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10 Mehrdimensionale Differentialrechnung

10.1 Grundlagen

10.1.1 Skalar- und Vektorfunktionen

Eine Funktion f : D(f) ⊆ R → R ordnet jeder reellen Zahl x ∈ D(f) eine reelle Zahl f(x)zu. Nun betrachten wir Funktionen, bei denen die unabhängige Variable und eventuell auchdie abhängige Variable n-Tupel sind.

Definition 10.1. Seien n ∈ N>0 und m ∈ N>1. Man nennt

f : D(f) ⊆ Rn → R Skalarfunktion,

f : D(f) ⊆ Rn → R

m Vektorfunktion.

Abkürzend sagt man in beiden Fällen auch wieder Funktion. Die Funktion f : D(f) ⊆ Rn →

R ordnet also jedem n-dimensionalen Spaltenvektor oder n-Tupel x ∈ D(f) die reelle Zahl

f(x) = f((x1, . . . , xn)) =: f(x1, . . . , xn)

zu. Man sagt daher auch, dass

f : D(f) ⊆ Rn → R , (x1, . . . , xn) 7→ f(x1, . . . , xn)

eine Funktion der n unabhängigen Variablen x1, . . . , xn ist.

Eine Vektorfunktion f : D(f) ⊆ Rn → R

m ist somit darstellbar als

f(x) =

f1(x1, . . . , xn)...

fm(x1, . . . , xn)

,

wobei fi : D(f) ⊆ Rn → R die Koordinatenfunktionen von f sind.

Bemerkung 10.2. Wir verzichten auf eine besondere Kennzeichnung von mehrdimensionalenVektoren. Ob eine Funktion Vektorfunktion oder eine Funktion mehrerer Variabler ist, siehtman an der Definition der Funktion.

203


Der Graph einer Skalarfunktion f : D(f) ⊆ R2 → R,

graph(f) = {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ D(f), z = f(x, y)},

kann häufig als Fläche F im x, y, z-Raum interpretiertwerden.Die Mengen

Na = {(x, y) ∈ D(f) : f(x, y) = a}

stellen im regulären Fall Niveaulinien oder Höhen-linien zum Niveau a dar.

graph(f)z

x

y

D(f)

Beispiel 10.3. Für die Funktion f : D(f) = R2 → R mit f(x, y) = x2 + 4y2 gilt W(f) =

[0,+∞[. Die Niveaulinie zum Niveau a ist die Menge

Na = {(x, y) ∈ R2 : x2 + 4y2 = a} .

Wir haben N0 = {(0, 0)}, Na = ∅ für a < 0. Für a > 0 ist Na eine Ellipse mit den Halbachsen√a und

√a/2. Ferner sind die Schnitte von graph(f) mit (zur x, z-Ebene parallelen) Ebenen

y = c die Parabeln z = x2 + 4c2. Man nennt graph(f) daher elliptisches Paraboloid.

10.1.2 Stetigkeit

Definition 10.4. Eine Folge (xm)m∈N mit xm =(

x(m)1 , . . . , x

(m)n

)

∈ Rn heißt konvergent

mit dem Grenzwert x0 =(

x(0)1 , ..., x

(0)n

)

∈ Rn falls

limm→∞

‖xm − x0‖ = 0 .

Schreibweise: limm→∞

xm = x0 .

Definition 10.5. Eine Funktion f : D(f) ⊆ R → R heißt stetig in einem Punkt x0 =

(x(0)1 , . . . , x

(0)n ) ∈ D(f), falls limm→∞ f(xm) = f(x0) für jede Folge von Punkten (xm)m∈N ⊂

D(f) mit limm→∞

xm = x0 gilt. Die Funktionf heißt stetig, falls f in allen Punkten x ∈ D(f)

stetig ist.

204

10.2 Differenzierbarkeit

Beispiel 10.6. Wir untersuchen die Stetigkeit von

f : R2 → R , f(x1, x2) = x2

1 + x22

in x0 = (1, 2) stetig. Es sei (xm)m∈N mit xm = (x(m)1 , x

(m)2 ) eine beliebige konvergente Folge

mit limm→∞

xm = x0. Wegen

limm→∞

||xm − x0|| = 0 ⇐⇒ limm→∞

x(m)1 = 1 ∧ lim

m→∞x

(m)2 = 2

gilt dann

limm→∞

f(x(m)1 , x

(m)2 ) = lim

m→∞

(

x(m)1

)2+ lim

m→∞

(

x(m)2

)2= 1 + 4 = 5 = f(1, 2) ,

d. h. f ist im Punkt x0 = (1, 2) stetig. Man kann zeigen, dass f für alle x ∈ R2 stetig ist.

Beispiel 10.7. Sei f : R2 → R mit f(x, y) = xy

x2+y2 für (x, y) 6= (0, 0), und f(0, 0) = 0.Wegen

limξ→0

f(ξ, ξ) = 1

26= lim

ξ→0f(ξ,−ξ) = −1

2

ist f in (0, 0) nicht stetig.


10.2.1 Ableitungsbegriff

Wir wollen den Ableitungsbegriff auf Abbildungen f : D(f) ⊆ Rn → R

m mit n ≥ 1 oderm ≥ 1 verallgemeinern, so dass möglichst viele der Eigenschaften der skalaren Ableitungdabei erhalten bleiben.

Definition 10.8. Der Punkt x0 ∈ D ⊆ Rn heißt innerer Punkt von D, wenn es ein ε > 0

derart gibt, dass x ∈ D für alle x ∈ Rn mit ‖x − x0‖ < ε gilt. Die Menge D ⊆ R

n heißtoffen , wenn sie nur aus inneren Punkten besteht.

Definition 10.9. Eine Abbildung L : Rn → R

m heißt linear , wenn L(αx+βy) = αLx+βLyfür alle x, y ∈ R

n, αβ ∈ R gilt.

Satz 10.10. Eine Abbildung L : Rn → R

m ist genau dann linear, wenn eine Matrix A ∈R

m×n existiert mit Lx = A · x für alle x ∈ Rn.

205


Definition 10.11. Die Abbildung f : D(f) ⊆ Rn → R

m heißt differenzierbar in x0 ∈D(f), wenn x0 innerer Punkt von D(f) ist und wenn eine lineare Abbildung L : R

n → Rm

und eine Abbildung R : Rn → R

m existieren mit

f(x0 + h) = f(x0) + L(h) + R(h) für x0 + h ∈ D(f) , limh→0

‖R(h)‖‖h‖ = 0 .

Die von x0 abhängige lineare Abbildung L heißt (Fréchet-)Ableitung oder totale Ablei-tung von f in x0 und wird mit f ′(x0) bezeichnet, d. h. f ′(x0) = L.

Definition 10.12. Die nach Satz 10.10 zu f ′(x0) gehörende Matrix Jf (x0) heißt Jacobi-Matrix zu f an der Stelle x0.

Anstelle von f ′(x0) können wir also auch Jf (x0) bestimmen.

Definition 10.13. Die Abbildung f : D(f) ⊆ Rn → R

m heißt differenzierbar auf M ⊆D(f), wenn f in jedem Punkt x0 ∈ M differenzierbar ist. f heißt differenzierbar , wenn fauf D(f) differenzierbar ist.

Satz 10.14. Sei f : D(f) ⊆ Rn → R

m differenzierbar in x0 ∈ D(f). Dann ist f in x0 stetig.

10.2.2 Partielle Ableitungen von Skalarfunktionen

Sei f : D(f) ⊆ Rn → R. In vielen Fällen interessiert uns nicht die volle lineare Approximier-

barkeit von f bei einer Stelle x0 ∈ D(f) sondern nur bei x0 in vorgegebenen Richtungenr ∈ R

n, ‖r‖ = 1.Spezielle Richtungsableitungen sind die partiellen Ableitungen als Rich-tungsableitungen in Koordinatenrichtung:

Definition 10.15. Existiert der Grenzwert

∂if(x0) =d

dτf(x1

0, . . . , xi−10 , τ, xi+1

0 , . . . , xn0 )

∣∣τ=xi

0

= limτ→0

1

τ[f(x0 + τei) − f(x0)] ,

so heißt er partielle Ableitung von f in x0 nach der i-ten Variablen .

Bemerkung 10.16. Sei f : D(f) ⊆ Rn → R. Die partielle Ableitung ∂if(x0) erhält man also

dadurch, dass man die Koordinaten xk mit k 6= i fixiert, xk = xk0, und nur xi variiert.Sie

werden also unter Festhalten der anderen Koordinaten wie die skalare Ableitung berechnet.

206


Bemerkung 10.17. Für n = 2 schreibt man z. B. auch

∂1f(x, y) =∂

∂xf(x, y) = fx(x, y) =

d

dτf(τ, y)

∣∣τ=x

,

Analog wird in R3 verfahren.

Beispiel 10.18. Für f : R2 → R mit f(x, y) = x3 cos y gilt

∂1f(x, y) =∂

∂xf(x, y) = 3x2 cos y , ∂2f(x, y) =

∂

∂yf(x, y) = −x3 sin y .

Definition 10.19. Sei f : D(f) ⊆ Rn → R in x0 ∈ D(f) partiell nach allen Variablen

differenzierbar. Dann heißt der aus den partiellen Ableitungen gebildete Vektor

grad f(x0) := ∇f(x0) := (∂1f(x0), . . . , ∂nf(x0))

Gradient von f in x0.

Beispiel 10.20. Für f : R2 → R mit f(x.y) = sin x+cos y gilt grad f(x, y) = (cos x,− sin y).

Satz 10.21. Sei die Vektorfunktion f : D(f) ⊆ Rn → R

m in x0 ∈ D(f) differenzierbar.Dann existieren die partiellen Ableitungen ∂ifk(x0) der Koordinatenfunktionen fk von f inx0 und für die Jacobi-Matrix gilt

Jf (x0) :=

∂1f1(x0) · · · ∂nf1(x0)...

...∂1fm(x0) · · · ∂nfm(x0)

=

grad f1(x0)⊤

...grad fm(x0)

⊤

.

Beispiel 10.22. Sei f : R2 → R

3 mit f(x, y) = (sin(xy), 2x2 + y, xy2). Dann gilt

Jf (x, y) =

y cos(xy) x cos(xy)4x 1y2 2xy

.

