Michael Engel und Peter Marwedel - TU Dortmund...mit gewissen Freiheitsgraden 12/61. Das...

Rechnerstrukturen

Michael Engel und Peter Marwedel

TU Dortmund, Fakultät für Informatik

Sommer 2014

Folien a. d. Basis von Materialien von Gernot Fink und Thomas Jansen 12. Mai 2014

1/61

http://ls12-www.cs.tu-dortmund.de/~engel/

1 Boolesche Funktionen und Schaltnetze

2 KV-Diagramme (Wiederholung)

3 Algorithmus von Quine und McCluskey (Wiederholung)

4 Unvollständig definierte FunktionenEinleitungMinimalpolynome für partiell definierte Funktionen

5 HazardsEinleitungSchaltungshazards

6 Programmierbare BausteineEinleitungEinsatz von PLAs

2/61

Minimalpolynombestimmung mit

KV-Diagramm

Wieso suchen wir eigentlich Minimalpolynome?

Aufgabe Bestimme für f : {0, 1}4 → {0, 1} ein Minimalpolynom.

Vorgehen

1. Eintragen der Funktion ins KV-Diagramm

2. Finden aller maximaler Zweierpotenz-Rechtecke

3. Finden eines Primimplikanten für jedes Rechteck

4. Finden einer Überdeckung aller Einsen durch eine minimaleMonomauswahl

jetzt noch ein Beispielf : {0, 1}4 → {0, 1} mit (1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1)

3/61

Eintragen der Funktion ins KV-Diagramm

f : {0, 1}4 → {0, 1} mit (01,

10,

21,

31,

40,

51,

60,

71,

80,

91,

100 ,

111 ,

120 ,

130 ,

141 ,

151 )

1

1

1

1

1

1

1

1

1

00

01

11

10

00 01 11 10

x1 x2

x3 x4

0 = (00 00)21 = (00 01)22 = (00 10)23 = (00 11)24 = (01 00)25 = (01 01)26 = (01 10)27 = (01 11)28 = (10 00)29 = (10 01)2

10 = (10 10)211 = (10 11)212 = (11 00)213 = (11 01)214 = (11 10)215 = (11 11)2

4/61

Finden aller maximaler

Zweierpotenz-Rechtecke

f : {0, 1}4 → {0, 1} mit (1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1)

00

01

11

10

00 01 11 10

x1 x2

x3 x4

1

1

1

1

1

1

1

1

1

5/61

Finden eines Primimplikanten für jedes

Rechteck

f : {0, 1}4 → {0, 1} mit (1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1)

00

01

11

10

00 01 11 10

x1 x2

x3 x4

1

1

1

1

1

1

1

1

1

x3 x4

x1 x2 x3x1 x2 x4x1 x2 x3

x1 x2 x4x1 x2 x4

6/61

Überdeckung aller Einsen durch minimaleMonomauswahl

f : {0, 1}4 → {0, 1} mit (1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1)

erforderlich

erforderlich

erforderlich

erforderlich

beste Wahl

00

01

11

10

00 01 11 10

x1 x2

x3 x4

1

1

1

1

1

1

1

1

1

x3 x4

x1 x2 x3x1 x2 x4x1 x2 x3

x1 x2 x4x1 x2 x4

also x3 x4 ∨ x1 x2 x4 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x4 ∨ x1 x2 x4Minimalpolynom

7/61

Fazit KV-Diagramme

Mit KV-Diagrammen effizient beide Schritte zurMinimalpolynomberechnung durchführbar

1. Bestimmung aller Primimplikanten

2. Bestimmung einer minimalen Überdeckung

für Funktionen f : {0, 1}n → {0, 1} für n ∈ {3, 4}

klar Das reicht nicht aus.

Wie bestimmen wir Minimalpolynome für f : {0, 1}n → {0, 1}für größeres n?

klar Wir suchen einen Algorithmus.

