Matthias Hattermann, Franziska Knöß, Svenja Köhler ... · 18 Personen mit „Opel“, 15...

Matthias Hattermann, Franziska Knöß, Svenja Köhler

Wahrscheinlichkeits-rechnung 6./7. KlasseDifferenzierte Aufgaben zum Üben und Festigen für das Gymnasium

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Mathias Hattermann, Franziska Knöß, Svenja Köhler

GYMNASIUM6./7. Klasse

MATHEMATIK

GRUNDWISSEN MATHEMATIK FÜRS GYMNASIUM

Differenzierte Aufgaben zum Üben

und Festigen

Stochastik – 6./7. Klasse

Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im eigenen Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen schulweiten Einsatz und Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte (einschließlich aber nicht beschränkt auf Kollegen), für die Veröffentlichung im Internet oder in (Schul-)Intranets oder einen weiteren kommerziellen Gebrauch. Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages. Verstöße gegen diese Lizenzbedingungen werden strafrechtlich verfolgt.

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M. Hattermann / F. Knöß / S. Köhler: Wahrscheinlichkeitsrechnung 6./7. Klasse© Persen Verlag 1

Stochastik – heißt ins Deutsche übersetzt so viel wie „die Kunst des Vermutens“. In vielen Lebenssitua-tionen müssen entsprechende Vermutungen bzw. Prognosen angestellt werden. Nicht in allen Alltags-situationen kann an dieser Stelle das Teilgebiet der Mathematik Hilfestellung anbieten, allerdings finden sich immer mehr Themen, die einen stochastischen Hintergrund aufweisen. Diagramme, Tabellen, Durchschnittswerte usw. sind Objekte, die in der Welt der Kinder und Jugendlichen vorkommen. Um solche Themen zu verstehen und interpretieren zu können, hilft die intensivere Auseinandersetzung mit stochastischen Inhalten. Dies bekommt im Zeitalter der Informationsmedien bzw. Neuen Medien eine zusätzliche Bedeutung.

Daten, Zufall und Wahrscheinlichkeit sind verpflichtend in den Lehrplänen bzw. in den Bildungsstan-dards implementiert. Gerade mit der Stochastik können zahlreiche mathematische Kompetenzen, wie z. B. das Problemlösen oder Argumentieren, in motivierender Weise bei den Schülerinnen und Schülern angebahnt werden.

Die vorliegende Veröffentlichung für das Gymnasium versucht, diese vielfältige Thematik in einer sehr anschaulichen Weise darzubieten. Verschiedene Zugänge auf den unterschiedlichsten Ebenen lassen die Schülerinnen und Schüler alle wesentlichen Themengebiete der Stochastik für die jeweilige Jahr-gangsstufe sehr klar und verständlich nachvollziehen.

Das Buch ermöglicht den Lehrkräften als auch den Schülerinnen und Schülern einen klar strukturierten Aufbau der stochastischen Themen. Es werden Arbeitsblätter zu folgenden Hauptthemen angeboten:

Statistik, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kombinatorik.

In einem letzten Kapitel finden sich vermischte Übungen in Form von Spielen und Projekten.

Innerhalb der vorliegenden Kopiervorlagen werden unterschiedliche Leistungsniveaus angeboten. Je-der Aufgabe wurde eine der drei Kompetenzklassen bzw. Anforderungsbereiche der Bildungsstandards zugeordnet:

Anforderungsbereich I: ReproduzierenDieses Niveau umfasst die Wiedergabe und direkte Anwendung von grundlegenden Begriffen, Sätzen und Verfahren in einem abgegrenzten Gebiet bzw. in einem wiederholenden Zusammenhang.

Anforderungsbereich II: Zusammenhänge herstellenDieses Niveau umfasst das Bearbeiten bekannter Sachverhalte, indem Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten verknüpft werden, die in der Auseinandersetzung mit Mathematik auf verschiedenen Gebie-ten erworben wurden.

Anforderungsbereich III: Verallgemeinern und ReflektierenDieses Niveau umfasst das Bearbeiten komplexer Gegebenheiten u. a. mit dem Ziel, zu eigenen Pro-blemformulierungen, Lösungen, Begründungen, Folgerungen, Interpretationen oder Wertungen zu ge-langen.

Die entsprechende Angabe befindet sich in Klammern hinter jeder Aufgabe. Dabei steht „R“ für den Bereich „Reproduzieren“, „Z“ für den Bereich „Zusammenhänge herstellen“ und „V“ für den Bereich „Verallgemeinern und Reflektieren“.

Das Symbol bedeutet, dass die Schüler die Aufgabe im Heft oder auf einem Extrablatt lösen sollen.

Wir wünschen Ihnen viel Freude und Erfolg beim Einsatz dieses Buches.

Mathias Hattermann, Franziska Knöß, Svenja Köhler, Marco Bettner und Erik Dinges

Vorwort

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1Absolute und relative Häufigkeiten I Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aufgabe 1 (R)

In einer Klasse der Albert-Schweitzer-Schule wurde eine Umfrage mit der Fragestellung „Was ist euer Lieblingsfach?“ durchgeführt. Die Antworten sind in einer Tabelle dargestellt und ausgewertet.

Absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit

Fach Anzahl der Stimmen Anteil Prozent

Mathematik 3

Deutsch 5

Sport 9

Kunst 7

Musik 4

gesamt

a) Fülle die Tabelle aus (Tipp: Berechne zuerst, wie viele Schüler insgesamt an der Umfrage teilgenommen haben).

b) Stelle die Ergebnisse der Umfrage in einem Säulendiagramm dar.

c) Stelle die Ergebnisse der Umfrage in einem Kreisdiagramm dar.

Aufgabe 2 (R)

A uf dem Alsfelder Marktplatz wird eine Umfrage zum Thema Lieblingsautomarken durch-geführt.

36 Personen beantworten die Frage mit „Mercedes“, 23 Personen mit „Volkswagen“, 18 Personen mit „Opel“, 15 Personen mit „BMW“ und 8 Personen mit „Toyota“. 10 Personen geben an, dass ihnen die Marke nicht wichtig ist.

Stelle die Umfrageergebnisse in einem passenden Diagrammtyp dar.

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2Absolute und relative Häufigkeiten II Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aufgabe 1 (R)

Berechne und fülle die Tabelle aus.

6 von 30 15 von 100 8 von 50 25 von 60 18 von 47

Bruch 6 = 130 5

DezimalzahlRunde auf 4 Stellen nach dem Komma.

0,2000

ProzentRunde auf 2 Stellen nach dem Komma.

20,00%

Aufgabe 2 (R)

Führe in deiner Klasse eine Befragung durch.

� Wie viele Schüler haben zu Hause ein Haustier?

� Wie viele Schüler fahren mit dem Bus zur Schule?