Beispiel 10.23. Sei f : D(f) ⊆ R2 → R

2 mit D(f) = ]0,∞[ × ]0, 2π[ und f(r, ϕ) =(r cos ϕ, r sinϕ). Dann gilt

Jf (r, ϕ) =

(cos ϕ −r sinϕsinϕ r cos ϕ

)

.

10.2.3 Differenzierbarkeit und partielle Ableitungen

Beispiel 10.24. Wir betrachten erneut f : R2 → R mit f(x, y) = xy

x2+y2 für (x, y) 6= (0, 0),und f(0, 0) = 0. Wie in Beispiel 10.7 bemerkt, ist f nicht stetig in (0, 0). Es gelten jedochf(ξ, 0) = f(0, ξ) = f(0, 0) = 0 und daher existieren die partiellen Ableitungen

∂1f(0, 0) = ∂2f(0, 0) = 0 .

207


Die Existenz aller partieller Ableitungen ∂if(x0), i = 1, . . . , n, in einem Punkt x0 enthältnur geringe Information über das Verhalten von f in der Umgebung von x0:

Bemerkung 10.25. Aus der Existenz aller partieller Ableitungen (im Unterschied zur Diffe-renzierbarkeit) folgt nicht die Stetigkeit in x0 und somit erst recht nicht die Differenzierbar-keit.

Wir brauchen also mehr als nur partielle Differenzierbarkeit.

Definition 10.26. Wir nennen f stetig partiell differenzierbar , wenn alle partiellenAbleitungen ∂1f

k(x), . . . , ∂nfk(x) der Koordinatenfunktionen für alle x ∈ D(f) existierenund stetig von x abhängen. Wir nennen f stetig differenzierbar , wenn f differenzierbarist und wenn die Ableitungsfunktion x 7→ f ′(x) in folgendem Sinne stetig ist: Für jedesx ∈ D(f) und jedes ε > 0 existiert ein δ > 0 mit ‖f ′(x)(h)− f ′(y)(h)‖ < ε für alle y ∈ D(f)mit ‖x − y‖ < δ und alle h ∈ R

n mit ‖h‖ ≤ 1.

Satz 10.27. Sei f : D(f) ⊆ Rn → R

m mit offenem D(f). Ist f in x0 stetig partiell differen-zierbar, so ist f in x0 differenzierbar. f ist stetig partiell differenzierbar genau dann, wennf stetig differenzierbar ist.

Bemerkung 10.28. Die äquivalenten Begriffe „stetig partiell differenzierbar“ oder „stetigdifferenzierbar“ sind also die für die mehrdimensionale Differentialrechnung angepasstenBegriffe.

Bezeichnung: Sei D ⊆ Rn offen. Die Menge aller stetig (partiell) differenzierbaren Funk-

tionen f : D ⊆ Rn → R

m wird mit C1(D, Rm) bezeichnet.

10.2.4 Algebraische Eigenschaften der Ableitung

Ähnlich zum skalaren Fall gilt:

Satz 10.29 (Rechenregeln). Seien f, g : D ⊆ Rn → R

m in x0 ∈ D differenzierbar. Danngelten:1. (αf + βg)′(x0) = αf ′(x0) + βg′(x0) für α, β ∈ R (Linearität);2. (fg)′(x0) = g(x0)f

′(x0) + f(x0)g′(x0), wenn m = 1 (Produktregel);

3.(

f

g

)′(x0) =

g(x0)f′(x0) − f(x0)g

′(x0)

g(x0)2, wenn m = 1 und g(x) 6= 0 in einer Umgebung

von x0 (Quotientenregel).

208

10.3 Geometrische Interpretationen

Satz 10.30 (Kettenregel). Sei f : D ⊆ Rn → R

m differenzierbar im inneren Punkt x0 vonD. Sei weiter g : E ⊆ R

m → Rk differenzierbar im inneren Punkt f(x0) von E. Dann ist

g ◦ f in x0 differenzierbar und es gelten

(g ◦ f)′(x0) = g′(f(x0)) ◦ f ′(x0) , Jg◦f (x0) = Jg(f(x0)) · Jf (x0).

Beispiel 10.31. Seien f : R2 → R und g : D(g) ⊆ R

2 → R2 mit D(g) = ]0,∞[ × ]0, 2π[ und

f(x, y) = exy , g(r, ϕ) = (r cos ϕ, r sinϕ) .

Gesucht ist die Jacobi-Matrix zu f ◦ g an einer Stelle (r, ϕ). Es gilt (siehe Beispiel 10.23)

Jf (x, y) = (yexy xexy) und Jg(r, ϕ) =


)

.

Da f und g stetig differenzierbar sind, folgt damit

Jf◦g(r, ϕ) = Jf (g(r, ϕ)) · Jg(r, ϕ)

= (r sinϕer2 sin ϕ cos ϕ r cos ϕer2 sin ϕ cos ϕ)


)

= r2er2 sin ϕ cos ϕ(2 sinϕ cos ϕ cos2 ϕ − sin2 ϕ) = r2e1

2r2 sin 2ϕ(sin 2ϕ cos 2ϕ) .

Man kann hier das Ergebnis natürlich auch direkt durch (f ◦g)(r, ϕ) = er2 sin ϕ cos ϕ erhalten.

Satz 10.32. Eine Funktion, die aus differenzierbaren Funktionen nur durch Addition, Sub-traktion, Multiplikation, Division und Verkettung entsteht, ist in allen inneren Punkten ihresDefinitionsbereich differenzierbar.


10.3.1 Tangentialhyperebene und Normalenvektor

Sei f : D(f) ⊆ Rn → R. Weiter sei f differenzierbar im inneren Punkt x0 von D(f). Wir

betrachten die Mengen

Tf (x0) :={(

x0+h, f(x0)+ grad f(x0)⊤h

)

: h ∈ Rn}

undgraph f = {(x, f(x)) : x ∈ D(f)} .

Für n = 1 stellt Tf (x0) eine Gerade und graph f eine Kurve im R2 dar. Für n = 2 ist Tf (x0)

eine Ebene und graph f eine Fläche im R3.

209


Satz 10.33. Die Mengen Tf (x0) und graph f berühren sich in (x0, f(x0)) mit der Ordnung1, d. h.

f(x0 + h) −(

f(x0)+ grad f(x0)⊤h

)

= R(h)

für x ∈ D mit R(h)‖h‖ → 0 für h → 0.

Für jedes h ∈ Rn liegt damit der Vektor

(h, grad f(x0)

⊤h)

parallel zu Tf (x0).

Beweis. Die erste Aussage folgt unmittelbar aus der Definition der Ableitung als lineareApproximation. Die zweite Aussage ist offensichtlich.

Definition 10.34. Die Menge Tf (x0) heißt Tangentialhyperebene an die Hyperflächegraph f im Punkt (x0, f(x0)). Jeder Vektor

(h, grad f(x0)

⊤h)

mit h ∈ Rn heißt Tangenti-

alvektor an graph f im Punkt (x0, f(x0)).

Bemerkung 10.35. Für n = 1 bzw. n = 2 heißt die Tangentialhyperfläche Tf (x0) auchTangente bzw. Tangentialebene .

Offensichtlich steht der Vektor

n = (− grad f(x0), 1)

senkrecht auf allen Tangentialvek-toren

(h, grad f(x0)

⊤h)

und damitauf der Tangentialebene und heißtNormalenvektor .

x0

f(x0)

x0 + h

f(x0) + grad f(x0)⊤h

graph f

Tf (x0)

grad f(x0)

(− grad f(x0), 1) 1

Lemma 10.36. Der Vektor n = (− grad f(x0), 1) ist Normalenvektor an die Tangentialhy-perebene in (x0, f(x0)).

Beispiel 10.37. Wir betrachten f(x, y) = 4x2 − 3y2 + 5 auf D = R2 in (−1, 3). Es gilt

∂1f(−1, 3) = −8 , ∂2f(−1, 3) = −18 ,

so dass n = (8, 18, 1) Normalenvektor an die Tangentialhyperebene in (−1, 3, f(−1, 3)) ist.Wegen

‖n‖ =√

64 + 324 + 1 =√

389 ,

ist n0 = 1√389

(8, 18, 1) Normaleneinheitsvektor .

210


10.3.2 Richtung des steilsten Anstieges

Satz 10.38. Sei f : D(f) ⊆ Rn → R in x0 ∈ D(f) differenzierbar. Der Gradient von f in

x0 zeigt in Richtung des stärksten Anstieges von f in x0.

Beispiel 10.39. Man finde die Richtung, in der f(x, y) = 4x2 − 3y2 + 5 am stärksten imPunkt (1, 1) wächst.

Es gilt ∂1f(1, 1) = 8, ∂2f(1, 1) = −6 und daher grad f(1, 1) = (8,−6).

In Richtung 1√64+36

(8,−6) = ( 810 ,− 6

10) tritt also der stärkste Anstieg von f in (1, 1) auf.

10.3.3 Notwendige Bedingungen für lokale Extrema

Definition 10.40. Die Abbildung f : D(f) ⊆ Rn → R hat bei x0 ∈ D(f) ein lokales

Minimum ( Maximum), wenn eine Umgebung U von x0 existiert mit f(x) ≥ f(x0)(f(x) ≤ f(x0)) für alle x ∈ U ∩ D(f).Ein lokales Extremum ist ein lokales Minimum oder Maximum. f hat bei x0 ein strengesMinimum (Maximum), wenn f(x) > f(x0) (f(x) < f(x0)) in einer Umgebung von x0

gilt.

Satz 10.41 (Satz von Fermat). Sei f : D(f) ⊆ Rn → R, x0 ∈ D(f) innerer Punkt von D(f),

und sei f in x0 partiell differenzierbar. Dann gilt:

f hat in x0 lokales Extremum ⇒ grad f(x0) = 0 .

Bemerkung 10.42. Wenn x0 kein innerer Punkt ist, muss die Behauptung nicht gelten!

Betrachte z. B. x 7→ x2 auf [−1, 1]. Es liegen lokale Maxima in −1 und 1 vor, aber dieAbleitung verschwindet dort nicht.

211


10.3.4 Niveaulinien

Sei f : D ⊆ R2 → R stetig differenzierbar auf D. Dann ist durch graph f eine Fläche im R

3

gegeben. Für c ∈ R betrachten wir die Menge Nc = {x ∈ R2 : f(x) = c}, welche Niveaulinie

von f zum Niveau c heißt.

