1 Vorlesung Hydrologie I Dr. Fred Hattermann Do 8.15-9.45 Haus 12 [email protected] SS 2014.

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Vorlesung Hydrologie I

Dr. Fred Hattermann

Do 8.15-9.45

Haus 12

[email protected]

SS 2014

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Inhalts- und Terminübersicht

1. VL 10.04.14 Einführung

2. VL 17.04.14 Wasserkreislauf

3. VL 24.04.14 Strahlung(1.5.14 Feiertag)

4. VL 08.05.14 Komponenten und Prozesse

des Wasserkreislaufs

5. VL 15.05.14 Niederschlag I

6. VL 22.05.14 Niederschlag II(29.05.14 Feiertag)

7. VL 05.06.14 Verdunstung

3

Inhalts- und Terminübersicht

8. VL 12.06.14 Versickerung

9. VL 19.06.14 Infiltration

10. VL 26.06.14 Abfluss I

11. VL 03.07.14 Abfluss II

7. Abfluss I

5

7. Abfluss II

7.1 Definition und Grundlagen

7.1.1 Definition

7.1.2 Abflussbildung

7.1.3 Abflusskonzentration

7.1.4 Abflussregime

7.2 Abflussmessung

7.3 Abflusskurve und Abflussganglinie

7.4 Abflussstatistik7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik

7.4.2 Extremwertstatisitk

7.5 Abfluss/ Hochwasser und Klimawandel

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Ziel:

• Beschreibung der stat. Eigenschaften einer Abflusszeitreihe (an einer Gewässerstelle) und/oder Ableitung der Werte der extremen Abflüsse

• Für die Bemessung von z.B. Deichen, Schleusen, Karnälen und Rückhaltebecken werden Informationen zur Auftretenswahrscheinlichkeit von Ereignissen bestimmter Intensität benötigt -> Extremwertstatistik

Aufgabe der Extremwertstatistik in der Hydrologie (s. Übung)

• Wie häufig tritt ein Niederschlag bestimmter Intensität und Dauer im Mittel auf?

• Mit welchem maximalen Durchfluss / Wasserstand muss innerhalb einer Zeitspanne statistisch gerechnet werden?

• Die statistische Auswertung bereits beobachteter Extremwerte ist eine Möglichkeit, solche Aussagen zu liefern.

7. Abfluss II7.4 Abflussstatistik

Abflussganglinie (Hydrograph) – Definition

Darstellung des Abflusses Q über die Zeit t (Ganglinie des Wassers am Pegel).

7. Abfluss II7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik

9

7. Abfluss II


7.1.1 Definition



7.1.4 Abflussregime

7.2 Abflussmessung





Deskriptive und analytische Statistik

Aufgabe der Statistik ist die Zusammenfassung von Daten, deren Darstellung, Analyse und Interpretation.

Man unterscheidet zwischen beschreibender oder diskreptiver und schließender oder analytischer Statistik.


Die deskriptive Statistik dient der Beschreibung quantitativ-empirischer Daten. Ziel ist es, Daten und die ihnen zugrunde

liegenden Muster sinnvoll darzustellen und zusammenzufassen. Beispiele sind:

• Tabellen (z.B. Häufigkeitstabellen, oft Einteilung in Klassen);

• Grafiken (z.B. Balkendiagramme oder Histogramme, Kreisdiagramme, Liniendiagramme);

• Statistische Kennwerte (z.B. Mittelwerte, Streuungsmaße).

Im Gegensatz zur deskriptiven Statistik versucht man in der analytischen Statistik, von den Ergebnissen der Stichprobe auf die

Grundgesamtheit der Beobachtungsvariablen zu schließen:

• Auf der Basis der Stichprobenwerte kann man auf die Verteilung der Beobachtungsvariablen schließen;

• Auf der Basis von Stichprobenwerten kann man Hypothesen überprüfen (ist z.B. die Temperatur in der zweiten Hälfte des letzten Jahrhunderts signifikant

höher als in der Zeit davor?). -> statistische Tests


Deskriptive Statistik: Häufigkeitsverteilung

Messwerte qualitativer (kategorischer) Variablen treten meist mehrfach auf. Bei quantitativen (metrischen) Variablen bildet man

meist Intervalle oder Klassen, denen die Messwerte zugeordnet werden. Das Ergebnis ist in beiden Fällen eine