� Wie viele Schüler besitzen ein Handy?

� Wie viele Schüler deiner Klasse sind in einem Verein aktiv?

Gib die jeweiligen Werte in Prozent an.

Aufgabe 3 (Z)

Betrach te die durchgeführte Umfrage nach den beliebtesten Reisestädten.

StadtAnzahl an Personen

a) Wie viele Personen wurden insgesamt befragt?

b) Gib die relativen Häufigkeiten für jede Stadt in Prozent an. Runde dabei auf 2 Nachkommastellen.

c) Was fällt dir auf, wenn du alle Prozentsätze addierst? Woran liegt das?

d) Stelle die Daten in einem Säulendiagramm dar.

Berlin 35

Frankfurt 27

Paris 14

New York 2

München 42

Rom 10

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3Absolute und relative Häufigkeiten III Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aufgabe 2 (Z)

Vervollständige die Tabelle.

Lieblingssportart Absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit

Fußball 23

Schwimmen 15 %

Reiten

Basketball 20 %

Leichtathletik 10 %

Summe 60

Aufgabe 3 (Z)

Bei einer Klassensprecherwahl kandidieren 4 Schüler. Jan erhält 7 Stimmen, Julia 6 Stimmen, Manuel 10 Stimmen und Max 3 Stimmen. Gib das Wahlergebnis in Prozent ohne Nachkomma-stelle an und übertrage es in ein Kreisdiagramm.

Aufgabe 4 (V)

N ach einem Hotelaufenthalt vergibt jede Person einer 40-köpfigen Reisegruppe zur Bewertung eine Note für das Hotel. Vervollständige die Tabelle und gib die absoluten Häufigkeiten an.

Note 1 2 3 4 5 6

Anteil der Gruppe 18

1840

14

640

140

0

50

40

30

20

10

Anzahl

Auto-marke

VW Audi Seat Opel Kia Mini

Aufgabe 1 (R)

Aufgrund einer Werbekampagne wurden die Autos in einem Parkhaus gezählt und die Automarken notiert.

Wie viele Autos stehen im Parkhaus? Gib die relativen Häufig-keiten in Prozent an. Runde auf zwei Nach-kommastellen.

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4Wichtige Begriffe I Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aufgabe 1 (Z)

a) Die folgenden Definitionen sind durcheinander geraten. Ordne sie wieder richtig den Begriffen zu.

Begriff Definition

Ereignis, das gleich der Ergebnis-menge ist

Zusammenfassung einer Anzahl möglicher Ergebnisse

Menge der möglichen Ergebnisse

Ereignis, das nicht eintreten kann

Resultat eines Zufallsversuchs

Ergebnis

Ergebnis-menge

Ereignis

Unmögliches Ereignis

Sicheres Ereignis

b) Gib konkrete Beispiele für jeden Begriff an, indem du den einmaligen Würfelwurf als Zufallsversuch benutzt.

Aufgabe 2 (Z)

In einer Urne befinden sich acht Kugeln, vier davon sind blau, drei sind gelb und eine ist schwarz. Man darf zweimal ziehen und muss die erste gezogene Kugel wieder in die Urne zurücklegen. Außerdem ist die Reihenfolge der Züge von Bedeutung, d. h. (blau, gelb) ist ein anderes Ergebnis als (gelb, blau).

a) Notiere zwei weitere verschiedene mögliche Ausgänge des Zufallsversuchs.

b) Gib zu den Begriffen „Ergebnis“, „Ergebnismenge“, „Ereignis“, „unmögliches Ereignis“ und „sicheres Ereignis“ ein Beispiel an.

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5Wichtige Begriffe II Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aufgabe 1 (Z)

Es wird mit zwei Würfeln einmal gewürfelt und deren Augensumme betrachtet. Die Reihen-folge der Würfe soll auch beachtet werden.

a) Gib ein Ergebnis, die Ergebnismenge, ein Ereignis, ein unmögliches Ereignis und ein sicheres Ereignis an.

b) Schreibe alle möglichen Würfelkombinationen auf.

c) Schreibe alle Würfelkombinationen auf, bei denen die Augensumme gleich 8 ist.

Aufgabe 2 (Z)

Kreuz e die richtigen Aussagen an.

� Als unmögliches Ereignis bezeichnet man einen Versuchsausgang, der nicht eintreten kann.

� Als sicheres Ereignis bezeichnet man einen Versuchsausgang, der nicht eintreten kann.

� Wenn man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und dessen Gegenereignis addiert, ist das Ergebnis immer 1 bzw. 100 %.

� Wenn man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und dessen Gegenereignis subtrahiert, ist das Ergebnis immer 1 bzw. 100 %.

� Die Ergebnismenge bezeichnet die Menge der möglichen Ergebnisse.

� Das Gegenereignis von „Ich würfle eine Sechs“ beim einmaligen Würfeln ist „Ich würfle zwei Sechsen“.

� Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, beim einmaligen Würfeln keine Sechszu würfeln, kann man berechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, eine Sechs zu würfeln und dann das Ergebnis von 1 bzw. 100 % abziehen.d da

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6Einfache Wahrscheinlichkeiten I Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Wahrscheinlichkeit für den Ausgang eines Zufallsversuchs berechnet man durch folgende Formel:

Anzahl der günstigen ErgebnisseAnzahl der möglichen Ergebnisse

Beispiel: Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beim Wurf mit einem Würfel die Augen-zahl gerade ist.

Günstige Ergebnisse: 2, 4, 6

Mögliche Ergebnisse: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl gerade ist: 36

= 12

Aufgabe 1 (R + Z)

a) Ein Würfel wird einmal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit als Bruch, dass

I. eine „4“ gewürfelt wird.

II. die Augenzahl kleiner als 3 ist.

III. die Augenzahl größer als 3 ist.

IV. die Augenzahl ungerade ist.

V. man weder die 1 noch die 6 würfelt.

b) Zwei Würfel werden gleichzeitig geworfen und die Augensumme gebildet:

I. Schreibe alle möglichen Augensummen auf.

II. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme größer als 10 ist.

III. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme einstellig ist.

IV. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme eine Primzahl ist.

Aufgabe 2 (R + Z)

In einer Lostrommel sind 120 Lose. 5 Lose davon sind Hauptgewinne, 40 Lose sind Trost-preise und die restlichen Lose sind Nieten. Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeit in Pro-zent (a) einen Hauptgewinn, (b) einen Trostpreis, (c) eine Niete, (d) den Trostpreis oder eine Niete zu ziehen.

Aufgabe 3 (R + Z)

Ein her kömmliches Kartenspiel besteht aus 32 Karten, jeweils 8 mal Kreuz, Pik, Karo und Herz. Berechne die Wahrscheinlichkeiten in Prozent (a) ein Ass, (b) eine Zahlkarte, (c) eine Karte mit Bild, (d) eine schwarze Zahlkarte kleiner als 9 zu ziehen.

