer/mechanischer Energie in Wärme:

Dewar

elektrisch

UI

1 kg H2O

Vakuum

°C

ΔQtIUΔW ΔQgmr2πnΔW

mechanisch

°C

Behälter mit Wasserm

ReibungFgmF

r

n Umdrehungen

kJ4,186kWs4,186 kcal1 Wärme-Äquivalente

19

Einige mögliche Wirkungen von Q:

TTB T Q

Wärmebad V const. Wärmebad V const.

BT BTirreversibel

reversibel

TQ W TQ W

reversibel

VerdampfenC100T

Wasser Kondensierenen

C100T

DampfQQ

20

Definition: Spezifische Wärme c eines Materials:

ΔTMcΔQ Masse des Systems

spezifische Wärme

11 KkgJc Tccist .a.i

McC Definition: Wärmekapazität C eines Systems:

1KJC

Definition: Spezifische Molwärme Cmol eines Materials:

molmol McC , Mmol Masse von 1 Mol

Die Anzahl der Moleküle in der Stoffmenge von 1 Mol ist gleich der Anzahl der 12C-Atome in 12 g des Kohlenstoff-Isotops 12C. Diese Zahl lautet: Avogadro-Konstante NA 6,0221023 mol1

21

°C

Messung der spezifischen Wärme:

H2O MW cW

H2O MW cW

Mischungs-Kalorimeter

CD

T1

T2

MK cKMK cK

M2KK TTcMΔQ

Anfang: T2 T1

Ende: T1 T2 TM

Anfang: T2 T1

Ende: T1 T2 TM

1MDWW TTCcM

M2K

1MDWWK TTM

TTCcMc

22

VI.1.5. Das ideale Gas

• Gasteilchen sind annähernd Punktmassen ( N·VTeilchen ≪ V )

• Gasteilchen haben keine Wechselwirkung bis auf elastische Stöße untereinander und mit den Wänden

Folgerung: Ideales Gas ist Grenzfall des unendlich dünnen Gases

nTNNTpV A mit n Anzahl der Mole in V

Definition: Boltzmann-Konstante123

TNpV

B KJ1038054,1kk

Definition: Allgemeine Gaskonstante11

BA KmolJ3166,8kNR

TRnTkNpV B Thermische Zustandsgleichung:

a) Thermische Zustandsgleichung

23

b) Kinetische GastheorieStatistischer Zugang zum idealen Gas:• Bezugssystem Ruhesystem des Gases (Schwerpunktsystem)• Geschwindigkeitsverteilung ist isotrop – keine Raumrichtung ist

ausgezeichnet• Druck entsteht durch elastische Stöße der (fast) punktförmigen

Gasatome mit den Wänden – keine weiteren Wechselwirkungen

Zahl der Stöße während t: VΔtvA

x21 xvN

Impulsübertrag pro Stoß: ΔtvFvm2 xx

Betrachte Atome mit Geschwindigkeitskomponente vx Wand.50% davon haben vx 0 ( auf die Wand zu).

x

tvx

A

m

Druck auf Wand:

x

xx

vV

ΔtvAx2

1Δt

vm2A1 vNp

24

2x2

1

vNvN

VN2

vV

ΔtvAx2

1Δt

vm2A1 mvvNp

x

x

x

xx 2x2

1 mv

kin312

21

312

x212

z212

y212

x21 Evmmvmvmvmv

TkEENpVTkN B23

kinkin32

B

Die Temperatur charakterisiert die mittlere kinetische Energie der ungeordneten Bewegung der Gasatome

Gas wechselwirkungsfrei Innere Energie kinENU

TRnTkNU 23

B23

Kalorische Zustandsgleichung

GAS

25

Bemerkung: z,kiny,kinx,kinkin31 EEEE

Energie verteilt sich gleichmäßig auf f 3 Freiheitsgrade der Bewegung (Translation). Gilt allgemein für beliebig viele Freiheitsgrade (Äquipartitionstheorem):

TRnTkNU 2f

B2f

einatomiges Gas

f = 3 (Translation)

zweiatomiges Gas

f = 3 (Translation) + 2 (Rotation)

3-atomiges Gas

f = 3 (Translation) + 3 (Rotation)

Schwingungsmoden erst bei sehr großen T (QM: )ωTkB

GAS

26

Bemerkung: Innere Energie des PhononengasesSchwingungen der Gitteratome: Phononen

Kristallgitter

φtωcosωAtx

φtωsinAtx

m

Dω

222122

212 AωxAx

VDAAmAωmT 2412

mD

4122

41

Mittlere Energie einer Schwingungsmode:

2212

21 xDVxmT

.constVTE

D

xm

3 Schwingungsrichtungen f 3 (kinetisch) 3 (potentiell) 6

versagt für T 0K QuantenmechanikTRn3TRnTkNU 2

fB2

f

27

Bemerkung: Obige Schreibweise

ist mathematisch unsauber, denn vx ist eine kontinuierliche Größe.