Satz 10.43. Unter obigen Voraussetzungensteht der Gradient von f in einem Punkt x ∈Nc der Niveaulinie Nc von f zum Niveau csenkrecht auf allen Tangenten an Nc und da-mit auf Nc im Punkt x und zeigt in Richtungwachsender Werte von c und damit in Rich-tung wachsender Werte von f .

10.4 Höhere Ableitungen

10.4.1 Höhere partielle Ableitungen und Vertauschbarkeit

Sei f : D(f) ⊆ Rn → R. Existiert die partielle Ableitung ∂kf , so können wir wieder nach

ihrer Differenzierbarkeit fragen, wir erhalten z. B. eine partielle Ableitung zweiter Ordnung

∂i∂kf(x) := ∂i (∂kf) (x) .

Analog kann man partielle Ableitungen dritter und höherer Ordnung betrachten, z. B.

∂i∂k∂ℓf(x) := ∂i (∂k∂ℓf) (x) .

Auf diese Weise definieren wir iterativ eine n-te partielle Ableitung als eine partielleAbleitung einer (n − 1)-ten partiellen Ableitung.

Ohne den Begriff der höheren Differenzierbarkeit hier genauer untersuchen zu wollen, nennenwir eine Funktion f : D(f) ⊆ R

n → Rm aufgrund Satz 10.27 n-mal [stetig] (partiell)

differenzierbar , wenn alle n-ten partiellen Ableitungen n-ter Ordnung (und damit auchder niederen Ordnungen) von f existieren [und stetig sind].

Im Allgemeinen gilt∂i∂kf(x) 6= ∂k∂if(x) für i 6= k ,

d. h., es kommt auf die Reihenfolge an, in der differenziert wird. Jedoch gilt:

Satz 10.44 (Satz von Schwarz). Für die Funktion f : D(f) ⊆ Rn → R, D(f) offen, mögen

die partiellen Ableitungen ∂i∂kf und ∂k∂if auf D(f) existieren und stetig sein. Dann gilt

∂i∂kf(x) = ∂k∂if(x) für x ∈ D(f) und i, k ∈ {1, . . . , n} .

212

10.4 Höhere Ableitungen

Bemerkung 10.45. Dies zeigt erneut, dass stetige (partielle) Differenzierbarkeit der angepas-ste Begriff ist.

Beispiel 10.46. Gesucht ist ∂2∂1f für die Funktion f : R2 → R mit

f(x, y) =sinx√1 + x2

+ cos(xy2) , (x, y) ∈ R2 .

Die direkte Berechnung von ∂2∂1f (in dieser Reihenfolge der Differentiation) ist wegen desersten Summanden umständlich. Da f aus beliebig oft stetig (partiell) differenzierbarenFunktionen zusammengesetzt ist, existieren die zweiten partiellen Ableitungen und sindstetig. Nach Satz 10.44 kann man die Reihenfolge der partiellen Ableitungen vertauschen.Mit ∂2f(x, y) = −2xy sin(xy2) folgt

∂2∂1f(x, y) = ∂1∂2f(x, y) =∂

∂x[−2xy sin(xy2)]= −2y sin(xy2) − 2xy3 cos(xy2) .

Im folgenden interessieren uns vor allem partielle Ableitungen zweiter Ordnung von Skalar-funktionen.

Definition 10.47. Die n × n-Matrix

Hf (x0) := (∂i∂jf(x0))i,j =

∂1∂1f(x0) · · · ∂1∂nf(x0)...

...∂n∂1f(x0) · · · ∂n∂nf(x0)

heißt Hesse-Matrix der Funktion f : D ⊆ Rn → R im Punkt x0 ∈ D.

Sind alle vorkommenden partiellen Ableitungen in x0 stetig, so ist Hf (x0) nach Satz 10.44symmetrisch.

10.4.2 Mehrdimensionale Taylor-Formel zweiter Ordnung

Satz 10.48. Sei f ∈ C2(D, R), D ⊆ Rn offen, x0 ∈ D. Dann gilt

f(x0 +h) = f(x0)+grad f(x0)⊤h+ 1

2h⊤Hf (x0)h+R(h) für x0 +h ∈ D , lim

h→0

R(h)

‖h‖2= 0 .

Beispiel 10.49. Sei f ∈ C2(R2, R) mit f(x, y) = sin(x + 2y). Dann gelten

grad f(x, y) = (cos(x + 2y), 2 cos(x + 2y)) , Hf (x0) =

(− sin(x + 2y) −2 sin(x + 2y)−2 sin(x + 2y) −4 sin(x + 2y)

)

und somit

f(x+h, y+k) = sin(x+2y)+cos(x+2y)(h+2k)+sin(x+2y)(−1

2h2−2hk−2k2)+R(h, k) .

213


10.5 Extremwertprobleme

10.5.1 Extremwertprobleme ohne Nebenbedingungen

Sei f ∈ C2(D, R) und x0 ∈ D ein kritischer Punkt , also grad f(x0) = 0. Nach Folgerung10.48 gilt

f(x0 + h) = f(x0) + grad f(x0)⊤h

︸︷︷︸

=0

+ 1

2h⊤Hf (x0)h + R(h) , lim

h→0

R(h)

‖h‖2= 0 .

Der Graph von h 7→ f(x0) + 1

2h⊤Hf (x0)h stellt eine quadratische Fläche in in R

n+1 dar.

Definition 10.50. Eine symmetrische Matrix A ∈ Rn×n heißt:

• positiv definit, wenn h⊤Ah > 0 für alle h ∈ Rn \ {0},

• negativ definit, wenn h⊤Ah < 0 für alle h ∈ Rn \ {0},

• indefinit,wenn es h1, h2 ∈ Rn gibt mit h⊤

1 Ah1 < 0 < h⊤2 Ah2.

Bei n = 2 sind diese quadratischen Flächen nach oben bzw. unten geöffnete elliptischeParaboloide, wenn Hf (x0) negativ bzw. positiv definit sind,oder hyperbolische Paraboloide,wenn Hf (x0) indefinit ist.

Satz 10.51. Sei f ∈ C2(D, R) und x0 ∈ D mit grad f(x0) = 0.Dann liegt in x0 ein lokalesMinimum, lokales Maximum bzw. ein Sattelpunkt vor, wenn Hf (x0) positiv definit, negativdefinit bzw. indefinit ist.

Definition 10.52. Sei A = (aij)ni,j=1 ∈ R

n×n eine symmetrische Matrix. Die Zahl

µk := det(aij)ki,j=1

heißt k-ter Hauptminoren von A.

Bemerkung 10.53. Für n = 2 gelten

µ1 = a11 , µ2 =

∣∣∣∣

a11 a12

a12 a22

∣∣∣∣= a11a22 − a2

12 .

214


Satz 10.54. Seien µ1, . . . , µk die Hauptminoren von Hf (x0).• Hf (x0) ist genau dann positiv definit, wenn µk > 0 für alle k gilt.• Hf (x0) ist genau dann negativ definit, wenn (−1)kµk > 0 für alle k gilt.• Hf (x0) ist genau dann indefinit, wenn es ein gerades k mit µk < 0 gibt.

Satz 10.55. Sei f : D ⊆ R2 → R zweimal stetig differenzierbar im kritischen Punkt x0 ∈ D

Dann sind die folgenden Bedingungen hinreichend:

lokales Minimum: ∂21f(x0) > 0 und ∂2

1f(x0)∂22f(x0) − (∂1,2f(x0))

2 > 0

lokales Maximum: ∂21f(x0) < 0 und ∂2

1f(x0)∂22f(x0) − (∂1,2f(x0))

2 > 0

Sattelpunkt: ∂21f(x0)∂

22f(x0) − (∂1,2f(x0))

2 < 0

Beispiel 10.56. Sei f(x, y) = 3x2y + 4y3 − 3x2 − 12y2 + 1 auf R2. Wir haben

grad f(x, y) = (6xy − 6x, 3x2 + 12y2 − 24y)

und daher(0, 0) , (0, 2) , (2, 1) , (−2, 1)

als kritische Punkte. Weiter gelten

∂21f(x, y) = 6y − 6 , ∂2

2f(x, y) = 24y − 24 , ∂1,2f(x, y) = 6x .

Wir fassen die Ergebnisse in einer Tabelle zusammen:

(x, y) ∂21f(x, y) ∂2

2f(x, y) ∂1,2f(x, y)

(0, 0) −6 −24 0 lokales Maximum(0, 2) 6 24 0 lokales Minimum(2, 1) 0 0 12 kein lok. Extremum aber Sattelpunkt

(−2, 1) 0 0 −12 kein lok. Extremum aber Sattelpunkt

Beispiel 10.57. Gesucht sind lokale Extrema der Funktion f : R2 → R mit f(x, y) =

x3 + 3xy2 − 15x − 12y.

Lösung: Ausgrad f(x, y) = (3x2 + 3y2 − 15,6xy − 12) = (0, 0)

folgt y = 2/x, 3x2 + 3 · 4 · 1x2 − 15 = 0, also x4 − 5x2 + 4 = 0 und daher x2 = 5

2 ±√

25−164 =

52 ± 3

2 ,also x2 = 4 oder x2 = 1. Kritische Punkte sind somit

(2, 1) , (−2,−1) , (1, 2) , (−1,−2) .

Da D(f) offen ist und f auf ganz D(f) differenzierbar ist, sind dies alle kritischen Punkte.Es gelten

∂21f(x, y)= 6x , ∂2

2f(x, y)= 6x , ∂1,2f(x, y)= 6y .

Wir werten die Daten tabellarisch aus:

215


(x, y) ∂21f(x, y) ∂2

2f(x, y) ∂1,2f(x, y) (∂21f∂2

2f − (∂1,2f)2)(x, y) Typ f(x, y)

(2, 1) 12 > 0 12 6 122 − 62 > 0 lok. Min. −28(−2,−1) −12 < 0 −12 −6 122 − 62 > 0 lok. Max. 28

(1, 2) 6 > 0 6 12 62 − 122 < 0 Sattelp. −26(−1,−2) −6 < 0 −6 −12 62 − 122 < 0 Sattelp. 26

10.5.2 Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen

Beispiel 10.58. Gesucht ist ein Rechteck maximalen Flächeninhalts bei vorgegebenem Um-fang u. Wir haben also f(x, y) = xy, D(f) = R≥0 ×R≥0 zu maximieren unter der Nebenbe-dingung 2(x + y) = u.

