1 4. Symmetriebrechung 4.1. Stationäre Störungen a)Symmetrie Entartung von Energieniveaus Beispiel...
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1
4. Symmetriebrechung4.1. Stationäre Störungena) Symmetrie Entartung von Energieniveaus
Beispiel 1: Harmonischer Oszillator in zwei Dimensionen, y,xr
222m rωrV
Rotationssymmetrie
ω1nnωnωnE yx21
y21
xnn yx
yxn nnnmitE hoher Entartungsgrad
Symmetriebrechung:
yx22
y2m22
x2m ωωmityωxωrV
y21
yx21
xnn ωnωnEyx
Beispiel 2: Wasserstoffatom, Rotationssymmetrie rVrV
nmn EE , Spezialfall: nnr1 EErV
„zufällige“ EntartungEntartung durch Symmetrie
2
b)Entartung von Energieniveaus Symmetriei.a.
y21
yx21
xnp,nq ωnpωnqEyx
xyyxyx21 ωqnωpnωω
Beispiel:
yx22
y2m22
x2m ωωmityωxωrV
ℕ q,p,q
p
ω
ωaber
y
x
yyxxyx21 ωpnωqnωω
xy np,nqy2
1xx2
1y Eωnpωnq
3
Ungestörte Lösungen:
rψErψHmitrψ nnn0n
Entwicklung in ( Störungsreihe ):
1k
kn
knnn
1k
kn
knnn ψδλψψ~ψ,EδλEE
~E
c) Stationäre, kleine Störung: zeitunabhängige Störungsrechnung
Ungestörte Schrödingergleichung:
rVΔHmitψEψH 0m200
2
Kleiner stationärer Störoperator:
VλHH,0λmitrVλ 0
ψ~E~
ψ~H nnn ψ~E~
ψ~H nnn
4
Strategie der Störungsrechnung ( Theorie VL )
2n
22n
21n
1nnn ψδλEδλψδλEδλψ,E
„Störungsrechnung 1. Ordnung“
Die Energieverschiebung in erster Ordnung Störungsrechnung ist gleich dem Erwartungswert des Störpotentials, berechnet mit der
ungestörten Wellenfunktion.
Tafelrechnung
VλrdrψrVλrψEδλ n
3nn
1n VλrdrψrVλrψEδλ
n
3nn
1n
bei nicht-entarteten Eigenzuständen n
1k
kn
knnn
1k
kn
knnn ψδλψψ~ψ,EδλEE
~E
5
Komplikation: Entartung p: entartete QZ
np, n fest, spannen den entarteten Unterraum auf.
ψEψH pnnpn0 ψEψH pnnpn0
Frage: Welche Basis passt zur Störung? Was ist die gute QZ p?
Gute QZ p Erhaltungsgröße zum gestörten Hamilton-Op.
Tafelrechnung
Für entartete Zustände np (entartet in p) sind die orthonormalen Basisfunktionen np im entarteten Unterraum so zu wählen, dass die Störmatrix diagonal ist. Die Energieverschiebungen sind (bei beliebiger Wahl der Basis) gleich den Eigenwerten der Störmatrix.
1pnEδλ
δEδλVλ qp1pnpq δEδλVλ qp1pnpq
pnVλqnrdrψrVλrψVλ 3pnqnnpq pnVλqnrdrψrVλrψVλ 3pnqnnpq
Störmatrix:
Bedingung für die guten QZ:
Dann: VλrdrψrVλrψEδλ pn
3pnpn
1pn VλrdrψrVλrψEδλ
pn
3pnpn
1pn
6
4.2. Der normale Zeeman-EffektH-Atom im äußeren Magnetfeld B
z-Achse
B
H-AtomH-Atom
B 0
3-D Drehsymmetrie im Raum
B 0
1-D Drehsymmetrie um z-Achse
partielle Symmetriebrechung
er IA
L
n
Störpotential ( klassisch ):e-Bahnbewegung magnetisches Moment eμ
2
rπ2v
e
rπA
eνeI
nAIAIμ
nrveμ 21
e
LμnvrmprLem2
eee
Bahndrehimpuls:
BLBLBμV zm2e
m2e
e ee
Störpotential:
7
Störungsrechnung 1. Ordnung
BmLEδee m2
e
mnzm2
Bemn
m
Aufhebung der m-Entartung BμmEδEδ Bmmn BμmEδEδ Bmmn
Bohrsches Magneton: 124
eB TJ1027,9
m2
eμ
B
eI
L
r
z
Experimentelle Beobachtung: B 0 B 02p
1s m 0
m 0m 1
m 1
E
1Δm 0Δm1Δm
Spektrallinien spalten auf! Problem: Theorie passt quantitativ nur schlecht!