2x2

1

vNvN2

x21 mvmv

x

x

Präzisierung: ρxvx dvx sei Wahrscheinlichkeit für xxx dvv,v

xxxv

NvN vdv

x

x

xxxxx vfvρdvvf

xxx vρdv11

xdv dN

N1

xx vρ d. h. Wahrscheinlichkeitsdichte

28

c) Maxwell-Boltzmann-Verteilung

xv0

2zy,x,v xx vρ

• Bewegung in x, y, z unabhängig

)v(ρ)(vρ)(vρ)v,v,v(ρ zzyyxxzyx

Wir wissen bereits:

• Isotropie der Verteilung,(v)f)v,v,v(ρ zyx zyx ρρρ

• Mittelwert und Breite:

0vvv zyx mTk2

z2y

2x

Bvvv

Wir suchen Wahrscheinlichkeit

für Geschwindigkeit im ,,Volumen”-element dvx dvy dvz um .

zyxzyx dvdvdv)v,v,v(ρ

v

zyx

3

dvdvdvNd

N1

zyx )v,v,v(ρ

29

)v(ρ)(vρ)(vρ)v,v,v(ρ(v)f zzyyxxzyx

)v(ρln)(vρln)(vρln(v)fln zzyyxx

)(vρ)(vρ

v2v2

(v)f(v)f

xx

xxx xv

.constA)(vρ)(vρ

v21

)(vρ

)(vρ

v21

)(vρ)(vρ

v21

(v)f(v)f

v21

zz

zz

xyy

yy

yxx

xx

x

und analog für vy, vz

Lösung: )()( 2z,y,xz,y,xz,y,x

2 Avexp)v(ρ,Avexp(v)f

Normierung:

1)v(ρdv xxx 2xπ

Axx Avexp)v(ρ

Breite:

mTk2

xxxxBv)v(ρdv T2k

mB

A

Tk2mv

Tk2πm

xx B

2x

Bexp)v(ρ Gaußverteilung

30

z,y,xi,exp)v(ρ )( Tk2mv

Tk2πm

iidvdN

N1

B

2i

Bi

Maxwell-Boltzmann-Geschwindigkeitsverteilung

)()( Tk2mv23

Tk2πm

zzyyxxdvdvdvNd

N1

B

2

Bzyx

3

exp)v(ρ)v(ρ)v(ρ

Verteilung im Geschwindigkeitsbetrag v:

zyx

3

zyx

3

dvdvdvNd2

N4π

π2

0dvdvdv

NdN12

π

0dvdN

N1 vvdφsindθ

dφθddvθsinvdvdvdv 2zyx Kugelkoordinaten

)()( Tk2mv223

Tkm

π2

dvdN

N1

B

2

Bexpv

31

zy,x,dv

dN

N

1

zy,x,v0

Gauß-Verteilung

Gauß-Verteilung

σ dv

dN

N

1

v0

v2 Gaußfunktion

v2 Gaußfunktion

σ2v π2

)( 2

2x

x σ2

v

σπ21

dvdN

N1 exp )( 2

2

3 σ2v2

σ1

π2

dvdN

N1 expv

mit rms-Breite (root-mean-square) 2xm

Tk vσ B

root mean square

GAS σ2v̂

32

Verallgemeinerung:

Geschlossenes System im thermischen Gleichgewicht

T

Emikroskopische Energiezustände

E1

E2

E3

E4

E5

E6

Realisie-rungen

q1 1

q2 3q3 1q4 2q5 1q6 1

Besetzungs-zahl

N1 5

N2 8

N3 3

N4 4

N5 0

N6 1

Besetzungswahrscheinlichkeit: Pi = Ni N

Boltzmann-Verteilung (diskret / kontinuierlich)

)( TkE

iK1

i B

iexpqP i

TkE

i )(B

iexpqKmit

)( TkE

αK1

αddP

B

αexpq )( TkE

α B

αexpqαdKmit

33

Beispiele:

1) Ideales Gas: 1v,v,vqvmv,v,vEE zyx2

21

zyx

)( Tk2vm

K1

dvdvdvPd

B

2

zyx

3

exp

Maxwell-Verteilung

2) Ideales Gas: 221 mvvEE

)( Tk2mv2

Kπ4

dvdP

B

2

expv Maxwell-Verteilung

2π

0

π2

0

2 vπ4θsindθdφvvq

3) Isotherme Atmosphäre: 1hqmghhEE

)( Tkmgh

K1

dhdP

Bexp Barometrische Höhenformel

34

d) Mittlere freie Weglänge mittlere Flugstrecke eines Gasteilchens bis zur Kollision mit

einem anderen Gasteilchen

Gasteilchen als harte Kugeln mir

Radius r streuendes Teilchen

Streuung falls Abstand der Mittelpunkte 2 r

Stoß-Wirkungsquerschnitt: πr2σ 2S

35

Stoßwahrscheinlichkeit bei Durchqueren einer dünnen Schicht:

ds

A

Sσ

Streuzentren: VdsAN

Stoßwarscheinlichkeit:

dsV

σN

A

σN SSVdsA

(s)ds: Wahrscheinlichkeit für • freies Durchlaufen der Strecke s• Stoß in der nächsten Schicht ds

sexpds1limsρ VσN

VσN

VσNdss

VσN

0ds

SSSS

0

σNV

SdssρssΛMittlere freie Weglänge:

36

0

σNV

SdssρssΛMittlere freie Weglänge:

charakteristische Stoßzeit ( Zeitskala der Relaxation) Tk8

mπ

σN

V

v

Λτ

BS

Beispiel: Luft ( Stickstoff )

216S cm1045σ

Druck Temperatur

normal: 105 Pa 300 K 70 nm 80 ps

Vakuum: 104 Pa 300 K 70 m 80 ms

Weltall: 1013 Pa 50 K 20·106 km 6·107 s 2

y(Molekülwolken)

37

VI.1.6. Das reale Gas

a) Die Van-der Waals-Gleichung

TRnVp Korrekturen zum idealen Gas • endliches Volumen der Gasmoleküle: V V nb

• Teilchenanziehung

1 Teilchen an Oberfläche: F Teilchen pro Fläche

Oberflächenkraft 2

Zusatzdruck (Binnendruck)

2

2

Vnapp im Inneren des Gasvolumens

Folgerung:

Van-der-Waals-Gleichung: TRnnbVap 2

2

Vn

38

Van-der-Waals-Gleichung:

V

p ideales Gas

Koexistenz Dampf / Flüssigkeit

Übersättigter DampfÜberhitzte

Flüssigkeit

identische Flächen

0dVpΔW Maxwell-Konstruktion

kritischer Punkt ( Vc , pc )

Tc

39

Van-der-Waals-Gleichung:

V

p ideales Gas

Koexistenz Dampf / Flüssigkeit

kritischer Punkt ( Vc , pc )

Tc

Übung: Kritischer Punkt

Aus

folgt

0V

p

V

p

cccc p,T

2

2

p,T

c83

cc

Rb27a8

c

cb27a

c

nRTVp

T

bn3V,p 2

40

b) Aggregatzustände

tägliches Leben:•gasförmige• flüssige Phase, teilweise koexistent• fest

andere Phasen:

• elektromagnetische Plasmen Sonnen, Sternwinde, ... 99 % der Materie im Weltall in diesem Zustand

•Quark-Gluon-Plasma aufgelöste Kernmaterie z.B. Schwerionen-Beschleuniger, Inneres von Neutronensternen, Materie im frühen, heißen Universum

•Fermigase z.B. Elektronengas in Metallen oder Weißen Zwergen, Neutronengas in Neutronensternen

41

Koexistenz Flüssigkeit / Dampf

pS: Sättigungsdampfdruck

Dampf

H2O

pS

V

T = const. Dampf

H2O

pS

Inhalt: 1 Mol

Wasser verdampft

pS = const.

•Gleichgewicht bei Temperatur T

•Sättigungsdampfdruck pS = const.

T(pS) Siedetemperatur

T↗ Ekin↗ mehr Moleküle erbringen Austrittsarbeit pS↗

42

H2O

Endpunkt 1:

Dampf völlig kondensiert

p

V↘ p↗↗

Wasserdampf

p

Endpunkt 2:

Wasser völlig verdampft

V↗ p↘annähernd ideales Gas

43

V

p

T TC

TC

T2

T1

PC

Koexistenz Dampf / Flüssigkeit

PC kritischer Punkt

TC kritische Temperatur

PC kritischer Punkt

TC kritische Temperatur

T

pS

T1 T2 TC

DampfdruckkurveDampfdruckkurve

TR

Λexp

Λ Verdampfungswärmepro Mol

Λ Verdampfungswärmepro Mol

Clausius-Clapeyron-Gleichung: flüssigDampfTdpd VVTΛ S

44

Beispiel: Geysir-Modell

Auffangwanne

1 m

a) Aufheizphase bis zum Sieden. Druck der Wassersäule TSiede 100°C

b) Wasserauswurf durch Sieden Druckabfall Siedeverzug Explosion T 100°C

c) Wasserrückfluss Druckzunahme Sieden endet, da T 100°C Tsiede

d) Neuer Zyklus a)