8/61

Der Algorithmus von Quine und McCluskey

Willard van Orman Quine (1955)Edward J. McCluskey (1956)

Algorithmus von Quine/McCluskey

Eingabe Fkt. f als Liste aller Minterme zu einschlägigen IndizesAusgabe Minimalpolynom zu f

1. Berechne PI, Menge aller Primimplikanten von f .

2. Berechne minimale f überdeckende Auswahl aus PI.

9/61

Algorithmus von Quine/McCluskey: Erster Teil

Algorithmus 11 (Berechnung von PI)

Eingabe L0: Liste aller Minterme zu einschlägigen Indizes von fAusgabe PI: Menge aller Primimplikanten zu f

1. i := 0; PI := ∅

2. So lange Li 6= ∅

3. Li+1 := {m | ∃x : {mx ,mx} ⊆ Li} (Resolution)

4. PI := PI ∪ {m ∈ Li | m hat keine echte Verkürzung in Li+1}

5. i := i + 1

6. Ausgabe PI

10/61

Beispiel PI-Berechnung

1. i := 0; PI := ∅

2. So lange Li 6= ∅

3. Li+1 := {m | ∃x : {mx ,mx} ⊆ Li}

4. PI := PI ∪ {m ∈ Li | m hat keine echte Verkürzung in Li+1}

5. i := i + 1

6. Ausgabe PI

PI = {x1 x2 x3, x1 x2 x4, x1 x2 x4, x1 x2 x3, x3 x4}

L0 = {x1 x2 x3 x4, x1 x2 x3 x4, x1 x2 x3 x4, x1 x2 x3 x4,

x1 x2 x3 x4, x1 x2 x3 x4, x1 x2 x3 x4, x1 x2 x3 x4}

L1 = {x1 x2 x3, x1 x3 x4, x2 x3 x4, x1 x2 x4, x2 x3 x4, x1 x2 x4,

x1 x3 x4, x1 x2 x3}

L2 = {x3 x4}

L3 = ∅

11/61

Der Algorithmus von Quine und McCluskey

Algorithmus von Quine/McCluskey

Eingabe Fkt. f als Liste aller Minterme zu einschlägigen IndizesAusgabe Minimalpolynom zu f

1. Berechne PI, Menge aller Primimplikanten von f .√

2. Berechne minimale f überdeckende Auswahl aus PI.

schwieriges kombinatorisches Problem

nur heuristische Lösungmit gewissen Freiheitsgraden

12/61

Das Überdeckungsproblem

Aufgabe Finde minimale Überdeckung von f mit PI.

PI-Tafel

◮ eine Zeile für jeden Primimplikanten

◮ eine Spalte für jede Eins-Eingabe

◮ Eintrag =

{

1 Primimplikant überdeckt Eins-Eingabe

0 sonst

klar PI-Tafel meist riesig groß

klar verkleinern

dazu Verkleinerungsregeln

Freiheit durch

◮ Reihenfolge der Regelanwendung

◮ Art der Regelanwendung

Problem Lösung oft trotzdem nicht ablesbar

Lösung Backtracking oder Heuristiken13/61

Beispiel PI-Tafel

<

Streichung überdeckender Spalten

x1 x2 x3x3 x4

x1 x2 x4x1 x2 x3

x1 x2 x4

0010 0011 0101 0111 1001 1011 1110 1111

1 1

1 1 1 1

1 1

1 1

1 1

14/61

Beispiel PI-Tafel

<


x1 x2 x3x3 x4

x1 x2 x4x1 x2 x3

x1 x2 x4

0010 0101 0111 1001 1011 1110 1111

1

1 1 1

1 1

1 1

1 1

15/61

Beispiel PI-Tafel

<


x1 x2 x3x3 x4

x1 x2 x4x1 x2 x3

x1 x2 x4

0010 0101 1001 1011 1110 1111

1

1 1

1

1 1

1 1

16/61

Beispiel PI-Tafel

Streichung überdeckter Zeilen

x1 x2 x3x3 x4

x1 x2 x4x1 x2 x3

x1 x2 x4

0010 0101 1001 1110 1111

1

1

1

1 1

1

17/61

Beispiel PI-Tafel

Kernimplikanten-Zeilen

x1 x2 x3x1 x2 x4x1 x2 x3

x1 x2 x4

0010 0101 1001 1110 1111

1

1

1 1

1

also f (x1, . . . , x4) = x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x4 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x4

