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15. Vom Atom zum Festkörper Physik für Informatiker

15. Vom Atom zum Festkörper

15.1 Das Bohr‘sche Atommodell15 2 Quantenmechanische Atommodell15.2 Quantenmechanische Atommodell15.2.1 Die Hauptquantenzahl n15.2.2 Die Nebenquantenzahl lq15.2.3 Die Magnetquantenzahl ml15.2.4 Die Spinquantenzahl ms15.3 Bindungskräfte im Festkörper15.4 Energiebänder15 5 Nichtleiter15.5 Nichtleiter15.6 Leiter15.7 Halbleiter

Doris Samm FH Aachen


15.1 Das Bohr‘sche Atommodell

Elektron Modell: (Niels Bohr)

Kern

( )

- Masse = Kern (rKern 10-15m) im Zentrum konzentriert Atome bestehen aus Elektronen und einem Atomkern

~~

- e- bewegen sich um Kern auf Kreisbahnen (rAtom 10-10 m)~~

Frage: Warum stürzt Elektron nicht in positiv geladenen Kern?Frage: Warum stürzt Elektron nicht in positiv geladenen Kern?Antwort: e- bewegt sich mit v = 0 es wirkt ZentripetalkraftAber: e- wird beschleunigt Energieverlust durch Strahlung

e- stürzt in den Kern( in 10-11 s wird Energie abgestrahlt)

Frage: Warum stürzt Elektron nicht in positiv geladenen Kern?Antwort: Die Unschärferelation verbietet es!

Ach so ! Hä??? Ich brauche Erläuterungen !


Ach so ! g


15.2 Quantenmechanische AtommodellBeobachtungen zeigen und Quantenmechanik beschreibt (richtig):

Atomaufbau wird durch einen Satz von 4 Quantenzahlenund das Pauliprinzip bestimmt.

Quantenzahlen:

- Hauptquantenzahl n (Energie)N b hl l ( B d B h d hi l )- Nebenquantenzahl l ( Betrag des Bahndrehimpulses)

- Magnetquantenzahl ml (Richtung des Bahndrehimpulses)- Spinquantenzahl ms ( Richtung des Eigendrehimpulses)

Pauliprinzip:

Ein Elektron kann nicht in allen 4 Quantenzahlen miteinem anderen Elektron innerhalb eines Atomsübereinstimmen


übereinstimmen.


15 2 1 Die Hauptquantenzahl n15.2.1 Die Hauptquantenzahl n

Beobachtung: Atome absorbieren oder emittieren nur Energiepakete = Photonen (γ - Quanten) mit Energie Eγ

Eγ = h fh l k h i k 34h = Plancksches Wirkungsquantum = ca. 10-34 Jsf = Frequenz der elektromagnetischen Strahlung

1 El k k b i (!) E i i A h1. Elektron kann nur bestimmte (!) Energien im Atom annehmen 2. Es gibt Zustand niedrigster Energie = Grundzustand = 0

Beispiel: Wasserstoffatom: 1 Elektron + 1 Proton (Kern)

Für Energie des Elektrons gilt:

En = - 13,6 .1/n2 eVE = ½ [( z e2)/ (4π ε0)]2 m / [n2 (h/2π)2]


En ½ [( z e )/ (4π ε0)] me / [n (h/2π) ]


Elektron im 1. angeregten Zustand

ΔE = - 13,6 eV – (- 3,4 eV)

Energiezufuhr

Elektron im Grundzustand

Elektron im Grundzustand

Energiezufuhr



Elektron im 2. angeregten Z dElektron im

1. angeregten Zustand

Zustand

i fElektron im Grundzustand

EnergiezufuhrElektron im Grundzustand



15.2.2 Die Nebenquantenzahl l

Es gilt: Betrag des Drehimpulses L ist quantisiertEs gilt: Betrag des Drehimpulses L ist quantisiert

Klassisch: L = m v r

Quantenmechanisch:

L = [ l (l + 1) ]1/2 . (h/2π) mit l = 0 1 2 (n - 1)L [ l (l + 1) ] (h/2π) mit l 0, 1, 2, .... (n 1)Beispiel: n = 1 l = 0, n = 2 l = 0,1

Man gibt verschiedenen l-Zuständen verschiedene Symbole

l = 0 1 2 3 4 ...l 0 1 2 3 4 ...l = s p d f g ...