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7Einfache Wahrscheinlichkeiten II Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aufgabe 1 (R)

In der Fußgängerzone werden zwei Gewinnspiele angeboten. Bleibt das Glücksrad auf einem grauen Feld stehen, erhält der Spieler einen Gewinn.

a) b)

An welchem Glücksrad würdest du dein Glück versuchen? Begründe deine Antwort.

Aufgabe 2 (Z)

In einer Lostrommel befinden sich 60 durchnummerierte Lose. Berechne folgende Wahrscheinlichkeiten:

a) Das Los mit der Nummer 59 wird gezogen.

b) Eine gerade Losnummer wird gezogen.

c) Eine Losnummer, die durch 5 teilbar ist, wird gezogen.

d) Eine Losnummer, die durch 3, 5 und 7 teilbar ist, wird gezogen.

e) Eine Losnummer größer 16 und kleiner 24 wird gezogen.

f) Das Los hat nicht die Nummer 59.

g) Gib jeweils ein Ergebnis an, das die folgenden Wahrscheinlichkeiten besitzt:

I) 13

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8Einfache Wahrscheinlichkeiten III Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aufgabe 1 (Z)

Bei einer Verkehrskontrolle auf der Autobahn werden 78 LKWs überprüft. Bei 17 LKWs stellt die Polizei gravierende Mängel fest.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer erneuten Kontrolle dieses Autobahn-abschnitts am nächsten Tag ein LKW Mängel aufweist?

b) Was könnte dazu führen, dass bei der Kontrolle am nächsten Tag stark abweichende Ergebnisse als in a) von dir berechnet auftreten? Nenne mehrere Gründe.

c) Eine Woche später sollen 90 LKWs überprüft werden. Von wie viel zu erwartenden Mängeln kann die Polizei aufgrund der ersten Kontrolle ungefähr ausgehen? Begründe.

Aufgabe 2 (Z)

Herr Schmidt sp ielt am Roulettetisch (37 Nummern von 0 bis 36; davon 18 rot, 18 schwarz und eine grüne 0). Berechne die einzelnen Wahrscheinlichkeiten.

a) Die Kugel fällt auf die Zahl 15.

b) Die Kugel bleibt auf einer ungeraden Zahl liegen.

c) Die Kugel bleibt auf einer Zahl größer als 20 liegen.

d) Es fällt eine 1, 5, 6 oder 8.

e) Die Kugel bleibt auf einer ungeraden Zahl oder der Zahl 4 liegen.

f) Die Kugel bleibt auf einer geraden Zahl oder der Zahl 4 liegen.

g) Jens behauptet: Beim Roulette steht die Chance, eine rote Zahl zu erhalten 50 : 50. Stimmt das? Begründe.

h) Gib ein Ereignis des Roulettespiels an, das eine Wahrscheinlichkeit

I. größer als 0,5, aber kleiner als 0,6 hat.

II. genau 237

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9Baumdiagramme I Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aufgabe 1 (R)

Die Pfadregel besagt: Man erhält die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis (z. B. zuerst Kopf dann Zahl), indem man …

� die Wahrscheinlichkeiten entlang des dazugehörigen Pfades addiert.

� die Wahrscheinlichkeiten entlang des dazugehörigen Pfades multipliziert.

Aufgabe 2 (R)

Die Summenregel besagt: Wenn man die Wahrscheinlichkeiten für zwei Pfade berechnet hat (z. B. zuerst rot, dann weiß und zuerst weiß, dann rot), erhält man die Gesamtwahrscheinlich-keit (z. B. rot und weiß zu ziehen), indem man …

� die beiden Pfadwahrscheinlichkeiten addiert.

� die beiden Pfadwahrscheinlichkeiten multipliziert.

Wenn man eine Ziehung durchführt, z. B. „ rote Kugel aus einer Urne“, unterscheidet man

zwei Varianten:

Mit Zurücklegen: Nach jeder Ziehung wird die gezogene Kugel wieder zurück in die Urne

gelegt. Die Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu ziehen, bleibt für alle Ziehungen gleich.

Ohne Zurücklegen: Nach der Ziehung wird die Kugel nicht wieder zurückgelegt.

Betrug die Wahrscheinlichkeit vor der Ziehung für rot z. B. 56

, beträgt sie nach der Ziehung

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10Baumdiagramme II Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aufgabe 1 (R + Z)

In einer Getränkekiste befinden sich vier Flaschen Cola, zwei Flaschen Sprite, fünf Flaschen Fanta und eine Flasche Mezzo-Mix. Du sollst mit verbundenen Augen zwei Flaschen zufällig auf den Esstisch stellen.

Fertige ein Baumdiagramm an. Gehe wie folgt vor:

1. Überlege dir Abkürzungen für die Getränkesorten und berechne die Gesamtzahl an Fla-schen.

2. Berechne die einzelnen Wahrscheinlichkeiten für das Ergebnis, dass das erste Getränk eine Cola, eine Sprite, eine Fanta bzw. ein Mezzo-Mix ist.

Anzahl der speziellen Sorte geteilt durch

Gesamtanzahl in Bruchdarstellung als Dezimalbruch in Prozent

Cola

Sprite

Fanta

Mezzo-Mix

3. Zeichne vier Pfade für die erste Ziehung und schreibe die Abkürzungen aus 1) und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten aus 2) an die Pfade. Benutze hierbei die ungekürzte Bruchdarstellung als Wahrscheinlichkeit.

4. Zeichne nun die Pfade für die zweite Ziehung, indem du an jeden Pfad aus der ersten Ziehung 4 weitere Pfade anfügst. Beschrifte die insgesamt 16 Pfade der zweiten Ziehung wieder mit den entsprechenden Abkürzungen und Wahrscheinlichkeiten. Beachte hierbei, dass die Flasche des ersten Zugs nicht mehr zur Verfügung steht.

Tipp: Plane immer genügend Platz in deinem Heft ein. Zeichne das Baumdiagramm immer ausreichend groß und lass zwischen den Pfaden der ersten Ziehung viel Platz.

Aufgabe 2 (Z)

In einer Urn e befinden sich sechs Kugeln, drei sind blau, zwei sind gelb und eine ist rot. Es wird zweimal gezogen. Berechne in Prozent auf zwei Nachkommastellen.

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit zuerst blau und dann gelb mit Zurücklegen zu ziehen.

b) Berechne die Wahrscheinlichkeit zuerst blau und dann gelb ohne Zurücklegen zu ziehen.

c) Berechne die Wahrscheinlichkeit zweimal gelb zu ziehen mit/ohne Zurücklegen.

d) Janine gelingt es nicht, die Wahrscheinlichkeit dafür auszurechnen, ohne Zurücklegen zwei rote Kugeln zu ziehen. Kannst du ihr helfen?