18/61

Unvollständig definierte Funktionen

formal f : {0, 1}n → {0, 1, ∗}

Bedeutung f (x) = ∗ Funktionswert für x egal (“don’t care”)

klar Schaltnetz realisiert immer eine

”normale“ boolesche Funktion

Definition

f ′ : {0, 1}n → {0, 1} heißt Realisierung (oder auch Erweiterung)von f : {0, 1}n → {0, 1, ∗}⇔ ∀x ∈ {0, 1}n : (f ′(x) = f (x)) ∨ (f (x) = ∗)

klar größere Freiheiten

Wie nutzen wir die?19/61

Wahl der Realisierung

Wunsch Finde Realisierung f ′ mit minimalem Minimalpolynom.

nützliche Begriffe

◮ minimale Erweiterung f0 von f

f0(x) :=

{

f (x) falls f (x) ∈ {0, 1}

0 sonst

◮ maximale Erweiterung f1 von f

f1(x) :=

{

f (x) falls f (x) ∈ {0, 1}

1 sonst

20/61

Über extreme Erweiterungen

Beobachtungen

◮ Primimplikanten von f0 sind keine echten Verkürzungen vonPrimimplikanten von f1

◮ Primimplikanten von f1 können echte Verkürzungen vonPrimimplikanten von f0 sein

Warum?klar zusätzliche Einsen verkürzen Primimplikanten höchstens

Also hat f1 das kürzere Minimalpolynom?

So allgemein gilt das nicht!

denn f1 kann viel mehr Primimplikanten haben

21/61

Über unvollständige definierte Funktionen

Satz 12

Minimalpolynome einer unvollständig definierten Funktionf : {0, 1}n → {0, 1, ∗} enthalten ausschließlich Primimplikantenvon f1.

Beweis Sei p = m1 ∨m2 ∨ · · · ∨mk Minimalpolynom von f .

Beobachtung p ist Realisierung von f .

Sei mi beliebiger Primimplikant in p.Beobachtung mi ist Implikant von f1.denn mi (x) = 1 ⇒ (f (x) = 1) ∨ (f (x) = ∗) ⇒ f1(x) = 1also Verkürzung m′ von mi ist Primimplikant von f1aber Ersetzen wir mi in p durch m

′, erhalten wir Polynom für f

klar m′ kann nicht echte Verkürzung von mi sein,sonst wäre p nicht Minimalpolynom zu f

also mi Primimplikant von f1 22/61

Minimalpolynome unvollständig definierter

Funktionen

Algorithmus

1. Berechne Menge aller Primimplikanten PI(f1) zu f1.

2. Berechne minimale Überdeckung von f0 durch Monome aus PI(f1).

also algorithmisch keine neuen Probleme

Einwand Vielleicht lässt sich f0 gar nicht so überdecken?

Beobachtung Überdeckung von Nullen von f0 unproblematisch

Wieso eigentlich?Primimplikanten von f1 können nur Einsen oderdon’t cares von f überdecken!

23/61

Hazards

ärgerlich, aber unvermeidlich Abweichungen zwischenModell und Realität

Das gilt auch für technisch realisierte Schaltnetze.

Was passiert, wenn die Eingabe wechselt?

klar Die Ausgabe kann wechseln.

Wunsch

◮ wenn f die Ausgabe wechselt, wechselt das Schaltnetz genaueinmal seine Ausgabe

◮ wenn f die Ausgabe nicht wechselt, wechselt das Schaltnetz seineAusgabe nicht

Realität Schaltnetz kann Ausgabe”zwischendurch“ wechseln.

Das heißt Hazard.24/61

Hazards: Begriffe

Hazards sind

◮ statisch Ausgabewert soll gleich bleiben, ändert sich aber.

◮ dynamisch Ausgabewert soll sich ändern, ändert sich abermehrfach.