BLV zm2e
eKlassisches Störpotential:
Quantenmechanisch: zm2Be LV
e
8
B 0 B 02p
1s m 0
m 0m 1
m 1
E
1Δm 0Δm1Δm
eI
L
r
zB
m 0: existiert nicht (keine Dipolstrahlung entlang Dipolachse)m 1: Photonen sind rechts / links zirkular polarisiert
Beobachtung des Photons in -RichtungB
Beobachtung des Photons senkrecht zur -RichtungB
m 0: Photonen sind linear polarisiert in -RichtungB
m 1: Photonen sind linear polarisiert senkrecht zur -Richtung
B
m 1: e-Kreisschwingung -Strahlungm 0: e-Schwingung ∥ -Strahlung
wird vom Photon übernommenmΔLΔ z B
B
9
B 0 B 02p
1s m 0
m 0m 1
m 1
E
1Δm 0Δm1Δm
eI
L
r
zB
m 1: e-Kreisschwingung -Strahlungm 0: e-Schwingung ∥ -Strahlung
wird vom Photon übernommenmΔLΔ z B
B
Experimenteller Befund: Strahlungsübergänge mit m 1 finden nicht statt, bzw. sind stark unterdrückt (höhere Multipolübergänge).
Folgerung: Photonen tragen Eigendrehimpuls ( Spin) von . 1
Theorie hierzu: Zeitabhängige Störungstheorie; Quantenfeldtheorie
Bemerkung: Spin ist rein quantenmechanisches Konzept. Es gibt kein klassisches Analogon.
10
4.3. Relativistische Korrekturen
Störung (klassisch):
2e
2242ekin cmcpcmE
2ecm
p2e cm1cm 22
e
2
2cm
p81
cm
p21
22e
2
22e
2
1
23
e
22
e
2
cm8
pm2p
0kinE
23
e
22
cm8
pV
ΔV 2
cm8 23e
4 ΔV 2
cm8 23e
4Störoperator (QM)
ip
• e-Geschwindigkeit abhängig von ℓ ℓ-Entartung
• Orientierung von nicht relevant m-Entartung bleibt erhalten
relativistische Massenzunahme
L
11
Störungsrechnung 1. Ordnung mit Wasserstoff-Wellenfkt. ( Lehrbücher)
1
n4
3
n
αZEEδV
21
22
nnmn
1
n4
3
n
αZEEδV
21
22
nnmn
137
1107,297353
cεπ4
eα 3
0
2
Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante
12
1
n4
3
n
αZEEδV
21
22
nnmn
1
n4
3
n
αZEEδV
21
22
nnmn
2
2
n n
ZRyE
1
n4
3
n
Zα1
n
ZRyE
21
22
2
2
n
1
n4
3
n
Zα1
n
ZRyE
21
22
2
2
n
Beispiel: Z 1 ( Wasserstoff )
1
01λ1
401
cm05,1δ
eV103,1Eδ
eV101Eδ
eV104Eδ5
12
502
nicht mehr entartet!
Generell: Der kleine Wert von rechtfertigt Störungsrechnung.
α10 25
Ry
Eδ n O α10 25
Ry
Eδ n O≲
13
4.4. Der Spin des Elektrons4.4.1. Das Stern-Gerlach-Experiment (1921)
BN
S
Ag-Strahl
zz ezBB
inhomogen
Ofen
AgAg-Dampf BlendeGlasscheibe
z
x
Ag-Strahl
N
S
Magnet
0
z0
Ag-
Dic
hte
B 0B↗
B↗↗
14
BN
S
Ag-Strahl
zz ezBB
inhomogen
Erklärung: Ag-Atome haben magnetisches Moment
zB
zzzzμBμF
μ
Problem: Grundzustand des Ag-Atoms ist s-Zustand 0μ
Hypothese: (Goudsmith, Uhlenbeck, 1925)
Elektronen tragen Eigendrehimpuls bzw. Spin magn. Moments
Sμ
Bemerkung: Spin ist rein quantenmechanisches Konzept. Es gibt kein klassisches Analogon.