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11Mehrstufige Zufallsversuche I Wahrscheinlichkeitsrechnung

Auf einem Glücksrad gibt es 12 gleich große Sektoren, von denen 5 rot, 4 blau und 3 gelb sind. Das Glücksrad wird zweimal gedreht.

Aufgabe 1 (R)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit in Prozent, dass das Glücksrad nach einmaligem Drehen

a) schwarz

b) grau

c) weiß

anzeigt?

Aufgabe 2 (R)

Notiere alle möglichen Ergebnisse (Versuchsausgänge) nach zweimaligem Drehen. Wie viele gibt es insgesamt?

Aufgabe 3 (Z)

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit in Prozent, dass das Glücksrad nach der ersten Drehung rot und nach der zweiten Drehung blau anzeigt?

b) Überlege dir selbst eine Folge von Farbkombinationen und berechne deren Wahr-scheinlichkeit.

c) Notiere in einem Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeiten in Prozent für jeden möglichen Versuchsausgang. Was kannst du über die Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen wie beispielsweise (rot, blau) und (blau, rot) aussagen?

Aufgabe 4 (V)

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Glücksrad bei der ersten und zweiten Drehung die gleiche Farbe anzeigt?

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei zweimaligem Drehen die Farbe Blau weder im ersten noch im zweiten Durchgang angezeigt wird?

Aufgabe 5 (V)

Gehe zurück zur Aufgabe von Seite 28 (Baumdiagramme II) und beantworte folgende Frage anhand des dort erstellten Baumdiagramms. Berechne die Wahrscheinlichkeit als Bruch, dass das erste Getränk eine Cola und das zweite Getränk keine Sprite ist oder das erste Getränk eine Sprite und das zweite Getränk keine Cola ist.

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12Gegenereignis Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses und dessen Gegenereignis ist im-mer 1. Dies kann man nutzen, um schneller zum Ergebnis zu gelangen. Interessiert man sich für die Wahrscheinlichkeit, beim einmaligen Würfeln keine Sechs zu würfeln, kann man umständlich die Wahrscheinlichkeiten eine 1, 2, 3, 4, oder 5 zu würfeln addieren. Rechnet man geschickt, subtrahiert man die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses (nämlich eine Sechs zu würfeln) von 1.

Umständlich: Wahrscheinlichkeit (1, 2, 3, 4, 5) = 16

+ 16

+ 16

+ 16

+ 16

= 56

Geschickt: Wahrscheinlichkeit (nicht 6) = 1 – Wahrscheinlichkeit (6) = 1 – 16

= 56

Aufgabe 1 (R)

Notiere das Gegenereignis zu

– morgen regnet es,

– die Augenzahl bei einmaligem Würfeln ist 1,

– die Münze zeigt nach dem Wurf Kopf.

Gib die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses in Abhängigkeit des Ereignisses an.

Aufgabe 2 (Z)

In einer Urne sind 5 Kugeln. 3 davon sind weiß und 2 sind rot. Es wird zweimal mit Zurück-legen gezogen. Fertige zunächst ein Baumdiagramm an.

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit in Prozent, nicht zweimal hintereinander rot zu ziehen.

b) Berechne die Wahrscheinlichkeit in Prozent, nicht zweimal hintereinander weiß zu ziehen.

c) Berechne die Wahrscheinlichkeit in Prozent, nicht zweimal hintereinander die gleiche Farbe zu ziehen.

Aufgabe 3 (Z)

Man darf zweimal an dem Glücksrad drehen. Man erhält einen Preis, wenn die Summe der beiden gedrehten Zahlen sechs ergibt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, keinen Preis zu bekommen? Gib die Wahrscheinlichkeit als Bruch an.

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1

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2

2

2

3

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13Mehrstufige Zufallsversuche II Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aufgabe 1 (Z)

Eine Urne ist mit Kugeln gefüllt. Sechs davon sind pink, drei sind rot und zwei sind schwarz. Man darf zweimal ziehen. Zieht man zweimal die schwarze Kugel, erhält man einen Gewinn. Nach jeder Ziehung werden die Kugeln wieder zurück in die Urne gegeben. Berechne alle Wahrscheinlichkeiten in Prozent auf eine Nachkommastelle.

a) Fertige ein geeignetes Baumdiagramm an.

b) Berechne die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn.

c) Berechne die Wahrscheinlichkeit, zuerst eine pinke und dann eine rote Kugel zu ziehen.

d) Berechne die Wahrscheinlichkeit, eine pinke und eine rote Kugel zu ziehen.

e) Berechne die Wahrscheinlichkeit, nichts zu gewinnen.

Aufgabe 2 (V)

a) Be rechne nun die Wahrscheinlichkeit bei drei Ziehungen einen Gewinn zu erhalten (mit Zurücklegen).

b) Berechne die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn, wenn dreimal gezogen wird und die Kugeln nicht wieder zurückgelegt werden.

c) Berechne die Wahrscheinlichkeit für keinen Gewinn, wenn dreimal gezogen wird und die Kugeln nicht wieder zurückgelegt werden.

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14Vermischte Übungen I Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aufgabe 1 (R)

Gib als Bruch, Dezimalbruch und in Prozent an: 3 von 12, 7 von 30, 78 von 200, 13 von 42, 20 von 100. Runde die Prozentangaben jeweils auf 2 Nachkommastellen.

Aufgabe 2 (R)

Bei der Jahreshauptversammlung der Jugendfeuerwehr sind 12 Mädchen und 15 Jungen an-wesend. Es soll ein Wehrführer gelost werden. Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Mädchen bzw. ein Junge gelost wird?

Aufgabe 3 (Z)

Vervollständige die Tabelle.

Lieblingsfach Absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit

Mathe 2

Kunst 25,00 %

Sport

Musik 4

Gesamt 24

Aufgabe 4 (R)

Frau Müller hat einen Haushaltsplan aufgestellt:

a) Wie viel Geld hat Frau Müller im Monat übrig?

b) Wie viel Prozent ihres Gehaltes gibt sie jeweils für Miete, Lebensmittel, Vereine/Hobbys, Benzin, Versicherungen und ihr Handy aus?

c) Frau Müller behauptet, sie gebe mehr als die Hälfte ihres Geldes für Miete und Versicherungen aus. Stimmt das?