◮ Funktionshazard”schon in der Funktionsdefinition enthalten“

◮ Schaltungshazard Hazard, der kein Funktionshazard ist

also vier verschiedene Fälle

25/61

Statischer Funktionshazard

Definition

f : {0, 1}n → {0, 1} hat statischen Funktionshazard, wenn esa = a1a2 · · · an ∈ {0, 1}n und b = b1b2 · · · bn ∈ {0, 1}n mit a 6= bund f (a) = f (b) gibt, sowie c = c1c2 · · · cn ∈ {0, 1}

n mitci ∈ {ai , bi} für alle i ∈ {1, 2, . . . , n} und f (c) 6= f (a).

Beispielx1 x2 x3 f (x1, x2, x3)

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

0

0

0

0

1

0x3

00 01 11 10x1 x2

1

1

a = 000, f (a) = 1

b = 011, f (b) = 1

c = 010, f (c) = 0

26/61

Dynamischer Funktionshazard

Definition

f : {0, 1}n → {0, 1} hat dynamischen Funktionshazard, wenn esa, b ∈ {0, 1}n mit a 6= b und f (a) 6= f (b) gibt, sowiec = c1c2 · · · cn und c

′ = c ′1c′2 · · · c

′n mit ci ∈ {ai , bi}, c

′i∈ {ci , bi}

(i ∈ {1, 2, . . . , n}) und f (c) 6= f (a) sowie f (c) 6= f (c ′).

Beispielx1 x2 x3 f (x1, x2, x3)

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

0

0

1

0

1

0x3

00 01 11 10x1 x2

1

1

1

0

a = 000, f (a) = 1

b = 111, f (b) = 0

c = 001, f (c) = 0

c ′ = 011, f (c ′) = 1

27/61

Zusammenfassung: Statische/DynamischeHazards

Wir haben korrektes Schaltnetz S für f .

Wir betrachten Eingabewechsel von a auf b.

1. Funktionswert bleibt gleich: f (a) = f (b)Am Ausgang von S liegt kurzzeitig ein anderer Wert an.statischer Hazard

2. Funktionswert ändert sich: f (a) 6= f (b)Am Ausgang von S ändert sich der Wert mehrfach.dynamischer Hazard

Weitergehende Klassifikation

◮ Manche Hazard heißen Funktionshazards.

◮ Die übrigen Hazards heißen Schaltungshazards.

28/61

Wie kommt es zum Funktionshazard?

Betrachte Eingabewechsel von a nach b mitentweder f (a) = f (b) statischoder f (a) 6= f (b) dynamisch

Es gibt statisch: 1 andere Eingabe cdynamisch: 2 andere Eingaben c , c ′

zwischen a und b,so dass der Funktionswert beim Weg von a nach b

statisch über c wechseltdynamisch über c und c ′ mehrfach wechselt

zentral andere Eingaben echt”dazwischen“

29/61

Was bedeutet”dazwischen“?

in Bezug auf Eingabewechsel

◮ Wertänderung einiger Eingabebits (alle Bits mit ai 6= bi)

◮ nicht völlig gleichzeitig

◮ also”dazwischen“ = kann als Zwischenschritt bei Wertänderung

der Eingabebits vorkommen

beim Blick auf KV-Diagramm

◮ auf einem kürzsten Weg von a nach b

30/61

Kürzeste Wege im KV-Diagramm

10

11

01

00

x3 x4

00 01 11 10x1 x2

a = 0000

b = 1110

Beobachtung 3 Bits verschiedenkürzeste Wege haben Länge 3(i.a.: n unterschiedliche Bits ⇒ kürzeste Weglänge = n)

31/61

Funktionshazards

klar Funktionshazards sind in Realisierungen vonSchaltnetzen nicht zu vermeiden

zur Kenntnis nehmen Es gibt Hazards.

für uns interessanter Schaltungshazards

Definition Schaltzungshazard Funktion hatbezüglich a, b keinen Hazard,Schaltnetz aber schon

Fragen

1. Wie kann das passieren?

2. Kann man das vermeiden?32/61

Definition Schaltungshazard

Definition

Schaltnetz S für f hat einen statischen Schaltungshazard, wenn esa, b ∈ {0, 1}n gibt, so dass f bezüglich a, b keinen statischenFunktionshazard hat, aber beim Eingabewechsel von a nach b amAusgang von S nicht notwendig stabil f (a) anliegt.