15.2.3 Die Magnetquantenzahl ml

Klassisch: Jede Richtung des Drehimpulse möglich

E ilt Ri ht d D hi l i t ti i tQuantenmechanisch: Nur bestimmte Lz-Werte möglich

g p gjeder Lz-Wert möglich

Es gilt: Richtung des Drehimpulses ist quantisiert.

L = m h/2πLz = ml h/2πmitml = 0, +/- 1, +/- 2, ..., +/- lml 0, / 1, / 2, ..., / l

L L ??Lx, Ly = ??Antwort kennt kein Mensch!!



15.2.4 Die Spinquantenzahl ms

Neben Bahndrehimpuls hat e- (p,n,..) „Eigendrehimpuls“ S = Spin( ohne klassische Analogie)

( h b hli i )

d S iS = msh/2π mit ms = +/- 1/2

Für Fermionen gilt: (Bosonen haben ganzzahligen Spin: γ, π)

Betrag des Spins:

S = [1/2 (1/2 + 1)]1/2 h/2π = [3/4]1/2 h/2π

Beachte: Der Spin ist ein relativistischer Effekt.

A fb d A l d P li P i iAufbau der Atome: n, l, ml, ms und Pauli Prinzip



s p

E4 E4

E3 E3Nein Danke

E2 E2

Nein DankeBesetzt !!!! Nein Danke

Besetzt !!!!

Nein DankeBesetzt !!!!


2

Verbotene Energien

E1


E1

Verbotene Energien


E1 1


Beispiel: Mögliche Zustände

n = 1 l = 0 ml = 0 m = +/- 1/2n 1 l 0 ml 0 ms +/ 1/2maximal ! 2 (s) Elektronen möglich

n = 2 l = 0,1 ml = 0, +/- 1 ms = +/- 1/2

i l ! 8 (2 6 ) El kt ö li hmaximal ! 8 (2s, 6p) Elektronen möglich

Schreibweise:

Periodensystem der Elemente (Auszug)

nl Zahl der Elektronen

Beispiel 1:1 1 W ff

p1s1 Wasserstoff

Beispiel 2:1s22s22p1 Bor


1s 2s 2p


Periodensystem der Elemente



15.3 Bindungskräfte im FestkörperUrsache: Elektromagnetische Wechselwirkung

aber: Makroskopisch unterschiedliche Formenaber: Makroskopisch unterschiedliche Formen

Bindungsenergie ist Energie zur Abtrennung neutraler Atome bei 0 K


Beispiel: Zur Abtrennung eines Silberatoms E = 2,97 eV


15.4 EnergiebänderIm Atom Elektronen in Energieniveausg

Beispiel Kupfer (Cu): 29 e- verteilen sich auf1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s1

Annäherung zwei Ag-AtomeAg-Atome bilden ein einzelnes

Für 2 x 29 e- = 58 e- gilt Pauliprinzip

gzweiatomiges System

58 Q t tä dJedes Energieniveau der Einzelatome spaltet in zwei Niveaus auf

58 Quantenzustände

p

Bei Festkörper ca. 1024 AtomeEng beieinanderliegende Energieniveaus = Energiebänder


Eng beieinanderliegende Energieniveaus Energiebänder


15.5 Nichtleiter (Isolator)Freie Niveaus

Höchste besetzte Niveau = obere Kantedes Bandes

Energielücke groß

des Bandes

Elektrischer Strom, falls Ekin wächst = Wechseln in höheres Niveau

- Höchste besetze Band ist vollHöchste besetze Band ist voll- Pauli-Prinzip verhindert WW von e- in bereits besetze Niveaus Nichtleiter

Beispiel:Diamant EL = 5,6 eV = 140fache der mittleren thermischen Energie (ζ = 20o C)

I l


guter Isolator


15.6 Metalle (Leiter)T = 0 K

Hö h b Ni

T 0 KHöchste besetzte Niveau =Fermi –Niveau (T = 0 K)

Höchste besetzte Niveau = Mitte des Bandes

Höchste besetzte Energie= Fermi-Energie EF

Elektrischer Strom falls Eki wächst = Wechseln in höheres NiveauElektrischer Strom, falls Ekin wächst Wechseln in höheres Niveau

- Höchste besetze Band ist halb voll- Wechsel in höheres Niveau leicht möglich LeiterWechsel in höheres Niveau leicht möglich

Beispiel:Kupfer EF = 7,0 eV, vF = 1,6 x 106 m/s = Fermigeschwindigkeit (bei T = 0 K !)