Miete: 600 Euro

Lebensmittel: 250 Euro

Vereine/Hobbys: 75 Euro

Benzin: 150 Euro

Versicherungen: 350 Euro

Handy: 25 Euro

Gehalt: 2 000 Euro

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15Vermischte Übungen II Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aufgabe 1 (Z)

a) In einer Urne liegen 10 Kugeln. 6 sind gelb und 4 sind rot. Es wird dreimal gezogen. Zeichne jeweils ein Baumdiagramm für die Ziehungsvarianten „mit Zurücklegen“ und „ohne Zurücklegen“. Beschrifte jeden Pfad mit der jeweiligen Wahrscheinlichkeit als Bruch. Berechne anschließend die Wahrscheinlichkeit für jeden möglichen Versuchsausgang in Prozent. Prüfe, ob die Summe aller Wahrscheinlichkeiten tatsächlich 100 % ergibt. Be-achte dabei Rundungsfehler.

b) Berechne bei beiden Baumdiagrammen die Wahrscheinlichkeit, nicht dreimal hinter-einander rot zu ziehen.

c) Berechne bei beiden Baumdiagrammen die Wahrscheinlichkeit, nicht dreimal hinter-einander gelb zu ziehen.

Aufgabe 2 (V)

Einer deiner Freunde wählt zufällig zwischen 12 verschiedenen Autos einer Autorennbahn eines aus und fährt mit diesem Auto auf der Bahn. Du fängst das Auto nach dem Looping ab und legst es neben dich. Anschließend wählt dein Freund aus den übrig gebliebenen Autos ein weiteres aus und du fängst es wieder nach dem Looping ab usw. Von den ursprünglich 12 Autos sind 4 grün, 6 schwarz und 2 weiß.

a) Wir groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass du dreimal hintereinander ein grünes Auto nach dem Looping abfängst?

b) Begründe ohne zu rechnen, ob die Wahrscheinlichkeit 3 schwarze Autos hintereinander abzufangen, größer oder kleiner ist als die Wahrscheinlichkeit, 3 grüne Autos hinter-einander abzufangen.

c) Dein Klassenkamerad behauptet, die Wahrscheinlichkeit, zuerst zwei grüne Autos und anschließend ein schwarzes Auto abzufangen sei genauso groß wie die Wahrscheinlich-keit, zuerst zwei schwarze und anschließend ein grünes Auto abzufangen. Nimm Stellung zu dieser Aussage.

d) Denke dir selbst eine Farbkombination aus und berechne deren Wahrscheinlichkeit.

e) Wie viele von den 12 Autos müssten jeweils grün, schwarz bzw. weiß sein, damit die Aussage deines Klassenkameraden in c) tatsächlich richtig wäre? Finde alle Möglich-keiten.

Wie vieleussage de

en.

sage

t einer sel

von den 12 Aines K

hwarze

Farb

et, die Wahrto abzufangensch

inliche Wahrsche

schei

keit 3 schwnlichke

eina

warze

der ein gr

g gebliebenen den ursprün

ünes

nnbahnooping en Autos

lich

Begrabzufa

ande

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g

de ohne zungen, größe

r abzufan

ehwarz u

Wahrscheinlichbfängst?

echne

nd wähs wieder nac

nd 2 weiß.

eit, d

hen 1er Bah

t deinh dem

verschieden. Du fängs

Freund

nen Aut

cht dr


Kapitel Wahrscheinlichkeitsrechnung

Absolute und relative Häufigkeiten I Seite 2

Aufgabe 1a) Merk-

mal

Absolute

Häufigkeit Relative Häufigkeit =Absolute Häufigkeit

Gesamtzahl

Fach Anzahl Anteil Prozent

Mathe-

matik3

328

10,71 %

Deutsch 55

2817,86 %

Sport 99

2832,14 %

Kunst 77

2825,00 %

Musik 44

2814,29 %

gesamt 282828

= 1 100 %

b)

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0Mathe Deutsch Sport Kunst Musik

Anzahl der Schüler

c)

Mathe = 38,6°

Deutsch = 64.3°

Sport = 115,7°

Kunst = 90°

Musik = 51,4°

Sport

Deutsch

Mathe

Kunst

Musik

Aufgabe 2Mögliche Darstellung

Absolute und relative Häufigkeiten II Seite 3

Aufgabe 1

6 von 30 15 von 100 8 von 50 25 von 60 18 von 47

Bruch 630

15100

= 320

850

= 425

2560

= 512

1847

Dezimal-zahlRunde auf 4 Stellen hinter dem Komma.

0,2000 0,1500 0,1600 0,4167 0,3830

Prozent 20,00 % 15,00 % 16,00 % 41,67 % 38,30 %

Aufgabe 2 /

Aufgabe 3a) 130 Personenb) Berlin = 26,92 % Frankfurt = 20,77 % Paris = 10,77 % New York = 1,54 % München = 32,31 % Rom = 7,69 %c) Wenn man alle Prozentsätze addiert, erhält man immer

100 %. Wenn man alle Stimmen erfasst hat, müssen die prozentualen Anteile in der Summe wieder alle abgege-benen Stimmen, also 100 %, ergeben. Durch Rundungs-fehler können geringe Abweichungen auftreten.

d)

45

40

35

30

25

20

15

10

5

0Berlin Frankfurt Paris New York München Rom

Anzahl der Personen

Absolute und relative Häufigkeiten III Seite 4

Aufgabe 1Im Parkhaus stehen 110 Autos.VW = 18,18 %; Audi = 31,81 %; Seat = 13,64 %; Opel = 22,73 %; Kia = 4,55 %; Mini = 9,09 %

Lösungen

Mercedes = 117,8°

Volkswagen = 75,3°

Opel = 58,9°

BMW = 49,1°

Toyota = 26,2°

nicht wichtig = 32,7°

Sport

sch

Musik

b) Ber Paris Münchc) Wenn m

%

3Personenn = 26,92

= 10,77n = 32,3

%

16,00 % 41,6

4167 0

38,30 %

2

1

0Mathe

P

ezimal-zahlRunde4 Stellehinter dem

omma.

0

30 1

630

15100

00

ufigkeg

on 100 von 50

320

850


Aufgabe 2

LieblingssportartAbsolute

HäufigkeitRelative

Häufigkeit

Fußball 23 38,33 %

Schwimmen 9 15,00 %

Reiten 10 16,67 %

Basketball 12 20,00 %

Leichtathletik 6 10,00 %

Summe 60 100 %

Aufgabe 3Jan = 27 %; Julia = 23 %; Manuel = 38 %; Max = 12 %Darstellung mit prozentualen Angaben:

Jan

Julia

Manuel

Max

12 %

27 %

23 %

38 %

Darstellung mit Angabe der jeweiligen Gradzahlen:

Jan

Julia

Manuel

Max

43

97

83

137

Aufgabe 4

Note 1 2 3 4 5 6

Anteil der Gruppe

18

1840

14

640

140

0

AbsoluteHäufigkeit

5 18 10 6 1 0

Wichtige Begriffe I Seite 5

Aufgabe 1a), b)

Begriff Definition Im Beispiel

ErgebnisResultat eines Zufallsversuches

Augenzahl

ErgebnismengeMenge der möglichen Ergebnisse

(1, 2, 3, 4, 5, 6)

EreignisZusammenfassung einer Anzahl mögli-cher Ergebnisse

Alle gerade Augenzahlen

Unmögliches Ereignis

Ereignis, das nicht auftreten kann

Augenzahlen 7, 8, 9 …

Sicheres Ereignis

Ereignis, das gleich der Ergebnismenge ist

Das Ereignis eine 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 zu würfeln.

