Energiebänder im Festkörper

Inhalt

Klassisch:

• Energieniveaus eines freien Atoms

Quantenmechanik:

• Elektronen eines Metalls: quantenmechanische Gesamtheit

• Das Bändermodell für– Isolator– Halbleiter– Leiter

Freies Atom

• Energieniveaus eines freien Atoms nach dem Bohrschen Atommodell– Aufspaltung der Energieniveaus durch

Kopplung bei Annäherung eines zweiten Atoms

Energie der Elektronen

0 2 4 6 8 10 12 14 16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0mal 0,0529 [nm]

Abstand vom Kern

Bindungsenergie

K, n=1

M, n=3L, n=2

Energieaufspaltung bei Annäherung von zwei Atomen

0 2 4 6 8 10 12 14 16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

016 14 12 10 8 6 4 2 0

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

K, n=1

M, n=3

L, n=2

Kristalline Festkörper

Link zu einem Periodensystem mit Information zur Struktur:: http://www.chemicool.com/

Elektronen in kristallinen Materialien

Die Elektronen der dicht gepackten Atome werden als ein einziger „gebundener Zustand“ aufgefasst

• Anstelle der lokalisierten Elektronen treten stehende Wellen im „Kasten“– Die Wellenlängen sind Teiler der doppelten

Kastenlänge • Anstelle der Energie der Elektronen in

Abhängigkeit vom Bahnradius tritt die Energie der Wellen in Abhängigkeit von der Wellenzahl

Berechnung mit der Schrödingergleichung für das Kastenpotential

1/mWellenzahlen „die in den Kasten passen“

1 JEnergie zur Welle mit Quantenzahl n

Wellenzahl und Energie

• Was kostet die Anregung einer Welle mit Wellenzahl n ?

nL

kn

nEmL

hn

2

22

8

Folgt aus der Lösung der Schrödingergleichung für das „Kastenpotential“

Wellenfunktionen für k=1,2,3,4

Energie En

Quantenzahl n

0 1 2 3 4-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

X Axis Title

Y A

xis

Titl

e F1 F2 F3 F4

xn

2)(xn Aufenthaltswahrscheinlichkeit

eines Elektrons in einem Kasten für n=1,2,3,4. Die Farbstärke ist proportional zur Wahrscheinlichkeit, das Teilchen in Bereich der Abszisse anzutreffen

x

W4=16

W3=9

W2=4W1=1

Umrechnung der Einheiten des Modells auf atomare Größen: x = 4 0,17 nm, W = 1 13,6 eV

Das „Elektronengas“

Der Kristall bildet den „Kasten“, die Elektronen im Kristall werden als Wellen darin untergebracht

Eigenschaften der Elektronen im Kristall

• Es gilt die de Broglie-Beziehung: Eine Welle mit Wellenzahl k entspricht einem Teilchen mit Impuls p=ħ·k

• Elektronen sind „Fermionen“: Wellenzahl und Energie zur Wellenzahl können für eine Spin-Richtung nur einmal vergeben werden

Daraus folgt das Bauprinzip:• Der Festkörper (zunächst: „lineare Kette“) habe die

Länge L, er enthalte N Elementarzellen mit 2N Elektronen

• Man beginnt mit der Wellenzahl k1 = π/L und ordnet sie zwei Elektronen mit unterschiedlichem Spin zu

• Man erhöhe die Wellenzahl bis kN = N·π/L

Energie W

Energie der Elektronen im freien He-Atom

K

L

Energie-niveau des

freien Atoms

Energie W

Energie der Elektronen bei Annäherung von zwei Helium Atomen

K

L

Energie-niveau des

freien Atoms

2-fach Aufspaltung

durch Kopplung an die Elektronen des Nachbar-

Atoms

Energie W

Energie der Elektronen im Helium Kristall aus vier Zellen

K

L

Energie-niveau des

freien Atoms

4-fach Aufspaltung

durch Kopplung

an 4 Atome im

Kristallgitter

Energie W

Elektronen Dichte Wellen im Helium Kristall aus vier Zellen

K

L

12

3

4

Band K ist mit 2N Zuständen voll besetzt

Wellenzahl n

Übergang von He mit zwei Elektronen zu Li mit drei Elektronen: Einbau von vier weiteren Elektronen in den Kristall mit vier Elementarzellen

Kristall aus He-Atomen

Kristall aus Li-Atomen

Besetzung mit Atomen

Vier weitere Elektronen benötigen weitere Wellenzahlen 5,6,7,8

Energie W

Energie der Elektronen im freien Li-Atom

K

L

Energie W

Energieaufspaltung im Lithium Kristall aus vier Zellen

K

L

Band K ist mit 2N Zuständen voll besetzt

12

3

4

5

6

7

8Band L ist mit N Zuständen halb besetzt

Wellenzahl n

Energie W

Energieaufspaltung im Lithium Kristall aus vier Zellen „Energetisch optimiert“

K

L

Band K ist mit 2N Zuständen voll besetzt

12

3

4

5

6

7

8Band L ist mit N Zuständen halb besetzt

Wellenzahl n

Energie W

Freie Energieniveaus im Lithium Kristall aus vier Zellen

K

L

12

3

4

5

6

7

8

Band K ist mit 2N Zuständen voll besetzt

Band L ist mit N Zuständen halb besetzt

Diese Elektronen können Energie aufnehmen: metallische Leitung

Energie W

Bei vielen Zellen bilden die N (Anzahl der Zellen) Niveaus praktisch ein Kontinuum

n=1

n=2

Zusammenfassung

• In dicht gepackten Kristallen erscheinen die Valenzelektronen aufgrund ihrer dichten Packung als quantenmechanische Gesamtheit, jedem Elektron wird eine Welle zugeordnet – Lösung der Schrödingergleichung für

Elektronen im „Kasten“ – Elektronen sind Fermionen: Jeder Zustand

kann nur einmal vergeben werden – Ein „Band“ enthält 2 N Zustände, N ist die

Anzahl der Elementarzellen im Kristall

Energie W

finis

n=1

n=2