F F


15.7 Halbleiter

Bänderstruktur eines Halbleiters =Bänderstruktur eines Halbleiters Bänderstruktur eines Nichtleiters

AberE EEL (Isolator) >> EL (Halbleiter)

Beispiel:E 1 1 V (H lbl it )EL(Silizium) = 1,1 eV (Halbleiter)EL(Diamant) = 5,5 eV (Isolator)

T > 0 K (bei Halbleiter)_

e- = ins Leitungsband Im Valenzband bilden sich Löcher +

_

+l k i h i b i


Beide tragen zur elektrischen Leitung bei!


n = Dichte _

Intrinsischer Halbleiter = reiner Halbleiter

2-dimensionales Si-GitterJ d Si A k ln = p

+p = DichteJedes Si-Atom kovalenteBindung mir 4 nächstenNachbarn

Extrinsische Halbleiter = Dotierte Halbleiter n >> p = n-dotiert p >> n = p-dotiert

Phosphor (P)= Donator

Bohr (B)= Akzeptor

(von Elektronen) (von Elektronen)

4-wertiges Si-Atom durch 4-wertiges Si-Atom durch

( )


5-wertiges P-Atom ersetzt 3-wertiges B-Atom ersetzt


n-dotiert

Donator-Majoritätsladungsträger

Energieniveaus D l k

Niveaus

Minoritätsladungsträger Donatorelektronengibt Elektronen ab

p-dotiert

MinoritätsladungsträgerAkzeptor-Niveaus

MajoritätsladungsträgerEnergieniveaus Akzeptorelektronen


Akzeptorelektronennimmt Elektronen auf


n-dotiert

MajoritätsladungsträgerDonator-Niveaus

Minoritätsladungsträger

Energieniveaus Donatorelektronengibt Elektronen ab




p-dotiert

MinoritätsladungsträgerAkzeptor- Minoritätsladungsträger

nimmt Elektronen auf

pNiveaus

Majoritätsladungsträger

Energieniveaus Akzeptorelektronen

nimmt Elektronen auf




Üpn-Übergang


(ohne äußere Spannung)

_


+ IDiff DiffusionsstromDiff

Raumladungszone = Sperrschicht = frei von beweglichen Ladungsträgern= Sperrschicht = frei von beweglichen Ladungsträgern

Kontaktspannung



Üpn-Übergang


(ohne äußere Spannung)

Resultat

_ +

IIges = 0


IFeldges


Üpn-Übergang (mit äußerer Spannung)DurchlassrichtungPositive Pol der Batterie mit p

p-Seite wird noch positivern-Seite wird noch negativer

Diffusionsstrom nimmt zu

Es fließt Strom I

SperrichtungNegative Pol der Batterie mit p

Es fließt Strom ID

Der Diffusionstrom nimmt ab

Die Raumladungszone wird größer

Der Widerstand wird größer



Oh ä ß SOhne äußere Spannung

Mit äußerer Spannung

E E



pn-Übergang als Halbleiter-Gleichrichter p-dotiertes Ende

Durchlassrichtung

Sperrichtung



Lumineszenzdiode (LED)(light emittiting diode)

Sperrzonepdem n-dotierten Material zugeführtdem p-dotierten Material zugeführt

B i R k bi i El k i L h

_

+Bei Rekombination von Elektron mit Loch

Freisetzung von Energie (Licht)

Photodiode / Solarzelle Einfallendes Licht

p

nRILicht trifft auf pn-Übergang

Elektron Loch-Paare werden getrenntEs fließt ein StromEs fließt ein Strom


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