Aufgabe 2a) z. B.: (blau, blau), (blau, schwarz)b) Ergebnis = Die beiden gezogenen Kugeln sind jeweils

blau oder gelb oder schwarz.Ergebnismenge = {(blau, gelb); (blau, schwarz); (blau, blau); (gelb, blau); (gelb, schwarz); (gelb, gelb); (schwarz, blau); (schwarz, gelb); (schwarz, schwarz)}Ereignis = z. B. (blau, gelb)unmögliches Ereignis = z. B. (rosa, braun)sicheres Ereignis = (Kugel ist nicht violett, Kugel ist nicht orange)

Wichtige Begriffe II Seite 6

Aufgabe 1a) Ergebnis = Eine mögliche Augensumme Ergebnismenge = {2,…,12} Ereignis = Alle geraden Augensummen = {2, 4, 6, 8, 10, 12} Unmögliches Ereignis = Augensumme 13, 14, 15 … Sicheres Ereignis = Augensumme zwischen 2 und 12b) (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6) (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6) (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6) (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)c) (4,4), (2,6), (6,2), (5,3), (3,5)

Aufgabe 2 Die erste, dritte, fünfte und siebte Aussage sind korrekt.

Einfache Wahrscheinlichkeiten I Seite 7

Aufgabe 1

a) I) 1

6 II)

1

3 III)

1

2 IV)

1

2 V)

1

2

b) I) Mögliche Augensummen: 2, 3, ..., 11, 12

II) 1

12 , denn die Augensummen 11 und 12 können mit

den Kombinationen (6,5); (5,6) und (6,6) von insgesamt 36 Kombinationen erhalten werden.

III) 5

6, denn 1 – P (zweistellige Augensumme)

= 1 – P (10 oder 11 oder 12) =

1 –

3

36 –

2

36 –

1

36 = 1–

6

36 =

30

36 =

5

6

IV) 5

12, denn P (Primzahl) = P (2 oder 3 oder 5 oder 7

oder 11) = 1

36 +

2

36 +

4

36 +

6

36 +

2

36 =

15

36

Lösungen

be

Jan

Julia

Manuel

Max

(2,1) (3,1), (4,1), (4 (5,1), (5 (c)

res Erei (1,2), (1,3)(2,2), (2,3),

2), (3,3),2), (4,

geraEreign

is = Au(1,4), (2,4),

e Aug…,12}n Augensum= Augensum

ignis = Augensumme

ensum

men =me

nge =e g

S

3

der jeweiligen Gradza

Au

cherenicht orang

Wichtige Beg

z. B. (blauches EreignisEreignis = (Ku

e)

ezogearz.gelb); (

lb, schwarz); warz, gelb); (sch

gelb) = z. B. (ros

l i


Aufgabe 2a) Hauptgewinn = 4,17 %b) Trostpreis = 33,33 %c) Niete = 62,5 %d) Trostpreis oder Niete = 33,33 % + 62,5 % = 95,83 %

Aufgabe 3a) Ass = 12,5 % ( 4

32); b) Zahl = 50 % (1632);

c) Bild = 37,5 % (1232); d) 12,5 % ( 4

32)Einfache Wahrscheinlichkeiten II Seite 8

Aufgabe 1Bei Glücksrad a) beträgt die Gewinnchance 18,75 % und bei Glücksrad b) 25 %. Deshalb ist es ratsam, sein Glück an Glücksrad b) zu versuchen.

Aufgabe 2

a) 1

60

b) 12

c) 15

d) 0

e) 760

f) 5960

g) I) Man zieht eine Losnummer größer 19 und kleiner 40; II) Man zieht eine Losnummer größer 0 und kleiner 7; III) Man zieht die Nummer 728.

Einfache Wahrscheinlichkeiten III Seite 9

Aufgabe 1

a) 1778

b) Aufgrund eines Feiertags, des Ferienbeginns, einer Bau-stelle oder Umleitung, einer verschärften Gesetzgebung, … könnte die Gesamtanzahl der LKWs am nächsten Tag erheblich reduziert sein, sodass nur noch sehr wenige LKWs die Strecke befahren und somit eine solche Prog-nose nicht mehr sinnvoll ist.

c) 20 LKWs, da 17

78 von 90 ca. 20 ergibt.

Aufgabe 2

a) 1

37

b) 18

37

c) 16

37

d) 4

37

e) 19

37

f) 18

37

g) Die Aussage ist falsch. Die Wahrscheinlichkeit, dass rot

fällt, beträgt 18

37 und damit weniger als 50 %.

h) i. Die Kugel fällt auf eine Zahl zwischen 0 und 20. ii. Die Kugel fällt auf die Zahl 1 oder 2.

Baumdiagramme I Seite 10

Aufgabe 1Die zweite Aussage ist richtig.

Aufgabe 2Die erste Aussage ist richtig.

Baumdiagramme II Seite 11

Aufgabe 11. Cola =:C; Sprite =:S ; Fanta =:F; Mezzo-Mix =:MM,

insgesamt sind es 12 Flaschen

2. Anzahl der Flaschen: Gesamt-anzahl

In Bruch-darstellung

als Dezimal-

bruch

In Prozent

Cola 4 : 124

12 0,33 … 33,33 %

Sprite 2 : 122

12 0,16 … 16,67 %

Fanta 5 : 125

12 0,416 … 41,67 %

Mezzo-Mix

1 : 121

12 0,083 … 8,33 %

3. + 4)

C311

S211

MM111

F511

MM111

C411

F511

S111

C412

S212 F

512

MM112

MM111

C411

F411

S211

C411

F511S

211

MM0

Aufgabe 2

a) 16,67 % , denn 36 ±

26 =

636 =

16

Lösungen

er Umkönnte die eblich red

ie Streckecht mehr

es Feiertags, demleitung, einer ve

esamtanzahl dert sein, s

s Ferierschä

Seite 9

Cola

rit

FlGeanza

4 : 1

ahl dechen:

mt-l

In Bruch-arstellu

a =:F; Mezzo-Mien

Se

=:MM,

II) Man zIII) Man zie

Einfache Wa

ufga

eine Losnumt eine Losnum

ht die Numme

mer größegrö

1

Baumdiagrag

Aufgabe 1Cola =:

ssage ist rich

mme II

chtig.

ig.


b) 20,00 %, denn 36 ±

25 =

630 =

15

c) Mit = 11,11 %, denn 26 ±

26 =

436 =

19

Ohne = 6,67 %, denn 26 ±

15 =

230 =

115 ;

d) Weil nur eine rote Kugel vorhanden ist, ist die Wahr-scheinlichkeit 0. Das gesuchte Ergebnis liegt gar nicht im Ergebnisraum.

