1.2. Berechnen von Wahrscheinlichkeiten 1.2.1. Summen- und Komplementärregel.

1.2. Berechnen von 1.2. Berechnen von WahrscheinlichkeitenWahrscheinlichkeiten1.2.1. Summen- und 1.2.1. Summen- und KomplementärregelKomplementärregel

1.2. Berechnen von 1.2. Berechnen von WahrscheinlichkeitenWahrscheinlichkeiten1.2.1. Summen- und 1.2.1. Summen- und KomplementärregelKomplementärregel

1.2.1. Summen- und Komplementärregel

In einer Urne befinden sich Kugeln mit den Zahlen von 1 bis 20.Es sei

E1 … die gezogene Zahl ist durch 4 teilbar 20;16;12;8;41 E

20

1

20

51 EP

Da jede Kugel (jedes Ergebnis) die Wahrscheinlichkeit von hat, ist

die Wahrscheinlichkeit von .


ELEMENTARE SUMMENREGELBetrachtet man bei einem Zufallsversuch mehrere Ergebnisse und fragt nach der Wahrscheinlichkeit, dass eines dieser Ergebnisse eintritt, so fasst man diese Ergebnisse zu einem Ereignis zusammen.Hat ein Ereignis E die Ergebnisse a1 bis an, so giltP (E) = P (a1) + P (a2) + … + P (an)


Weiterhin seiE2 … die gezogene Zahl ist durch 7 teilbar

E1 und E2 haben keine gemeinsamen Elemente. Berechnet man die Wahrscheinlichkeit für (E … die gezogene Zahl ist durch 4 oder 7 teilbar), so gilt

14;72 E

20

22 EP

21 EEE

20

720

2

20

521

EPEPEP


Es seiE3 … die gezogene Zahl ist durch 6 teilbar

E1 und E3 haben das Ergebnis „12“ gemeinsam. Berechnet man die Wahrscheinlichkeit für (E … die gezogene Zahl ist durch 4 oder 6 teilbar), so gilt

18;12;63 E

20

33 EP

31 EEE

20

720

1

20

3

20

53131

EEPEPEPEP


ALLGEMEINE SUMMENREGEL für 1 2 1 2P E P E P E P E E 1 2E E E


Betrachtet manE4 … die gezogene Zahl ist gerade undE5 … die gezogene Zahl ist ungerade,

so schließen sich die beiden Ereignisse gegenseitig aus und es gilt .

E4 ist also das Gegenereignis von E5. Deswegen ist P (E4) + P (E5) = 1

SEE 54


KOMPLEMENTÄRREGELWenn und ,dann gilt P (E1) + P (E2) = 1

1 2E E 1 2E E S

1.2.2. Baumdiagramme1.2.2. Baumdiagramme1.2.2. Baumdiagramme1.2.2. Baumdiagramme

1.2.2. Baumdiagramme

In einem Behälter befinden sich 5 rote und 2 blaue Kugeln. Nacheinander werden daraus drei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.

r

b

r

b

r

b

r

b

r

b

r

b

r

Eine solche Darstellung heißt ein BAUMDIAGRAMM.

1.2.3. Abhängige und 1.2.3. Abhängige und unabhängige unabhängige

ZufallsversucheZufallsversuche

1.2.3. Abhängige und 1.2.3. Abhängige und unabhängige unabhängige

ZufallsversucheZufallsversuche

1.2.3. Abhängige und unabhängige Zufallsversuche

Zufallsversuche können mehrfach hintereinander durchgeführt werden. Solche Zufallsversuche heißen MEHRSTUFIG. Dabei unterscheidet man UNABHÄNGIGE und ABHÄNGIGE Zufallsversuche.


UNABHÄNGIGKEITBei manchen Zufallsexperimenten ist ein Versuchsergebnis unabhängig vom Ergebnis des vorher durchgeführten Experiments. Das Versuchsergebnis wird nicht beeinflusst durch das Ergebnis des vorhergehenden Experimentes.Beispiele: Werfen eines Würfels, Werfen einer Münze; Drehen eines Glücksrades, Ziehen einer Kugel mit Zurücklegen


ABHÄNGIGKEITBei manchen Zufallsexperimenten ist ein Versuchsergebnis abhängig vom Ergebnis des vorher durchgeführten Experiments. Das Versuchsergebnis wird beeinflusst durch das Ergebnis des vorhergehenden Experimentes.Beispiele: Ziehen eines Loses aus einer Lostrommel, Ziehen einer Kugel ohne Zurücklegen

1.2.4. Wahrscheinlichkeiten 1.2.4. Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen bei mehrstufigen ZufallsversuchenZufallsversuchen