Definition

Schaltnetz S für f hat einen dynamischen Schaltungshazard, wennes a, b ∈ {0, 1}n gibt, so dass f bezüglich a, b keinen dynamischenFunktionshazard hat, aber beim Eingabewechsel von a nach b amAusgang von S mehr als ein Funktionswertwechsel auftreten kann.

Beachte: Auftreten nicht garantiert!

33/61

Beispiel statischer Schaltungshazard

f (x1, x2, x3) = x1 x2 ∨ x2 x3

x1 x2 x3 f (x1, x2, x3)

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

1

1

1

a = 111, f (a) = 1

b = 101, f (b) = 1

klar kein Funktionshazard

Gar kein c zwischen a und b!

x1&

x2

1&

x3

≥ 1

34/61

Vermeidung von Schaltungshazards

Wir konzentrieren uns auf

◮ statische Schaltungshazards,

◮ Schaltnetze, die direkt Polynome realisieren.

Sind in solchen Schaltnetzen Schaltungshazards ganz vermeidbar?

gute Nachricht ja

schlechte Nachricht nicht kostenlos

35/61

Wie vermeidet man statische

Schaltungshazards?

Satz

Sei S ein Schaltnetz, das direkt ein Polynom p einer booleschenFunktion f realisiert. S hat genau dann keinen statischenSchaltungshazard, wenn S für jeden Primimplikanten von f einUnd-Gatter enthält.

Beweis durch Widerspruch:statischer Schaltungshazard ⇔ ein Primimplikant fehlt

Beweistrategie

1. Beweise: statischer Schaltungshazard ⇒ ein Primimplikant fehlt

2. Beweise: Primimplikant fehlt ⇒ statischer Schaltzungshazard

36/61

Hazard ⇒ Primimplikant fehlt

Voraussetzungen◮ Es gibt statischen Hazard bezüglich a und b.◮ Es gibt keinen Funktionshazard bezüglich a und b.◮ a und b unterscheiden sich in genau einem Bit

1. Fall f (a) = f (b) = 0klar alle Und-Gatter permanent 0also Wert am Ausgang permanent 0

also kein Hazard√

2. Fall f (a) = f (b) = 1Sei ma Minterm zu a, mb Minterm zu bBeobachtung ∃Monom m,Variable x : {ma,mb} = {mx ,m x}klar m ist Implikant von falso S enthält Und-Gatter für Verkürzung m′ von mBeobachtung Dieses Und-Gatter ist permant 1 (da unabh. vonx).

also Wert am Ausgang permanent 1 also kein Hazard√

37/61

Primimplikant fehlt ⇒ Hazard

Voraussetzungen

◮ S realisiert direkt Polynom p für f

◮ ∃Primimplikant m von f : kein Und-Gatter für m in S

Definiere Eingaben a und b.

◮ xi ∈ m ai = bi = 1

◮ xi ∈ m ai = bi = 0

◮ sonst ai = 0, bi = 1

Beobachtung m(a) = m(b) = 1also f (a) = f (b) = 1Beobachtung kein Hazard ⇔ ein Und-Gatter permanent 1klar So ein Und-Gatter realisiert Verkürzung von m.also So ein Und-Gatter gibt es in S nicht.also Hazard

38/61

Zusammenfassung: Hazards

Fazit Hazards

◮ Hazards sind ärgerlich.Wann liegt der richtige Funktionswert vor?

◮ Funktionshazards sind so nicht vermeidbar.

◮ Statische Schaltungshazards können mit zusätzlichem Aufwandvermieden werden.

◮ Eine grundsätzliche Lösung ist wünschenswert.

mögliche grundsätzliche Lösung: Taktung der Schaltung ⇒ später

39/61

Realisierung von Schaltnetzen

Gedanken zur Anwendung

1. Problem

2. boolesche Funktion

3. Schaltnetz-Entwurf

4. Schaltnetz-Realisierung

Realisierungen

◮ hoch-integrierte Schaltungteuer Lohnt sich nur bei großen Stückzahlen.