Aus der Nebenbedingung finden wir y = u/2 − x. Damit ist

g(x) = f(x, u/2 − x) = x · (u/2 − x)

auf [0, u/2] zu maximieren. Es gilt g′(x) = u/2 − 2x, so dass sich x0 = u/4 ∈ [0, u/2] alskritischer Punkt ergibt. Offensichtlich ist dies auch die globale Maximalstelle.

Das Rechteck mit größtem Flächeninhalt bei gegebenem Umfang ist also das Quadrat.

Verallgemeinerung: Gegeben sei eine Funktion f : D(f) ⊆ Rn → R und eine Nebenbe-

dingungs- oder Restriktionsmenge

N := {x ∈ D(f) : ϕ(x) = 0}

mit ϕ : D(f) → Rp, d. h. mit p Nebenbedingungen in Gleichungsform.

Definition 10.59. f hat in x0 ∈ N ein relatives oder bedingtes Maximum (Mini-mum) unter der Nebenbedingung N , wenn eine Umgebung U von x0 existiert, so dassf(x) ≤ f(x0), (f(x) ≥ f(x0)) für alle x ∈ U ∩ N ∩ D(f).

Satz 10.60. Seien f ∈ C1(D(f), R), ϕ ∈ C1(D(f), Rp) mit offenem D(f) ⊆ Rn, n ≥ p. Sei

weiter N = {x ∈ D(f) : ϕ(x) = 0}, x0 ∈ N , d. h., ϕ(x0) = 0, und die p × n-Matrix Jϕ(x0)habe eine invertierbare p × p-Untermatrix.Wenn f in x0 ein relatives Extremum unter der Nebenbedingung N hat, dann existierenZahlen λ1, . . . , λp mit

grad f(x0) −p

∑

j=1

λj gradϕj(x0) = 0 , ϕ(x0) = 0 . (10.1)

Bemerkung 10.61. Im Fall p = 1 hat Jϕ(x0) = gradϕ(x0)⊤ genau dann eine invertierbare

1×1-Untermatrix, wenn gradϕ(x0) 6= 0 gilt. Gleichung (10.1) bedeutet dann, dass grad f(x0)und gradϕ(x0) parallel sind.

216


Bemerkung 10.62. Die Zahlen λi heißen Lagrange-Multiplikatoren. Meist haben sie keineinhaltliche Bedeutung. In einigen Fällen können sie aber als Zwangskräfte (Physik) oderSchattenpreise (Wirtschaft) interpretiert werden.

Beispiel 10.63. Man finde alle Punkte (x, y) auf der Ellipse ϕ(x, y) := 4x2 + y2 − 4 = 0,für welche der Abstand zu (2, 0) extremal wird.

Da der Abstand genau dann extremal wird, wenn sein Quadrat extremal wird, können wiralso nach Extremstellen von f(x, y) = (x − 2)2 + y2 suchen. Da

grad f(x) = (2(x − 2), 2y) , gradϕ(x) = (8x, 2y) ,

erhalten wir als notwendige Bedingung

2(x0 − 2) − 8λx0 = 0 , 2y0 − 2λy0 = 0 , 4x20 + y2

0 = 4 .

Wenn y0 6= 0, dann folgt λ = 1 und daher x0 = −23 und y0 = −2

3

√5 oder y0 = +2

3

√5.

Wenn y0 = 0, dann folgt x0 = 1 oder x0 = −1 mit λ = −14 bzw. λ = 3

4 .

Durch geometrische Betrachtungen erhalten wir, dass in(−2

3 ,−23

√5)

und(−2

3 , +23

√5)

re-lative Maxima und in (1, 0), (−1, 0) relative Minima vorliegen.

Beispiel 10.64. Gesucht sind die Extrema von x + y + z unter den Nebenbedingungenx + z = 1 und x2 + y2 = 4.

Lösung: Mit f : R3 → R und ϕ : R

3 → R und

f(x, y, z) = x + y + z , ϕ(x, y, z) =

(x + z − 1

x2 + y2 − 4

)

sind die Extrema von f unter der Nebenbedingung ϕ = 0 zu suchen. Da die eingehendenFunktionen ausreichend oft stetig differenzierbar sind, ist die Existenz eines λ = (λ1, λ2) mit

grad f(x, y, z) − λ1 gradϕ1(x, y, z) − λ2 gradϕ2(x, y, z) = 0 , ϕ(x, y, z) = 0

notwendig für ein Extremum in (x, y, z). Wir erhalten die Gleichungen

1 − λ1 − 2λ2x = 0 , 1 − 0 − 2λ2y = 0 , 1 − λ1 − 0 = 0 , x + z = 1 , x2 + y2 = 4 .

Aus der dritten Gleichung folgt λ1 = 1, die erste Gleichung ergibt dann λ2x = 0, welchegenau dann gilt, wenn λ2 = 0 oder x = 0 gilt. Wenn λ2 = 0 gilt, dann erhalten wireinen Widerspruch zur zweiten Gleichung. Also muss x = 0 und damit z = 1 und y = −2oder y = 2 gelten. Offenbar erhalten wir so tatsächlich die Lösungen der fünf Gleichungen.Kritische Punkte sind damit nur

(0,−2, 1) , (0, 2, 1) .

Da f auf der Menge {(x, y, z) : ϕ(x, y, z) = (0, 0)} Maximum und Minimum annehmenmuss, muss in einem dieser Punkte das Maximum, im anderen das Minimum vorliegen. Da0− 2+1 = −1 < 0+2+1 = 3 ist −1 das gesuchte Minimum und 3 das gesuchte Maximum,welche in (0,−2, 1) bzw. (0, 2, 1) angenommen werden.

217


10.6 Homogene Funktionen und Partielle Elastizitäten

10.6.1 Homogenität

Definition 10.65. Eine stetige Funktion f : D(f) ⊆ Rn → R heißt homogene Funktion

vom Grad α ≥ 0, falls

f(λx1, λx1x2, . . . , λxn) = λαf(x1, . . . , xn)

für alle x = (x1, . . . , xn) ∈ D(f) und alle λ ≥ 0 gilt. Im Fall α = 1, α < 1 bzw. α > 1 heißtf linear-, sublinear- bzw. superlinear-homogen.

Beispiel 10.66. Eine Funktion f : Rn → R, f(x1, . . . , xn) = a1x1+a2x2+· · ·+anxn kann als

Gesamtkostenfunktion betrachtet werden, die sich additiv aus den Einzelkostenfunktionen

f1(x1) = a1x1 , f2(x2) = a2x2 , . . . , fn(xn) = anx2

zusammensetzt. Eine Erhöhung bzw. Verminderung aller Einzelkosten um den gleichen Fak-tor λ führt dann zu einer entsprechenden Erhöhung bzw. Verminderung der Gesamtkosten:

f(λx1, . . . , λxn) = λa1x1 + · · · + λanxn = λ(a1x1 + · · · + anxn) = λf(x1, . . . , xn) ,

d. h.f ist linear-homogen (α = 1).

Beispiel 10.67. Wir betrachten f : Rn≥0 → R, f(x1, . . . , xn) = c · xα1

1 · xα2

2 · · · · · xαn

n mitc ≥ 0 und α1 ≥ 0, . . . , αn ≥ 0. Diese Funktion ist homogen vom Grad α = α1 + · · · + αn,denn es gilt

f(λx1, ..., λxn) = c(λx1)α1 · · · · · (λxn)αn = cλα1+···+αn · xα1

1 · · · · · xαn

n = λαf(x1, . . . , xn) .

Ist beispielsweise f eine Produktionsfunktion, die den Produktionsfaktoren x1, ..., xn dieProduktionsquantität y zuordnet, so bedeutet die Eigenschaft der Homogenität vom Gradα, dass die Produktionsquantität y um den Faktor λα ansteigt, bzw. fällt, wenn alle Produk-tionsfaktoren um λ ansteigen bzw. fallen. Funktionen dieses Typs heißen Cobb-Douglas-Funktionen.

10.6.2 Partielle Elastizität

Definition 10.68. Es sei f : D(f) ⊆ Rn → R eine partiell differenzierbare Funktion von n

Variablen. Dann heißen

(xk)f (x) =

∂∂xk

f(x1, . . . , xn)

f(x), ε

(xk)f (x) =

xk · ∂∂xk

f(x1, . . . , xn)

f(x)

die partielle Änderungsrate bzw. partielle Elastizität von f bzgl. xk (k = 1, ..., n) imPunkt x ∈ D(f).

218

10.6 Homogene Funktionen und Partielle Elastizitäten

Die partielle Änderungsrate (xk)f beschreibt die (relative) Änderung von f in Abhängigkeit

nur von xk, bezogen auf den jeweiligen Funktionswert f(x). Die partielle Elastizität ε(xk)f (x)

hingegen entspricht dem Verhältnis von relative Änderung von f in Abhängigkeit nur vonxk und der relativen Änderung von xk selbst.

Beispiel 10.69. Wir betrachten eine Produktionsfunktion vom Cobb-Douglas-Typ f : R2≥0 →

R, f(x1, x2) = cxα1

1 xα2

2 mit positiven c, α1, α2. Dann gelten

(x1)f (x) =

cα1xα1−11 xα2

2

cxα1

1 xα2

2

, ε(x1)f (x) = α1 ,

(x2)f (x) =

cxα1

1 xα2−12

cxα1

1 xα2

2

, ε(x2)f (x) = α2 ,

d. h. die Parameter α1 bzw. α2 der Cobb-Douglas-Funktion sind die konstanten partiellenElastizitäten bzgl. x1 und x2.

Beispiel 10.70. Sei f : D(f) ⊆ Rn → R homogen mit Grad α. Man erhält

n∑

k=1

∂kf(λx1, . . . , λxn) · d

dλ(λxk) =

d

dλf(λx1, . . . , λxn)

=d

dλλαf(x1, . . . , xn) = αλα−1f(λx1, . . . , λxn)

und daher für λ = 1 die Eulersche Homogenitätsrelation

n∑

k=1

∂kf(x1, . . . , xn) · xk = αf(λx1, . . . , λxn) .

Mit Division durch f(x1, ..., xn) folgt hieraus

n∑

k=1

ε(xk)f (x1, ..., xn) = α

für die partiellen Elastizitäten von f .

219


220

11 Gewöhnliche Differentialgleichungen

Differentialgleichungen sind spezielle Gleichungen für gesuchte Funktionen. Der Grad derhöchsten auftetenden Ableitung der gesuchten Funktion ergibt die Ordnung der Differential-gleichung, die Dimension der Funktion die Dimension der Differentialgleichung. Je nachdem,ob die gesuchte Funktion nur von einer Variablen oder von mehreren Variablen abhängt, be-trachtet man gewöhnliche oder partielle Differentialgleichungen.

Wir betrachten hier nur spezielle eindimensionale Differentialgleichungen erster Ordnungund eindimensionale, lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung.

Eine Lösung einer Differentialgleichung ist eine Funktion die entsprechend der Ordnung derDifferentialgleichung ausreichend oft differenzierbar ist und bei Einsetzen in die Differenti-algleichung der Differentialgleichung genügt.

11.1 Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung

11.1.1 Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen: y′ = g(x) · h(y)

Wir betrachten hier eine Differentialgleichung der Form

y′ = g(x) · h(y) (11.1)

mit g ∈ C(I), h ∈ C(J), wobei I, J ⊆ R Intervalle sind.

Solche Differentialgleichungen treten häufig als eigenständiges Problem aber auch als Hilfs-problem bei der Betrachtung spezieller Differentialgleichungen (Ähnlichkeitsdifferentialglei-chungen, Bernoullische Differentialgleichungen, lineare Differentialgleichungen erster Ord-nung mit variablen Koeffizienten) auf.

Wenn y0 ∈ J eine Nullstelle von h ist, so ist y : I → R mit y(x) = y0 für alle x ∈ I einestationäre Lösung von (11.1).

Wir setzen daher nun h(y) 6= 0 für alle y ∈ J voraus.

Angenommen, y : D(y) ⊆ I → R ist eine Lösung von (11.1) mit y(x0) = y0 ∈ J undh(y(x)) 6= 0 für x ∈ D(y). Dann gilt

1

h(y(x))y′(x) = g(x) für x ∈ D(y)

und daher∫ x

x0

1

h(y(ξ))y′(ξ) dξ =

∫ x

x0

g(ξ) dξ für x ∈ D(y) ,

Mit der Substitutionsregel ergibt sich die implizite Lösungsdarstellung

221


∫ y(x)

y0

dη

h(η)=

∫ x

x0

g(ξ) dξ für x ∈ D(y) . (11.2)

Satz 11.1 (Trennung der Variablen). Seien g ∈ C(I), h ∈ C(J) .1. Wenn h(η) 6= 0 für alle η ∈ J , dann ist y : D(y) ⊆ R → R mit y(x0) = y0 ∈ J genau danneine Lösung von (11.1), wenn (11.2) gilt.2. Wenn h(y0) = 0 für ein y0 ∈ J , dann ist y : I → R mit y(x) = y0 für x ∈ I eine stationäreLösung von (11.1) auf I.

Satz 11.1 impliziert folgendes formales Verfahren:

Methode der Trennung der Variablen zur Lösung der DGL

y′ =dy

dx= g(x) · h(y) . (11.3)

1. Trennung der Variablen: Division durch h(y) und formale Multiplikation mit dx ergibt

dy

h(y)= g(x) dx .

2. Integration der linken Seite vom Anfangswert y0 ∈ J bis zum Wert y ∈ J und der rechtenSeite vom Anfangswert x0 ∈ I bis x ∈ I ergibt

∫ y

y0

dη

h(η)=

∫ x

x0

g(ξ) dξ . (11.4)

3. Eine Lösung der DGL (11.3) mit der Anfangsbedingung y(x0) = y0 erhält man durchAuflösung von (11.4) nach y in einer Umgebung von (x0, y0).

Beispiel 11.2. Man löse die Anfangswertaufgabe

(x2 − 1)y′ + 2xy2 = 0 , y(0) = 1 . (11.5)

Lösung: Für |x| 6= 1 formen wir die implizite DGL (11.5) um in die explizite DGL

y′ = −y2 2x

x2 − 1.

Damit erhalten wir ∫ y

1

dη

η2= −

∫ x

0

2ξ

ξ2 − 1dξ

und somit−1

y+ 1 = − ln |x2 − 1| + ln |0 − 1| für |x| 6= 1 .

Auflösung nach y ergibt

y(x) =1

ln |x2 − 1| + 1für x ∈ D(y) ,

222


wobei D(y) ⊆ ]− 1, 1[ ein Intervall mit 0 ∈ D(y) und ln |x2 − 1|+ 1 6= 0 für x ∈ D(y) ist. DieGleichung

ln |x2 − 1| + 1 = 0

für x ∈ ]−1, 1[ ergibt −(x2−1) = e−1, d. h., x = −√

1 − e−1 bzw. x =√

1 − e−1. MaximalesLösungsintervall ist somit

D(y) = ] −√

1 − e−1,√

1 − e−1[ .

Beispiel 11.3. Man bestimme die Lösung mit maximalem Existenzbereich zur Differential-gleichung y′ = 1 + y2 mit der Anfangsbedingung y(x0) = y0 durch Trennung der Variablen.

Lösung: Sei y : D(y) → R eine Lösung der Anfangswertaufgabe. Aus der Differentialgleichungy′ = 1 + y2 und der Anfangsbedingung folgt

∫ y(x)

y0

1

1 + η2dη=

∫ x

x0

dξ

arctan y(x) − arctan y0= x − x0

y(x) = tan(x − x0 + arctan y0)

für x ∈ D(y). Offenbar muss D(y) ⊆ {x : (x − x0) ∈ ] arctan y0 − π2 , π

2 − arctan y0[} gelten.Tatsächlich gilt

D(y) = {x : x − x0 ∈ ] arctan y0 −π

2,π

2− arctan y0[} .

Beispiel 11.4. Man löse die Differentialgleichung yy′ = 1 mit der Anfangsbedingungy(x0) = y0 mit y > 0 durch Trennung der Variablen.

Lösung: Die Differentialgleichung ist definiert auf R×(R\{0}). Sei y : D(y) → R eine Lösungder Differentialgleichung yy′ = 1 mit den Anfangswerten (x0, y0). Wegen des Definitionsbe-reiches der Differentialgleichung muss y0 6= 0 gelten. Es gilt dann

∫ y(x)

y0

ηdη=

∫ x

x0

dξ

1

2y2(x) − 1

2y20 = x − x0

y2(x) = 2(x − x0) + y20 ,

also

y(x) =√

2(x − x0) + y20 oder y(x) = −

√

2(x − x0) + y20 .

Wegen y0 > 0 entfällt die zweite Möglichkeit und es folgt

y(x) =√

2(x − x0) + y20 für x ∈ D(y) = ]x0 − 1

2y20,∞[ .

223


11.1.2 Ähnlichkeitsdifferentialgleichung: y′ = f(y/x)

Eine Differentialgleichungy′ = f(

y

x) (11.6)

auf I mit f ∈ C(J) und I, J als Intervalle in R heißt Ähnlichkeitsdifferentialgleichung .

1. Wenn f(z) = z für z ∈ J , dann ergibt (11.6) die DGL y′ = yx. die durch Trennung der

Variablen gelöst werden kann.

2. Sei nun f(z) 6= z für z ∈ J . Sei y : D(y) → R eine Lösung von (11.6). Sei z : D(y) → R

definiert durch

z(x) =y(x)

xfür x ∈ D(y) .

Dann gilt

z′(x) =y′(x) · x − y(x)

x2=

f(z(x)) − z(x)

x.

Die Funktion z ist also Lösung der DGL

z′ = (f(z) − z) · 1

x,

welche durch Trennung der Variablen behandelt werden kann. Durch Rücktransformationerhält man die Lösungen des Ausgangsproblems.

Beispiel 11.5. Man löse

y′ =(y

x

)2, y(1) =

1

3.

Lösung. Mit z = yx

erhalten wir

z′ = (z2 − z)1

x, z(1) =

1

3.

Die Gleichung z2 − z = 0 hat die Lösungen 0 und 1. Aufgrund der Anfangsbedingung sinddaher Lösungen mit Werten im Intervall ]0, 1[ zu suchen. Durch TdV erhalten wir

∫ z

1

3

dζ

ζ2 − ζ=

∫ z

1

3

(1

ζ − 1− 1

ζ

)

dζ=

∫ x

1

dξ

ξ

und somit

ln |z − 1| − ln |z| − ln |13− 1| + ln |1

3| = ln x − ln 1 für x > 0 (11.7)

und z in einem Intervall, welches 0, 1 nicht jedoch aber 13 und 1− 1

3 oder 13 − 1 enthält. Das

maximale Intervall mit dieser Eigenschaft ist ]0, 1[. Aus (11.7) erhalten wir damit

ln1 − z

z− ln

1 − 13

13

= ln x , d.h.1 − z

z= 2x ,

224


d. h., nach Auflösen nach z,

z(x) =1

2x + 1für x ∈ D(z)

mit 1 ∈ D(z) ⊆ ]0,∞[ und 12x+1 6= 0, 1

2x+1 6= 1 für x ∈ D(z).Die Gleichung 12x+1 = 0 hat

keine Lösung. Die Gleichung 12x+1 = 1 hat die Lösung x = 0. Wir erhalten D(z) = ]0,∞[

undy(x) = x · z(x) =

x

2x + 1für x ∈ ]0,∞[.

11.1.3 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung

Eine Differentialgleichungy′ = p(x) · y + q(x) (11.8)

mit p, q ∈ C(I) nennt man lineare Differentialgleichung erster Ordnung auf demIntervall I. Sie heißt homogen , wenn q = 0, und andernfalls inhomogen .

1. Homogener Fall q = 0. Stationäre Lösung ist y(x) = 0 für x ∈ I. Die anderen Lösungenfinden wir durch TdV durch ∫ y

y0

dη

η=

∫ x

x0

p(ξ)dξ

alsy(x) = eP (x)−P (x0)y0 für x ∈ R ,

wobei P eine Stammfunktion zu p auf R ist und x0 und y0 freie Parameter sind (x0 könntefixiert werden, die Lösung genügt der Anfangsbedingung y(x0) = y0). Man beachte, dasswir die stationäre Lösung durch y0 = 0 erhalten.

Die allgemeine Lösung der homogenen linearen DGL ist damit gegeben durch

Yh(x,C) = CeP (x) .