1.2.4. Wahrscheinlichkeiten 1.2.4. Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen bei mehrstufigen ZufallsversuchenZufallsversuchen

1.2.4. Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen

Für das Beispiel aus 1.2.2. findet man folgende Wahrscheinlichkeiten:

r

b

r

b

r

b

r

b

r

b

r

b

r

7

5

7

2

6

4

6

2

6

5

6

1

5

3

5

2

5

4

5

1

5

4

5

1

1

E1 = {r; r; r}

E2 = {r; r; b}

E3 = {r; b; r}

E4 = {r; b; b}

E5 = {b; r; r}

E6 = {b; r; b}

E7 = {b;b; r}

1.2.5. Pfadregeln1.2.5. Pfadregeln1.2.5. Pfadregeln1.2.5. Pfadregeln

1.2.5. Pfadregeln

Für das Beispiel aus 1.2.2. soll berechnet werden, mit welcher Wahrscheinlichkeit drei rote Kugeln gezogen werden.

PFADREGEL 1: Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades im Baumdiagramm.

Für das Ereignis E1 aus 1.2.2. bedeutet das:

7

25

3

6

4

7

5

1

1

EP

EP

1.2.5. Pfadregeln

Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind bei den drei gezogenen Kugeln mindestens zwei rote dabei?

PFADREGEL 2: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die für dieses Ereignis günstig sind.

7

65

4

6

5

7

2

5

4

6

2

7

5

5

2

6

4

7

5

5

3

6

4

7

55321

EP

EP

EPEPEPEPEP

Das trifft auf die Ereignisse E1; E2; E3; und E5 zu.

1.2.6. Bedingte 1.2.6. Bedingte WahrscheinlichkeitenWahrscheinlichkeiten

1.2.6. Bedingte 1.2.6. Bedingte WahrscheinlichkeitenWahrscheinlichkeiten

1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Mehr Abiturientinnen als Abiturienten

52,4 % der 244600 Jugendlichen, die am Ende des vergangenen Schuljahres ihre Schule mit der allgemeinen Hochschulreife verließen, waren Frauen. In den neuen Ländern und Berlin liegt der Frauenanteil mit 59,1 % deutlich höher als im früheren Bundesgebiet (50,8 %).


Bei diesem Zufallsexperiment werden zwei Merkmale mit jeweils zwei Ausprägungen beobachtet.

"..."OssiA ..." "A Wessi

...B Frau ...B Mann


Die Häufigkeiten kann man in einer VIERFELDERTAFEL darstellen.

Frau Mann Gesamt

Ossi

Wessi

Gesamt52,4 %

244600100 %



Frau Mann Gesamt

Ossi

Wessi

Gesamt12817052,4 %

244600100 %

52,4 % der insgesamt 244600 Abiturientinnen und Abiturienten sind Frauen.



Frau Mann Gesamt

Ossi

Wessi

Gesamt12817052,4 %

11643047,6 %

244600100 %

Demzufolge sind es 116430 Männer. Das entspricht 47,6 %.



Frau Mann Gesamt

Ossi59,1 % 244600

-x

Wessi50,8 % x

Gesamt12817052,4 %

11643047,6 %

244600100 %

Zu lösen ist die Gleichung

Man erhält mit x = 197458 die Anzahl der Abiturienten aus Westdeutschland.

128170508,0244600591,0 xx



Frau Mann Gesamt

Ossi4714219,3 %

Wessi19745880,7 %

Gesamt12817052,4 %

11643047,6 %

244600100 %

Also kommen 47142 Abiturienten aus Ostdeutschland. Das sind 19,3 %.



Frau Mann Gesamt

Ossi2786111,4 %

192817,9 %

4714219,3 %

Wessi19745880,7 %

Gesamt12817052,4 %

11643047,6 %

244600100 %

Von den 47142 Absolventen aus Ostdeutschland sind 59,1 % Frauen. Es sind also 27861 Frauen und 19281 Männer. Das sind 11,4 % bzw. 7,9 % des Grundwertes.



Frau Mann Gesamt

Ossi2786111,4 %

192817,9 %

4714219,3 %

Wessi10030941,0 %

9714939,7 %

19745880,7 %

Gesamt12817052,4 %

11643047,6 %

244600100 %

Durch Subtraktion lassen sich die fehlenden absoluten Häufigkeiten ermitteln.


