Ausgewählte Kapitel der Physik

Festkörper-HalbleiterBändermodell

26.04.23

26.04.23

Festkörpereigenschaften

DichteWärme LeitfähigkeitElektrische LeitfähigkeitMagnetische EigenschaftenOptische EigenschaftenFestigkeit und HärteSchmelzpunktGitter-Umwandlungen

FestkörperDie Eigenschaften der Festkörper werden wesentlich durch die Elektronenstruktur der Atome festgelegt. Eine wichtige Rolle spielen dabei auch Quanten-Effekte, die sowohl makroskopisch (z.B. supra-flüssig, superleitend, Quanten -Halleffekt,..) als auch lokalisiert in Nanogrößenordnung (Störstellen im Atomgitter, Lichtemission,.. ) auftreten.

Die Struktur der Elektronenhülle führt zu verschiedenen chemischen Bindungsarten der Atome und kristallinen Strukturen und diese wieder sind die Ursache der von uns makroskopisch beobachteten Eigenschaften.

Chemische Bindungen

IonenbindungAtombindungMetallbindungVan der Waals Bindung

Kristallstrukturen

Kubisch flächenzentriertKubisch raumzentriertHexagonal dichtest gepacktrhombischRhomboedrisch Tetragonal ….

Mit unterschiedlich dicht gepackten Ebenen und Richtungen, die durch Vektoren Nach Miller : z.B. [110], {211} gekennzeichnet werden

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Kristallgitter

Mit den 14 Bravais-Gitter lassen sich alle Kristalle darstellen.

Daneben gibt es aber auch andere Klassifizierungen z.B. in 32

Kristallklassen nach Symmetriekriterien

kubisch P (=primitiv) kubisch I (=raumzentriert) (bcc) kubisch F (=flächenzentriert) (fcc) tetragonal P tetragonal I orthorhombisch P orthorhombisch C (=mit Gitterpunkten auf zwei Flächen) orthorhombisch I orthorhombisch F monoklin P monoklin C triklin hexagonal (hcp) trigonal (rhomboedrisch)

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Kristallgitter

Oben: Schichtgitter mit drei und einer -Bindung, (el. leitend, Schmiermittel, weich)Darunter die Diamantstruktur mit vier gleichartigen Bindungen (Isolator, Schleifmittel, hart)

Das Zinkblende Gitter: AB-StrukturIn einem flächenzentriert-kubischen Gitter ist in Diagonalpositionen (1/4) eine zweite Atomsorte eingebaut.Ein Elementar-Würfel hat an den Ecken 8 Nachbarn, an den Seitenflächen nur einen.Somit entfallen auf eine Elementarzelle:(8 x 1/8 + 6 x ½) = 4 Atome von der einen Sorte und weitere 4 von der anderen.Viele III-V –Halbleiter wie GaAs kristallisieren in diesem Gitter, das in das Diamantgitter übergeht, wenn nur eine einzige Sorte Atome vorliegt zB. C, Si, Ge

Die Strukturen lassen sich in vielen Fällen rein geometrisch aus den Atomgrößen und Koordinationszahlen vorhersagen.

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Kristallgitter

Mit Millerschen Indizes beschreibt man Netzebenen und Richtungen

im Kristallgitter

Die Millerschen Indizes, mit denen man die kristallographischenEbenen bezeichnet, sind im Grunde die Normal-Vekoren der Gitterebenen. Es gibt keine Normierung auf Einheitsvektoren, es wird auf Ganzzahligkeit geachtet, denn das Kristallgitter ist auch eine ganzzahlige Fortsetzung der Elementarzellen.

Beispiel: Der Normalvektor n bezeichnet diese Ebene und alle parallelen Ebenen dazu mit demselben Vektor. Er ergibt sich aus dem Kreuzprodukt zweier nicht paralleler, in der Ebene liegender Vektoren. Hier sind dies z.B. Vektor (a-c) und (b-c) .

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Kristallite

Feldionenmikroskopische Abbildung einer Drahtspitze aus Tantal, Kubisch flächenzentrierte Struktur, die zentrale Facette ist eine (110-Ebene). Im linken Bild ist links oben eine Korngrenze erkennbar. Jeder Ring bedeutet eine Stufe in Höhe von einigen zehntel Nanometern. Die hellen Punkte markieren einzelne Atome. Eine Weiterentwicklung dieser Mikroskoptechnik führte 30 Jahre später zum Physik-Nobelpreis für Binning und Rohrer, (Rastertunnelmikroskop). Diese Ehrung blieb dem mittlerweile verstorbenen Wissenschaftler und Erfinder E.W. Müller zu Lebzeiten (aus politischen Gründen?) versagt.

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Periodensystem der Elemente

Halbleiter

26.04.23

Halbleiter

Potenzialtrichter des einzelnen Atoms mit diskretenEnergieniveaus. Anziehungskraft F = 1/40* q²/r² Epot(r) ~ 1/rDie Null-Linie wird liegt dort, wo sich Kern und Elektron nicht mehr anziehen, also im Unendlichen.( Epot = Integral über der Coulomb-Kraft)Gebundene Elektronen haben negatives Potential. Die Elektronen füllen den Potenzialtrichter von unten her an. Kein Zustand darf zweimal auftreten. Über den besetzten Niveaus gibt es noch viele diskrete, die bei Anregung eingenommen werden können.Die Energie, die notwendig ist, das oberste Elektron des Grundzustands herauszunehmen, nennt man Ionisierungsarbeit.