2. Inhomogener Fall. Wir suchen eine Lösung y mit y(x0) = y0 und machen dazu den Ansatz(Variation der Konstanten)

y(x) = C(x)eP (x) .

Durch Einsetzen in (11.8) erhalten wir

C ′(x)eP (x) + C(x)eP (x)p(x) = p(x) · C(x)eP (x) + q(x) ,

alsoC ′(x) = e−P (x)q(x) .

Dies ergibt

C(x) = C(x0) +

∫ x

x0

e−P (ξ)q(ξ) dξ

225


und damit

y(x) = C(x0)eP (x) +

∫ x

x0

eP (x)−P (ξ)q(ξ) dξ .

Mit y(x0) = y0 folgt C(x0) = y0e−P (x0), d. h.,

ys(x;x0, y0) = eP (x)−P (x0)y0 +

∫ x

x0

eP (x)−P (ξ)q(ξ) dξ für x ∈ R

ist die Lösung von (11.8) mit der Anfangsbedingung y(x0) = y0.

Satz 11.6. Sei P eine Stammfunktion von p.1. Die allgemeine Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung (11.8) ist die Scharder Funktionen

Yh(x,C) = CeP (x) für x ∈ R mit C ∈ R .

2. Eine spezielle Lösung von (11.8) zur Anfangsbedingung y(x0) = y0 ist

ys(x;x0, y0) = eP (x)−P (x0)y0 +

∫ x

x0

eP (x)−P (ξ)q(ξ) dξ für x ∈ R .

3. Die allgemeine Lösung der linearen Differentialgleichung (11.8) ist die Schar der Funk-tionen

Y (x,C) = Yh(x,C) + ys(x) für x ∈ R mit C ∈ R ,

d. h., die Summe aus der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung und einer speziellenLösung der inhomogen Gleichung.

Beispiel 11.7. 1. Man bestimme die allgemeine Lösung zu

y′ = y + sinx .

Lösung: Hier gilt p(x) = 1, q(x) = sin x. Stammfunktion zu p ist P mit P (x) = x. Dieallgemeine Lösung des homogenen Problems besteht aus der Funktionenschar

Yh(x,C) = Cex für x ∈ R mit C ∈ R .

Eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung finden wir zur Anfangsbedingung y(0) = 0durch

ys(x) =

∫ x

0eP (x)−P (ξ) sin ξ dξ =

∫ x

0ex−ξ sin ξ dξ

= −1

2cos x − 1

2sinx +

1

2ex für x ∈ R .

Damit stellt die Funktionenschar

Y (x, c) = cex−1

2cos x − 1

2sinx für x ∈ R mit c ∈ R

die allgemeine Lösung dar.

226

11.2 Lineare skalare Differentialgleichungen n-ter Ordnung

Beispiel 11.8. Man lösey′ = xy + 1 , y(0) = 0 .

Lösung: Hier gilt p(x) = x, q(x) = 1. Stammfunktion zu p ist P mit P (x) = 12x2. Die Lösung

ist gegeben durch

y(x) = e1

2x2− 1

200 +

∫ x

0e

1

2x2− 1

2ξ2

1 dξ = e1

2x2

∫ x

0e−

1

2ξ2

dξ für x ∈ R .

Beispiel 11.9. Man bestimme die allgemeine Lösung zu

y′ = x · y − 2x .

Lösung: Hier gilt p(x) = x, q(x) = 2x. Stammfunktion zu p ist P mit P (x) = 12x2. Es ist

nicht schwer, die spezielle Lösung y(x) = 2 zum inhomogenen Problem zu sehen. Damit istdie allgemeine Lösung gegeben durch die Funktionenschar

Y (x,C) = Ce1

2x2

+ 2 für x ∈ R mit C ∈ R .


11.2.1 Definition und Lösbarkeit

Es seien ai, r : I → R, i = 0, . . . , n, Funktionen auf einem Intervall I. Weiter sei der Einfach-heit halber an(x) 6= 0 für x ∈ I. Dann ist die gewöhnliche (skalare) Differentialgleichung

an(x) · y(n) + an−1(x) · y(n−1) + · · · + a2(x) · y′′ + a1(x) · y′ + a0(x) · y = r(x) (11.9)

eine lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung.

Sie ist homogen , wenn r = 0, sonst inhomogen .

Satz 11.10. Es seien ai, r : I → R stetig mit an(x) 6= 0 für x ∈ I. Dann ist (11.9) mit derAnfangsbedingung

y(x0) = y0 , y′(x0) = y1 , . . . , y(n−1)(x0) = yn−1

mit (x0, y0, . . . , yn−1) ∈ I × Rn eindeutig lösbar auf I.

11.2.2 Superpositionsprinzip

Satz 11.11. Sei yp eine Lösung von (11.9) auf I. Dann ist jede Lösung y von (11.9) auf Idarstellbar als

y = yh + yp ,

wobei yh Lösung des homogenen Problems auf I ist.

227


Bemerkung 11.12. Die Gesamtheit aller Lösungen von (11.9) erhalten wir also durch eine

spezielle oder partikuläre Lösung von (11.9) und der Gesamtheit aller Lösungen deshomogen Problems auf I.

Beispiel 11.13. Wir betrachten das Anfangswertproblem y′′+ 11+x

y′ = 2, y(0) = 0, y′(0) = 1auf I = ] − 1,∞[.

Lösungen des homogenen Problems sind gegeben durch yh(·; c1, c2) : I → R2 mit

yh(y; c1, c2) = c1 + c2 ln(1 + x) ,

wie man durch Einsetzen sieht. (Ob dies alle Lösungen des homogenen Problems sind, klärenwir im nächsten Abschnitt.) Eine partikuläre Lösung yp : I → R

2 des inhomogenen Problemsist offensichtlich

yp(x) =1

2x2 + x , x ∈ I .

Wir suchen daher die Lösung y in der Form

y(x) = yh(x; c1, c2) + yp(x) = c1 + c2 ln(1 + x) +1

2x2 + x .

Durch Einsetzen der AB y(0) = 0 folgt c1 = 0.Die Anfangsbedingung y′(0) = 1 ergibt

y′(0) =c2

1 + 0+ 2 · 0 + 1 = 0 ,

Also c2 = 0. Folglich ist

y(x) =1

2x2 + x , x ∈ R

eine Lösung des Anfangswertproblems mit dem Differentialgleichungssystem.

11.2.3 Lösungsraum homogener, linearer Differentialgleichungen

Wir betrachten (11.9), wobei die Koeffizienten a0, . . . , an konstant seien mit an 6= 0:

any(n)(x) + an−1y(n−1)(x) + · · · + a1y

′(x) + a0y(x) = r(x) . (11.10)

Das zugehörige homogene Problem ist

any(n)(x) + an−1y(n−1)(x) + · · · + a1y

′(x) + a0y(x) = 0 . (11.11)

Gesucht ist die Gesamtheit aller Lösungen von (11.11).

Bemerkung 11.14. Man kann zeigen, dass der Lösungsraum zu (11.11) ein n-dimensionalerVektorraum ist. Das Problem besteht also nur noch darin, eine n-dimensionale Lösungsbasiszu finden.

228


Wir versuchen eine Lösung zu bestimmen. Mit dem Ansatz y(x) = eλx und Einsetzen in(11.11) erhalten wir die Bedingung (beachte (eλx)′ = λex, . . . , (eλx)(k) = λkeλx)

anλneλx + an−1λn−1eλx + · · · + a1λeλx + a0e

λx = 0 .

Da eλx 6= 0 für alle x ∈ R, können wir durch eλx dividieren und wir erhalten die algebraischeGleichung

anλn + an−1λn−1 + · · · + a1λ + a0 = 0 (11.12)

zur Bestimmung des Parameters λ.

Definition 11.15. Die Gleichung (11.12) heißt charakteristische Gleichung zu (11.11).

Satz 11.16. Eine Lösungsbasis aus n reellen Fundamentallösungen erhält man durch;

a) Ist λ eine m-fache Lösung von (11.12), so sind die m Funktionen

x 7→ eλx , x 7→ x · eλx , . . . , x 7→ xm−1 · eλx

Lösungen der Differentialgleichung (11.11).

b) Sind λ = α+i ·β und λ = α− i ·β ein Paar zueinander komplex konjugierter Lösungenvon (11.12) jeweils der (algebraischen) Vielfachheit m, so sind die 2 · m Funktionen

x 7→ eαx sinβx , x 7→ x · eαx sinβx , . . . , x 7→ xm−1eαx sinβx ,

x 7→ eαx cos βx , x 7→ x · eαx cos βx , . . . , x 7→ xm−1eαx cos βx

reelle Lösungen der Differentialgleichung (11.11).

Beispiel 11.17. Wir untersuchen die Differentialgleichung

y′′ − a2y = 0 , a ∈ R . (11.13)

Deren zugehörige charakteristische Gleichung lautet λ2 − a2 = 0 und besitzt die Lösungenλ1 = a, λ2 = −a.

Gilt a 6= 0, so sind beide einfach und

x 7→ eax , x 7→ e−ax

bilden ein Fundamentalsystem. Alle Lösungen der Differentialgleichung (11.13) für a 6= 0sind also gegeben durch

y(x) = Aeax + Be−ax , A, B ∈ R .

Man beachte, dass auchx 7→ sinh ax , x 7→ cosh ax

229


ein Fundamentalsystem bilden. Daher sind auch alle Lösungen von (11.13) darstellbar in derForm

y(x) = c1 sinh ax + c2 cosh ax, c1, c2 ∈ R .

Sei nun a = 0. Dann ist 0 zweifache Nullstelle des charakteristischen Polynoms und

x 7→ 1 , x 7→ x

bilden ein Fundamentalsystem. Alle Lösungen der Differentialgleichung (11.13) für a = 0sind also gegeben durch

y(x) = A + Bx , A, B ∈ R .

Beispiel 11.18. Betrachtet wird die Differentialgleichung

y(4) − 2y(3) + 2y(2) − 2y(1) + y(0) = 0 . (11.14)

Die charakteristische Gleichung lautet

λ4 − 2λ3 + 2λ2 − 2λ + 1 = 0 .