z0
Ag-
Dic
hte
B 0B↗
B↗↗
15
Quantenmechanischer Ansatz analog zum Bahndrehimpulsoperator:
s,,1s,sm,ms1sss SSz22
Bahdrehimpuls:
Ansatz: Magnetisches Spinmoment des Elektrons: sγμ S
sγμ S
gyromagnetisches Verhältnis
Lμ
1925 war bekannt (aus Untersuchung von Mehrelektronen-Atomen): Das magnetische Moment des Ag-Atoms wird nur von einem Valenzelektron getragen. Die übrigen magnetischen Momente kompensieren sich ( abgeschlossene Schalen).
Folge: Kraft im Magnetfeld:
zB
SzB
zzB
Szzzz
zγmsγμF
16
s,,1s,sm,ms1sss SSz22
• Teilchen mit halbzahligem Spin heißen Fermionen.
• Teilchen mit ganzzahligem Spin heißen Bosonen.
Fazit: Beobachtung von zwei Stern-Gerlach-Peaks 2s 1 2
21
S21 ms Das Elektron ist ein Spin-½-Teilchen.Das Elektron ist ein Spin-½-Teilchen.
BN
S
Ag-Strahl
zz ezBB
inhomogen
z0
Ag-
Dic
hte
B 0B↗
B↗↗
sγμ S
sγμ S
z
BSz
zγmF
17
Aufwachen!
Sehr wichtig!
Das Vektormodell des Elektronen-Spins:
z
x
y
Kugelradius 31ss 21
21
21
Sm
21
sm
s
21
s
s
21
z
2432
s
s
21
z
2432
s 21 s 21
18
4.4.2. Der Einstein-de-Haas-Effekt (1915)Messung des gyromagnetischen Verhältnisses S des Elektronenspins.
Feldspule
Eisenzylinder
Torsionsfaden
Spiegel
z
Lichtquelle
Skala
Magnetfeld in Feldspule so groß, dass Eisenzylinder bis zur Sättigung
magnetisiert.
Alle magnetischen Spinmomente voll in z-Richtung ausgerichtet.
Magnetfeld in Feldspule so groß, dass Eisenzylinder bis zur Sättigung
magnetisiert.
Alle magnetischen Spinmomente voll in z-Richtung ausgerichtet.
19
Feldspule
Radius R Masse m
Richtmoment Dr
Spiegel
z
Betrag der Magnetisierung:
zSμNM N Spins im Zylinder
Experiment: Umpolen a) messbar
zz SS μNμN2MΔ
zzz LNsN2SΔ b)
Änderung aller Elektronenspins
Drehimpuls-Übertrag auf Zylinder
Anfangs-Rotationsenergie:
2
2z
221
2z
z
2z
rot Rm
SΔ
Rm2
L
I2
LE
c) ETorsion bei Maximalausschlag :
rot2
r21
Torsion EDE 22
r21
z RmDSΔ messbar
Fazit:
zz
S
z
SS SΔ
MΔ
SN2
μN2
S
μγ zz
20
Experimentelles Resultat:
• Spin des Elektrons: μ
2m
e γ B
eS
μ
2m
e γ B
eS
• Bahndrehimpuls des Elektrons:
4.2. Lm2
eμ
ee
2
γμ
m2
e γ SB
eL
2
γμ
m2
e γ SB
eL
Genauere Messung ( Elementarteilchenphysik) 2,0023g S 2,0023g S
2g S Landé-Faktor
sμ
gμ BSS
s
μgμ B
SS
μg γ B
SS
μg γ B
SS
Schreibweise: L
μμ B
L
Lμ
μ BL
μ
γ BL
μ γ B
L
Relativistische Quantenmechanik ( Dirac-Gleichung) 2g S Quantenfeldtheorie ( Quantenelektrodynamik) 2,0023g S 2,0023g S !