Durch die gegenseitige Nähe der ionisierten Atomrümpfe werden die Potentialbarrieren zwischen den Atomen abgesenkt, die Elektronen gelangen in den Einflussbereich der anderen Ionenrümpfe. Die Elektronen werden über den ganzen Festkörper verbreitet und sind nicht mehr einzeln lokalisierbar. Die Energieniveaus müssen sich aufspalten (Pauli-Prinzip). Aus den einzelnen Niveaus entstehen Bänder, die verbotenen Bereiche dazwischen werden schmäler und können sogar verschwinden.

In einem vollen Band können sich die Elektronen nicht bewegen, halb- oder weniger gefüllte Bänder bewirken dagegen gute Leitfähigkeiten.

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HalbleiterDas oberste volle Band wird Valenzband genannt, die energetisch darüber liegenden Bänder, nur teilweise besetzt oder überhaupt leer, heißen Leitungsbänder.

Bei anderen Festkörpern, bei denen zwischen dem letzten vollen Band und dem darüber liegenden erlaubten, aber nicht besetzten Energieband ein größerer Abstand vorliegt, können die Elektronen den leitenden Zustand erst nach Zufuhr eines größeren Energiebetrags erreichen. Sie müssen den Abstand zwischen den Bändern, das „gap“ überspringen. Dieses beträgt je nach Festkörper zwischen einigen 1/100 eV und 10 eV. Aus der thermischen Energie des Kristallgitters kann ein Elektron eine Energie von etwa E th = kB*T übernehmen. Eth = 8,617*10-5eV / K *293 K ~ 0,025 eVAber nicht jedes Elektron besitzt diese thermische Energie, sie ist vielmehr nach einer Wahrscheinlichkeitsfunktion, der sog. Fermifunktion, höher oder niedriger.

Aus einem Niveau des Atoms werden 6*1023 Niveaus pro mol beim Festkörper

Bei Metallen, die etwa ein Elektron pro Metallatom zum gemeinsamen „Topf“ der Elektronen beisteuern , pflegt man die Vorstellung eines Elektronensees. Dessen oberstes gefülltes Energieniveau (Fermi-Niveau) liegt bei „ruhiger See“, d.h. bei tiefsten Temperaturen um WA = Austrittsarbeit tiefer als der Außenbereich. Bei höheren Temperaturen wird die Oberfläche „unruhiger“, gibt es zahlreiche Elektronen, die sich auch in höheren erlaubten Bereichen aufhalten. Das sind Energiezustände, die ohne weiteres Hindernis in kleinsten Schritten von 10-23 eV erreicht werden können.

1

1 exp( )( )

F

B

e E Ek T

f E

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Halbleiter

Metall: Potenzialtopf, Ferminiveau, Austrittsarbeit

Energieverteilung der Elektronen im Metall. Elektronen folgen einer Fermiverteilung, d.h. die oberen Niveaus sind zahlreicher als die unteren, sie nehmen mit n² zu. Bei tiefer Temperatur, genauer bei 0 K sind alle Niveaus bis zur Obergrenze, dem Ferminiveau besetzt, darüber sind leere Niveaus.Nur Elektronen, die eine größere Energie als die Austrittsarbeit WB besitzen, können den Topf verlassen.

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Halbleiter

Metall: Potenzialtopf, Ferminiveau, Austrittsarbeit

26.04.23

Die elektrische Leitfähigkeit ist die wichtigste Größe zur Klassifizierung der Stoffe in der Elektrotechnik.Bei einem Metall sind die Elektronen zwar an den Festkörper gebunden, jedoch als stehende Welle über das gesamte Gitter verteilt. Kommt ein Elektron hinein, so kann mit dieser Energie wieder eines auf der anderen Seite austreten.

Halbleiter

Eine genaue Abgrenzung von Nichtleitern und Halbleitern (Eg = ca. 3 eV) hat keine besondere physikalische Bedeutung, sondern ist mehr eine praxisbezogene Unterscheidungsgröße.

Wenn ein Halbleiter zusätzliche Fremdatome eingebaut hat, so können sich daraus Energieniveaus in der verbotenen Zone ergeben. Gerade die sind es, die die wichtigen Bauteileigenschaften der Halbleiter erzeugen.

26.04.23

BändermodellDonatoren, Akzeptoren, Kontaktpotenzial

Halbleiter

26.04.23

Bändermodell, direkter und indirekter Übergang

Halbleiter

Das Potenzialtopfmodell ist eine sehr grobe Vereinfachung, kann jedoch viel zum Verständnis der elektronischen Vorgänge beitragen.Die Feinheiten kommen erst heraus, wenn man die „elektronische Feinstruktur“ der Bänder zusammen mit der Lage, Größe und den speziellen Eigenschaften der Atome und Störstellen im Gitter betrachtet.