Mehrstufige Zufallsversuche I Seite 12

Aufgabe 1

a) 41,67 % ( 512) b) 33,33% ( 4

12 = 13) c) 25 % ( 3

12 = 14)

Aufgabe 2Es gibt insgesamt 9 verschiedene Versuchsausgänge: (rot, rot), (rot, blau), (rot, gelb), (blau, blau), (blau, rot), (blau, gelb), (gelb, gelb), (gelb, rot) , (gelb, blau).

Aufgabe 3a) 13,89 %, denn ( 5

12 ± 4

12 = 20

144 = 1072 =

536)

c) (r, r) = 17,36 %; (r, b) = 13,89 %; (r, g) = 10,42 %; (b, r) = 13,89 %; (b, b) = 11,11 %; (b, g) = 8,3 %; (g, r) = 10,42 %; (g, b) = 8,3 %; (g, g) = 6,25 %

Die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse (r, b) und (b, r) sind gleich, da der Versuch „mit Zurücklegen“ stattfindet und die Wahrscheinlichkeiten im ersten und zweiten Durchgang eine gewisse Farbe zu erhalten, gleich sind.

Aufgabe 4a) 34,72 %, denn die Wahrscheinlichkeiten müssen nach

der Summenregel für die Kombinationen (r, r); (b, b) und (g, g) addiert werden, siehe hierzu 3c.b) 44,45 % = 17,36 % + 10,42 % + 10,42 % + 6,25 %, denn

man kann alle Wahrscheinlichkeiten der Kombinationen addieren, in denen blau nicht vorkommt.

Alternativ kann man mit dem Gegenereignis arbeiten und die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Kombinationen, welche blau enthalten, von 1 subtrahieren.

Aufgabe 5Wahrscheinlichkeit, dass das erste Getränk eine Cola und das zweite Getränk keine Sprite ist:

4

12 ± 3

11 + 4

12 ± 5

11 + 4

12 ± 1

11= 12

132 + 20

132 + 4

132 =

36

132 = 1866 =

933 =

311

Wahrscheinlichkeit, dass das erste Getränk eine Sprite und das zweite Getränk keine Cola ist:2

12 ± 1

11 + 2

12 ± 5

11 + 2

12 ± 1

11= 2

132 + 10

132 + 2

132 = 14

132 = 7

66

Also ergibt sich als

Gesamtwahrscheinlichkeit: 1866 +

766 =

2566 � 37,9 %

Gegenereignis Seite 13

Aufgabe 1– Morgen regnet es nicht. P (Morgen regnet es nicht) = 1 – P (Morgen regnet es)

– Die Augenzahl beim einmaligen Würfeln ist nicht 1 bzw. die Augenzahl beim einmaligen Würfeln ist 2, 3, 4, 5 oder 6.P (Augenzahl beim einmaligen Würfeln ist nicht 1) = 1 – P (Augenzahl beim einmaligen Würfeln ist 1)

– Die Münze zeigt nach dem Wurf Zahl. P (Münze zeigt nach Wurf Zahl) = 1 – P (Münze zeigt nach Wurf Kopf)

Aufgabe 2

W = 3_5

R = 2_5

1. Ziehung

2. Ziehung

W R

W R W R

⎫⎪⎬⎪⎭

⎫⎪⎬⎪⎭

a) P (nicht zweimal rot) = 1 – P (zweimal rot) =

1 – 25

± 25

= 1 – 4

25 =

2125

≙ 84 %

b) P (nicht zweimal weiß) = 1 – P (zweimal weiß)=

1 – 35

± 35

= 1 – 9

25 =

1625

≙ 64 %

c) P (nicht zweimal die gleiche Farbe) = 1 – P (zweimal glei-che Farbe) = 1 – P (zweimal weiß oder zweimal rot) = 1 – P (zweimal weiß) – P (zweimal rot)

= 1 – 4

25 – 9

25 = 1225 ≙ 48 %

Aufgabe 3Die Summe 6 erhält man nur, wenn das Glücksrad bei bei-den Durchgängen auf einer 3 stehen bleibt. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Rad auf einer 3 stehen

bleibt ist 28

.

P (kein Preis) = 1 – P (Preis) = 1 – 28 ±

28 = 1 –

116 =

1516

Mehrstufige Zufallsversuche II Seite 14

Aufgabe 1a) Baumdiagramm für Aufgabe 1 und 2

1. Ziehung

2. Ziehung

P R S

P = 6__

11

R = 3__

11

S = 2__

11

P R S

P R S P R S P R S

P R S

P R S P R S P R S

P R S

P R S P R S P R S

3. Ziehung

⎫⎪⎬⎪⎭

⎫⎪⎬⎪⎭

⎫⎬⎭

b) P (Gewinn) = P (schwarz, schwarz) =

2

11 ± 2

11 = 4

121 ≙ 3,3 %

c) P (pink dann rot) = 6

11 ± 3

11 = 18

121 ≙ 14,9 %

Lösungen

einlichkweite Geträ

3+

412 ±

511

86 =

9

n, von

it, dass das erstkeine Sprite

4

kom Gegennlichke1 subt

G

hierzu 3c.6,25 %, dennmbinationen

arbeimbina

AufgabeDie Summden DurchgDie Wah

P (zwei4

25 – 9

25 = 2

3e 6 erhä

l d – P (zal weiß

125 ≙ 48

64

leichweimal weiß o

– P (zweim

P (zweimal wei

%

e) = 1 – P oder

imal

gabe a) 34,72 %, d

der Summe (r, r); (b, b) b) 44,45 % =

man kannaddierAl

e gewiss

enn die Wahrsnregel für die

d (g g)

