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Geometrie

Marius BrunkMatthias Deege

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1. Euklidische Geometrie• Biographie: David Hilbert • Hilberts Axiomensystem der ebenen Geometrie

2. Nicht-Euklidische Geometrie• Nicolai Lobatschewski• Janos Bolyai

Gliederung

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1. Euklidische Geometrie

1.1 Biographie: David Hilbert

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David Hilbert

geb. : 23. Januar 1862 in Königsberg alsSohn einer preußischen Beamtenfamilie

Hilbert über seine schulischen Leistungen:„Ich habe mich auf der Schule nicht besonders mit

Mathematik beschäftigt, denn ich wußte ja, daß ich das später tun würde.“

Abitur im Jahr 1880

1.1

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Mathematikstudium fast ausschließlich in Königsberg (zusammen mit H. Minkowski)

1885/86 Promotion und Habilitation in Königs-berg, Bekanntschaft mit Felix Klein in Leipzig

1892 Extra Ordinarius in Königsberg, Hochzeit mit Käthe Jerosch

1895 Berufung nach Göttingen (Felix Klein)

1899 Grundlagen der Geometrie

1.1

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1900 Hauptreferat auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Paris: 23 mathematische Probleme

Hilberts vielschichtige, mathemat. Interessen:• Invariantentheorie• Geometrie• Algebraische Zahlenkörper• Integralrechnung mathematische Physik• Logische Grundlagen der Mathematik

1.1

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1918: „Eine Fakultät ist doch keine Badeanstalt!“

14. Februar 1943: Tod in Göttingen

„Wir müssen wissen, wir werden wissen.“

1.1

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1. Euklidische Geometrie1.2 Hilberts Axiomensystem der (ebenen) Geometrie

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Axiome der Geometrie (1899):

I   1-8. Axiome der Verknüpfung,  II  1-4.  Axiome der Anordnung, III 1-5.  Axiome der Kongruenz,  IV        Axiom der Parallelen,  V 1-2.  Axiome der Stetigkeit.

1.2

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I. Inzidenz-Axiome (1-4)

• (I1) Zu zwei Punkten A,B gibt es stets eine Gerade a, die mit jedem der beiden Punkte A,B zusammengehört.

• (I2) Zu zwei Punkten A,B gibt es nicht mehr als eine Gerade, die mit jedem der beiden Punkte zusammengehört.

• (I3) Auf einer Geraden gibt es stets wenigstens zwei Punkte. Es gibt wenigstens drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen.

• (I4) Zu irgend drei nicht auf ein und derselben Geraden liegenden Punkte A,B,C gibt es stets eine Ebene , die mit jedem der drei Punkte zusammen-gehört. Zu jeder Ebene gibt es stets einen mit ihr zusammengehörenden Punkt.

1.2

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I. Inzidenz-Axiome (5-8)

• (I5) Zu irgend drei nicht auf ein und derselben Geraden liegenden Punkten A,B,C gibt es nicht mehr als eine Ebene, die mit jedem der drei Punkte zusammengehört.

• (I6) Wenn zwei Punkte A,B einer Geraden a in einer Ebene , so liegt jeder Punkt von a in der Ebene.

• (I7) Wenn zwei Ebenen , einen Punkt A gemein haben, so haben sie wenigstens noch einen weiteren Punkt B gemein.

• (I8) Es gibt wenigstens vier nicht in einer Ebene gelegene Punkte.

1.2

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II. Anordnungs-Axiome (1-3)

• (A1) Wenn ein Punkt B zwischen einem Punkt A und einem Punkt C liegt, so sind A,B,C drei verschiedene Punkte einer Geraden, und B liegt dann auch zwischen C und A.

• (A2) Zu zwei Punkten A und C gibt es stets wenigstens einen Punkt B auf der Geraden AC, so daß C zwischen A und B liegt.

• (A3) Unter irgend drei Punkten einer Geraden gibt es nicht mehr als einen, der zwischen den beiden anderen liegt.

1.2

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Ein Beispiel für Euklids teilweise lückenhaftes Vorgehen:

Proposition 1:Über einer gegebenen Strecke kann ein

gleichseitiges Dreieck errichtet werden.