Häufigkeitsverteilung. Diese Häufigkeitsverteilung lässt sich tabellarisch oder grafisch darstellen:

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5 6 7

Klasse

An

zah

l We

rte

Klasse Klassengrenzen Anzahl Werte1 1.0 - 2.0 12 2.0 - 3.0 43 3.0 - 4.0 64 4.0 - 5.0 115 5.0 - 6.0 76 6.0 - 7.0 37 7.0 - 8.0 2

Tabelle

Histogramm


Klimastationen

Z.B. Temperaturen

[°C]

Deskriptive Statistik: Darstellung räumlicher Werte


Lagemaße:

Modalwert = der in der Stichprobe am häufigsten auftretende Wert;

Medianwert = sowohl oberhalb als auch unterhalb des Medianwertes liegen 50 % der nach Größe sortierten Werte, er wird

deshalb auch Zentralwert genannt;

Mittelwert = arithmetisches Mittel oder Durchschnitt, also die Summe der Werte xi durch die Anzahl n der Werte:

n

iix

nx

1

1


Dispersions- oder Streuungsmaße:

Streuungsmaße beschreiben die Streuungsbreite oder Heterogenität der Werte. Bei kleiner Dispersion verteilen sich die Werte

eng um den Mittelwert, bei großer weit. Wichtig sind:

Range = Variationsbreite oder Spannweite zwischen dem größten und dem kleinsten Wert.

Varianz = Die empirische Varianz ist eine Kennzahl für die Dispersion von gemessenen Werten um den Mittelpunkt herum. Je

stärker die Messwerte der einzelnen Werte vom Mittelwert abweichen, desto größer ist die Varianz s2

der Variablen. In die

Berechnung der empirischen Varianz gehen die quadrierten Abweichungen der einzelnen Werte xi von ihrem Mittelwert

ein:

Standardabweichung = Quadratwurzel der Varianz.

2

1

2 )(1

1

n

ii xx

ns


Ein statistisches Modell beschreibt die Eigenschaften eines Zufallsprozesses.

Fa

llhö

he

[m

]

Zeit [t]

Beispiel für deterministisches Ereignis:

Fallhöhe eines Balles.

Au

ge

nza

hl

Zeit [t]

Nie

de

rsch

lag

[m

m]

Zeit [t]

Beispiel für unkorreliertes stochastisches (stat.) Ereignis:

Würfeln.

Beispiel für korreliertes stochastisches (stat.) Ereignis :

Niederschlagshöhe.


Wahrscheinlichkeitsdichte oder Dichtefunktion:

Betrachtet man stetige Zufallsvariablen, so kann man die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer Realisation (eines

Elementarereignisses) nicht bestimmen, dafür aber die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert innerhalb eines Intervalls liegt.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte oder Dichtefunktion gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die stetige Zufallsvariable X

innerhalb von a und b liegt:

Die Gesamtfläche unter dem Integral ist auf 1 normiert:b

a

dxxfbXaP )()(

1)(

dxxf


Wikipedia


Unterschreitungs-wahrscheinlichkeit

Überschreitungs-wahrscheinlichkeit

Zwischenwahrscheinlichkeit


Wahrscheinlichkeit: Anzahl der Fälle, in denen ein Ereignis eintritt, geteilt durch Anzahl der möglichen Fälle

Unterschreitungswahrscheinlichkeit PU: PU= P(x xi)

Überschreitungswahrscheinlichkeit PÜ: PÜ= P(x > xi)

Beziehung zwischen PU und PÜ: PÜ+ PU = 1

Wiederkehrintervall oder Jährlichkeit: T = 1 / PÜ

T ist die durchschnittliche Zeitspanne, innerhalb der ein Ereignis x auftritt, welches einen Schwellenwert xi übertrifft.

Meist werden jährliche Extremwerte betrachtet und T wird in Jahren angegeben („Jährlichkeit“).

Stationarität: Stationarität einer Variablen bedeutet, dass das zugrundeliegende statistische Modell invariant gegen zeitliche oder räumliche Translationen ist.(s. Übung)


Verteilungsmodelle:

Die meisten Zufallsvariablen können durch Verteilungsmodelle beschrieben werden, wobei für stetige und diskrete Zufallsvariablen

unterschiedliche Modelle Anwendung finden.