= 6,Ergebnisse

ch „mit Zurückleghkeiten im ersten und

e Farbe zu erhalten

%; 8,3 %; 5 %

b) und (b, r) “ stattf

e

b

a) P (nicht zw

1 –5

25

=

P ( i

W R W

eimal rot) =4

2Zie

R

R

⎫⎪⎫⎫

⎬⎪⎪

⎪⎬⎬

⎭⎪⎪


d) P (pink und rot) = P (pink, rot) + P (rot, pink) =

2 ± 18

121 = 36

121 ≙ 29,8 %

e) P (kein Gewinn) = 1 – P (Gewinn) = 1 – 3,3 % = 96,7 %

Aufgabe 2a) P (Gewinn) = P (RSS) + P (PSS) + P (SRS) + P (SPS) +

P (SSR) + P (SSP) = 3 ± P(SSP) + 3 ± P(SSR) =

3 2

11 ± 2

11 ± 6

11 + 3 ± 2

11 ± 2

11 ± 3

11 = 72

1331 + 36

1331 =

108

1331 ≙ 8,1 %

b) P (Gewinn) = P (SSR) + P (SSP) + P (SRS) + P (SPS) + P (RSS) + P (PSS) =

2

11 ± 1

10 ± 39 +

211 ±

110 ±

69 +

211 ±

310 ±

19 +

211 ±

610 ±

19

+ 3

11 ± 2

10 ± 19 +

611 ±

210 ±

19 =

6990 +

12990 +

6990 +

12990

+ 6

990 + 12

990 = 54

990 ≙ 5,5 %

c) P (kein Gewinn) = 1 – P (Gewinn) = 94,5 %

Vermischte Übungen I Seite 15

Aufgabe 1

– 3 von 12 = 3

12 = 0,25 ≙ 25,00 %

– 7 von 30 = 7

30 � 0,2333 ≙ 23,33 %

– 78 von 200 = 78

200 = 0,39 ≙ 39,00 %

– 13 von 42 = 1342

� 0,3095 ≙ 30,95 %

– 20 von 100 = 20

100 = 0,2 ≙ 20,00 %

Aufgabe 2

Wahrscheinlichkeit (Mädchen) = 1227 � 0,4444 ≙ 44,44 %

Wahrscheinlichkeit (Junge) = 1527 � 0,5556 ≙ 55,56 %

Aufgabe 3

Lieblingsfach Absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit

Mathe 2 8,33 %

Kunst 6 25,00 %

Sport 12 50,00 %

Musik 4 16,67 %

Gesamt 24 100 %

Aufgabe 4a) 550 Eurob) Miete entspricht 30 % ihres Gehalts; Lebensmittel ent-

sprechen 12,5 % ihres Gehalts; Vereine/Hobbys entspre-chen 3,75 % ihres Gehalts; Benzin entspricht 7,5 % ihres Gehalts;Versicherungen entsprechen 17,5 % ihres Gehalts;Handykosten entsprechen 1,25 % ihres Gehalts

c) 600 Euro + 350 Euro = 950 Euro; 950 Euro sind weniger als 50 % ihres Gehaltes, die Aussage stimmt also nicht.

Vermischte Übungen II Seite 16

Aufgabe 1a)

G 6__10 R 4__

10 G 6__10 R 4__

10

G 6__10 R 4__

10

G 6__10 R 4__

10 G 6__10 R 4__

10

G 6__10 R 4__

10

G 6__10 R 4__

10

G 4__8 R 4__

8 G 5__8 R 3__

8

G 5__9 R 4__

9

G 5__8 R 3__

8 G 6__8 R 2__

8

G 6__9 R 3__

9

G 6__10 R 4__

10

GGG = 0,216 21,6 %;GGR = 0,144 14,4 %;GRG = 0,144 14,4 %;GRR = 0,096 9,6 %;RGG = 0,144 14,4 %;RGR = 0,096 9,6 %;RRG = 0,096 9,6 %;RRR = 0,064 6,4 %;

GGG � 0,1667 16,67 %GGR � 0,1667 16,67 %GRG � 0,1667 16,67 %GRR � 0,1 10,00 %RGG � 0,1667 16,67 %RGR � 0,1 10,00 %RRG � 0,1 10,00 %RRR � 0,0333 3,33 %

b) mit Z ohne Z

b) Mit Zurücklegen: P (nicht dreimal rot) = 1 – P (dreimal rot) = 1 – 0,064

= 0,936 ≙ 93,6 %Ohne Zurücklegen:P (nicht dreimal rot) = 1 – P (dreimal rot) = 1 – 0,03333 ≙ 96,67 %

c) Mit Zurücklegen: P (nicht dreimal gelb) = 1 – P (dreimal gelb) = 1 – 0,216 ≙ 78,4 % Ohne Zurücklegen : P (nicht dreimal gelb) = 1 – P (dreimal gelb) = 1 – 16,67

≙ 83,33 %

Aufgabe 2a) P(dreimal grün hintereinander) =

412 ±

311 ±

210 � 0,018

≙ 1,8 %b) Da es mehr schwarze als grüne Autos gibt, sind alle

Wahrscheinlichkeiten der ersten, zweiten und dritten Runde für den Zug eines schwarzen Autos jeweils größer als für das Ziehen eines grünen Autos. Somit ist auch die Gesamtwahrscheinlichkeit für das Ziehen dreier schwar-zer Autos größer.

c) P(grün, grün, schwarz) = 4

12 ± 3

11 ± 6

10 � 0,0545 ≙ 5,4 %

P(schwarz, schwarz, grün) = 6

12 ± 5

11 ± 4

10 � 0,0909 ≙ 9,1 %

Somit unterscheiden sich die Wahrscheinlichkeiten und die Aussage des Klassenkameraden ist falsch.

d) /e) Falls es genauso viele grüne wie schwarze Autos gibt

und es mindestens 2 grüne Autos sind, ist die Aussage des Klassenkameraden richtig. Lösungen sind:

� 2 grüne Autos, 2 schwarze Autos und 8 weiße Autos; � 3 grüne Autos, 3 schwarze Autos, 6 weiße Autos � 4 grüne Autos, 4 schwarze Autos, 4 weiße Autos � 5 grüne Autos, 5 schwarze Autos, 2 weiße Autos � 6 grüne Autos, 6 schwarze Autos und 0 weiße Autos

Lösungen

lingsfach

Math

t

t

nge) =

Absolute Häufig

2

= 2

27 �

157 � 0

44,4

P (n≙ 78,

Ohne Z P (nicht

3 3

A

7 %urücklegecht dreimal g4 %

urückleg

enal rot)

elb) =

P (d

1 – P (dreim

RR

reimal rot) = 1 –

al rot

3,6 %klege

1010,

333

064

– 13 von 42

– 20 von 100

Aufgabe 2

h

= 78

200 = 0,39

1342

� 0,3095

20

%

33 ≙ 23,33 %

39,00 %

15

b)

0GG = 0,14

RGR 0,096RRG 0,096RRR = 0,064

14,4 14,4 6 9,6 %

14,4 % 9

G 4__8 R

%;%;%;

G �GGR �GRGG

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Satz: Satzpunkt Ursula Ewert GmbH, Bayreuth

Abbildungen:Seite 5: Würfel © by-studio – Fotolia.com

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