1.2

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II. Anordnungs-Axiom 4 (Pasch)

• (A4) Es seien A,B,C drei nicht in gerader Linie gelegene Punkte und a eine Gerade in der Ebene ABC, die keinen der Punkte A,B,C trifft: wenn dann die Gerade a durch einen Punkt der Strecke AB geht, so geht sie gewiß auch durch einen Punkt der Strecke AC oder durch einen Punkt der Strecke BC.

1.2

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III. Kongruenz-Axiome (1-3)

• (K1 - Streckenabtragung) Seien A,B Punkte und h eine Halbgerade mit Anfangspunkt C. Dann existiert ein Punkt D auf h mit

• (K2 – Transitivität der Streckenkongruenz)

• (K3 – Addierbarkeit von Strecken) Seien disjunkte Strecken auf einer Geraden g, sowie

disjunkte Strecken einer Geraden g‘

1.2

AB CD

AB CDAB EF

CD EF

,AB BC

' ', ' 'A B B C

' '' '

' '

AB A BAC A C

BC B C

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III. Kongruenz-Axiome (4-5)

• (K4 – Antragen von Winkeln) Sei ein Winkel, g‘ eine Gerade, h‘ eine Halbgerade von g‘ mit Anfangspunkt A, H eine der durch g‘ bestimmten Halbebenen. Dann existiert in H genau eine Halbgerade k‘ mit Anfangspunkt A, so dass = .

• (K5) Es gilt der Kongruenzsatz SWS

1.2

( , )h k

( , )h k ( ', ')h k

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IV. Euklidisches Axiom (der Parallelen)

• (P) Es sei a eine beliebige Gerade und A ein Punkt außerhalb a; dann gibt es in der durch a und A bestimmten Ebene höchstens eine Gerade, die durch A läuft und a nicht schneidet.

• Äquivalente Formulierung:• Wenn zwei Geraden a,b in einer Ebene eine dritte

Gerade c derselben Ebene nicht treffen, so treffen sie auch einander nicht.

• Das Parallelenaxiom ist ein ebenes Axiom!

1.2

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V. Stetigkeits-Axiome (1-2)

• (S1 – Axiom des Messens) Gegeben seien zwei Strecken . Dann wird man durch endlich-faches Antragen von hinauslaufen.

• (S2 – lineare Vollständigkeit) Eine Gerade in einer gegeben Geometrie kann nicht in der Weise vergrößert werden (durch Hinzunahme von Punkten), dass die bisherigen Axiome erfüllt bleiben.

1.2

,AB CD CD an AB über AB

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Das Parallelenproblem:

• Die Herleitung von Eukids Parallelen-Postulat blieb über 2000 Jahre ein ungelöstes Problem.

• Erfolglose Versuche gab es einige…• Gauß erkannte als erster, dass das Paralleln-

Problem nicht lösbar ist, veröffentlichte seine Gedanken aber nie.

• Dies tat 1826 N. Lobatschewski und erschuf die hyperbolische Geometrie

1.2

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2. Nicht-Euklidische Geometrie 2.1 Nikolai Lobatschewski

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Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski

geb. : 20. November 1792 in Nishni- Nowgorod (Gorki)

Ab 1800: Kasan, in sehr einfachen Verhältnissen

1802: Eintritt ins Gymnasium von Kasan mathematisches Interesse guter Unterricht

2.1

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1807: Immatrikulation Universität Kasan Chemie und Pharmakologie

1808: Johann Christian Martin Bartels Arbeitsschwerpunkt Mathematik „Stolz der Universität“

1811: Abschluss des Studiums, Magister

2.1

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1812: Assistent von Bartels

1814: Adjunkttitel, Vorlesung über Trigonometrie

1816: außerordentlicher Professor

2.1

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1820: Nachfolger von Bartels, Vorlesung Reine Mathematik

1821: Dekan der physikalisch -mathematischenFakultät

1822: Ordentlicher Professor

1827: Rektor der Kasaner Universität

2.1

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1823: Lehrbuch zur Geometrie

1826-1830: neue Ergebnisse im „Kasaner Boten“

1835: „Imaginäre Geometrie“

1835-1838: „Neuen Anfangsgründe der Geometrie“

2.1

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1840: Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien

2.1

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1846: Offizielles Ende seiner Amtszeit