Gleichverteilung:

Für eine diskrete Zufallsvariable bedeutet die Tatsache, dass sie gleichverteilt ist, dass alle k möglichen Ereignisse bzw. xi-Werte gleich

wahrscheinlich sind:

f(xi) = 1/k für alle i = 1, ..., k

Für eine stetige Zufallsvariable bedeutet die Tatsache, dass sie gleichverteilt ist, dass der Graph der Funktionsvorschrift einen konstanten Wert

hat und parallel zur x-Achse verläuft.


2

2)(

2

1

2

1

x

ey

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

y

Wichtigstes statistisches Modell: Normalverteilung

Mit Mittelwert (Erwartungswert) µ, Streuung (Varianz) σ2

und Standardabweichung σ.

Für die Standardnormalverteilung ist µ = 0 und σ = 1.

- σ + σµ


Normalverteilung:

Die Normalverteilung ist ein Verteilungsmodell für stetige Zufallsvariablen und wurde von Carl Friedrich Gauß entwickelt -> „Gaußsche

Glockenkurve“.

Wichtig:

• Die Normalverteilung ist symmetrisch um den Mittelwert (Erwartungswert) µ mit einer Streuung σ.

• Die Streuung bestimmt dabei die Breite der Verteilung.

• Normalverteilungen mit gleichem µ und σ sind identisch.

• Modalwert = Median = Mittelwert

• Im Bereich µ - σ bis µ + σ liegen ca. 68 % der Werte.

• Im Bereich µ - 2σ bis µ + 2σ liegen ca. 95.5 % der Werte.


Vertrauensbereich für einen Beobachtungswert:

• Im Bereich µ - 1.96*σ bis µ + 1.96*σ liegen ca. 95 % der Werte.

• Im Bereich µ - 2.58*σ bis µ + 2.58*σ liegen ca. 99 % der Werte.

• Im Bereich µ - 3.29*σ bis µ + 3.29*σ liegen ca. 99.9 % der Werte.

Beispiel: µ = 3, σ = 1 => 95% der Werte liegen zwischen 3 +/- 1.96 * 1


dzzfzZE )(][

n

iix

nx

1

1

])][])([[(][ 221121 ZEZZEZEZZCov

1. Moment: Erwartungswert von Z:

2. Moment: Varianz von Z

Kovarianz zweier Zufallsvarialen Z1 und Z2:

]])[[(][ 2ZEZEZVar

Korrelation zweier Zufallsvariablen:

][][

)(][

21

1121

ZVarZVar

ZZCovZZKor

Für Normalverteilung gleich dem Mittelwert

))((1

),( 2,211

,121 zzzzn

ZZCov i

n

ii

n

ii xx

ns

1

22 )(1

1


0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.45

-4-3

.4-2

.8-2

.2-1

.6 -1-0

.4 0.2

0.8

1.4 2

2.6

3.2

3.8

4.4 5

y1

y2

0.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90

-4-3

.4-2

.8-2

.2-1

.6 -1-0

.4 0.2

0.8

1.4 2

2.6

3.2

3.8

4.4 5

y1

y2

Gleiche Varianz, unterschiedliche Mittelwerte

Gleiche Mittelwerte unterschiedliche Varianz


x

Die Z-Transformation

Für viele Verfahren wird die Umwandlung der untersuchten Variablen einer gegebenen Normalverteilung in die Standard-

Normalverteilung vorausgesetzt. Sie erfolgt durch:

s

xxz i )( mit = Mittelwert und s = Standardabweichung

2

2

2

1)(

z

ezf


Aber:

Viele natürlichen Zufallsvariablen sind nicht normalverteilt. Eine häufig vorkommende Verteilung natürlicher Zufallsvariabler, welche per

Definition nur positiv sein können (z.B. der Permeabilität von Böden), ist die Lognormalverteilung:

2

2)(ln

2

1

2

11

x

ex

y

0.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3


nxy

ln xy x,logy

x

1yoder

x

1y

Transformation in eine Normalverteilung:

Viele statistische Methoden setzen eine Normalverteilung der untersuchten Größe voraus. Liegt diese nicht vor, können

verschiedene Verfahren angewandt werden, um eine schiefe Verteilung in eine Normalverteilung umzuwandeln:

Logarithmische Transformation:

Beispiel: Linkssteile Verteilungen

Kehrwerttransformation:

Beispiel: Rechtssteile Verteilungen

Quadratwurzeltransformation:

Beispiel: Vorliegen kleiner ganzer Zahlen bei einer Zählung

Potenztransformation:

Beispiel: Bei Rechtsgipfligkeit

xy


Häufigkeitsverteilung: Aufteilung der Daten in Abflussklassen

-> absolute und relative Häufigkeit: Histogramm

Kumulative Häufigkeit: Integration über die Absolute Häufigkeit -> Dauerlinien • Eine Dauerlinie ist die grafische Darstellung statistisch gleichwertiger

Einzelbeobachtungen (Messwerte) in der Reihenfolge ihrer Größe.