Die Lösungen dieser Gleichung sind

λ1 = 1 , λ2 = 1 , λ3 = i , λ4 = −i ,

also tritt λ = 1 mit der (algebraischen) Vielfachheit 2 und die Lösungen λ = ±i mit derVielfachheit 1 auf. Die Fundamentallösungen gemäß obigem Satz erhält man also in derForm

x 7→ ex , x 7→ xex

︸︷︷︸

zweifache Nullstelle 1

, x 7→ sinx , x 7→ cos x︸︷︷︸

konjugiert komplexe Nullstellen ±i

.

Damit ist jede Lösung y der Differentialgleichung (11.14) darstellbar in der Form

y(x) = c1ex + c2xex + c3 cos x + c4 sinx , c1, . . . , c4 ∈ R .

Beispiel 11.19. Gesucht ist die die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y(4)+2y′′+y = 0.

Lösung: Charakteristische Gleichung ist

0 = λ4 + 2λ2 + 1 = (λ2 + 1)2 .

Diese besitzt die Lösungen λ1,2 = i, λ3,4 = −i. Die allgemeine Lösung der DGL lautet also

y(x) = c1 cos x+c2x cos x+c3 sinx+c4x sinx , x, ci ∈ R .

230


11.2.4 Inhomogenes Problem

Ziel ist nun die Bestimmung der Lösungen von (11.9), d. h.

an(x)y(n)(x) + an−1(x)y(n−1)(x) + · · · + a1(x)y′(x) + a0(x)y(x) = r(x)

mit stetigen Koeffizienten mit an(x) 6= 0. Nach den Ergebnissen des vorherigen Abschnitteszum homogenen Problem und nach Satz 11.11, genügt es eine partikuläre Lösung yp von(11.9) zu bestimmen.

Zur Bestimmung einer partikulären Lösung yp gibt es im wesentlichen vier Methoden:

• Variation der Konstanten,

• spezielle Ansätze,

• Laplace-Transformation und

• die Verwendung von Potenz- und Fourierreihen.

Hier betrachten wir nur die beiden ersten.

11.2.4.1 Variation der Konstanten: Allgemeiner Zugang

Sei {y1, . . . , yn} ein Fundamentalsystem von Lösungen des homogenen Problems n-ter Ord-nung (11.11).Gesucht wird eine partikuläre Lösung yp der Form

yp(x) = c1y1(x) + · · · + cnyn(x) .

Es seien

c(x) =

c1(x)c2(x)

...cn(x)

, Y (x) =

y1(x) . . . yn(x)y′1(x) . . . y′n(x)

... . . ....

y(n−1)1 (x) . . . y

(n−1)n (x)

, b(x) =

00...

1an

r(x)

.

Dann folgtY (x)c′(x) = b(x) . (11.15)

bzw.

yp(x) = e⊤1 Y (x)

∫ x

x0

Y −1(t) · b(t) dt , e1 = (1, 0 . . . , 0) ∈ Rn . (11.16)

Beispiel 11.20. Wir untersuchen die Differentialgleichung

y′′ − a2y = sinx , a ∈ R \ {0} . (11.17)

Mit y1(x)eax, y2(x) = e−ax ergeben sich

Y (x) =

(eax e−ax

aeax −ae−ax

)

, b(x) =

(0

sinx

)

.

231


Eine partikuläre Lösung yp ergibt sich folglich aus

yp(x) = (1 0) Y (x)

∫ x

0Y (t)−1b(t) dt

= (1 0)

(eax e−ax

aeax −ae−ax

) ∫ x

0− 1

2a

(−ae−at −e−at

−aeat eat

)(0

sinx

)

dt

=(eax e−ax

)(− 1

2a)

(−

∫ x

0 e−at sin t dt∫ x

0 eat sin t dt

)

= − 1

2a(a2 + 1)

(eax e−ax

)(

−1 + e−ax (cos x + a sinx)1 − eax (cos x − a sinx)

)

= − 1

2a(a2 + 1)(2a sinx + e−ax − eax) .

11.2.4.2 Ansatzmethode

Wir betrachten erneut (11.10), d. h.

any(n)(x) + an−1y(n−1)(x) + · · · + a1y

′(x) + a0y(x) = r(x)

mit an 6= 0.

Falls die Struktur der Störfunktion r(x) aus Summen, Differenzen oder Produkten von Ter-men xk, eαx, sinβx, cos βx besteht, führt ein Ansatz „vom Typ der Störfunktion“ mit un-bestimmten Koeffizienten zur Ermittlung von yp(x).

Im Folgenden betrachten wir einzelne Typen der Störgliedfunktion.

I. Die Störfunktion ist Produkt aus Exponential- und Polynomfunktion:

r(x) = eαx · [b0 + b1x + · · · + bmxm] , bm 6= 0 .

Die partikuläre Lösung yp(x) muss die inhomogene Differentialgleichung

any(n)(x) + . . . + a1y′(x) + a0y(x) = eαx · [b0 + b1x + · · · + bmxm]

erfüllen. Dazu muss sich der auf der rechten Seite der Gleichung stehende Term auch aufder linken Gleichungsseite ergeben. Da die Koeffizienten ai, i = 0, . . . , n, sämtlich konstantsind und die Ableitung eines Produktes aus Exponential- und Polynomfunktion wieder vomgleichen Typ ist, wählt man als Ansatz für eine derartige partikuläre Lösung eine Funktiondieses Types:

yp(x) = eαx (B0 + B1x + · · · + Bmxm) · xs .

232


Bemerkung 11.21. 1. Die Zahl m im Ansatz ist der Grad m des Polynoms.2. Sollten im Polynom einige Potenzen vom Grad kleiner m fehlen, so sind im Ansatz trotz-dem alle Bk aufzuführen.3. Der Erweiterungsfaktor xs verhindert die Übereinstimmung zwischen homogener undpartikulärer Lösung (Resonanz zwischen Eigenfrequenz und Erregerfrequenz):Die Zahl s ist die Vielfachheit der Nullstelle α des charakteristischen Polynoms (also insbe-sondere s = 0, wenn α keine Nullstelle ist).

Beispiel 11.22. Wir betrachten

y′′ − y′ − 6y = 5e−2x .

Homogenes Problem: Die charakteristische Gleichung lautet

λ2 − λ − 6 = 0

und hat die Lösungen λ1 = 3 und λ2 = −2 (jeweils einfach). Die Lösungen yh des homogenenProblems haben also die Form

yh(x) = c1e3x + c2e

−2x .

Partikuläre Lösung: Wegen einfacher Resonanz (s = 1) machen wir den Ansatz

yp(x) = x · Be−2x .

Wir erhalten

y′p(x) = Be−2x − 2xBe−2x , y′′p(x) = −2Be−2x − 2Be−2x + 4xBe−2x .

Durch Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt sich

−4Be−2x + 4xBe−2x − Be−2x + 2xBe−2x − 6x · Be−2x = 5e−2x ,

also B = −1 undyp(x) = −xe−2x .

II. Die Störfunktion ist Produkt aus Exponential-, Polynom- und Sinus bzw. Cosinus:

r(x) = eαx · [b0 + b1x + · · · + bkxk] · sinβx , bk 6= 0

oder r(x) = eαx · [d0 + d1x + · · · + dℓxℓ] · cos βx , dℓ 6= 0

oder r(x) = eαx ·{

[b0 + b1x + · · · + bkxk] · sinβx + [d0 + d1x + · · · + dℓx

ℓ] · cos βx}

.

Da die Ableitung eines aus Exponential-, Polynom- und Sinus- bzw. Kosinusfunktion be-stehenden Produktes neben der Exponential- und Polynomfunktion auch Sinus- und Ko-sinusfunktion beinhalten kann, ist dies im Ansatz für eine partikuläre Lösung bereits zuberücksichtigen:

yp(x) = eαx · {[B0 + B1x + · · · + Bmxm] · sinβx + [D0 + D1x + · · · + Dmxm] · cos βx} · xs .

233


Bemerkung 11.23. 1. Falls nur die Sinus- bzw. nur die Kosinusfunktion im Störglied auftritt,sind trotzdem im Ansatz beide Funktionen zu berücksichtigen.2. Die Zahl m ist das Maximum der Polynomgrade k und ℓ. Es sind im Ansatz alle Koeffi-zienten Bi und Di mit 0 ≤ i ≤ m aufzuführen.3. Der Exponent s ist die Vielfachheit der Nullstellen λ = α + iβ und λ = α − iβ descharakteristischen Polynoms, wobei s = 0, wenn α + iβ und α − iβ keine Nullstelle sind.


y′′ + 9y = cos(3x) .

Homogenes Problem: Charakteristische Gleichung ist

λ2 + 9 = 0

mit den konjugiert komplexen Nullstellen 3i und −3i. Die Lösungen yh des homogenenProblems haben also die Form

yh(x) = c1 cos(3x) + c2 sin(3x) , ci ∈ R .

Partikuläre Lösung: Da 3i und −3i einfache Nullstelle des charakteristischen Polynomssind, ist der Ansatz

yp(x) = B0 · sin(3x) · x + D0 · cos(3x) · xzu wählen. Es gilt

y′p(x) = 3B0 · cos(3x) · x + B0 · sin(3x) − 3D0 · sin(3x) · x + D0 · cos(3x)

y′′p(x) = −9B0 · sin(3x) · x + 6B0 · cos(3x) − 9D0 · cos(3x) · x − 6D0 · sin(3x) .

Durch Einsetzten in die Differentialgleichung erhalten wir

− 9B0 · sin(3x) · x + 6B0 · cos(3x) − 9D0 · cos(3x) · x − 6D0 · sin(3x)

+ 9B0 · sin(3x) · x + 9D0 · cos(3x) · x= cos(3x)

und somit(6B0 − 1) cos(3x) − 6D0 sin(3x) = 0 .

Dies ergibt B0 = 16 und D0 = 0. Damit ist

yp(x) =1

6x sin(3x) , x ∈ R

eine partikuläre Lösung und alle Lösungen y der Differentialgleichung haben die Form

y(x) = c1 cos(3x) + c2 sin(3x)+1

6x sin(3x) , ci ∈ R .

234



y(4) − y′′′ + 3y′′ + 5y′ = r(x)

mit verschiedenen Störfunktionen. In diesem Beispiel soll das Aufstellen des Ansatzes demon-striert werden. Die Berechnung der unbestimmten Koeffizienten wird für das Selbststudiumvorgeschlagen.