Frau MannGesamt

Ossi 11,4 % 7,9 % 19,3 %

Wessi 41,0 % 39,7 % 80,7 %

Gesamt52,4 % 47,6 % 100 %

Aus der Vierfeldertafel lassen sich z.B. ablesen:•Wahrscheinlichkeit, dass eine Person aus dem Osten kommt:

•Wahrscheinlichkeit, dass eine Person aus dem Osten kommt und weiblich ist:

A

B

A

B

P A B P A B

P A B P A B

P A

P A

P B P B

19,3%P A

11,4%P A B


Gesucht sind folgende Wahrscheinlichkeiten:

1. Falls eine Person aus dem Osten kommt: mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es dann eine Frau?

2. Falls eine Person weiblich ist: mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt sie dann aus Ostdeutschland?


Hier werden die Wahrscheinlichkeiten an Bedingungen geknüpft.

1. Falls eine Person aus dem Osten kommt: mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es dann eine Frau?

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B unter der Bedingung, dass A eintritt:

2. Falls eine Person weiblich ist: mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt sie dann aus Ostdeutschland?

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Bedingung, dass B eintritt:

BPA

BP A


SATZ: Satz von BayesSind A und B Ereignisse mit P(A) ≠ 0, dann gilt

Für solche Berechnung kann man den Satz von Bayes verwenden.

A

P(A B)P (B) =

P(A)

A

P(A B)P (B) =

P(A)

A

P(A B)P (B) =

P(A)

A

P(A B)P (B) =

P(A)


Frau MannGesamt

Ossi 11,4 % 7,9 % 19,3 %

Wessi 41,0 % 39,7 % 80,7 %

Gesamt52,4 % 47,6 % 100 %

Falls eine Person aus dem Osten kommt: mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es dann eine Frau?(Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B unter der Bedingung, dass A eintritt: )

A

B

A

B

P A B P A B

P A B P A B

P A

P A

P B P B BPA

( )( )

( )

0,114( )

0,193

( ) 0,591

A

A

A

P A BP B

P A

P B

P B


Frau MannGesamt

Ossi 11,4 % 7,9 % 19,3 %

Wessi 41,0 % 39,7 % 80,7 %

Gesamt52,4 % 47,6 % 100 %

Falls eine Person weiblich ist: mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt sie dann aus Ostdeutschland?(Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Bedingung, dass B eintritt: )

A

B

A

B

P A B P A B

P A B P A B

P A

P A

P B P B BP A

( )( )

( )

0,114( )

0,524

( ) 0,218

B

B

B

P A BP A

P B

P A

P A


m

Aufgaben dieser Art lassen sich auch durch zwei Baumdiagramme lösen.

O

W

w

w

m

W

w

m

O

O

W

{O;w}

{O;m}

{W;w}

{W;m} {m;W}

{m;O}

{w;W}

{w;O}


0,524m

O

W

w

w

m

W

w

m

O

O

W

0,591

0,508

{O;w}

{O;m}

{W;w}

{W;m} {m;W}

{m;O}

{w;W}

{w;O}


0,524m0,409

O

W

w

w

m

W

w

m

O

O

W

0,591

0,508

{O;w}

{O;m}

{W;w}

{W;m} {m;W}

{m;O}

{w;W}

{w;O}

0,492

0,476

Ereignis und Gegenereignis haben zusammen die Wahrscheinlichkeit 1.


0,524m0,409

O

W

w

w

m

W

w

m

O

O

W

0,591

0,508

{O;w}

{O;m}

{W;w}

{W;m} {m;W}

{m;O}

{w;W}

{w;O}

0,492

0,476

Analog zur Vierfeldertafel ist P(W) = 0,807.

0,807


0,524m0,409

O

W

w

w

m

W

w

m

O

O

W

0,591

0,508

{O;w}

{O;m}

{W;w}

{W;m} {m;W}

{m;O}

{w;W}

{w;O}

0,492

0,476

Der Rest wird nach den Pfadregeln berechnet.

0,807

0,397 0,397


0,524m0,409

O

W

w

w

m

W

w

m

O

O

W

0,591

0,508

{O;w}

{O;m}

{W;w}

{W;m} {m;W}

{m;O}

{w;W}

{w;O}

0,492

0,476

Der Rest wird nach den Pfadregeln berechnet.

0,807

0,397 0,397

0,193

0,114

0,079

0,410

0,114

0,410

0,079

0,218

0,782

0,166

0,834


0,524m0,409

O

W

w

w

m

W

w

m

O

O

W

0,591

0,508

{O;w}

{O;m}

{W;w}

{W;m} {m;W}

{m;O}

{w;W}

{w;O}

0,492

0,476

Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten lassen sich direkt ablesen.

0,807

0,397 0,397

0,193

0,114

0,079

0,410

0,114

0,410

0,079

0,218

0,782

0,166

0,834

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