• Mit Hilfe von Dauerlinien werden die Unter- beziehungsweise Überschreitungshäufigkeiten der Messwerte in einem bestimmten Zeitraum beschrieben.

• Eine Dauerlinie entsteht durch Sortierung der Messwerte ihrer Größe nach, meist beginnend mit dem kleinsten Wert, wobei die Abszisse die Zeitachse darstellt.

Wikipedia


Wikipedia


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7. Abfluss II


7.1.1 Definition



7.1.4 Abflussregime

7.2 Abflussmessung





Coles S (2001) An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values. Springer, Heidelberg.

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Graphisches Verfahren:

1) Bestimmung der Jahresextreme

2) Ordnen der Extremabflüsse der Größe nach (groß nach klein): Rangzahl m=1

3) Zuordnung einer empirischen Wahrscheinlichkeit nach „ plotting-Formel“ z.B.:

4) Eintragen der (Extremabfluss, Pü) – Wertepaare in Wahrscheinlichkeitspapier Normalverteilung oder log. Normalverteilung

5) Anpassen einer Ausgleichskurve + Extrapolation

6) Ablesen der Extremabflüsse für gesamtes Pü (=1/T)

7) Extrapolation bis maximal dreifachen Wert der Dauer der Beobachtungszeitreihe

P ü=m

n+ 1

7. Abfluss II7.4.1 Extremwertstatistik

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Mathematisches Verfahren:

1) Aufstellen der Stichprobe (als höchste Jahreswerte oder Werte über Schwellenwert -> partielle Serie)

2) Auswahl einer passenden Verteilungsfunktion Fx

3) Berechnung der stat. Parameter von Fx aus der Stichprobe

4) Überprüfung der Anpassung von Fx und Summenhäufigkeit extreme Werte sollen stimmen (optisch! oder stat. Tests)

5) eventuell zurück zu 1) mit anderer Funktion

6) Berechnen der gewünschten Pü(x)

7) Extrapolation bis maximal dreifachen Wert der Dauer der Beobachtungszeitreihe


Aufstellen der Stichprobe:• Die Stichprobenwerte müssen statistisch unabhängig voneinander sein. Deshalb

beschränkt man sich bei der Hochwasserstatistik auf eine bestimmte Auswahl von Ereignissen (Hoch- oder Niedrigwassern).

• Man wählt beispielsweise eine Stichprobe mit den Jahreshöchstwerten (jährliche Serie, Annuelle Maxima AM) oder eine partielle Serie von Hochwassern, welche einen bestimmten Schwellenwert überschreiten (Peak over Threshold POT).

• Für die gewählte Stichprobe kann die empirische Häufigkeitsverteilung bestimmt werden.


Jan-81 Jan-82 Jan-83 Jan-84 Jan-85 Jan-86 Jan-87 Jan-88 Jan-89 Jan-900

500

1000

1500

2000

2500

Q (

m3

/s)

Q observedQ sim ulated

Intschede (W eser)

Anpassung der Wahrscheinlichkeitsverteilung:• Will man nun Aussagen über die Wahrscheinlichkeit des Unterschreitens und des

Überschreitens bestimmter Hochwasserabflüsse treffen, muss man von der diskreten empirischen Verteilung zu einer theoretischen Wahrscheinlichkeitsverteilung übergehen, d. h. man versucht, von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit zu schließen.

• Prinzipiell gibt es viele verschiedene Verteilungsfunktionen, welche die Voraussetzungen für die Anwendung in der Hochwasserstatistik erfüllen. Es gibt aber keine theoretische Verteilungsfunktion, welche für alle Stichproben die besten Resultate gewährleistet.


0.1 1 10 100 1000R eturn period (Year)

400

800

1200

1600

2000

2400

Dis

char

ge (

m3 /s

)

S im ulated w ith C C LM reference

95% confidence in terva ls

Annual m axim a re turn leve l p lo t

30


Generelle Extremwertverteilung• Wenn man zufällig Verteilung erzeugt, welche nicht notwendigerweise

Normalverteilt sind, dann sind die Mittelwerte der Verteilungen annähernd Normalverteilt (Grenzwertsatz der Statistik).