21
4.4.3. Die FeinstrukturWechselwirkung zwischen und ,,Spin-Bahn-Kopplung”Lμ
Sμ
Folge: ,,Feinstruktur-Aufspaltung” der entarteten Wasserstofflinien
LsBμV LS
Energie von in :Sμ
LB
Volle relativistische Rechnung ( z.B. Jackson):
Lsrmπ8
eZμV
32e
20
Ls
rmπ8
eZμV
32e
20
Klassisches Modell:
r
e
Kernv
I
Elektron-Ruhesystem
Biot-Savart LvrrvBem
1L
Analogon in QM:
Lsrmπ8
eZμV
32e
20
Ls
rmπ8
eZμV
32e
20
Störungsrechnung 1. Ordnung:
1
Lsrmπ8
eZμEδ
232e
220
1Ls
rmπ8
eZμEδ
232e
220
32
e
220
rmπ8
eZμa
Abkürzung
22
1
LsaEδ 2
1LsaEδ
2
32e
220
rmπ8
eZμa
Gesamtdrehimpuls: ( Erhaltungsgröße) sLj
ˆ
sLj
ˆ
mj
1jjjˆ
jz
22
mj
1jjjˆ
jz
22
222
2122
22 sLj
ˆLsLs2sLsLj
ˆ Trick:
1ss11jjsLjˆ
Ls 221222
21
¾ 11jjEδEδ 4
32a
j 11jjEδEδ 43
2a
j unabhängig von mℓ , ms , mj
nicht einzeln erhalten, keine guten QZ mehr
Zu klären: Welche Werte können die neuen QZ j , mj annehmen?
bzgl. welcher guten QZ?
23
Aufwachen!
Sehr wichtig!
Drehimpulsaddition im Vektormodell: (formale Behandlung Q.M. II)
x
ms
z
y
s
L
mL
und ungekoppelt (einzeln erhalten)
mL, ms haben eindeutige Werte!
L
s
j
Hier ( s ½ ): j 21 j 21
Erreichbare Werte für j :
s,,1s,sj s,,1s,sj
1jj 1ss
1
Wert j ist nicht eindeutig!
24
Drehimpulsaddition im Vektormodell: (formale Behandlung Q.M. II)
z
x
yj
jm
Jeder Beitrag zu ( j , mj ) erfüllt: mj mL ms
Aber: mL, ms haben keinen eindeutigen Wert!
Hier ( s ½ ): j 21 j 21
Erreichbare Werte für j :
s,,1s,sj s,,1s,sj
1jj 1ss
1
und gekoppelt ist erhaltenL
s
sLj
s
L
25
11jjEδEδ 43
2a
j j 21Folgerung:
jfalls,1jfalls,
2
aEδ
2121
j
Zeeman-Effekt des Spin-moments im Magnetfeld
des Stroms der Bahn-bewegung des Elektrons
Beispiel: p
ℓ 1
23j
21j a
2a 23p
21p
Nomenklatur:
jpℓ
Spezialfall: ℓ 0 j ½ eindeutig; keine Aufspaltung, nur Verschiebung!
32e
220
rmπ8
eZμa
Bleibt zu untersuchen: klassischer Faktor
1n
αZE
r
1
mπ8
eZμa
21
2
n
n32
e
220
quantenmechanischer Erwartungswert
26
Zusammenfassung: jfalls,jfalls,1
n2
αZEEδEδ
21121
11
21
22
njn
Verschiebung ist von der Ordnung 2, genauer En Z2 2 n1. Diese Größenordnungen haben auch die relativistischen Korrekturen (4.3.):
1
n4
3
n
αZEEδ
21
22
nrel
n
1
n4
3
n
αZEEδ
21
22
nrel
n
Summe beider Beiträge ergibt sowohl für j ℓ ½ als auch für j ℓ
½: Feinstrukturaufspaltung
213
24
21
22
nFS
jn j
1
n4
3
n
αZRy
j
1
n4
3
n
αZEEδ
• Entartung in ℓ bleibt bestehen ( zufällig).• Nicht der Fall bei Mehrelektronatomen ( kein reines 1r-Potential ).• Elegantere Herleitung: Dirac-Gleichung ( e relativistisch, Spin-½)
27
s (ℓ 0)
p (ℓ
1)
d (ℓ
2)
n 1
n 2
n 3
j
1
n4
3
n
αZRy
j
1
n4
3
n
αZEEδ
213
24
21
22
nFS
jn
j
1
n4
3
n
αZRy
j
1
n4
3
n
αZEEδ
213
24
21
22
nFS
jn
Termschema des realen H-Atoms (Feinstruktur stark übertrieben):
j 21 j 21
1s½
E0
Ry*
2s½
3s½
2p½
23p2
3p½
23p3
23d3
25d3
eV108,1 4
eV1056,0 4
eV102,0 4
28
4.4.4. Der anomale Zeeman-Effekt BμmEδ Bm BμmEδ Bm Nomaler Zeeman-Effekt ( 4.2.):
Experimentell nur bestätigt für Atome mit: 0S 0S sS Elektronen
i
sS Elektronen
i
Grund: Wechselwirkung zwischen magn. Spinmoment und B-FeldSμ
Voraussetzung: Das B-Feld ist hinreichend klein, derart, dass die Wechselwirkungsenergie zwischen magnetischem Spinmoment und B-Feld klein gegen die Feinstruktur-Energieverschiebung ist. Wechselwirkungsenergie ist kleine Korrektur zur Feinstruktur.