Schwere Krankheiten folgten

12.Februar 1856 : Tod in Kasan

2.1

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Werke von Lobatschewski (Auszug)

• 1830; dt. 1898: Über die Anfangsgründe der Geometrie• 1934: Algebra oder die Rechnung mit endlichen Größen • 1834: Über die Konvergenz der trigonometrischen Reihen• 1836: Anwendung der vorgestellten Geometrie auf einige Integrale • 1842: Die totale Sonnenfinsternis in Pensa am 26. Juni 1842• 1852: Der Wert einiger bestimmter Integrale• 1855, fr. 1856, dt. 1858, ital. 1867: Pangeometrie.

2.1

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2. Nicht-Euklidische Geometrie 2.2 Janos Bolyai

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Janos Bolyai (dtsch. Johann)

geb. :15. Dezember 1802 in Kolozsvar (Klausenburg) in Ungarn

Vater: Farkas (Wolfgang) Bolyai

geistige Frühreife

Mit 9 Jahren: Interesse für Algebra und die „Elemente des Euklid“

2.2

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Vater Bolyai an Gauß 10.4.1816:

„ Ich wollte ihn 3 Jahre bei dir halten und, wennes möglich wäre in deinem Hause, […]. DeinerFrau Gemahlin Unkosten würde ich, versteht sichs, schon entschädigen.“

Keine Antwort

1818: Wiener Ingenieur Akademie 1823: Militärdienst

2.2

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Anfang 1820:„Die Parallelen auf jenem Wege sollst du nicht probieren; ich kenne auch jenen Weg bis zu Ende, auch ich habe diese bodenlose Nacht durchmessen: jedes Licht, jede Freude meines Lebens sind in ihr ausgelöscht worden. Ich beschwöre dich bei Gott! Laß die Parallelen in Frieden. […] diese haben mir all die Blumen meines Lebens und meiner Zeit weggenommen.“

2.2

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Um 1823 Brief von Johann an seinen Vater:

„Mein Vorsatz steht schon fest, daß ich, sobald ich es geordnet, abgeschloßen habe und eine Gelegenheit kommt, ein Werk über die Parallelen herausgeben werde […] ich habe so erhabene Dinge herausgebracht, daß ich selbst erstaunt war […] jetzt kann ich nichts weiter sagen, nur so viel: daß ich aus Nichts eine neue, andere Welt geschaffen habe.“

2.2

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1825: „Absolut wahre Raumlehre“1832: Im Anhang zu „Tentamen“:

„Absolut wahre Raumlehre, unabhängig von der ( a priori nie entschieden werdenden) Wahr- oder Falschheit des XI. Euklidischen Axioms, mit geometrischer Quadratur des Kreises im Falle der Falschheit.“

2.2

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Gauß 6. März 1832:„[…] sie [die Schrift] loben hieße mich selbst zuloben: denn der ganze Inhalt der Schrift, der Weg, den Dein Sohn eingeschlagen hat, und die Resultate, zu denen er geführt ist, kommen fast durchgehends mit meinen, zum Teile schon sei 30-35 Jahren angestellten Meditationen überein.“

2.2

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Folge dieser Nichtanerkennung waren schwere Depressionen.

Er starb am 27. Januar 1860 an Lungen- und Gehirnhautentzündung.

Sein Grab blieb namenlos.

2.2

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2.2

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2.2

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Wenn eine Gerade und ein Punkt in der Ebene gegeben ist, nenne ich Parallele zur gegebenen Geraden, gezogen durch den gegebenen Punkt, die Grenzgerade zwischen denjenigen unter den Geraden (die in derselben Ebene durch denselben Punkt gezogen sind und auf der einen Seite des von diesem Punkt auf die gegebene Gerade gefällten Lotes verlängert sind) welche sie schneiden, und denen, welche sie nicht schneiden. (Lobatschewski 1902, 6f)

2.2

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l

m

g

2.2

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Parallelenpostulat in der Geometrie von Lobatschewski und Bolyai (Negation vom Euklidischen)/ Hyperbolisches Parallelenaxiom:

Es gibt eine Gerade l und einen Punkt P außerhalb l, so daß durch P mindestens zwei Parallelen zu l laufen.

2.2

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2.2

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2.2

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2.2