45

Koexistenz feste Phase / Flüssigkeitanalog: ersetze Sieden durch Schmelzen

Schmelzwärme pro Mol: festflüssigTdpd VVTΛ

Folgerung: Vflüssig Vfest klein großTd

pd

T

p

gasförmig

flüssig

fest

Tripelpunkt: alle drei Phasen koexistieren

46

Phasendiagramme:

T

pnormales Verhaltennormales Verhalten

fest flüssig

gasförmig

Tripelpunkt

Sublimation

Verflüssigung durch Druckerhöhung

VV0dT

dp festfl VV0dT

dp festfl VV0

dT

dp festfl VV0dT

dp festfl

T

panormales Verhaltenanormales Verhalten

festflüssig

gasförmig

z. B. Wasser

47

Gibbsche Phasenregel:

System aus einer Komponente (z.B. H2O)

1-phasige Bereiche Flächen im (p,T)-Diagramm

2-phasige Bereiche Linien im (p,T)-Diagramm

3-phasige Bereiche Punkt im (p,T)-Diagramm

q-phasige Bereiche haben f 3 q Freiheitsgrade im (p,T)-Diagramm

System aus Komponente

q-phasige Bereiche haben f 2 q Freiheitsgrade im (p,T)-Diagr.

48

VI.1.7. Statistische Transportprozesse

Statistische Transportphänomene:• Energietransport Wärmeleitung• Massentransport Diffusion• Impulstransport innere Reibung

Voraussetzung: räumliche Variationen von• Temperatur T Wärmetransport• Dichte bzw. Konzentration Massentransport• Geschwindigkeit Impulstransport

v

49

a) Diffusion

Teilchenstrom Konzentrationsgefälle

Ficksches Gesetz: nDj

vnj

mittlere Teilchenstromdichten #Teilchen pro Volumen

Teilchenanzahl bleibt erhalten

Kontinuitätsgleichung: 0jtn

D Diffusionskonstante 12smD

Diffusionsgleichung: 0nΔDtn

Mikroskopische Theorie

mT

mπ9Tk8

σn1

31 B

SvΛD

50

b) Wärmeleitung Drei Typen:• Leitung ohne Massentransport z.B. in Festkörpern• Elektromagnetische Strahlung (d.h. auch durchs Vakuum)• Leitung mit Massentransport, Konvektion (Flüssigk., Gase)

schwache Heizung

T2

T1

T1 T2

starke Heizung

Bénard-Instabilität:Spontane Strukturbildung

( Selbstorganisation )

Bénard-Zelle ( Konvektionszelle )

51

Wärmeleitung ohne Massentransport (ruhendes Medium fester Form, V const.)

qj

dAdA

dQ Wärmedurchgang pro dt

Def.: Wärmestromdichte :qj

dAjqtdQd

Temperaturgefälle qj

Tλjq

Wärmeleitfähigkeit 11111 smKJmKWλ

Kontinuitätsgleichung: mittT

tQ

V1

qtQ

V1 cρ 0j

spez. WärmeDichte

Wärmeleitungsgleichung: 0TΔρcλ

tT

Temperaturleitwert

52

Spezialfall: Metalle

Freie Leitungselektronen große elektrische Leitfähigkeit

kleine Masse groß große Wärmeleitfähigkeit 2v

Empirischer Befund:Wiedemann-Franz-Gesetz

T.constσ

λ

el

Faustregeln:

tFlüssigkeiρcλ

Gasρcλ

Festkörperρcλ

GastFlüssigkeirNichtleitefester Metall λλλλ

53

Beispiel: Stationäres Temperaturgefälle im dynamischen Gleichgewicht

Eis

T1 = 0°C T2 = 100°CL

Kupferstab(Querschnitt A)

x

T(x)

2

2

x

TT00

t

T

bxaT

xTT LTT

112 Randbedingungen

Wärmefluss: Messe P LTT

xT

q21λAλAjAP

54

c) Wärmestrahlung

Physik IV Stefan-Boltzmann-Strahlungsgesetz

4TσAtd

dW

td

dWelektromagnetische Strahlungsleistung (Wärmestrahlung)

A Oberfläche

Stefan-Boltzmann-Konstante

Kirchhoffsches Gesetz: groß Oberfläche ist guter Absorber

42823

4B

2

max KmW1040670400,5c60

kπσσ

Idealer Absorber idealer schwarzer Körper