◮ direkte Umsetzung mit Gatternumständlich

40/61

Realisierung mit Gattern

Datenblatt von Texas Instruments (www.ti.com)

41/61

Alternative Realisierung

◮ massenhaft produzierte

◮ darum preisgünstige

◮ nach der Fertigstellung in ihrer Funktion noch beeinflussbare

◮ funktional vollständige

◮ also universelle Standardbausteine

Programmable Logic Array (PLA)

Varianten PAL, PROM, FPGA, . . .(zum Teil eingeschränkte Funktionalität)

42/61

Programmable Logic Array (PLA)

Datenblatt von Lattice (www.latticesemi.com)

43/61

PLA Grundbausteine

y f1(x , y)

x

f2(x , y)

t

Name Typ f1(x, y) f2(x, y)

Identer 0 y xAddierer 1 x ∨ y xMultiplizierer 2 y x yNegat-Multiplizierer 3 y x y

klar funktional vollständig

44/61

PLA

t4,0

t3,0

t2,0

t1,0

t0,0

t4,1

t3,1

t2,1

t1,1

t0,1

t4,2

t3,2

t2,2

t1,2

t0,2

t4,3

t3,3

t2,3

t1,3

t0,3

t4,4

t3,4

t2,4

t1,4

t0,4

t4,5

t3,5

t2,5

t1,5

t0,5

t4,6

t3,6

t2,6

t1,6

t0,6

45/61

PLA für f : {0, 1}3 → {0, 1}

1 1 1 1 1 1

0

x3

x2

x1

t3,0

t2,0

t1,0

t0,0

t3,1

t2,1

t1,1

t0,1

t3,2

t2,2

t1,2

t0,2

t3,3

t2,3

t1,3

t0,3

t3,4

t2,4

t1,4

t0,4

t3,5

t2,5

t1,5

t0,5

f (x1, x2, x3)

Wie wählt man die Bausteintypen?46/61

PLA: Bausteinwahl

klar jede Funktion als Polynom darstellbar

Erinnerung Polynom = Disjunktion einiger Monome

erster Schritt

Wie realisieren wir Monome?

exemplarisch am Beispiel x1 x2 x4

47/61

PLA: Monomrealisierung

Beispiel Monom x1 x2 x4

1x1

x2

x3

x4

Erinnerung

Name Typ fr(o, l) fu(o, l)

Identer 0 l oAddierer 1 o ∨ l oMultiplizierer 2 l o l

Negat-Multiplizierer 3 l o l

2 x11 ∧ x1 = x1

3 x2x1 x2

0 x3x1 x2

2 x4

x1 x2 x4

also jedes Monom leicht realisierbar

◮ falls Variable fehlt Typ 0

◮ falls xi vorkommt Typ 2

◮ falls xi vorkommt Typ 3

48/61

PLA: Polynomrealisierung

gesehen für f : {0, 1}n → {0, 1}k verschiedene Monome m1, m2, . . . , mkin n Zeilen und k Spalten realisierbar

Wie können wir f realisieren, z. B. f = m1 ∨m2 ∨m4?

0

m1 m2 m3 m4

Erinnerung

Name Typ fr(o, l) fu(o, l)

Identer 0 l oAddierer 1 o ∨ l oMultiplizierer 2 l o l

Negat-Multiplizierer 3 l o l

1m1

1m1 ∨m2

0m1 ∨m2

1 m1 ∨m2 ∨m4

Ist das sinnvoll?klar fürf : {0, 1}n → {0, 1}

nichtaber fürf : {0, 1}n → {0, 1}m

schon 49/61

PLA: Ein konkretes Beispiel

Beispiel f (x1, x2, x3, x4) = x1 x2 x4 ∨ x2 x3 x4 ∨ x1 x3 x4 ∨ x2 x3

0

x4

x3

x2

x1

1 1 1 1

f (x1, . . . , x4)1 1 1 1

2 2 2 0

0 2 2 2

2 2 0 3

3 0 3 0

Und-Teil

Oder-Teil

50/61

Fazit zur PLA-Nutzung

also Wir können jede Funktion f : {0, 1}n → {0, 1}m,für deren Polynom insgesamt k Implikanten ausreichen,mit einem PLA mit n +m Zeilen und k Spalten realisieren.

klar Wir wünschen uns k klein.

dafür Minimalpolynome

Wie findet man Minimalpolynome für Funktionenf : {0, 1}n → {0, 1}m?