QZ des ungestörten Wasserstoffatoms: n , ℓ , s ( ½) , j , mj
Gesamtdrehimpuls: sLjˆ
sLj
ˆ
Magnetisches Gesamtmoment:
sjˆ
s2LsgLμμμ BBB μμS
μsLj
29
sjˆ
s2Lμ BB μμj
sj
ˆs2Lμ BB μμ
j
Semiklassische Auswertung: (Vektormodell)
j
L
ss
s2L
ungestörtes Atom (B 0)
ist verschmiert auf Kegel um L
j
ist verschmiert auf Kegel um s
j
verschmiert auf Kegel um s2Lμ j
j
ist Erhaltungsgrößej
Gemittelt über den Kegelmantel bleibt nur die Komponente von in Richtung von :jμ
j
1jj
j
|j|
jemiteeμμ jjjjj
jjμμ j1jj1
j 2
jjsj3
B
1jj
μ
jsjj2
1jj
μ3
B
V für :zeBB
z2
1jj
Bμj jsjjBμV 3
B
jsjˆ
jˆ
V z2
1jj
Bμ3
B
jsj
ˆjˆ
V z2
1jj
Bμ3
B
QM
30
jsjˆ
jˆ
V z2
1jj
Bμ3
B
jsj
ˆjˆ
V z2
1jj
Bμ3
B
sLj
ˆ
sLj
ˆ
222
2122
22 Lsj
ˆsj
ˆsj
ˆ2sj
ˆsj
ˆL
Der alte Trick:
jLsjˆ
V z2
212
212
23
1jj
Bμ3
B
m11ss1jjV j21
21
23
1jjBμ
mj,sn
B
j
Resultat:
BμgmEδEδ Bjjmj,sn j BμgmEδEδ Bjjmj,sn j
1jj2
11ss1jj1
11ss1jjg 21
21
23
1jj1
j
Landé-Faktor:
31
QZ des ungestörten H-Atoms: n , ℓ , mℓ , s ( ½ ) , ms ( ½ )
s2Lμ Bμtot
eBB, z
s2LμBV zzBμ
totB
s2LμBV zzBμ
totB
Der umgekehrte Fall:
Voraussetzung: Das B-Feld ist hinreichend groß, derart, dass die Wechselwirkungsenergie zwischen magn. Spinmoment und B-Feld groß gegen die Feinstruktur-Energieverschiebung ist.
Die Wechselwirkungsenergie ist eine Störung des Atoms ohne Spin-Bahn-Kopplung ( und beide erhalten). Die Spin-Bahn-Kopplung ist eine kleine Störung dieses gestörten Atoms ( 2. Störung).
L
s
Bμm2mV Bsmsmn s
Bμm2mEδEδ Bsmm s
Paschen-Back-Effekt
32
Spektroskopische Notation:
Ln J1S2 Ln J1S2
z. B.