Das Gitter ist nicht isotrop, sondern besitzt ausgezeichnete Richtungen und die Elektronenwellen verlaufen mit unterschiedlichen Energien in unterschiedliche Richtungen ( Impulsvektor k ) im Kristallgitter.

Bei einem Übergang vom Leitungsband zum Valenzband muss neben der Energie (=Wellenlänge der ev. abgegebenen Strahlung) auch der Impuls angepasst werden, was den Vorgang deutlich verlangsamt.

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Bändermodell, direkter und indirekter Übergang

Halbleiter

26.04.23

Bändermodell, pn-Übergang mit Spannung

Halbleiter

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Diode als Bauelement, Kennlinien

Halbleiter

26.04.23

Transistor als Bauelement, Kennlinien

Halbleiter

Siehe Simulationsprogramm

Diese Messwerte G) werden halblogarithmisch über 1/T aufgetragen und man berechnet aus der Steigung den Bandabstand oder die Energieniveaus der Störstellen im Gap im Falle eines dotierten Halbleiters.

26.04.23

Die elektrische Leitfähigkeit hängt von der Zahl der Ladungsträger ab, wie viele negative Elektronen im Leitungsband sind und wie viele Löcher oder Defektelektronen im Valenzband zur Verfügung stehen. Auch deren Beweglichkeit in den Bändern ist von Bedeutung.Nimmt man an, dass von allen Elektronen, die ins Leitungsband gelangen, je ein Loch im Valenzband zurückbleibt, so kommt man zum Ausdruck für die Anzahl ni der intrinsischen (ohne Dotierung, eigenleitenden) Ladungsträger:

Halbleiter

* *exp( )gi c VB

En N N

k T

0( ) ( )*exp( )gB

EG G

k T

Somit steigt die Leitfähigkeit mit zunehmender Temperatur, weil der Exponent gegen Null und somit die Exponenzialfunktion gegen 1 geht.Da die Leitfähigkeit bzw. der Widerstand leicht gemessen werden kann erhält man:

Nc /cm³ Nv /cm³ ni /cm³

Si 2,73*1019 1,08*1019 6,71*109

Ge 1,04*1019 5,42*1018 2,14*1013

GaP 3,33*1019 9,96*1018 1,892*100

GaAs 4,25*1017 9,96*1018 2,25*106

InSb 3,98*1016 1,17*1019 2,10*1016

Ladungsträgerkonzentration bei 300K für verschiedene HL,Nc, Nv sind die Zustandsdichten im Leitungsband und Valenzband

26.04.23

TemperatursensorenHallsensorDiodeBipolar-TransistorFeldeffekttransistorThyristor

Halbleiter- Bauelemente

1 1( ) ( )*exp[ *( )]NN T TR R B

2( )( ( )*[1 ( ) ( ) ]N N NR R

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Halbleiter

Hall-Effekt:Ein elektrischer Strom fließt von links nach rechts durch das gezeigte Leiterstück. Die Ladungsträger seien hier Löcher. Diese bewegen sich von links nach rechts in Stromrichtung I.Von vorne nach hinten liegt ein Magnetfeld mit der Flussdichte B. Die pos.Ladungsträger erhalten eine nach oben gerichtete Kraft, die Lorentzkraft F : (qe ...Elementarladung, v ... Driftgeschwindigkeit, E …el. Feld)

*( )eF q E v B

Das führt dazu, dass sich an der oberen Fläche positive Ladungsträger ansammeln und unten negative. Die Ladungen werden so lang zur Seite abgelenkt, bis das durch sie entstehende senkrechte Feld so groß ist, dass es die Wirkung des Magnetfelds gerade aufhebt und der Strom gerade durchgeht. Damit ist F=0 und E = v .B Setzt man ein für E = UH / a und für v = l / t und I = Q/t = (qe*P) / t = (qe*p*V ) / t = (qe*p)*A*l / t = (qe*p)*(a*b)*v(V…Volumen, P …Anzahl der Ladungen, p = P/V … pos. Ladungsträgerdichte. Q… Ladung, t … Zeit , V=b*d*l … Volumen),

erhält man schließlich die messbare Hallspannung UH

1 . .* *H He

I B I BU Rq p b b

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HalbleiterRh ist die Hallkonstante. RH=1/(qep) für Löcher, RH = -1/(qen) für Elektronen. Aus der Messung von UH, I und B lassen sich somit die Anzahl der Ladungsträger pro cm³ bestimmen.Der durch R = UH/ I definierte „Hallwiderstand“ R = B/(b*n.qe) kann zur Messung der Flussdichte verwendet werden.Klaus von Klitzing bekam 1985 den Nobelpreis für die Entdeckung, dass in einer zweidimensionalen Struktur bei tiefen Temperaturen und hohen Feldern der Hallwiderstand nicht kontinuierlich mit B anwächst, sondern in Stufen von h/qe² . Der quantisierte-Hall-Effekt liefert somit ein Widerstandsnormal von 25813 Ohm, das nur von Naturkonstanten abhängt.