51/61

Minimalpolynome für f : {0, 1}n → {0, 1}m

Notation statt f : {0, 1}n → {0, 1}m

(f1, f2, . . . , fm) mit fi : {0, 1}n → {0, 1}

für i ∈ {1, 2, . . . ,m}

Definition Ein Minimalpolynom für f : {0, 1}n → {0, 1}m

ist (p1, p2, . . . , pm) mit minimalen Kosten,dabei ist pi Polynom für fi . Bei den Kostenzählen mehrfach vorkommende Monome nur einmal.

Also suchen wir Minimalpolynome pi für fi? Nein!

Beispiel p1(x1, x2, x3) = x1 x3 ∨ x2 x3 ist Minimalpolynomp2(x1, x2, x3) = x1 x2 ∨ x2 x3 ist Minimalpolynom

p′1(x1, x2, x3) = x1 x2 x3 ∨ x2 x3 stellt auch p1 darp′2(x1, x2, x3) = x1 x2 ∨ x1 x2 x3 stellt auch p2 dar

Gesamtkosten (p1, p2) = (n +m)× k = (3 + 2)× 4Gesamtkosten (p′1, p

′2) = (n +m)× k

′ = (3 + 2)× 352/61

Monome für Minimalpolynome für

f : {0, 1}n → {0, 1}k

Welche Monome übernehmen die Rolle der Primimplikanten?

Definition Ein Monom m ist ein multipler Primimplikantvon f = (f1, f2, . . . , fk) mit fi : {0, 1}

n → {0, 1},wenn m Primimplikant von

∧

i∈I

fi ist für eine

nicht-leere Menge I ⊆ {1, 2, . . . , k}.

Theorem Minimalpolynome für f : {0, 1}n → {0, 1}k enthaltennur multiple Primimplikanten von f .

Beweis und Algorithmus zur Berechnung → Skript

53/61

Multiple Primimplikanten berechnen

Wie finden wir alle multiplen Primimplikanten?

Theorem m ∈ PI

(

∧

i∈Ifi

)

⇒ ∀i ∈ I : ∃mi ∈ PI(fi) : m =∧

i∈Imi

Beweis

klar m ∈ PI

(

∧

i∈I

fi

)

ist für alle i ∈ I Implikant von fi

Sei mi ∈ PI(fi) Verkürzung von m (i ∈ I )klar

∧

i∈I

mi ist Verkürzung von m

weil m ∈ PI

(

∧

i∈I

fi

)

, kann∧

i∈I

mi keine echte Verkürzung

von m sein

also∧

i∈Imi = m

54/61

Berechnung aller multipler Primimplikanten

Algorithmusberechnet für I ⊆ {1, 2, . . . , k} die Menge MI der multiplenPrimimplikanten m =

∧

i∈I

mi

1. Für i ∈ {1, 2, . . . , k} berechne M{i} := PI(fi ).

2. M :=k⋃

i=1

{

{i}}

; M ′ :=k⋃

i=1M{i}.

3. Wiederhole

4. Für I , J ∈ M mit I ∩ J = ∅

5. MI∪J := {m 6= 0 | m = m′m′′ mit m′ ∈ MI , m

′′ ∈ MJ ,keine echte Verkürzung von m in MI∪J}.

6. M := M ∪ {I ∪ J}; M ′ := M ′ ∪MI∪J .

7. So lange, bis M ′ eine Iteration unverändert bleibt.

55/61

Minimalpolynomberechnung für

f : {0, 1}n → {0, 1}m

Algorithmus

1. Für alle fi berechne alle Primimplikanten.

2. Berechne alle multiplen Primimplikanten.(ergeben sich potentiell als paarweise Verknüpfung“normaler”Primimplikanten)

3. Berechne eine möglichst günstige Überdeckung.

also günstigste Darstellung für PLA-Realisierungenmit uns bekannten Mitteln berechenbarallerdings sehr aufwendig

56/61

PLA als ROM

Aufgabe Speichere 2n”Wörter“ der Länge m.

w0 = w0,0w0,1w0,2 · · ·w0,m−1 ∈ {0, 1}m

w1 = w1,0w1,1w1,2 · · ·w1,m−1 ∈ {0, 1}m

w2 = w2,0w2,1w2,2 · · ·w2,m−1 ∈ {0, 1}m

......

w2n−1 = w2n−1,0w2n−1,1w2n−1,2 · · ·w2n−1,m−1 ∈ {0, 1}m

Benutze PLA mit n+m Zeilen, 2n Spalten

Beobachtung m · 2n Zellen für m · 2n zu speichernde Bitsmindestens erforderlich

Adressierung mit jeweils n Bitsin n zusätzlichen Zeilen

57/61

Beispiel

n = 3, m = 6

23 = 8 Wörterjeweils 6 Bits

x0

x1

x2

1 1 1 1 1 1 1 1

0 w0,5 w1,5 w2,5 w3,5 w4,5 w5,5 w6,5 w7,5

0 w0,4 w1,4 w2,4 w3,4 w4,4 w5,4 w6,4 w7,4

0 w0,3 w1,3 w2,3 w3,3 w4,3 w5,3 w6,3 w7,3

0 w0,2 w1,2 w2,2 w3,2 w4,2 w5,2 w6,2 w7,2

0 w0,1 w1,1 w2,1 w3,1 w4,1 w5,1 w6,1 w7,1

0 w0,0 w1,0 w2,0 w3,0 w4,0 w5,0 w6,0 w7,0

3 3 3 3 2 2 2 2

3 3 2 2 3 3 2 2

3 2 3 2 3 2 3 2 Beobachtung

Und-Teil fest

nur von Größeabhängig

Anmerkung

PLAs mit festem

Und-Teil werden

als PROM

verkauft.

58/61

Zwischen-Fazit PLAs

PLAs sind preiswerte, universelle Bausteine, die

◮ beliebige boolesche Funktionen leicht realisierbar machen,

◮ Minimalpolynomdarstellungen motivieren,

◮ Speicherung von 2n Wörtern der Länge m in einem(n +m)× 2n-PLA erlauben.

Nachteil nur einmal programmierbar

Wie kann man PLAs beliebig neu programmierbar machen?

59/61

”Software“-PLAs

Typ

f2(x , y)

f1(x , y)

x

y

Typ s t f1(x , y) f2(x , y)

0 0 0 y x1 0 1 x ∨ y x2 1 0 y x y3 1 1 y x y

klar vier verschiedene Typen, mit zwei Bits codierbar

Idee erweitere PLA-Baustein um zwei zusätzliche Eingaben,die den Baustein-Typ codieren

jetzt f1 und f2 als Funktionen von (s, t, x , y) darstellen

◮ f1(s, t, x , y) = y ∨ s t x

◮ f2(s, t, x , y) = s x ∨ s x(t ⊕ y)

60/61

Bemerkung zum Einsatz

klar für ein n×m-PLA werden zur Programmierung2nm Bits gebraucht.

Beobachtung Man kann diese 2nm Bits gutin einem PROM speichern.

Fazit

◮ einfache und günstige Realisierung von booleschen Funktionen

◮ besonders geeignet für kleine Stückzahlen

◮ besonders geeignet bei nur temporärem Gebrauch

61/61

Boolesche Funktionen und SchaltnetzeKV-Diagramme (Wiederholung)Algorithmus von Quine und McCluskey (Wiederholung)Unvollständig definierte FunktionenEinleitungMinimalpolynome für partiell definierte Funktionen

HazardsEinleitungSchaltungshazards

Programmierbare BausteineEinleitungEinsatz von PLAs

Michael Engel und Peter Marwedel - TU Dortmund...mit gewissen Freiheitsgraden 12/61. Das...

Documents

Transcript of Michael Engel und Peter Marwedel - TU Dortmund...mit gewissen Freiheitsgraden 12/61. Das...