• Wenn man die Extremwerte dieser Verteilungen aufträgt, dann nähern sich diese einer von drei Typen von Verteilungen, welche in einer Formel dargestellt werden können, wobei die Variablenwerte der Formel bestimmen, welcher der drei Grundtypen die Verteilung eher ähnelt (-> Generelle Extremwertverteilung oder Generalized Extreme Value (GEV) distributions).

• Es können z.B. annuelle Maxima (AM) oder Werte über einem Grenzwert (peaks over a threshold POT) untersucht werden.


/1

~)(

11),,~;()(

uq

uxGqFu

General Pareto Distribution:

Entwickelt für das Wiederkehrinterval T:

)Pr(

1~

uxn

uq

Tu

Parameter

Grenzwertu

ignisAbflussereq

Generelle Extremwertverteilung

Für den POT Ansatz müssen Grenzwerte (u) festgelegt werden, z.B. das 95er oder 99er Perzentil, und Ereignisse (q) über dem Grenzwert werden einer spezellen GEV angepasst, der sogenannten Generalized Pareto Distribution (GPD) (Coles 2001):

Coles S (2001) An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values. Springer, Heidelberg.

0.1 1 10 100 1000R eturn period (Year)

400

800

1200

1600

2000

2400

Dis

char

ge (

m3 /s

)

S im ulated w ith C C LM reference

95% confidence in terva ls

Annual m axim a re turn leve l p lo t

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Anpassungstests (Test der Güte der Anpassung der Verteilung)

z.B. Kolmogorov-Smirnov-Test:

Es wird der Betrag der max. Abweichung zwischen der empirischen Wahrscheinlichkeit und dem zugehörigen Funktionswert der angepassten VF aus der Stichprobe bestimmt.

Die Nullhypothese (angepasste VF repräsentiert die Stichprobe) wird abgelehnt, wenn die Abweichung D einen kritischen Betrag überschreitet. D ist von der gewählten Irrtumswahrscheinlichkeit α und dem Stichprobenumfang n abhängig.

D= max | emp. PÜ(x) – F(x) |

Aussagekraft des K-S-Tests im Bereich kleiner PÜ gering! Deshalb:

• weitere Testverfahren

• visueller Vergleich unterschiedlicher angepasster VF



Beispiel: Abflussstatistik des Rheines bei Rees

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7. Abfluss II


7.1.1 Definition



7.1.4 Abflussregime

7.2 Abflussmessung





Number

Geophysical event

Meteorological event

Hydrological event

Climatological eventSignificant events

Natural catastrophe

© 2014 Munich Re, Geo Risks Research, NatCatSERVICE

7.5 Abfluss/ Hochwasser und KlimawandelAnzahl von Naturkatastrophen weltweit

Clausius-Clapeyron: saturated moisture content in the atmosphere is a non-linear function of temperature

Temperature [°C] 0 10 15 18 20

Saturated moisture content [g/m³] 4.8 9.4 12.9 15.4 17.3

q [g/m³]

q (18°C) - q (15°C) = 2.5 g/m³ (= 19,4 %)

7.5 Abfluss/ Hochwasser und KlimawandelZusammenhang Temperatur - Luftfeuchte

P. Hoffmann, PIK

7.5 Abfluss/ Hochwasser und KlimawandelTrends in abs. und rel. Luftfeuchte in Europa

Relative HumidityAbsolute Humidity

Data: DWD, Modelling: PIKHattermann et al. 2012a&b

7.5 Abfluss/ Hochwasser und KlimawandelTrends in abs. und rel. Luftfeuchte in Deutschland

Very humid west wind pattern (origin: Atlandic)

Very humid Vb-weather pattern (origin: Mediterranean)


7.5 Abfluss/ Hochwasser und KlimawandelTrends in Großwetterlagen in Deutschland

Daily precipitation > 20 mm Daily precipitation > 30 mm


7.5 Abfluss/ Hochwasser und KlimawandelTrends in Starkniederschlägen

Observed

Simulated

positive

negative

positive

negative

Obeserved Simulated

Hattermann et al. 2012a&b

7.5 Abfluss/ Hochwasser und KlimawandelTrends in sim. und beob. Hochwassern in Deutsland

Vielen Dank!

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