Die Lösungen der charakteristischen Gleichung λ4 − λ3 + 3λ2 + 5λ = 0 ergeben sich zu

λ1 = 0 , λ2 = −1 , λ3 = 1 + 2i , λ4 = 1 − 2i ,

womit sich die allgemeine Form der Lösungen yh der zugehörigen homogenen Differential-gleichung ergibt als

yh(x) = c1+c2e−x+c3e

x cos(2x)+c4ex sin(2x) .

1. r(x) = 2x2 + 3x3.Ansatz: yp(x) = (D0 + D1x + D2x

2 + D3x3)x1, da 0 einfache Nullstelle des charakteristi-

schen Polynoms ist (r(x) enthält den Faktor e0x = 1!).

2. r(x) = 2e−xx.Ansatz yp(x) = (D0 + D1x)e−xx1, da −1 einfache Nullstelle des charakteristischen Polynomsist.

3. r(x) = 3x cos 2x.Ansatz yp(x) = (B0 + B1x) sin 2x + (D0 + D1x) cos 2x.

4. r(x) = ex(4 sin 2x − 3 cos 2x).Ansatz: yp(x) = [ex(B0 sin 2x + D0 cos 2x)]x1, da 1± 2i einfache Nullstelle des charakteristi-schen Polynoms ist.

5. r(x) = 4xe−x cos 2x.Ansatz: yp(x) = e−x {(B0 + B1x) sin 2x + (D0 + D1x) cos 2x}.

6. r(x) = 2 + cosh x = 2 + 12ex + 1

2e−x.Zusammengesetzter Ansatz: yp = D0x + E0e

x + F0e−xx, da 0 und −1 einfache Nullstellen

des charakteristischen Polynoms sind.

235


236

Inhaltsverzeichnis

1 Mengen und Funktionen 51.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Äquivalenz von aussagenlogischen Ausdrücken . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 Prädikative Ausdrücke, Quantifikatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.4 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.5 Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.6 Leere Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.7 Potenzmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Mengenalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.1 Komplement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2 Regeln für das Rechnen mit Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.3 Mengenfamilien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Kartesisches Produkt und Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Abbildungen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1 Abbildungsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.2 Verkettung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.3 Umkehrabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Zahlen 252.1 Natürliche Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.1 Menge der natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.2 Induktionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.3 Prinzip der rekursiven Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.1 Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.1.1 Anordnung ohne Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.1.2 Anordnung mit Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.2 Variationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.2.1 Auswahl mit Beachtung der Reihenfolge und ohne Wieder-

holung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.2.2 Auswahl mit Beachtung der Reihenfolge und mit Wiederholung 29

2.2.3 Kombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.3.1 Auswahl ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne Wieder-

holung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.3.2 Auswahl ohne Beachtung der Reihenfolge und mit Wieder-

holung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

237

Inhaltsverzeichnis

2.3 Rationale und Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.1 Weitere Zahlenbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.2 Gemeinsame Eigenschaften der rationalen und reellen Zahlen . . . . . 32

2.3.2.1 Algebraische Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.2.2 Ordnungseigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.3 Unterschiede der rationalen und reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . 332.4 Rechnen mit Gleichungen und Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4.1 Äquivalente Umformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4.2 Rechnen mit Beträgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5 Weitere Definitionen und Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.5.1 Summen und Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.5.2 Potenzen und Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5.3 Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 Matrizen und Determinanten 393.1 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.1 Matrizen und Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.1.2 Spezielle Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.1.3 Addition und Subtraktion von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.1.4 Multiplikation mit einer reellen Zahl (Skalar) . . . . . . . . . . . . . . 463.1.5 Multiplikation von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.1.6 Lineare Gleichungssysteme in Matrizen-Darstellung . . . . . . . . . . . 493.1.7 Die inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2.1 Der Begriff der Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2.2 Das Rechnen mit Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2.3 Anwendungen auf lineare Gleichungssysteme im Fall m = n . . . . . . 55

3.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4 Das Austauschverfahren 594.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2 Das Austauschverfahren als Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2.1 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2.2 Theoretische Durchführung des ersten Austauschschrittes . . . . . . . 624.2.3 Praktische Durchführung des ersten Austauschschrittes . . . . . . . . 634.2.4 Fortsetzung des Austauschverfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3 Anwendungen des Austauschverfahrens (AV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.3.1 Inversion von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.3.2 Lösung Linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.3.3 Berechnung von Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5 Lineare Optimierung 815.1 Lineare Optimierungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.2 Normalform der linearen Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.2.1 Die Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

238

Inhaltsverzeichnis

5.2.2 Überführung in die Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.3 Lösung einer Normalform der linearen Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.3.1 Bestimmung einer zulässigen Basisdarstellung von (G) . . . . . . . . . 885.3.2 Simplextableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.3.3 Optimalität und Simplexkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.3.4 Bestimmung des Minimums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.4 Ermittlung eines ersten Simplextableaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6 Vektorräume und Komplexe Zahlen 1056.1 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.1.1 Zahlenkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.1.2 Vektorraum R

n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.1.3 Allgemeine Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.1.4 Skalarprodukt und Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.1.5 Analytische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.2 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.2.1 Körper der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.2.2 Algebraische Darstellung komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . 1146.2.3 Polardarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.2.4 Komplexe Sinus-, Cosinus- und Exponential-Funktionen . . . . . . . . 1186.2.5 Exponential-Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.2.6 Komplexe Faktorisierung eines Polynoms . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.2.7 n-te Wurzeln in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.2.8 Geometrische Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7 Grenzwerte und Stetigkeit 1277.1 Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7.1.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.1.2 Spezielle Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.1.3 Rekursive Definition und lineare Differenzengleichungen . . . . . . . . 1297.1.4 Konvergenz von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.1.5 Rechnen mit Grenzwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7.2 Zahlenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.2.1 Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.2.2 Allgemeine Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367.2.3 Spezielle Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.2.4 Quotienten- und Wurzelkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7.3 Stetigkeit von Funktionen in einem Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1407.3.1 Definition und Grundeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

7.4 Stetige Funktionen und ihre Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437.4.1 Stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437.4.2 Natürliche Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.4.3 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

7.4.3.1 Definition und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

239

Inhaltsverzeichnis

7.4.3.2 Spezielle Eigenschaften von Polynomen . . . . . . . . . . . . 1447.4.4 Rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1467.4.5 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1477.4.6 Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

7.4.6.1 Definition und elementare Eigenschaften . . . . . . . . . . . 1477.4.6.2 Wachstumsprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

7.4.7 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1507.4.8 Weitere stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1507.4.9 Wichtigste Eigenschaften stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 151

7.5 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1527.5.1 Der Begriff des Grenzwertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1527.5.2 Rechnen mit Grenzwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1547.5.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1547.5.4 Stetige Fortsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

8 Eindimensionale Differentialrechnung 1598.1 Differenzierbarkeit und lineare Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

8.1.1 Einführendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1598.1.2 Lineare Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1608.1.3 Das Newton-Verfahren zur Nullstellenbestimmung . . . . . . . . . . . 1628.1.4 Differenzierbarkeit und Wachstum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1638.1.5 Notwendige Bedingung für Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

8.2 Berechnung von Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1658.2.1 Ableitungen spezieller Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 1658.2.2 Linearität, Produkt-, Quotienten und Kettenregel . . . . . . . . . . . 1668.2.3 Ableitungen weiterer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

8.3 Differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1688.3.1 Differenzierbarkeit auf Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1688.3.2 Mittelwertsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1688.3.3 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1698.3.4 Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 1708.3.5 Interpretationen der Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1708.3.6 Änderungsrate und Elastizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

8.4 Mehrfach differenzierbare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1738.4.1 Höhere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1738.4.2 Krümmungsverhalten und hinreichende Bedingung für Extrema . . . . 1748.4.3 Konvergenz des Newton-Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1758.4.4 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

9 Eindimensionale Integralrechnung 1799.1 Flächeninhalt und Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

9.1.1 Flächeninhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1799.1.2 Das Riemann-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1809.1.3 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

240

Inhaltsverzeichnis

9.1.3.1 Flächeninhalt allgemeiner Flächen . . . . . . . . . . . . . . . 1829.1.3.2 Geometrischer Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

9.1.4 Stammfunktionen und unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . 1849.1.5 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . 186

9.2 Integrationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1889.2.1 Linearität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1889.2.2 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1899.2.3 Die direkte Substitutionsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

9.3 Integration rationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1969.3.1 Rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1969.3.2 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1979.3.3 Integration der Partialbrüche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

9.4 Anwendungen in den Wirtschaftswissenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . 2009.4.1 Gesamtgewinn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2009.4.2 Konsumentenrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2009.4.3 Produzentenrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

9.5 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

10 Mehrdimensionale Differentialrechnung 20310.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

10.1.1 Skalar- und Vektorfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20310.1.2 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

10.2 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20510.2.1 Ableitungsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20510.2.2 Partielle Ableitungen von Skalarfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 20610.2.3 Differenzierbarkeit und partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . 20710.2.4 Algebraische Eigenschaften der Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . 208

10.3 Geometrische Interpretationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20910.3.1 Tangentialhyperebene und Normalenvektor . . . . . . . . . . . . . . . 20910.3.2 Richtung des steilsten Anstieges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21110.3.3 Notwendige Bedingungen für lokale Extrema . . . . . . . . . . . . . . 21110.3.4 Niveaulinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

10.4 Höhere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21210.4.1 Höhere partielle Ableitungen und Vertauschbarkeit . . . . . . . . . . . 21210.4.2 Mehrdimensionale Taylor-Formel zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . 213

10.5 Extremwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21410.5.1 Extremwertprobleme ohne Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . 21410.5.2 Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . 216

10.6 Homogene Funktionen und Partielle Elastizitäten . . . . . . . . . . . . . . . . 21810.6.1 Homogenität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21810.6.2 Partielle Elastizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

241

Inhaltsverzeichnis

11 Gewöhnliche Differentialgleichungen 22111.1 Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

11.1.1 Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen: y′ = g(x) · h(y) . . . 22111.1.2 Ähnlichkeitsdifferentialgleichung: y′ = f(y/x) . . . . . . . . . . . . . . 22411.1.3 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . 225

11.2 Lineare skalare Differentialgleichungen n-ter Ordnung . . . . . . . . . . . . . 22711.2.1 Definition und Lösbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22711.2.2 Superpositionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22711.2.3 Lösungsraum homogener, linearer Differentialgleichungen . . . . . . . 22811.2.4 Inhomogenes Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

11.2.4.1 Variation der Konstanten: Allgemeiner Zugang . . . . . . . . 23111.2.4.2 Ansatzmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

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