2321
JS
1L
4n P4 2
32
L, S, J QZ für Gesamtdrehimpuls-spin in Mehrelektronensystemen
33
D1
Beispiel: Die ,,diffusen“ Natrium-Linien D1 , D2
B0
anomaler Zeeman-Effekt
Paschen-Back-Effekt
D2
23P3 2
21P3 2
21S3 2
mJ
23212123
2121
2121
34
jg
32
jg
2g j
2mL
1
1
1
0
1
0
0
mS
21
21
2
21
21
21
mL2mS
1
0
1
1
1
0
21
21
21
0
34
4.5. Hyperfeinstruktur
Spektroskopie höchster Auflösung Die Feinstruktur-Linien des H-Atoms sind gespalten in Dubletts Hyperfeinstruktur (HFS)
Ursache: Atomkern positive Ladung Ze und endliche Ausdehnung
Neutron n Qn 0
Proton p Qp e
Atomkern
• Nukleonen (p oder n) tragen Bahndrehimpuls im Kern
• Nukleonen sind Spin-½-Teilchen• Nukleonen sind selbst zusammen-
gesetzt aus Spin-½-Quarks
Up-Quark u Qu ⅔ e
Spin-½
Down-Quark d Qd ⅓ e
Spin-½
Neutron (ddu)
Proton (uud)
Kerne tragen Kernspin , sehr komplex
zusammengesetzt aus Bahndrehimpulsen und
Spins der Konstituenten.
I
35
Kernspin: I 1III 22
1III 22
mI Iz mI Iz
I,,1I,Im ,3,,2,,1,,0I I25
23
21
Analog zum Elektron:
Magnetisches Kern-Moment: Iγμ KI
Iγμ KI
K gyromagnetisches Verhältnis
Q Z e ist positiv
Natürliche Einheit:
Kernmagneton μ105,45μμ B4
Bmm
m2e
K p
e
p
μ105,45μμ B4
Bmm
m2e
K p
e
p
Folge: HFS-Aufspaltung O(103)Feinstruktur-Aufspaltung
Schreibweise: gI Landé-Faktor
IgIγμ KμIKI
IgIγμ Kμ
IKI
36
Beispiel: Proton, Neutron Ip In ½
21
Kn,pzμ
n,pn,pz μgIgμ K
8263,3g 5855,5g
n
p
8263,3g 5855,5g
n
p
Kn
Kp
μ9132,1μ μ7928,2μ
Kn
Kp
μ9132,1μ μ7928,2μ
gp 2 , gn 0 Protonen und Neutronen sind zusammengesetzt
37
Das Störpotential des Kernspins (semiklassisch im Vektormodell):
Hüllenspin Magnetfeld am Kern j
1jj
jBeBB jjjj
Hülle besteht aus negativen Ladungen
222
21222 Ij
ˆFj
ˆIj
ˆI2Ij
ˆF
Der alte Trick: Ijˆ
F 1FFF 22
mF Fz
1II1jj1FFVEδ1jj
Bμg
21
jIHFSjKI
Aj Hyperfeinkonstante
Kopplung 2jKIj
KIjIjI
1jj
jˆ
IBμg
1jj
jˆ
BIμ
gBμV
und nicht mehr getrennt erhalten, sondern nur noch j
I
IjF
38
1II1jj1FFAEδ j21
HFS 1II1jj1FFAEδ j21
HFS A 1jj
Bμg
jjKI
A
1jj
Bμg
jjKI
Ungestörte Wellenfunktion der Hülle Magnetfeld Bj am Kern
Resultat: 2
jj |ψ|BA für
S-Zustände 0ψμgμgμA
2
nKIBe032
S
0ψμgμgμA
2
nKIBe032
S
Bemerkung: Kleine Magnetfelder führen zur Aufspaltung der HFS-Linien gemäß gF B B mF (anomaler Zeeman-Effekt). Wird die magnetische WW-Energie groß gegen die HFS-Aufspaltung, spalten die Linien gemäß gj B B mj gI K B mI auf (Paschen-Back-Effekt) . Die HFS kommt dann als kleine Zusatzaufspaltung gemäß Aj mI mj hinzu ( Ableitung aus Vektormodell für ).zz jIjI
Grundzustand des Wasserstoffatoms ℓ 0 , s ½ , j ½ , I ½ 1Foder 0FIjFIjIj
ˆF
A0FEδ 43
HFS A0FEδ 43
HFS A1FEδ 41
HFS A1FEδ 41
HFS
Beispiel:
39
Der Wasserstoff-Grundzustand 1 2S½: n 1 , ℓ 0 , j ½ , I ½
Erinnerung:
21jj2
11ss1jj1g
hier
j
2
1jj2
11ss1jj1g
hier
j
1ghier
F
½
sehr klein
Analog:
1FF2
1II1jj1FFgg jF
1FF2
1jj1II1FF
m
mg
p
eI
40B
0
anomaler Zeeman-Effekt
Paschen-Back-Effekt
HFS
21S1 2
21I
F 1
F 0
A43
A41
1
1
mF
0
0
mj mI mjmI
21 21 021 21 1
21 2121 21 0
1
BμBμg BBF
AAmm 41
Ij
AAmm 41
Ij
BμBμgm BBjj BμBμgm BBjj
Der Wasserstoff-Grundzustand
1 2S½: n 1 , ℓ 0 , j ½ , I ½
2g j 1gF
Bμgm
AmmBμgm
δE
KII
IjBjj
BackPaschen HFS
41
4.6. Die Lamb-VerschiebungQuantenelektrodynamik Quantenfluktuationen des Vakuums, z. B.
e ee
virtuelles Photon, Energie E
Verletzung der Energie-Erhaltung
t t t
t ΔEΔ ≲
Zitterbewegung des Elektrons
Verschmierung durch
Zitterbewegung
V(r)
r
klassischer Bahnradius
0
V Verschiebung der Energie-
niveaus, besonders bei inneren Orbitalen (wo das Potential V(r) stark gekrümmt ist)
42
eV1053,4 52s½ , 2p½
23p2eV1013,1 5
Beispiel: Wasserstoffatom
E0
Ry*
2s , 2p
1s
Schrödinger-Gleichung
eV108,1 41s½
Dirac-Gleichung (Feinstruktur)
1s½eV1035,3 5
Quanten-Elektrodynamik
21s2 2
eV1031,4 6
21p2 2eV1010,6 8
Exp. Test (Lamb & Retherford, 1947):
Messung des Übergangs2
12
1 p2s2 22
23p2 2
eV106,4 8
43
4.6. Der Stark-EffektExternes elektrisches Feld (homogen über Atom/Molekül-Volumen)
a) Klassich: Betrachte System ohne permanentes elektr. Dipolmoment
Kern QK Ze
Hülle QH Ze
elektr. Dipolmement: 0pel
Ungestörtes Atom:
Wechselwirkungsenergie: Eα~Eα~EpEV 2zz
indel
Eα~Eα~EpEV 2
zzindel
Die Wechselwirkungsenergie ist proportional zum Quadrat der Störgröße , d. h. es handelt sich um eine Störung zweiter Ordnung.E
induziertes elektr. Dipolmement:
Eα~pindel
zeEE
atomare Polarisierbarkeit (Tensor)
44
b)Quantenmechanisch: Elektronzustand sei nicht entartet!z
E
HüllenelektronOrbital:
Potentielle Energie des Hüllenelektrons im E-Feld:
rd|ψ|zEeEδzEeV 32
hat eine wohlbestimmte Parität: rψrψ
Folgerung: gerade Funktion 22
rψrψ
Folgerung: ist eine ungerade Funktion 2rψz
Folgerung: 0rdrψz 32
Ungestörte Atome besitzen kein elektrisches Dipolmoment. Ein äußeres elektrisches Feld führt zu keiner Energieverschiebung
in erster Ordnung Störungsrechnung.
(1) E E(2)Störungsrechnung
1. Ordnung
Störungsrechnung
2. Ordnungindelp
2E
quadratischer Stark-Effekt
45
c) Quantenmechanisch: Elektronzustand sei entartet! z
E
Hüllenelektronmit entarteten Orbitalen: p
Störmatrix der entarteten Orbitale p:
rdrψrψzEeVzEeV 3pqpq
Vqp i.a. ungleich 0, falls q, p ungleiche Parität haben
E
Folgerung: (Vqp) besitzt Eigenwerte 0
es gibt Energieverschiebungen linearer Stark-Effekt
0rdrψrψzcceerdrψ~zeep .a.i
s,q
3sqspqpz
32
pzpel 0rdrψrψzcceerdrψ~zeep .a.i
s,q
3sqspqpz
32
pzpel
Ursache: Die Eigenzustände zur Störmatrix sind Linearkombinatio-nen der entarteten Orbitale, , c , ψcψ~ pq
qqqpp ℂ
d. h. Mischungen von Orbitalen verschiedener Paritäten. Diese Eigenzustände besitzen daher i.a. nicht-verschwin-dende elektrische Dipolmomente: