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Übungen zum Kurs Wurzelgleichungen

Wurzelgleichungen150 thematisch geordnete Wurzelgleichungenmit ausführlichen Lösungen

7. Auflage vom 10.09.2007

Copyright by Josef Raddy

Übungen zum Kurs Wurzelgleichungen1.Wurzelgleichungen mit einer Wurzel

3 4

1 1 2 4 7 4 6 3

1 10 12 2 10 1 2 9 7

1 5 1 2 4 8 4 4

x x x – x

x – x x x

x – x – x x

= + + = + = + =

+ = + = − = + =

= = + = + =

1a) 1b) 1c) 1d)1e) 1f) 1g) 1h)1j) 1k) 1m) 1n)

2.Wurzelgleichungen mit zwei Wurzeln3 3

3 3

3 3 3 3

3 3

30 6 5 3 6 26 200 2 11

3 1 207 6 50 15 4 7 8

3 10 198 2 1 57 2 5 22

4 20 5 3 20 12 2 1 190

2 9 18 17 2

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

+ = − − = + + = ⋅ +

− = + − = − − = +

− = + + = + − = +

− = − − = + + = +

− = + + = −

2a) 2b) 2c)2d) 2e) 2f)2g) 2h) 2i)2j) 2k) 2m)2n) 2p) 10 2 1 13x x+ = +2q)

3.Wurzelgleichungen mit zwei Wurzeln und Absolutglied Dieser Typ führt normalerweise auf eine quadratische Gleichung, die mit der mit der pq-Lösungsformel lösbar ist. Unsere Aufgaben sind Sonderfälle, die ohne Anwendung der pq-Lösungsformel lösbar sind:

8 2 7 2 –1 4 11 3 0

3 10 7 3 1 2 5 7 –2

10 – 5 –3 5 – 3 32 2 20

33 2+5 – 6 – 2 10 10 10 10

= + + = + − − + + =

+ + + = − + = + − + =

− + = + = + + = +

+ = − = + − + + =

3a) 3b) 3c)3d) 3e) 3f)3g) 3h) 3i)3j) 3k) 3m)

x x – x x x x

x x x x x – x

x x x x x x

x x x x x x

4.Diverse Wurzelgleichungen die auf quadratische Gleichungen führen

1 1 1 7

1 5 4 2

x x x x

x x x x

+ = − − = −

+ + = + + =

4a) 4b)4c

Summe aus Wurzel, Linearglied und Absolutglie

)

d:

) 4d

3 3

2 7 6 1 6 12

5 3 3 5 2 2

x x x x

x x x x

+ + = − + =

− + = − + =

Produkt zweier Wurzeln (mit gleichem Wurzelexponent) und ein Abso4e) 4f)4g) 4h

lutglied:

20 12 2 54 20 4

13 12 2 3 3 8 176 2 1 2 15

5 29 9 2 3 2 4 12

2 21 2 7 5 19 7 2 5

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

+ = + − + = + + +

+ = − + + = − + +

+ = + + − + = + −

+ = + + + + = + + −

Summe aus drei Quad4i) 4j)4k) 4m)4n) 4o)4p) 4

ratwurzeln:

q)

4 9 6 7 5 3 5 13x x x x− + − = − + −Summe aus vier Quadratwurzeln4r)

:

Übungen zum Kurs Wurzelgleichungen5.Wurzelgleichungen mit verschachtelter Wurzel und AbsolutgliedDiese Art von Wurzelgleichungen führen auf quadratische Gleichungen, die manmit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen (pq-Formel) lösen muß:

{ } { }{ } { }{ } { }{ } { }{ } { }{ } { }

= = −+ − = + + =

+ + = − − =

− − =

= =

= =+ − =

+ − = − − =

+ − = + −

= =

= =

− − = += =

+ +

=

=−

2x 4x 3 3 x x 5 1

5x 10x 6 3 6 x 2x 8 12

x 4x 7 1 2x 8x 4 2

L 3 L 1

L 1 L 4;6

L 2;4 L 1

L 3 L 7

L 1 L 3

7 x 2x 5 14 2x 4x 3 3

x 4x 4 1 x x 2 2

x L 4;5x 4 2 3 x x 4 6

x x 6

L

2

4

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) J)

k) L)

m) { } { }{ } { }{ } { }{ } { }{ } { }{ } { }

= + − =

− − = + − =

− − = + − =

+ − = + − =

+

= − =

= =

= =

= =

= =

= =

− = − − =

− − = − − =

1 2x 4x 8 2

x 3x 5 1 x 6x 6 1

3 x 5x 9 3 3x 3x 2 2

x 2

L 1 L 2

L 2;3 L 1

L 2;5 L 1

L 3 L 2

L

x 5 2 3x 9x 9 3

x 2x 8 2 5 x 3x 8 104 L 8

3x 9x 9 3 2x 4xL 5 L 22 ;8 3

n)

o) p)

q) r)

s) t)

u) v)

w) x)

6. Wurzelgleichungen mit verschachtelter Wurzel und Quadratwurzel

{ } { }{ } { }{ } { }

= =

= =

= =

5x+ x+5 = 5x+3 x+ 10x+9 = 2x+3

2x+ 7x+4 = 3x+2 4x+ 10x+4 = 5x+2

6x+ 6x+4 = 7x+

L 4 L 0;4

L 0;3 L 0;6

2 8x+ 9x+4 = 9L 0 x+;2 L 0;2 5

Sehr leicht und leicht lösbare Fälle :

Fälle die auf ein quadratische Gleichung f

a) b)

c) d)

e) f)

{ } { }{ } { }{ }

= =

= =

=

4x+ x+3 = L5x+1 3x+ 8x+1= 4x+2

2x+ 15x+4 = 3x+4

1 L 1

2x+ 7x+2= 3x+2

x+ 20x+1= 2

;3

L 3;4 L 1;2

L 4;x+5 x+6 11x+

ühren, die mit der Lösungsformel

für quadratische Gleichungen (pq - Formel) gelöst werden muß :

g) h)

i) j)

k) L) { }=3 = 2x+3 L 2;3

Übungen zum Kurs Wurzelgleichungen7.Wurzelgleichungen mit zwei Wurzeln deren einer Wurzelexponentdoppelt so groß ist wie der andere Wurzelexponent:

{ } { }{ } { }{ } { }

= = −

= − = −

=

+ +

+ +

+ + =

4 82 4

503 6 100

72 4 14

L 0 L 2;2

L 1

Einfache Fälle die auf eine Potenzgleichung führen :

3x 1= 6x+1 x 2= 4x+8

x 3= 6x+10 2x 2= 8x+8

3x 1= 6x+10 x 1= 2x+10Fälle die auf quadratisch

;1 L 1,1

L 1 L 3e

a) b)c) d)e) f)

{ } { }{ } { }{ } { }

= =

=

+ +

+ + =

+ =+=

3 62 4

5 810 4

10 620 12

Gleichungen führen (durch Ausklammern lösbar) :

3x 1= 60x+1 9x 1= 99x+1

2x 1

L 0;6 L 0;1

L 0;4 L 0;1

= 20x+1 4x 1= 24x+1

2x 1= 36x+1 4x 1= 56x+1Fälle die au

L 0;8 L 0;3f quadra

g) h)i) j)k) L)

{ } { }{ } { }{ } { }

= = −

= − = −

= −

+ +

+ +

+ + = −

5 102 4

10 20 3 6

8 5 104 12

L 1 L 1

L 2

tische Gleichungen führen (mit Binomischer Formel lösbar) :

x 3= 8x+8 x 4= 6x+15

x 5= 6x+21 2x 10= 32x+96

x 10= 6x+51 2x 5= 16x+24Fälle die auf qu

L 1

L 7 L

m) n)o) p)q) r)

{ } { }{ } { }{ } { }

+ +

+ +

+

= − =

= =

= − =+ −

2 4 6 12

5 310 6

10 2 434

0 8 12

adratische Gleichungen führen (mit Lösungsformel lösbar) :

x 1= 4x+4 x 3= 10x+6

x 1= 3x+7 2x 2= 6x+10

2x 2= 9x

L 1;3 L 1;3

L 3 L 1

L ;1+7 2x 2= 10x+ L ;6 1

s) t)u) v)w) x)

8.Wurzelgleichungen mit zwei Wurzeln deren Wurzelexponentenganzzahlige Vielfache voneinander sind (aber nicht das doppelte)Normalerweise führt diese Art von Wurzelgleichungen auf höhere algebraische Gleichungen, die mit denMitteln der Schulmathematik nicht gelöst werden können. Die Aufgaben sind aber so gewählt, daß sie nurauf eine quadratische Gleichung führen. Daher können diese Aufgaben auch von Schülern gelöst werden:

{ } { }{ } { }{ } { }

+ = + + = +

+ = + + = +

+ = + +

= =

=

=

=+

=

=

62 2 6

3 59 15

3 92 6

L 0;1 L 0;2

L 0;1 L 0;2

L 0;8 L 0

x 1 7x 1 x 1 13x 1

2x 1 26x 1 2x 1 62x 1

x ;31 91x 1 x 1 21x 1

a) b)c) d)e) f)

9.Wurzelgleichungen mit zwei Wurzeln, deren Wurzelexponentenkeine ganzzahligen Vielfachen voneinander sindNormalerweise führt diese Art von Wurzelgleichungen auf höhere algebraische Gleichungen, die mit denMitteln der Schulmathematik nicht gelöst werden können. Die Aufgaben sind aber so gewählt, daß sie nurauf eine quadratische Gleichung führen. Daher können diese Aufgaben auch von Schülern gelöst werden:

{ } { }{ } { }{ } { }

+ = + + = +

+ = +

=

+ = +

+ = + + =

=

= =

= =+

6 2 34

86 9 12

3 10 152

L 0;1 L 0;2

L 0

3x 1 7x 1 4x 1 13x 1

6x 1 31x 1 7x 1 43x 1

5x

;4 L 0;5

L 0;3 L1 21x 1 8x 1 26x 0;1 1

a) b)c) d)e) f)

Übungen zum Kurs Wurzelgleichungen10.Wurzelgleichung mit zwei Quadratwurzeln und ein LineargliedNormalerweise führt diese Art von Wurzelgleichungen auf algebraische Gleichungen 4.Grades, die mit denMitteln der Schulmathematik nicht gelöst werden können. Die Aufgaben sind aber so gewählt, daß sie nurauf eine quadratische Gleichung führen. Daher können diese Aufgaben auch von Schülern gelöst werden:

{ } { }{ } { }{ } { }{ } { }

2 2x 2 x 8 x L 0;1 2 3x 2 2x 8 x L 6

2 3x 1 x 4 x L 0;5 2 2x 1 x 4 x L 5

3 x 1 2x 9 x L 5 2 3x 3 2x 12 x L 0;2

2 8x 1 4x 4 2x L 0;3 3 5x 1 x 9 2x L 10

+ = + + = − = − + =

+ = + + = − = − + =

− = − + = + = + + =

+ = + + = − = − + =

a) b)c) d)e) f)g) h)

11.Wurzelgleichungen mit 3. Wurzel, 2.Wurzel und LineargliedNormalerweise führt diese Art von Wurzelgleichungen auf unlösbare algebraische Gleichungen 6.Grades.Die Aufgaben sind aber so gewählt, daß sie nur auf eine quadratische Gleichung führen.

{ } { }3 33 2 2 3 2 2L 17x 9x 3x = 2x 3x 1+x 4x 6x 3x = x 2x 1 1+x L− + − + − + − += =a) b)

12.Wurzelgleichungen die durch Substitution lösbar sind

{ } { }{ } { }

10 53 6

8 28 4 2

x 3 + x 3 2 0 x 7 + x 7 2

x 4 + 16x 64 3 0

L 2 L 8

L x 3 + x 6x 9 25 L0 2

+ + − = − − =

− − − = +

= − =

= =− −+ + =

a) b)c) d)

13.Wurzelgleichungen mit Brüchenfolgt später, siehe auch Kurs Wurzelrechnung


Lösung zu 1a

( )

{ }

2

1

1

1 1

1 1 wahr L= 1

Gegeben :

xLösungsweg :

x ...

xErgebnis : x

Pr obe :Lösungsmenge

=

=

==

= ⇔

Lösung zu 1b

( )

{ }

2

1 2 4

1 2 4 –2

1 2

1 4 1x=3

3

3 1 2 4 2 2 2 wahr

L= 3

Gegeben :

xLösungsweg :

x

x ...

x –

Ergebnis : x

Pr obe :

Lösungsmenge

+ + =

+ + =

+ =

+ =

=

+ = ⇔ = ⇔ = ⇔


Lösung zu 1c

( )2

7 4

7 4

7 16 7x=9

9

9 7 4 16 4 4 4

L={}

Gegeben :

x –Lösungsweg :

x – ...

x –

Ergebnis : x

Pr obe :– – falsch

Lösungsmenge

+ =

+ =

+ =

=

+ = − ⇔ = ⇔ = ⇔

Lösung zu 1d

( )

{ }

2

6 3

6 3

6 9 6x=3

3

3 6 3 9 3 3 3 wahr

L= 3

Gegeben :

xLösungsweg :

x ...

x –

Ergebnis : x

Pr obe :

Lösungsmenge

+ =

+ =

+ =

=

+ = ⇔ = ⇔ = ⇔


Lösung zu 1e

( )

{ }

3

3

33

3 3

1 10 12

1 10 12 10

1 2

1 8 1x=9

9

9 1 2 8 2 2 2 wahr

L= 9

Gegeben :

x –Lösungsweg :

x – –

x – ...

x –

Ergebnis : x

Pr obe :–

Lösungsmenge

+ =

+ =

=

= +

=

= ⇔ = ⇔ = ⇔

Lösung zu 1f

( )

{ }

2

2 10

2 10

2 100 2x=98

98

98 2 10 100 10 10 10 wahr

L= 98

Gegeben :

xLösungsweg :

x ...

x

Ergebnis : x

Pr obe :

Lösungsmenge

+ =

+ =

+ = −

=

+ = ⇔ = ⇔ = ⇔


Lösung zu 1g

( )

{ }

4

44

4

4 4

1 2

1 2

1 2 1x=17

17

17 1 2 16 2 2 2 wahr

L= 17

Gegeben :

xLösungsweg :

x ...

x –

Ergebnis : x

Pr obe :

Lösungsmenge

− =

− =

= +

=

− = ⇔ = ⇔ = ⇔

Lösung zu 1h

( )

{ }

2

9 7

9 7

9 49 9x=40

40

40 9 7 49 7 7 7 wahr

L= 40

Gegeben :

xLösungsweg :

x ...

x

Ergebnis : x

Pr obe :

Lösungsmenge

+ =

+ =

+ = −

=

+ = ⇔ = ⇔ = ⇔


Lösung zu 1j

( )

{ }

2

1 5

1 5

1 25 1x=26

26

26 1 5 25 5 5 5 wahr

L= 26

Gegeben :

x –Lösungsweg :

x – ...

x –

Ergebnis : x

Pr obe :–

Lösungsmenge

=

=

= +

=

= ⇔ = ⇔ = ⇔

Lösung zu 1k

( )

{ }

2

1 2

1 2

1 4 1x=5

5

5 1 2 4 2 2 2 wahr

L= 5

Gegeben :

x –Lösungsweg :

x – ...

x –

Ergebnis : x

Pr obe :–

Lösungsmenge

=

=

= +

=

= ⇔ = ⇔ = ⇔


Lösung zu 1m

( )

{ }

2

4 8

4 8

4 64 4x=60

60

60 4 8 64 8 8 8 wahr

L= 60

Gegeben :

xLösungsweg :

x ...

x

Ergebnis : x

Pr obe :

Lösungsmenge

+ =

+ =

+ = −

=

+ = ⇔ = ⇔ = ⇔

Lösung zu 1n

( )

{ }

2

4 4

4 4

4 16 4x=12

12

12 4 4 16 4 4 4 wahr

L= 12

Gegeben :

xLösungsweg :

x ...

x

Ergebnis : x

Pr obe :

Lösungsmenge

+ =

+ =

+ = −

=

+ = ⇔ = ⇔ = ⇔


Lösung zu 2a

( )( )

2

21035

30 6 5

30 36 5

30 36 5 Rechte Seite: Klammer ausmultiplizieren30 36 180 +180210 36

210 35 :35

6 6

6 30 6 6 5

3

Gegeben :

x xLösungsweg :

x x ...

x xx x –x x –x

xxx

Ergebnis : x

Pr obe :

+ = −

+ = −

+ = −+ =+ ===

==

+ = −⇔

{ }

6 6 1 6 6 wahr

L= 6Lösungsmenge :

=⇔ =⇔


Lösung zu 2b

( )( )

2

3 6 26

3 6 26

9 6 26 Linke Seite: Klammer ausmultiplizieren9 54 26 –x8 54 26 +548 =80 :8x=10

10

3 10 6 10 26

3 4 36 6 6

Gegeben :

x xLösungsweg :

x x ...

x xx xxx

Ergebnis : x

Pr obe :

− = +

− = +

− = +− = +− =

=

− = +⇔ =⇔ =⇔

{ } wahr

L= 10Lösungsmenge


Lösung zu 2c

( )( )

3 3

33 3

3 3

200 2 11

200 2 11

200 8 11 Rechte Seite: Klammer ausmultiplizieren200 8 88 –x

200 7 88 –88112= 7 :716= x

16

16 200 2 16 11

216

Gegeben :

x xLösungsweg :

x x ...

x xx x

xx

Ergebnis : x

Pr obe :

+ = ⋅ +

+ = ⋅ +

+ = ⋅ ++ = += +

=

+ = ⋅ +⇔

{ }

3 3

3

2 27 216 2 3 6 6 wahr

L= 16Lösungsmenge

= ⋅⇔ = ⋅⇔ =⇔


Lösung zu 2d

( )( )

3 3

33 3

23426

3 3

3 1 207

3 1 207

27 1 207 Linke Seite ausmultiplizieren27 27 207 2727 234 –26 234 :26

9

9

3 9 1 9 207

Gegeben :

x xLösungsweg :

x x ...

x – xx – xx x xx

xxErgebnis : x

Pr obe :

− = +

− = +

= += + +

= +=

==

=

− = +⇔

{ }

3 33 8 216 3 2 6 6 6 wahr

L= 9

·

Lösungsmenge :

=⇔ =⇔ =⇔


Lösung zu 2e

( )( )

2

178535

6 50 15

6 50 15

36 50 15 Linke Seite ausmultiplizieren36 1800 15 +180036 1785 –35 1785 :35

51

51

6 51 50 51 15

6

Gegeben :

x xLösungsweg :

x x ...

x xx xx x xx

xxErgebnis : x

Pr obe :

− = −

− = −

− = −− = −= +=

==

=

− = −⇔

{ }

1 36 6 6 wahr

L= 51Lösungsmenge :

=⇔ =⇔


Lösung zu 2f

( )( )

2

12015

4 7 8

4 7 8

16 7 8 Linke Seite: Klammer ausmultiplizieren16 112 8 +11216 12015 120 :15

8 8

4 8 7 8 8

4 1 16

Gegeben :

x xLösungsweg :

x x ...

x xx xx x –xx

xxErgebnis : x

Pr obe :

− = +

− = +

− = +− = += +=

==

=

− = +⇔ =⇔

{ }

4 4 wahr

L= 8Lösungsmenge :

=⇔


Lösung zu 2g

( )( )

3 3

33 3

46826

3 3

3 10 198

3 10 198


18 18

3 18 10 18 198

Gegeben :

x xLösungsweg :

x x ...

x xx xx x –xx

xxErgebnis : x

Pr obe :

− = +

− = +

− = +− = += +=

==

=

− = +⇔

{ }

3 3 3 8 216 3·2 6 6 6 wahr


=⇔ =⇔ =⇔


Lösung zu 2h

( )( )

3 3

33 3

497

3 3

3 3

2 1 57

2 1 57

8 1 57 Linke Seite ausmultiplizieren8 8 57 88 49 –7 49 :7

7

7

2 7 1 7 57

2 8 64

Gegeben :

x xLösungsweg :

x x ...

x xx xx x xxxxErgebnis : x

Pr obe :

+ = +

+ = +

+ = ++ = += +===

=

+ = +⇔ =⇔

–

{ }

2 2 4 4 4 wahr

L= 7

·

Lösungsmenge :

=⇔ =⇔


Lösung zu 2i

( )( )

2

423

2 5 22

2 5 22


14 14

2 14 5 14 22

2 9 36 2

Gegeben :

x xLösungsweg :

x x ...

x xx – xx x –xxxxErgebnis : x

Pr obe :

− = +

− = +

− = += +

= +===

=

− = +⇔ =⇔

{ }

3 6 6 6 wahr

L= 14

·

Lösungsmenge :

=⇔ =⇔


Lösung zu 2j

( )( )

2

31515

4 20 5

4 20 5


21 21

4 21 20 21 5

Gegeben :

x xLösungsweg :

x x ...

x x –x – x –x x –xx

xxErgebnis : x

Pr obe :

− = −

− = −

− ==

= +=

==

=

− = −⇔

{ }

4 1 16 4 4 wahr


=⇔ =⇔


Lösung zu 2k

( )( )

2

1928

3 20 12

3 20 12


24 24

3 24 20 24 12

Gegeben :

x xLösungsweg :

x x ...

x xx – xx x –xxxxErgebnis : x

Pr obe :

− = +

− = +

− = += +

= +===

=

− = +⇔

{ }

3 4 36 3·2 6 6 6 wahr


=⇔ =⇔ =⇔


Lösung zu 2m

( )( )

3 3

33 3

1827

3 3

2 1 190

2 1 190

8 1 190 Linke Seite: Klammer ausmultiplizieren8 8 190 88 1827 182 :7

26 26

2 26 1 26 190

Gegeben :

· x xLösungsweg :

· x x ...

x xx x –x x –xxxxErgebnis : x

Pr obe :·

+ = +

+ = +

+ = ++ = += +===

=

+ = +⇔

{ }

3 3 2 27 216 2·3 6 6 6 wahr

L= 26

·

Lösungsmenge :

=⇔ =⇔ =⇔


Lösung zu 2n

( )( )

2

543

2 9 18

2 9 18


18 18

2 18 9 18 18

Gegeben :

x xLösungsweg :

x x ...

x – xx – xx x –xxxxErgebnis : x

Pr obe :

− = +

− = +

= += + +

= +===

=

− = +⇔

{ }

2 9 36 2·3 6 6 6 wahr


=⇔ =⇔ =⇔


Lösung zu 2p

( )( )

2

573

17 2 10

17 2 10

17 4 10 Rechte Seite: Klammer ausmultiplizieren17 4 40 4057 4

57 3 :3

19 19

19 17 2 19 10

Gegeben :

x xLösungsweg :

x x ...

x xx xx x –x

xx

xErgebnis : x

Pr obe :

+ = −

+ = −

+ = −+ = − ++ ====

=

+ = −⇔

{ }

36 2 9 6 2·3 6 6 wahr


=⇔ =⇔ =⇔


Lösung zu 2q

( )( )

2

93

2 1 13

2 1 13


3 3

2 3 1 3 13

2 4

Gegeben :

x xLösungsweg :

x x ...

x xx x –x x –xxxxErgebnis : x

Pr obe :

+ = +

+ = +

+ = ++ = += +===

=

+ = +⇔ =

{ }

16 2·2 4 4 4 wahr

L= 3Lösungsmenge :

⇔ =⇔ =⇔


Lösung zu 3a

( )

( )( )

( )

( )

2

2

2

2

8 2

8 2

8 2 Rechts steht ein Binom

x= 8 2 8 2 2 vereinfachen

x= 8 4 8 4 Konstanten addieren

x= 12 4 8 –x

0= 12 4 8 –12

–12= 4 8 : 4

–3= 8 ...

9= 8 8x=1

Gegeben :

x x –Lösungsweg :

x x – ...

x x –

x – · x ·

x – x

x – x

– x

– x –

x

x –

Erg

= +

= +

= +

+ + +

+ + +

+ +

+

+

+

+

{ }

1

1 1 8 2

1 9 2 1 3 2 1 1 wahr

L= 1

ebnis : x

Pr obe :–

–

Lösungsmenge

=

= +⇔ =⇔ = −⇔ =⇔


Lösung zu 3b

( )

( )

( )

( )

2

2

2

2

7 2 –1

7 2 –1

7 2 –1 Rechte Seite ist das 1.Binom

7 2 – 2 2 1 Konstanten addieren

7 3 – 2 2

7 3 – 2 2 –3

4 –2 2 : –2

–2 2

4 2 –22

2

2

Gegeben :

x xLösungsweg :

x x ...

x x

x x x

x x x –x

x

x

x ...

xx

Ergebnis : x

Pr obe :

+ = +

+ = +

+ = +

+ = + + +

+ = + +

= +

= +

= +

= +=

=

7 2 2 –1 9 4 –1 3 2 –1 3 1 FALSCH

L={}Lösungsmenge :

+ = +⇔ =⇔ =⇔ =⇔


Lösung zu 3c

( )

( )

2

2

2

4 11 3 0

4 11 3 0 11 (Wurzel isolieren)

4 3 11

4 3 11 Linke Seite ist das 1.Binom

4 2 3 4 3 11 Linke Seite: Konstanten addieren

5 6 4 11

5

Gegeben :

x xLösungsweg :

x x x

x x ...

x x

x – · x x

x x x –x

− − + + =

− − + + = + +

− + = +

− + = +

+ − + = +

+ + − = +

( )

{ }

2

6 4 11 –5

6 4 6 :6

4 1

4 1 +45

5

5 4 3 5 11

1 3 16 1+3 4 4 4 wahr

L= 5

x

x

x ...

x –xErgebnis : x

Pr obe :

Lösungsmenge :

+ − =

− =

− =

==

=

− + = +⇔ + =⇔ =⇔ =⇔


Lösung zu 3d

( )

( )

2

2

2

3 10 7

3 10 7 – 10

3 7 – 10

3 7 – 10 Rechte Seite: 2.Binom anwenden

3 7 – 2 7 10 10 Rechte Seite: Konstanten addieren

3 59 –14 10 –

3 59 –14 1

Gegeben :

x xLösungsweg :

x x x

x x ...

x x

x · · x x

x x x x

x

+ + + =

+ + + = +

+ = +

+ = +

+ = + + +

+ = + +

= +

( )

( )

{ }

2

0 –59

–56 –14 10 : –14

4 10

16 10 –106

6

6 3 6 10 7

9 + 16 7 3 4 7 7 7 wahr

L= 6

x

x ...

xx

Ergebnis : x

Pr obe :

Lösungsmenge :

= +

= +

= +=

=

+ + + =⇔ =⇔ + =⇔ =⇔


Lösung zu 3e

( )

( )

( )

2

2

2

2

3 1 2

3 1 2

3 1 2 Linke Seite = 1.Binom

3 21 3 1 2 vereinfachen

3 2 3 1 2 Konstanten addieren

2 2 3 2 –

2 2 3 2 +2

2 3 4 :2

3 2

3 4 +3x 7

Gegeben :

x xLösungsweg :

x x ...

x x

x – · · x x

x – x x

x – x x x

– x

x

x ...

x

Ergebnis :

− + = +

− + = +

− + = +

+ − + = +

+ − + = +

+ − = +

+ − =

− =

− =

− ==

{ }

7

7 3 1 7 2

4 1 9 2+1 3 3 3 wahr

L= 7

x

Pr obe :

Lösungsmenge :

=

− + = +⇔ + =⇔ =⇔ =⇔


Lösung zu 3f

( )

( )

( )

( )

2

2

2

2

5 7 –2

5 7 –2 + 7

5 7 2

5 7 2 Rechte Seite: 2.Binom

5 7 2 2 7 2 Rechte Seite vereinfachen

5 11 4 7 –

5 11 4 7 –11

16 4 7 : –4

4 7

16

Gegeben :

x – xLösungsweg :

x – x x

x x – ...

x x –

x x – · · x

x x – x x

– x

– x

x ...

− + =

− + = +

− = +

− = +

− = + + +

− = + +

− = +

− = +

= +

{ }

7 –79

9

9 5 9 7 –2

4 16 –2 2 – 4 –2 – 2 –2 wahr

L= 9

xxErgebnis : x

Pr obe :––

Lösungsmenge :

= +=

=

− + =⇔ =⇔ =⇔ =⇔


Lösung zu 3g

( )

( )

2

2

2

10 – 5 –3

10 – 5 –3 5

10 5 – 3


10 5 – 2 3 5 3 Rechte Seite vereinfachen

10 14 – 6 5 –

10 14 – 6 5 –14

24 –6 5

Gegeben :

x xLösungsweg :

x x x

x x ...

x x

x x · · x

x x x x

x

x

− + =

− + = + +

− = +

− = +

− = + + +

− = + +

− = +

− = + ( )

( )

{ }

2

: –6

4 5

16 5 –511

11

11 10 – 11 5 –3

1 – 16 –3 1– 4 –3 – 3 –3 wahr

L= 11

x ...

xx

Ergebnis : x

Pr obe :

Lösungsmenge :

= +

= +=

=

− + =⇔ =⇔ =⇔ =⇔


Lösung zu 3h

( )

( )

( )

( )

2

2

2

2

5 – 3 32

5 – 3 32

5 – 3 32 Linke Seite: 2.Binom anwenden

5 – 2 3 5 3 32 Linke Seite vereinfachen

14 – 6 5 32 –

14 – 6 5 32 –14

–6 5 18 : –6

5 –3

5 9 –54

Gegeben :

x xLösungsweg :

x x ...

x x

x · · x x

x x x x

x

x

x ...

xxErgebnis :

+ = +

+ = +

+ = +

+ + + = +

+ + = +

+ =

+ =

+ =

+ ==

4

4 5 – 3 4 32

9 – 3 36 3 – 3 6 0 6 FALSCH

L={}

x

Pr obe :

Lösungsmenge :

=

+ = +⇔ =⇔ =⇔ =⇔


Lösung zu 3i

( )

( )

( )

2

2

2

2

2 20

2 20

2 20 Linke Seite: 1.Binom

2 2 2 20 Linke Seite vereinfachen

4 4 20 –

4 4 20 –4

4 16 :4

4

16 16

16 2 16 2

Gegeben :

x xLösungsweg :

x x ...

x x

x · · x x

x x x x

x

x

x ...

xErgebnis : x

Pr obe :

+ = +

+ = +

+ = +

+ + = +

+ + = +

+ =

=

=

==

+ = +

{ }

0 4 2 36 6 6 wahr


⇔ + =⇔ =⇔


Lösung zu 3j

( )

( )

( )

2

2

2

2

33 2+5

33 2+5

33 2+5 Rechte Seite = 1.Binom

33 2 2 5 2 5 vereinfachen

33 2 10 2 25 Konstanten addieren

33 10 2 23 –

33 10 2 23 –23

10 10 2 :10

1 2

1

Gegeben :

x xLösungsweg :

x x ...

x x

x x – · · x

x x – x

x x x x

x

x

x ...

+ = −

+ = −

+ = −

+ = + − +

+ = + − +

+ = + − +

= − +

= −

= −

=

{ }

2 +23

3

3 33 3 2+5

36 1+5 6 1 5 6 6 wahr

L= 3

xx

Ergebnis : x

Pr obe :

Lösungsmenge :

−=

=

+ = −⇔ =⇔ = +⇔ =⇔


Lösung zu 3k

( )

( )

( )

( )

2

2

2

2

– 6 – 2 10

– 6 – 2 10

– 6 – 2 10 Rechte Seite = 2.Binom anwenden

– 6 – 2 2 – 6 2 10 Konstanten addieren

– 2 – 4 – 6 10 –

–2 – 4 – 6 10 +2

–4 – 6 12 : –4

– 6 –3

6 9 615

Gegeben :

x xLösungsweg :

x x ...

x x

x · · x x

x x x x

x

x

x ...

xxErgebni

= +

= +

= +

+ = +

= +

=

=

=

− = +=

15

15 – 6 – 2 15 10

9 – 2 25 3 – 2 5 1 5 FALSCH

L={}

s : x

Pr obe :

Lösungsmenge :

=

= +⇔ =⇔ =⇔ =⇔


Lösung zu 3m

( )

( )

2

2

2

10 10 10

10 10 10 – 10

10 10 10


10 10 – 210 10 10 Rechte Seite: Konstanten addieren

10 110 – 20

Gegeben :

x xLösungsweg :

x x x

x x ...

x x

x · · x x

x · x

− + + =

− + + = +

− = − +

− = +

− = + + +

− = +

( )

( )2

10 –

10 110 – 20 10 –110

–120 –20 10 : –20

6 10

36 10 –1026

26

26 10 26 10 10

16 + 36 10 4 6 10 10 10

x x

x

x

x ...

xx

Ergebnis : x

Pr obe :

+

− = +

= +

= +

= +=

=

− + + =⇔ =⇔ + =⇔ =⇔

{ } wahr



Lösung zu 4a

( )

( )

2

2

2

2

2

1 1

1 1

1 1 Rechte Seite: 2.Binom anwenden1 2 1 1

2 0 3Dies ist eine quadratische Gleichung ohne Absolutglied.Wir wissen, daß man s

Gegeben : x x

Lösungsweg :

x x ...

x xx x xx x x xx x

+ = −

+ = −

+ = −+ = − + −= − −= −

( )

{ }

1

1 2

1

2

1

ie durch Ausklammern von x löst:0 3Die beiden Ergebnisse kann man nun ablesen :Ergebnis: x =0 x =3

Probe für x =0

0 1 0 11 1

FALSCHProbe für x =3

3 1 3 14 2

2 2wahrLösungsmenge: L 3

Ein Produkt ist

x x= −

+ = −= −

+ = −=

=

=

genau dann gleich Null, wenn mindestens ein Faktor gleich Null ist.


Lösung zu 4b

( )

( )

2

2

2

2

2

1,2

1 7

1 7

1 7 Rechte Seite: 2.Binom anwenden1 2 7 49 +1

14 50 x 0 15 50Nun die quadratische Gleichung lösen (mit der p-q-Formel):

x

Gegeben : x x

Lösungsweg :

x x ...

x xx x · ·xx x xx x

− = −

− = −

− = −− = − += − + −= − +

( )( )

( )22

2

2 2

215 151,2 2 2

1515 2001,2 2 42

15 225 2001,2 2 4 4

15 251,2 2 4

25151,2 2 4

15 51,2 2 2

1 2

1

2

x 50

x

x

xxxErgebnis: x 10 x 5

Probe für x =10

10 1 10 73 3wahrProbe für x =5

5 1 5 72 2FALSCHLösungsmenge:

p p q

− −

−

= − ± −

= − ± −

= ± −

= ± −

= ±

= ±= ±

= =

− = −=

− = −= −

{ }L 10=


Lösung zu 4c

( )

( )

2

2

2 2

2

2

1 5

1 5 –

1 5

1 5 Rechte Seite: 2.Binom anwenden1 5 2 5 –1

10 24 – 0 11 24Nun die quadratische Gleichung

Gegeben : x x

Lösungsweg :

x x x

x x ...

x xx · ·x xx x x xx x

+ + =

+ + =

+ = −

+ = −+ = − += − += − +

( )( )

( )22

2

1,2 2 2

211 111,2 2 2

11 96111,2 2 42

9611 1211,2 2 4 4

25111,2 2 4

25111,2 2 4

5111,2 2 2

1 2

1

2

lösen (mit der p-q-Formel):

x

x 24

x

x

xxxErgebnis: x 8 x 3

Probe für x =8

8 1 8 59 8 5

FALSCHProbe für x =3

3

p p q

− −

−

= − ± −

= − ± −

= ± −

= ± −

= ±

= ±= ±

= =

+ + =+ =

+

{ }

1 3 54 3 5

2 3 5wahrLösungsmenge: L 3

+ =+ =

+ =

=


Lösung zu 4d

( )

( )

2

2

2 2

2

2

4 2

4 2 – 2

4 2

4 2 Rechte Seite: 2.Binom anwenden4 2 2 2 –4

4 – 0 5Dies ist eine quadratische Gleichung oh

Gegeben : x x

Lösungsweg :

x x

x x ...

x xx x · ·xx x x xx x

+ + =

+ + =

+ = −

+ = −+ = − += −= −

( )

1 2

ne Absolutglied.Wir wissen, daß man sie durch Ausklammern von x löst:0 5Die rechte Seite wird Null, wenn eine der beiden Faktorenzu Null wird. Wir können das Ergebnis ablesen:Ergebnis: x 0 x 5

x x= −

= =

{ }

1

2

Probe für x =0

0 4 2 02 2 0FALSCHProbe für x =5

5 4 2 59 2 5

3 2 5wahrLösungsmenge: L 5

+ + =+ =

+ + =+ =

+ =

=


Lösung zu 4e

( ) ( )

( )22

2

2

2 7 6

2 7 6 Wurzeln multiplizieren

2 7 6 Klammern ausmultiplizieren

9 14 6 ...

9 14 36 – 36 9 22 0

Nun die quadratische Gleichung lösen (mit der p

Gegeben : x x

Lösungsweg :

x x

x · x

x x

x xx x

+ + =

+ + =

+ + =

+ + =

+ + =+ − =

( )( ) ( )

2

2

2

1 2 2 2

29 91 2 2 2

9 91 2 2 2

9 811 2 2 4

9 81 881 2 2 4 4

9 1691 2 2 4

16991 2 2 4

9 131 2 2 2

1 2

1

-q-Formel):

= –

= – 22

= – 22

= – 22

= –

= – = – = –

Ergebnis: x 2 x 11

Probe für x =2

2 2 2 7 64 9 6

2 3 66 6wa

p p,

,

,

,

,

,

,

,

x q

x

x

xxxxx

·

± −

± − −

± +

± +

± +

±

±±

= = −

+ + ==

==

{ }

2

hrProbe für x = 11

11 2 11 7 6Weil die Radikanten negativ sind, sind die Wurzeln nicht definiert, und somit ist –11 LösungLösungsmenge: L 2

keine

−

− + − + =

=


Lösung zu 4f

( ) ( )

( )22

2

2

1 6 12



5 6 12 ...

5 6 144 – 144 5 150 0

Nun die quadratische Gleichung lösen (mit

Gegeben : x x

Lösungsweg :

x x

x · x

x x

x xx x

− + =

− + =

− + =

+ − =

+ − =+ − =

( )( ) ( )

2

2

2

1 2 2 2

25 51 2 2 2

5 51 2 2 2

5 251 2 2 4

5 25 6001 2 2 4 4

5 6251 2 2 4

62551 2 2 4

5 251 2 2 2

1 2

1

der p-q-Formel):

= –

= – 150

= – 150

= – 150

= –

= – = – = –

Ergebnis: x 10 x 15

Probe für x =10

10 1 10 6

p p,

,

,

,

,

,

,

,

x q

x

x

xxxxx

± −

± − −

± +

± +

± +

±

±±

= = −

− +

{ }

2

129 16 12

3 4 1212 12wahrProbe für x = 15


·

keine

==

==

−

− − − + =

=


Lösung zu 4g

( ) ( )

( )22

2

2

5 3 3



2 15 3 ...

2 15 9 – 9 2 24 0

Nun die quadratische Gleichung lösen (mit der p-q-

Gegeben : x x

Lösungsweg :

x x

x · x

x x

x xx x

− + =

− + =

− + =

− − =

− − =− − =

( )( ) ( )

( )22

2

1 2 2 2

22 21 2 2 2

21 2 2

41 2 4

1 2

1 2

1 2

1

2

Formel):

= –

= – 24

= 1 24

= 1 24= 1 25= 1 5

Ergebnis: x 6 x 4

Probe für x =6

6 5 6 3 31 9 3

13 33 3wahrProbe für x = 4

4 5 4 3 3Weil die Radikanten

p p,

,

,

,

,

,

x q

x

x

xxx

·

− −

−

± −

± − −

± +

± +

±±

= = −

− + ==

==

−

− − − + =

{ }

negativ sind, sind die Wurzeln nicht definiert, und somit ist –4 LösungLösungsmenge: L 6

keine=


Lösung zu 4h

( )( )

( )

3 3

3 3

3

323

2

2

5 2 2



3 10 2 ...

3 10 8 – 8 3 18 0

Nun die quadratische Gleichung lösen (mit der

Gegeben : x x

Lösungsweg :

x x

x x

x x

x xx x

− + =

− + =

− + =

− − =

− − =− − =

( )( ) ( )

( )22

2

1 2 2 2

23 31 2 2 2

331 2 2 2

3 91 2 2 4

3 9 721 2 2 4 4

3 811 2 2 4

8131 2 2 4

3 91 2 2 2

1 2

1

3 3

3 3

p-q-Formel):

= –

= – 18

= 18

= 18

=

= = =

Ergebnis: x 6 x 3

Probe für x =6

6 5 6 2 21 8 2

12 22 2wahrP

p p,

,

,

,

,

,

,

,

x q

x

x

xxxxx

···

− −

−

± −

± − −

± +

± +

± +

±

±±

= = −

− + ==

==

{ }

2

3 3

robe für x = 3


keine

−

− − − + =

=


Lösung zu 4i

( )

( )

( )

2

2

20 12

20 12 Rechte Seite: 1.Binom anwenden

20 2 12 12 –2x

20 2 12 12 12

32 2 12 :2

16 12 Wurzeln multiplizieren2

16 12 Klammer ausmultipli2

x x x ...

x x x

x x x· x x

x x· x

x x· xx x· x

x x x

+ = + −

+ = + −

+ = + − + −

− = − − +

− = −

− = −

− = −

( )22

22

22

22

22

2 2 2

2

zieren

16 12 2

16 = 12 Linke Seite: 2.Binom anwenden 2

256 216 12 umstellen 2 4

256 16 12 164

256 4 ·44

1024 4 16 –x

3 16 1024 0Nun die quadratische

x x x ...

x x x

x x· · x x

xx x x x

x x x

x x x

x x

− = −

− −

− + = −

− + = − +

+ = +

+ = +

+ − =

( )2

1 2

1 2

1

2

Gleichung lösen (mit allg.Lösungsformel):–16 256 4 3 1024–b b 4 –16 112= = =

2a 2·3 6128Ergebnis: x 16 x

6Probe für x =16

16 20 16 16 12 36 16 4 6 4 2 wahr128Probe für x =

6128 2

6

,

· ·acx± − −± − ±

= = −

+ = + − ⇔ = + ⇔ = + ⇔

−

− +

{ }

128 1280 126 6

Wurzeln negativ, d.h. nicht definiertLösungsmenge: L 16

= − + − −

=


Lösung zu 4j

( )

( )

( ) ( )

2

2

2 54 20 4

2 54 20 4 Rechte Seite: 1.Binom anwenden

2 54 20 2 20 4 4 –2x

54 20 2 20 4 4 –24

30 2 20 4 :2


15 20 4 Klammer

x x x ...

x x x

x x x · x x

x · x

x · x

x · x

x · x

+ = + + +

+ = + + +

+ = + + + + + +

= + + + +

= + +

= + +

= + +

( )

( )( ) ( )

22

2

2

2

1 2 2 2

224 241 2 2 2

5761 2 4

1 2

1 2

ausmultiplizieren

15 24 80

225 24 80 –22524 145 0

Nun die quadratische Gleichung lösen (mit der p-q-Formel):

= –

= – 145

= –12 145= –12 144 145=

p p,

,

,

,

,

x x ...

x xx x

x q

x

xxx

= + +

= + ++ − =

± −

± − −

± +

± +

( )

1 2

1 2

1 2

–12 289= –12 17

Ergebnis: x 5 x 29

Probe für x =5 Probe für x = 29

2 5 54 5 20 5 4 2 29 54 29 20 29 4

64 25 9 Die Wurzeln sind negativ,d.h. nicht definiert,8 5 3 und somit ist –29

,x

· ·

keine

±±

= = −

−

+ = + + + − + = − + + − +

= += +

{ }

Lösung

Lösungsmenge: L 5

wahr

=


Lösung zu 4k

( )

( )( )

2

2

13 12 2 3 3

13 12 2 3 3 Rechte Seite: 1.Binom anwenden

13 12 4 3 2 2 3 3 9 Rechte Seite: Klammer ausmultiplizieren

13 12 4 12 12 3 9 –13x

12 12 12 3 +12

24 12

x x x ...

x x x

x x · x · x x

x x x · x x

x · x

x

+ = − +

+ = − +

+ = − + − +

+ = − + − +

= − + −

=

( )

( )

( )( ) ( )

22

2

2

2

1 2 2 2

23 31 2 2 2

3 91 2 2

3 :12

2 3 Wurzeln multiplizieren

2 3 Klammer ausmultiplizieren

2 3 4 3 36

3 4 0Nun die quadratische Gleichung lösen (mit der p-q-Formel):

= –

= – 4

=

p p,

,

,

· x

x · x

x x

x x ...x x

x x

x q

x

x

− −

−

= −

= −

= −= − −− − =

± −

± − −

±

( )

164 4

3 251 2 2 4

2531 2 2 4

3 51 2 2 2

1 2

1 2

= = =

Ergebnis: x 4 x 1


13 4 12 2 4 3 3 4 13 1 12 2 1 3 3 1

64 2 1 3 4 Die Wurzeln sind negativ,8 2 6 d.h. nicht definiert,

u

,

,

,

xxx

· ·

wahr

+

±

±

±

= = −

−

+ = − + − + = − − + −

= += +

{ }

nd somit ist –1 Lösung

Lösungsmenge: L 4

keine

=


Lösung zu 4m

( )

( )( ) ( )

2

2

8 176 2 1 2 15

8 176 2 1 2 15 Rechte Seite: 1.Binom anwenden

8 176 4 1 2 2 1 2 15 4 15 Rechte Seite: Klammern ausmultiplizieren

8 176 4 4 8 1 15 4 60 8

176 4 8

x x x ...

x x x

x x · x · x x

x x x x x x

x

+ = − + +

+ = − + +

+ = − + − + + +

+ = − + − + + + −

= − + −

( ) ( )

( )22

2

2

1 15 60 +4 –60

120 8 1 15 :8


15 1 15 Klammer ausmultiplizieren

15 14 15 225 14 15 225

14 240 0Nun die quadratische Gleichung lösen (mit der p-q-

x

x x

x x

x · x

x x ...x x

x x

+ +

= − +

= − +

= − +

= + −= + − −

+ − =

( )( ) ( )

( )

2

1 2 2 2

214 141 2 2 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

Formel):

= –

= – 240

= –7 49 240= –7 289= –7 17

Ergebnis: x 10 x 24


810 176 2 10 1 2 10 15 8 24 176 2 24 1 2 24 15

256 2 9 2

p p,

,

,

,

,

x q

x

xxx

· ·

± −

± − −

± +

±±

= = −

−

+ = − + + − + = − − + − +

= +

{ }

25 Die Wurzeln sind negativ,16 2 3 2 5 d.h. nicht definiert, 16 6 10 und somit ist –1

Lösung

Lösungsmenge: L 10

· ·

wahr keine

= += +

=


Lösung zu 4n

( )

( )( )

2

2

5 29 9 2 3


5 29 9 2 9 2 3 4 3 Rechte Seite: Klammern ausmultiplizieren

5 29 9 2 9 2 3 4 12 5

29 9 4 9 3 12 –9 +12

3

x x x ...

x x x

x x x · x x

x x x · x x x

x x

+ = + + −

+ = + + −

+ = + + + − + −

+ = + + + − + − −

= + + − −

( )( )

( )

( )

22

2

2

2

1 2 2 2

1 2

2 4 9 3 :4



8 6 27 64 6 27 –64


= –

= –

p p,

,

x x

x x

x x

x x ...x x

x x

x q

x

= + −

= + −

= + −

= + −= + −+ − =

± −

( ) ( )( )

( )

26 62 2

6 361 2 2 4

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

91

= – 91

= –3 9 91= –3 100= –3 10

Ergebnis: x 7 x 13


5 7 29 7 9 2 7 3 5 13 29 13 9 2 13 3

64 16 2 4 Die Wurzeln sind negativ,8 4

,

,

,

,

x

xxx

· ·

± − −

± − −

± +

±±

= = −

−

+ = + + − − + = − + + − −

= += +

{ }

2 2 d.h. nicht definiert, 8 4 4 und somit ist –13

Lösung

Lösungsmenge: L 7

·

wahr keine= +

=


Lösung zu 4o

( )

( )

( )

2

2

2

2 4 12

2 4 12 Rechte Seite: 1.Binom anwenden

2 4 2 12 12 –2x

4 2 12 12 12

16 2 12 :2

8 12 Wurzeln multiplizieren

8 12 Klammer ausmultiplizieren

8 12

x x x ...

x x x

x x x· x x

x· x

x· x

x· x

x x

x

+ = + −

+ = + −

+ = + − + −

= − − +

= −

= −

= −

= − ( )

( )( ) ( )

2

2

2

2

1 2 2 2

212 121 2 2 2

2561441 2 4 4

4001 2 4

1 2

1 2

64= 12 –64 12 64 0


= –

= – 64

= 6

= 6= 6 10

Ergebnis: x 16 x 4

Prob

p p,

,

,

,

,

x ...

x xx x

x q

x

xxx

− −

−− − =

± −

± − −

± +

±±

= = −

( ) ( ) ( )

{ }

1 2e für x =16 Probe für x = 4

216 4 16 16 12 2 4 4 4 4 12

36 16 4 Die Wurzeln sind negativ,6 4 2 d.h. nicht definiert,

und somit ist –4 Lösung

Lösungsmenge: L 16

· ·

wahrkeine

−

+ = + − − + = − + − −

= += +

=


Lösung zu 4p( )

( )

( )( )

2

2

2 21 2 7

2 21 2 7 Rechte Seite: 1.Binom anwenden

2 21 2 2 2 7 7 –2x

21 2 2 2 7 7 –9

12 2 2 7 :2


6 2 7 Klammer ausmultipliz

x x x ...

x x x

x x x · x x

x · x

x · x

x · x

x x

+ = + + +

+ = + + +

+ = + + + + + +

= + + + +

= + +

= + +

= + +

( )

( )( ) ( )

2

2

22

2

2

2

1 2 2 2

29 91 2 2 2

9 91 2 2 2

9 81 881 2 2 4 4

9 1691 2 2 4

16991 2 2 4

ieren

6 9 14

36= 9 14 –36 9 22 0


= –

= – 22

= – 22

= –

= –= –

p p,

,

,

,

,

,

x x ...

x xx x

x q

x

x

xxxx

= + +

+ ++ − =

± −

± − −

± +

± +

±

±

( )

9 131 2 2 2

1 2

1 2

= –Ergebnis: x 2 x 11


2 2 21 2 2 2 7 2 11 21 11 2 11 7

25 4 9 Die Wurzeln sind negativ,5 2 3 d.h. nicht definiert,

5 5 und somit ist –11

,

· ·

wahr

±

= = −

−

+ = + + + − + = − + + − +

= += +=

{ }

Lösung

Lösungsmenge: L 2

keine

=


Lösung zu 4q

( )

( )( )

2

2

5 19 7 2 5


5 19 7 2 7 2 5 4 5 Rechte Seite: Klammer ausmultiplizieren

5 19 7 4 7 5 4 20 –5x

19 7 4 7 5 20 7 +20

32 4

x x x ...

x x x –

x x x x x

x x x x x

x x

x

+ = + + −

+ = + +

+ = + + + ⋅ − + −

+ = + + + − + −

= + + − −

=

–

( )( )

( )

( )

22

2

2

2

1 2 2 2

2 21 2 2

7 5 :4



8 2 35

64 2 35 64 2 99 0


= –

= –

p p,

,

x

x x

x x

x x ...

x xx x

x q

x

+ −

= + −

= + −

= + −

= + − −+ − =

± −

± ( ) ( )

( )

2

2

22

21 2 2

41 2 4

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

99

= –1 99

= –1 99

= –1 1 99= –1 100= –1 10

Ergebnis: x 9 x 11


5 9 19 9 7 2 9 5 5 11 19 11 7 2 11 5

64 16 2 4 Die Wurzeln sin

,

,

,

,

,

x

xxxx

·

− −

± +

± +

± +

±±

= = −

−

+ = + + − ⋅ − + = − + + − −

= +

{ }

d negativ,8 4 2 2 d.h. nicht definiert,

8 8 und somit ist –11 Lösung

Lösungsmenge: L 9

·

wahr keine

= +=

=


Lösung zu 4r

( )

( ) ( )

2

2 2

4 9 6 7 5 3 5 13

Rechte bzw. linke Seite: 4 9 6 7 5 3 5 13 1.Binom anwenden

4 9 2 4 9 6 7 6 7 5 3 2 5 3 5 13 5 13 10

9 2 4 9 6 7 7 3 2 5 3 5 13 13 –16

2 4 9 6 7 2 5

x x x x ...

x x x x

x x x x x x x x x

x x x x

x x

− + − = − + −

− + − = − + −

− + − − + − = − + − − + −

− + − − − = − + − − −

− − =

–

( )( ) ( )( )

( )

2 2

22 2

2 2 2

2

3 5 13 :2

4 9 6 7 5 3 5 13 Wurzeln multiplizieren

4 9 6 7 5 3 5 13 Klammer ausmultiplizieren

24 28 54 63 25 65 15 39

24 82 63 25 80 39

24 82 63 25 80 39 24

82 63 80

x x

x x x x

x x x x

x x x x x x

x x x x ...

x x x x x

x x

− −

− − = − −

− − = − −

− − + = − − +

− + = − +

− + = − + −

− + = −

( )( ) ( )

2

2

2

2

22

1 2 2 2

221 2 2

21 2 2

41 2 4

1 2

1 2

1 2

39 +82 63 2 39 63


= –

= –1 24

= –1 24

= –1 24

= –1 1 24= –1 25= –1 5

Ergebnis:

p,

,

,

,

,

,

,

x xx x

x x

x q

x

x

xxxx

+= + + −+ − =

± −

± − −

± +

± +

± +

±±

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

1 2

x 4 x 6


4 4 9 6 4 7 5 4 3 5 4 13 4 6 9 6 6 7 5 6 3 5 6 13

7 17 17 7 Die Wurzeln sind negativ,d.h. nicht definiert, und somit ist –6 Lösung

Lösun

· · · · · · · ·

wahr keine

= = −

−

− + − = − + − − − + − − = − − + − −

+ = +

{ }gsmenge: L 4=


Lösung zu 5a

( )22

2x 4x 3 3 | quadrieren

2x 4x 3 3 | Linke Seite: Potenzieren und Radizieren (Wurzel) heben sich auf

2x 4x 3 9 | 2x (Wurzel isolieren)

4x 3 9 2x

Gegeben: + − =

+ − =

+ − = −

− = −

( )2

2

2

| quadrieren

4x 3 9 2x | rechte Seite: Binom anwenden oder ausmultiplizieren

4x 3 81 36x 4x | alle Summanden auf die rechte Seite bringen: 4x 30 84 40x 4x

− = −

− = − + − +

= − +2

2

1,2

| Seiten tauschen4x 40x +84 0 | mit 4 kürzenx 10x +21 0 | Dies ist eine Quadratische Gleichung in Normalform

p px2

Quadratische Gleichung mit pq-Formel lösen

− =

− =

= − ±

( ) ( )

2

2

1,2

1,2

1,2

1,2

q2

10 10x 21

2 2

x 5 4

x 5 2

x 3

2 3 4 3 3 3

6 9 3

9 33 3 WAHRE AUSSAGE

2 7 4 7 3 3

14 25 3

14 5 3

19 3 FALSCHE AUSSAGE

Probe für x=3

Probe für x=7

Lösungmenge der Wurzelglei

−

− − = − ± −

= ±

= ±

=

⋅ + ⋅ − =

+ =

==

⋅ + ⋅ − =

+ =

+ =

=

⁄ 7

{ }chung: L= 3


Lösung zu 5b

( )22

x x 5 1 | quadrieren

x x 5 1 1 | Linke Seite: Potenzieren und Radizieren (Wurzel) heben sich auf

x x 5 1 | x (Wurzel isolieren)

x 5 1 x

Gegeben: + + =

+ + = =

+ + = −

+ = −

( )2

2

2

| quadrieren

x 5 1 x | rechte Seite: Binom anwenden oder ausmultiplizieren

x 5 1 2x x | alle Summanden auf die rechte Seite bringen: x 50 4 3x x

+ = −

+ = − + − −

= − − +

( ) ( ) ( )

2

2

2

1,2

1,2

1,

| Seiten tauschenx 3x 4 0 | Dies ist eine quadratische Gleichung in Normalform

p px q2 2

3 3x 4

2 2

x

Quadratische Gleichung mit pq-Formel lösen− − =

= − ± −

− − = − ± − −

2

1,2

1,2

1,2

1,2

3 9 162 4 43 25x2 43 25x2 43 5x2 2

x 4 1

4 4 5 1 1 1 5 1

4 3 1 1 2 1

7 1 FALSCHE AUSSAGE 1 1 WAHRE AUSSAGE

Probe für x=4 Probe für x= 1

Lösungmenge

= ± +

= ±

= ±

= ±

=

+ + = − + − + =

+ = − + =

= =

−

⁄ -

{ } der Wurzelgleichung: L= 1−


Lösung zu 5c

( )

( )

22

2




10x 6 9 5x | quadrieren

10x 6 9 5x | rechte Seite: Bino

Gegeben: + + =

+ + =

+ + = −

+ = −

+ = −2

2

2

2

m anwenden oder ausmultiplizieren10x 6 81 90x 25x | alle Summanden auf die rechte Seite bringen: 10x 60 75 100x 25x | Seiten tauschen25x 100x 75 0 | beide Seiten durch 25 teilenx 4x 3 0 | Dies ist ei

+ = − + − −= − +

− + =− + =

( ) ( )

2

2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

ne quadratische Gleichung in Normalform

p px q2 2

4 4x 3

2 2

16x 2 34

16 12x 24 4

x 2 1

x 3 1

5 3 10 3 6 3

15 6 32


Probe für x=3

= − ± −

− − = − ± −

= ± −

= ± −

= ±

=

⋅ + ⋅ + =

+ =

⁄

{ }

5 1 10 1 6 3

5 4 31 3 3 3

FALSCHE AUSSAGE WAHRE AUSSAGE

Probe für x= 1

Lösungmenge der Wurzelgleichung: L= 1

⋅ + ⋅ + =

+ == =


Lösung zu 5d

( )

( )

22

2

6 x 2x 8 12 | :6

x 2x 8 2 | quadrieren

x 2x 8 2 | Linke Seite: Potenzieren und Radizieren (Wurzel) heben sich auf

x 2x 8 4 | x (Wurzel isolieren)

2x 8 4 x | quadrieren

2x 8 4 x | r

Gegeben: − − =

− − =

− − =

− − = −

− − = −

− = −2

2

2

echte Seite: Binom anwenden oder ausmultiplizieren2x 8 16 8x x | alle Summanden auf die rechte Seite bringen: 2x 80 24 10x x | Seiten tauschenx 10x 24 0 | Dies ist eine quadratische Gleichung in Norm

− = − + − += − +− + =

( ) ( )

2

2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

alform

p px q2 2

10 10x 24

2 2

100x 5 244

x 5 25 24

x 5 1

x 6 4

6 6 2 6 8 12

6 6 2 12

6 4 12 12=12 WAHRE AUSSAGE


Probe für x=6

Prob

= − ± −

− − = − ± −

= ± −

= ± −

= ±

=

− ⋅ − =

− =

=

⁄

{ }

6 4 2 4 8 12

6 4 0 1212 12 WAHRE AUSSAGE

e für x= 4

Lösungmenge der Wurzelgleichung: L= 4;6

− ⋅ − =

+ ==


Lösung zu 5e

( )

( )

22

2





4x 7 1 x | rechte Seite: Binom anwenden

Gegeben: − − =

− − =

− − = −

− − = −

− = −2

2

2

oder ausmultiplizieren4x 7 1 2x x | alle Summanden auf die rechte Seite bringen: 4x 70 8 6x x | Seiten tauschenx 6x 8 0 | Dies ist eine quadratische Gleichung in Normalform

Quadratische Gleichung mit

− = − + − += − +− + =

( ) ( )

2

2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

p px q2 2

6 6x 8

2 2

36x 3 84

x 3 1

x 3 1

x 4 2

4 4 4 7 1

4 3 1

1 1 1=1 WAHRE AUSSAGE

2 4 2 7 1

2 1 1

1 11 1 WAHRE AUSS

pq-Formel lösen

Probe für x=4

Probe für x= 2

= − ± −

− − = − ± −

= ± −

= ±

= ±

=

− ⋅ − =

− =

=

− ⋅ − =

− =

==

⁄

{ }AGE

Lösungmenge der Wurzelgleichung: L= 2;4


Lösung zu 5f

( )

( )

22

2





8x 4 4 2x | rechte Seite: Binom anw

Gegeben: + − =

+ − =

+ − = −

− = −

− = −2

2

2

2

enden oder ausmultiplizieren8x 4 16 16x 4x | alle Summanden auf die rechte Seite bringen: 8x 40 20 24x 4x | Seiten tauschen4x 24x 20 0 | :4 x 6x 5 0 | Dies ist eine quadratische Gleichung in Normalfo

− = − + − += − +− + =− + =

( ) ( )

2

2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

rm

p px q2 2

6 6x 5

2 2

36x 3 54

x 3 4

x 3 2

x 5 1

2 5 8 5 4 2

10 6 2

16 2

4=2 FALSCHE AUSSAGE


Probe für x=5

= − ± −

− − = − ± −

= ± −

= ±

= ±

=

⋅ + ⋅ − =

+ =

=

⁄

{ }

2 1 8 1 4 2

2 8 4 2

2 2 2

2 2 WAHRE AUSSAGE

Probe für x= 1


⋅ + ⋅ − =

+ − =

+ =

=


Lösung zu 5g

( )

( )

22

2

7 x 2x 5 14 | :7





2x 5 4 x | rechte

Gegeben: + − =

+ − =

+ − =

+ − = −

− = −

− = −2

2

2

Seite: Binom anwenden oder ausmultiplizieren2x 5 16 8x x | alle Summanden auf die rechte Seite bringen: 2x 50 21 10x x | Seiten tauschenx 10x 21 0 | Dies ist eine quadratische Gleichung in Normalfor

− = − + − += − +− + =

( ) ( )

2

2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

m

p px q2 2

10 10x 21

2 2

100x 5 214

x 5 25 21

x 5 4

x 5 2

x 7 3

7 7 2 7 5 14

7 7 9 14

7 10 14

10 2

FALSCHE AUSSAG


Probe für x=7

= − ± −

− − = − ± −

= ± −

= ± −

= ±

= ±

=

+ ⋅ − =

+ =

=

=

⁄

{ }

7 3 2 3 5 14

7 3 1 14

7 3 1 14

7 4 14E

14 14 WAHRE AUSSAGE

Probe für x= 3


+ ⋅ − =

+ =

+ =

=

=


Lösung zu 5h

( )

( )

22

2





4x 3 9 2x | rechte Seite: Binom an

Gegeben: − − =

− − =

− − = −

− − = −

− = −2

2

2

2

wenden oder ausmultiplizieren4x 3 81 36x 4x | alle Summanden auf die rechte Seite bringen: 4x 30 84 40x 4x | Seiten tauschen4x 40x 84 0 | :4 x 10x 21 0 | Dies ist eine quadratische Gleichung in Norma

− = − + − += − +− + =− + =

( ) ( )

2

2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

lform

p px q2 2

10 10x 21

2 2

100x 5 214

x 5 25 21

x 5 4

x 5 2

x 7 3

2 7 4 7 3 3

14 25 3

14 5 3

9 3

3=3 WAHRE AUS


Probe für x=7

= − ± −

− − = − ± −

= ± −

= ± −

= ±

= ±

=

⋅ − ⋅ − =

− =

− =

=

⁄

{ }

2 3 4 3 3 3

6 9 3

6 3 3

3 3

FALSCHE AUSSAGESAGE

Probe für x= 3


⋅ − ⋅ − =

− =

− =

=


Lösung zu 5i

( )

( )

22

2






Gegeben: + − =

+ − =

+ − = −

− = −

− = −2

2

2


Quadratische Gleichung mi

− = − + − += − +− + =

( ) ( )

2

2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

p px q2 2

6 6x 5

2 2

36x 3 54

x 3 4

x 3 2

x 5 1

5 4 5 4 1 x5 16 1

5 4 1

9 1

3=1

FALSCHE AUSSAGE

t pq-Formel lösen

Probe für x=5 Probe für x= 1

= − ± −

− − = − ± −

= ± −

= ±

= ±

=

+ ⋅ − =

+ =

+ =

=

⁄

{ }

4x 4 1

1 4 1 4 1

1 0 1

1 0 1

1 1

WAHRE AUSSAGE


+ − =

+ ⋅ − =

+ =

+ =

=


Lösung zu 5j

( )

( )

22

2


x x 2 2 | Linke Seite: Potenzieren und Radizieren (Wurzel) heben sich auf


x 2 4 x | quadrieren

x 2 4 x | rechte Seite: Binom anwe

Gegeben:

nden od

er

+ − =

+ − =

+ − = −

− = −

− = −2

2

2

ausmultiplizierenx 2 16 8x x | alle Summanden auf die rechte Seite bringen: x 20 18 9x x | Seiten tauschenx 9x 18 0 | Dies ist eine quadratische Gleichung in Normalform

Quadratische Gleichung mit pq

− = − + − += − +− + =

( ) ( )

2

2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

-Formel lösen

p px q2 2

9 9x

2 2

9 81x 182 49 81 72x2 4 49 9x2 49 9x2 49 3x2 2

x 6 3

6 6 2 2

6 4 2

6 2 2

8 2

FALSCHE AUSSAGE

18

Probe für x=6

= − ± −

− − = − ±

= ± −

= ± −

= ±

= ±

= ±

=

+ − =

+ =

+ =

=

−

⁄

{ }

3 3 2 2

3 1 2

3 1 2

4 2

2 2

WAHRE AUSSAG

E

Probe für x= 3

Die Lösungmenge der Wurzelgleichung: L= 3

+ − =

+ =

+ =

=

=


Lösung zu 5k

( )

( )

22

2





x 4 4 x | rechte Seite: Binom anwe

Gegeben:

nden od

er

− − =

− − =

− − = −

− = −

− = −2

2

2

ausmultiplizierenx 4 16 8x x | alle Summanden auf die rechte Seite bringen: x 40 20 9x x | Seiten tauschenx 9x 20 0 | Dies ist eine quadratische Gleichung in Normalform

Quadratische Gleichung mit pq

− = − + − += − +− + =

( ) ( )

2

2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

-Formel lösen

p px q2 2

9 9x

2 2

9 81x 202 49 81 80x2 4 49 1x2 49 1x2 49 1x2 2

x 5 4

5 5 4 2

5 1 2

5 1 2

4 2

2 2

WAHRE AUSSAGE

20

Probe für x=5

= − ± −

− − = − ±

= ± −

= ± −

= ±

= ±

= ±

=

− − =

− =

− =

=

=

−

⁄

{ }

4 4 4 2

4 0 2

4 0 2 4 2

2 2

WAHRE AUSSAGE

Probe für x=4

Die Lösungmenge der Wurzelgleichung: L= 4;5

− − =

+ =

+ =

=

=


Lösung zu 5L

( )

( )

22

2

3 x x 4 6 | :3





x 4 4 x | rechte

Geg

S

eb

eit

en

e

: + − =

+ − =

+ − =

+ − = −

− = −

− = −2

2

2

: Binom anwenden oder ausmultiplizierenx 4 16 8x x | alle Summanden auf die rechte Seite bringen: x 40 20 9x x | Seiten tauschenx 9x 20 0 | Dies ist eine quadratische Gleichung in Normalform

Quadrati

− = − + − += − +− + =

( ) ( )

2

2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

sche Gleichung mit pq-Formel lösen

p px q2 2

9 9x

2 2

9 81x 202 49 81 80x2 4 49 1x2 49 1x2 49 1x2 2

x 5 4

3 5 5 4 6

3 5 1 6

3 5 1 63 6 6 | :3

6 2FAL

20

Probe für x=5

= − ± −

− − = − ±

= ± −

= ± −

= ±

= ±

= ±

=

+ − =

+ =

+ =

=

=

−

⁄

{ }

3 4 4 4 6

3 4 0 63 4 0 63 4 66 6WAHRE AUSSAGESCHE AUSSAGE

Die Lösungmenge der Wurzelgleichung:

Probe für x=4

L= 4

+ − =

+ =

+ =

=

=


Lösung zu 5m

( )

( )

22

2






Gegeben:

+ + =

+ + =

+ + = −

+ = −

+ = −2

2

2


Quadratische Gleichung m

+ = − + − −= − − +− − =

( ) ( ) ( )

2

2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

it pq-Formel lösen

p px q2 2

4 4x

2 2

16x 2 54

x 2 4 5

x 2 9

x 2 3

x 5 1

5 2 5 6 1

5 16 1

5 4 19 1

3 1FALSCHE AUSSAGE

5

Probe für x=5

= − ± −

− − = − ±

= ± +

= ± +

= ±

= ±

= −

+ ⋅ + =

+ =

+ =

=

=

− −

⁄

( )

{ }

1 2 1 6 1

1 2 6 1

1 4 1

1 2 1

1 11 1WAHRE AUSSAGE

Die Lösungsmenge der Wurzelgleichung:

Probe für x= 1

L= 1

− + ⋅ − + =

− + − + =

− + =

− + =

=

=

−

−


Lösung zu 5n

( )

( )

22

2





4x 8 4 2x | rechte Seite: Binom an

Gegeben:

+ − =

+ − =

+ − = −

− = −

− = −2

2

2

2

wenden oder ausmultiplizieren4x 8 16 16x 4x | alle Summanden auf die rechte Seite bringen: 4x 80 24 20x 4x | Seiten tauschen4x 20x 24 0 | :4 x 5x 6 0 | Dies ist eine quadratische Gleichung in Normalf

− = − + − += − +− + =− + =

( ) ( )

2

2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

orm


p px q2 2

5 5x

2 2

5 25 24x2 4 45 1x2 45 1x2 45 1x2 2

x 3 2

2 3 4 3 8 2

6 4 2

6 2 2 8 2

FALSCHE AUSSAG

6

Probe für x=3

= − ± −

− − = − ±

= ± −

= ±

= ±

= ±

=

⋅ + ⋅ − =

+ =

+ =

=

−

⁄

{ }

2 2 4 2 8 2

4 0 2

4 0 2

4 2E 2 2

WAHRE AUSSAGE


Probe für x= 2

L= 2

⋅ + ⋅ − =

+ =

+ =

=

=


Lösung zu 5o

( )

( )

22

2





3x 5 1

Ge

x | rechte Seite: Binom anwe

gebe

d

n

n: − − =

− − =

− − = −

− − = −

− = −2

2

2

en oder ausmultiplizieren3x 5 1 2x x | alle Summanden auf die rechte Seite bringen: 3x 50 6 5x x | Seiten tauschenx 5x 6 0 | Dies ist eine quadratische Gleichung in Normalform

Quadratische Gleichung

− = − + − += − +− + =

( ) ( )

2

2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

mit pq-Formel lösen

p px q2 2

5 5x

2 2

5 25 24x2 4 45 1x2 45 1x2 45 1x2 2

x 3 2

3 3 3 5 1

3 4 1

3 2 1 1 1

1 1WAHRE AUSSAGE

6

Probe für x=3

= − ± −

− − = − ±

= ± −

= ±

= ±

= ±

=

− ⋅ − =

− =

− =

=

=

−

⁄

{ }

2 3 2 5 1

2 1 1

2 1 1

1 1

1 1WAHRE AUSSAGE


Probe für x= 2

L= 2;3

− ⋅ − =

− =

− =

=

=


Lösung zu 5p

( )

( )

22

2





6x 6 1

Ge

x | rechte Seite: Binom anwe

gebe

d

n

n: + − =

+ − =

+ − = −

− − = −

− = −2

2

2



− = − + − += − +− + =

( ) ( )

2

2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

mit pq-Formel lösen

p px q2 2

8 8x

2 2

x 4 16 7

x 4 9

x 4 3

x 7

7 6 7 6 1

7 36 1

7 6 1 13 1

FALSCHE AUSSAGE

7

Probe für x=7

= − ± −

− − = − ±

= ± −

= ±

= ±

=

+ ⋅ − =

+ =

+ =

=

−

⁄1

{ }

1 6 1 6 1

1 0 1

1 0 1

1 1

1 1WAHRE AUSSAGE


Probe für x= 1

L= 1

+ ⋅ − =

+ =

+ =

=

=


Lösung zu 5q

( )

( )

22

2

3 x 5x 9 3 | :3




5x

Gegeben:

9 1 x | quadrieren

5x 9 1 x | rech

− − =

− − =

− − =

− − = −

− − = −

− = −2

2

2

te Seite: Binom anwenden oder ausmultiplizieren5x 9 1 2x x | alle Summanden auf die rechte Seite bringen: 5x 90 10 7x x | Seiten tauschenx 7x 10 0 | Dies ist eine quadratische Gleichung in Normalform

− = − + − += − +− + =

( ) ( )

2

2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2


p px q2 2

7 7x

2 2

7 49 40x2 4 47 9x2 47 9x2 47 3x2 2

x 5

3 5 5 5 9 3

3 5 16 3

3 5 4 3 3 1 33 3WAHRE AUSSAG

10

Probe für x=5

= − ± −

− − = − ±

= ±

= ±

= ±

= ±

=

− ⋅ − =

− =

− =

=

=

−

−

⁄ 2

{ }

3 2 5 2 9 3

3 2 1 3

3 2 1 3

3 1 3

3 3E WAHRE AUSSAGE


Probe für x= 2

L= 2;5

− ⋅ − =

− =

− =

=

=


Lösung zu 5r

( )

( )

22

2




3x 2 4 3x | quadrieren 3x 2 4

Gegeben:

3x | rechte Seite: Binom

+ − =

+ − =

+ − = −

− = −

− = −2

2

2

2

anwenden oder ausmultiplizieren3x 2 16 24x 9x | alle Summanden auf die rechte Seite bringen: 3x 20 18 27x 9x | Seiten tauschen9x 27x 18 0 | :9 x 3x 2 0 | Dies ist eine quadratische Gleichung in Norma

− = − + − += − +− + =− + =

( )

2

2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

lform


p px q2 2

3 3x2 2

3 9 8x2 4 43 1x2 43 1x2 43 1x2 2

x 2

3 2 3 2 2 2

6 4 2

6 2 2 8 2

FALSCHE AUSSAGE

2

Probe für x=2

= − ± −

− − = − ±

= ±

= ±

= ±

= ±

=

⋅ + ⋅ − =

+ =

+ =

=

−

−

⁄1

{ }

3 1 3 1 2 2

3 1 2

3 1 2

4 2 2 2

WAHRE AUSSAGE


Probe für x= 1

L= 1

⋅ + ⋅ − =

+ =

+ =

=

=


Lösung zu 5s

( )

( )

22

2



x 2x 5 4 | x (Wurzel isolieren) 2x 5 4 x | quadriere

Gegeben:

n

2x 5 4 x | rechte Seite: Binom anwend

+ − =

+ − =

+ − = −

− = −

− = −2

2

2


Quadratische Gleic

− = − + − += − +− + =

( )

2

2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

hung mit pq-Formel lösen

p px q2 2

10 10x2 2

x 5 25 21

x 5 4

x 5 2

x 7

7 2 7 5 2

7 14 5 2

7 9 2

7 3 2 10 2

FALSCHE AUSSAGE

21

Probe für x=7

= − ± −

− − = − ±

= ± −

= ±

= ±

=

+ ⋅ − =

+ − =

+ =

+ =

=

−

⁄ 3

{ }

3 2 3 5 2

3 1 2

3 1 2

4 2

2 2WAHRE AUSSAGE


Probe für x= 3

L= 3

+ ⋅ − =

+ =

+ =

=

=


Lösung zu 5t

( )

( )

22

2




9x 9 9 3x | quadrieren 9x 9 9

Gegeben:

3x | rechte Seite: Binom

+ − =

+ − =

+ − = −

− = −

− = −2

2

2

2

anwenden oder ausmultiplizieren9x 9 81 54x 9x | alle Summanden auf die rechte Seite bringen: 9x 90 90 63x 9x | Seiten tauschen9x 63x 90 0 | :9 x 7x 10 0 | Dies ist eine quadratische Gleichung in Nor

− = − + − += − +− + =− + =

( )

2

2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

malform


p px q2 2

7 7x2 2

7 49x2 47 49 40x2 4 47 9x2 47 9x2 47 3x2 2

x 5

3 5 9 5 9 3

15 36 3

15 6 3

21

10

10

Probe für x=5

= − ± −

− − = − ±

= ±

= ±

= ±

= ±

= ±

=

⋅ + ⋅ − =

+ =

+ =

=

−

−

−

⁄ 2

{ }

3 2 9 2 9 3

6 9 3

6 3 3

3 9 3FALSCHE AUSSAGE 3 3

WAHRE AUSSAGE


Probe für x= 2

L= 2

⋅ + ⋅ − =

+ =

+ =

=

=


Lösung zu 5u

( )

( )

22

2



x 2x 8 4 | x (Wurzel isolieren) 2x 8 4 x | quadriere

Gegeben:

n

2x 8 4 x | rechte Seite: Binom anwend

+ − =

+ − =

+ − = −

− = −

− = −2

2

2


Quadratische Gleic

− = − + − += − +− + =

( )

2

2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

hung mit pq-Formel lösen

p px q2 2

10 10x2 2

x 5 25 24

x 5 1

x 5 1

x 6

6 2 6 8 2

6 4 2

6 2 2

8 2 FALSCHE AUSSAGE

24

Probe für x=6

= − ± −

− − = − ±

= ± −

= ±

= ±

=

+ ⋅ − =

+ =

+ =

=

−

⁄ 4

{ }

4 2 4 8 2

4 0 2

4 0 2

2 2

WAHRE AUSSAGE


Probe für x=4

L= 4

+ ⋅ − =

+ =

+ =

=


Lösung zu 5v

( )

( )

22

2

5 x 3x 8 10 | :5




3x

Gegeben:

8 4 x | quadrieren

3x 8 4 x | rech

− − =

− − =

− − =

− − = −

− − = −

− = −2

2

2

te Seite: Binom anwenden oder ausmultiplizieren3x 8 16 8x x | alle Summanden auf die rechte Seite bringen: 3x 80 24 11x x | Seiten tauschenx 11x 24 0 | Dies ist eine quadratische Gleichung in Normalf

− = − + − += − +− + =

( )

2

2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

orm


p px q2 2

11 11x2 2

11 121x2 4

11 121 96x2 4 4

11 25x2 4

11 25x2 4

11 5x2 2

x 8

5 8 3 8 8 10

5 8 16 1

24

24

Probe für x=8

= − ± −

− − = − ±

= ±

= ±

= ±

= ±

= ±

=

− ⋅ − =

− =

−

−

−

⁄ 3

5 3 3 3 8 10

0 5 3 1 10

5 8 4 10 5 2 10 | :5

5 2 10 2 2WAHRE AUSSAGE FALSCHE AUSSAGE

Die Lösungsmenge der Wurzelgleich

Probe für x=3

− ⋅ − =

− =

− = =

⋅ = =

{ }ung: L= 8


Lösung zu 5w

( )

( )

22

2





9x 9 9 3x | rechte Sei

G

te: Binom

egeben:

− − =

− − =

− − = −

− − = −

− = −2

2

2

2

anwenden oder ausmultiplizieren9x 9 81 54x 9x | alle Summanden auf die rechte Seite bringen: 9x 90 90 63x 9x | Seiten tauschen9x 63x 90 0 | : 9 x 7x 10 0 | Dies ist eine quadratische Gleichung in No

− = − + − += − +− + =− + =

( )

2

2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

rmalform


p px q2 2

7 7x2 2

7 49x2 47 49 40x2 4 47 9x2 47 9x2 47 3x2 2

x 5

3 5 9 5 9 3

15 36 3

15 6 3

10

10

Probe für x=5

= − ± −

− − = − ±

= ±

= ±

= ±

= ±

= ±

=

⋅ − ⋅ − =

− =

− =

−

−

−

⁄ 2

{ }

3 2 9 2 9 3

6 9 3

6 3 3

9 3 3 3

3 3 FALSCHE AUSSAGEWAHRE AUSSAGE


Probe für x=2

L= 5

⋅ − ⋅ − =

− =

− =

= =

=


Lösung zu 5x

( )

( )

22

2





4x 8 4 2x | rechte Sei

G

te: Binom

egeben:

− − =

− − =

− − = −

− − = −

− = −2

2

2

2

anwenden oder ausmultiplizieren4x 8 16 16x 4x | alle Summanden auf die rechte Seite bringen: 4x 80 24 20x 4x | Seiten tauschen4x 20x 24 0 | : 4 x 5x 6 0 | Dies ist eine quadratische Gleichung in Nor

− = − + − += − +− + =− + =

( )

2

2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

malform


p px q2 2

5 5x2 2

5 25x2 45 25 24x2 4 45 1x2 45 1x2 45 1x2 2

x 3

2 3 4 3 8 2

6 4 2

6 2 2

4 2

2 2

6

6

Probe für x=3

= − ± −

− − = − ±

= ±

= ±

= ±

= ±

= ±

=

⋅ − ⋅ − =

− =

− =

=

=

−

−

−

⁄ 2

{ }

2 2 4 2 8 2

4 0 2

4 2

2 2

WAHRE AUSSAGEWAHRE AUSSAGE


Probe für x=2

L= 2;3

⋅ − ⋅ − =

− =

=

=


Lösung zu 6a

( ) ( )2 2

5x+ x+5 = 5x+3 | quadrieren

5x+ x+5 5x+3 | Potenzieren und Radizieren (Wurzel) heben sich auf

5x+ x+5 5x+3 | 5x (Wurzel isolieren)

x+5 3 | quadrierenx 5 9 | 5x 4 | alle Summan

G

d

e

en auf die

geben:

rechte

=

= −

=+ = −=

{ }

Seite bringen: x 3

5 4+ 4+5 = 5 4+3

20+ 9 = 23

20+3= 23

23 23

WAHRE AUSSAGE


Probe für x=4

L= 1

− −

⋅ ⋅

=


Lösung zu 6b

( ) ( )

( )

2 2

2

x+ 10x+9 = 2x+3 | quadrieren

x+ 10x+9 2x+3 | Potenzieren und Radizieren (Wurzel) heben sich auf

x+ 10x+9 2x+3 | x (Wurzel isolieren)

10x 9 x 3 | quadrieren

10x 9 x 3 | rec

Gegeben

hte Sei

:

te: Binom anwen

=

= −

+ = +

+ = +2

2

1

den oder ausmultiplizieren10x 9 x 6x 9 | alle Summanden auf die rechte Seite bringen: 10x 90 x 4x | x ausklammern

Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.0 x(x 4)

Die x =0

+ = + + − −= −

= −⇒

2

erste Lösung ist also x=0. Die zweite Lösung berechnen wir in einer Nebenrechnung, indem wir die Klammer gleich Null setzen

Nebenrechnung : Die Nebenrechnung ergibt die zweite Lösungx 4 0 x 4

Probe für

− ==

0+ 10 0+9 = 2 0+3 4+ 10 4+9 = 2 4+3

0+ 9 = 3 4+ 49 = 11

0+3= 3 4+7= 11

3 3 11= 11

WAHRE AUSSAGE WAHRE AUSSAGE

Die Lösungsmenge der Wurzelgleichu

x=0 Probe für x=4

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

{ }ng: L= 0;4


Lösung zu 6c

( ) ( )

( )

2 2

2

2x+ 7x+4 = 3x+2 | quadrieren

2x+ 7x+4 3x+2 | Potenzieren und Radizieren (Wurzel) heben sich auf

2x+ 7x+4 3x+2 | 2x (Wurzel isolieren)

7x+4 x+2 | quadrieren

7x 4 x 2 | rechte Se

Gegebe

ite: Binom anw

n:

end

=

= −

=

+ = +2

2

1

en oder ausmultiplizieren7x 4 x 4x 4 | alle Summanden auf die rechte Seite bringen: 7x 40 x 3x | x ausklammern


Die er x =0

+ = + + − −= −

= −⇒

2

ste Lösung ist also x=0. Die zweite Lösung berechnen wir in einer Nebenrechnung, indem wir die Klammer gleich Null setzen


Probe für x=

− ==

2 0+ 7 0+4 = 3 0+2 2 3+ 7 3+4 = 3 3+2

0+ 4 = 2 6+ 25 = 11

0+2= 2 6+5= 11

2 2 11= 11


Die Lösungsmenge der Wurzelgleichun

0 Probe für x=3

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

{ }g: L= 0;3


Lösung zu 6d

( ) ( )

( )

2 2

2





Ge

10x 4 x 2 | rechte

gebe

Sei

n

te: Binom

:

a

=

= −

=

+ = +2

2

1

nwenden oder ausmultiplizieren10x 4 x 4x 4 | alle Summanden auf die rechte Seite bringen: 10x 40 x 6x | x ausklammern

Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist0 x(x 6)

x =0

+ = + + − −= −

= −⇒

2

.Die erste Lösung ist also x=0. Die zweite Lösung berechnen wir in einer Nebenrechnung, indem wir die Klammer gleich Null setzen


Probe

− ==

4 0+ 10 0+4 = 5 0+2 4 6+ 10 6+4 = 5 6+2

0+ 4 = 2 24+ 64 = 32

0+2= 2 24+8= 32

2 2 32= 32


Die Lösungsmenge der Wur

für x=0 Probe für x=6

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

{ }zelgleichung: L= 0;6


Lösung zu 6e

( ) ( )

( )

2 2

2






Gegebe

ite: Binom anw

n:

end

=

= −

=

+ = +2

2

1



Die er x =0

+ = + + − −= −

= −⇒

2



Probe für x=

− ==

6 0+ 6 0+4 = 7 0+2 6 2+ 6 2+4 = 7 2+2

0+ 4 = 2 12+ 16 = 14+2

0+2= 2 12+4= 16

2 2 16= 16


Die Lösungsmenge der Wurzelglei

0 Probe für x=2

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

{ }chung: L= 0;2


Lösung zu 6f

( ) ( )

( )

2 2

2






Gegebe

ite: Binom anw

n:

end

=

= −

=

+ = +2

2

1



Die er x =0

+ = + + − −= −

= −⇒

2



Probe für x=

− ==

8 0+ 9 0+4 = 9 0+2 8 5+ 9 5+4 = 9 5+2

0+ 4 = 2 40+ 49 = 47

0+2= 2 40+7= 47

2 2 47= 47


Die Lösungsmenge der Wurzelgleich

0 Probe für x=5

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

{ }ung: L= 0;5


Lösung zu 6g

( ) ( )

( )

2 2

2

4x+ x+3 = 5x+1 | quadrieren

4x+ x+3 5x+1 | Potenzieren und Radizieren (Wurzel) heben sich auf

4x+ x+3 5x+1 | 4x (Wurzel isolieren)

x+3 x+1

Ge

| quadrieren

x 3 x 1 | rechte Seite: Binom anwenden od

geben:

=

= −

=

+ = +2

2

2

1,2

er ausmultiplizierenx 3 x 2x 1 | alle Summanden auf die rechte Seite bringen: x 30 x x 2 | Seiten tauschenx x 2 0 | Dies ist eine quadratische Gleic

Quadrat

hung in Normalform

x

ische Gleichung lösen:

+ = + + − −= + −+ − =

( )

2

2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

p p q2 2

1 1x 22 2

1 1x 22 41 9x2 41 9x2 41 3x2 2

x 1

4 1+ 1+3 = 5 1+1

4+ 4 = 6

4+2= 6

6 6

WAHRE AUSSAGE

Probe für x=1

= − ± −

= − ± − −

= − ± +

= − ±

= − ±

= − ±

=

⋅ ⋅

=

⁄ -2

( ) ( ) ( )4 2 + 2 +3 = 5 2 +1

8 1= 10+1

8= 9

Da die Wurzeln nicht definiert sind

(negative Radikanten) kann die Zahl 2

keine Lösung der Wurzelgleichung sein


Probe für x= 2

⋅ − − ⋅ −

− −

− −

−

−

{ } L= 1


Lösung zu 6h

( ) ( )

( )

2 2

2

3x+ 8x+1= 4x+2 | quadrieren





Gegebe

ite: Binom anw

n:

end

=

= −

=

+ = +2

2

2

en oder ausmultiplizieren8x 1 x 4x 4 | alle Summanden auf die rechte Seite bringen: 8x 10 x 4x 3 | Seiten tauschenx 4x 3 0 Dies ist eine quadratische Gleichung in Norm

Quadratische Gleichun

alform

g l

+ = + + − −= − +− + =

( ) ( )

2

2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

p px q2 2

4 4x 3

2 2

x 2 4 3

x 2 1

x 2 1

x 3

3 3+ 8 3+1= 4 3+2

9+ 25 = 14

9+5= 14

14 14

WAHRE AUSSAGE

ösen

:

Probe für x=3

= − ± −

− − = − ± −

= ± −

= ±

= ±

=

⋅ ⋅ ⋅

=

⁄1

{ }

3 1+ 8 1+1= 4 1+2

3+ 9 = 6

3+3= 6

6= 6

WAHRE AUSSAGE


Probe für x=1

L= 1;3

⋅ ⋅ ⋅


Lösung zu 6i

( ) ( )

( )

2 2

2





Ge

15x+4 x 4 | rechte

geben

Seite

:

: Binom a

=

= −

=

= +2

2

2

Quadratisc

nwenden oder ausmultiplizieren15x+4 x 8x 16 | alle Summanden auf die rechte Seite bringen: 15x 40 x 7x 12 | Seiten tauschenx 7x 12 0 Dies ist eine quadratische Gleichung in Normalform

he G

= + + − −= − +− + =

( ) ( )

2

2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

p px q2 2

7 7x 12

2 2

7 49 48x2 4 47 1x2 47 1x2 47 1x2 47 1x2 2

x 4

2 4+ 15 4+4 = 3 4+4

8+ 64 = 16

8+8= 16

16= 16

WAHRE AUSSAGE

leichung lösen:

Probe für x

=4

= − ± −

− − = − ± −

= ± −

= ±

= ±

= ±

= ±

=

⋅ ⋅ ⋅

⁄ 3

{ }

2 3+ 15 3+4 = 3 3+4

6+ 49 = 13

6+7= 13

13= 13

WAHRE AUSSAGE


Probe für x=3

L= 3;4

⋅ ⋅ ⋅


Lösung zu 6j

( ) ( )

( )

2 2

2





7x+2 x 2 | rechte Seite: Binom anw

Gegebe

n

n

e d

:

=

= −

=

= +2

2

2

en oder ausmultiplizieren7x+2 x 4x 4 | alle Summanden auf die rechte Seite bringen: 7x 20 x 3x 2 | Seiten tauschenx 3x 2 0 Dies ist eine quadratische Gleichung in Norma

Quadratische Gleichu

lform

n l

g

= + + − −= − +− + =

( ) ( )

2

2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

p px q2 2

3 3x 2

2 2

3 9 8x2 4 43 1x2 43 1x2 43 1x2 2

x 2

2 2+ 7 2+2 = 3 2+2

4+ 16 = 8

4+4= 8

8= 8

WAHRE AUSSAGE

s

ö en:

Probe für x=2

= − ± −

− − = − ± −

= ± −

= ±

= ±

= ±

=

⋅ ⋅ ⋅

⁄1

{ }

2 1+ 7 1+2 = 3 1+2

2+ 9 = 5

2+3= 5

5= 5

WAHRE AUSSAGE


Probe für x=1

L= 1;2

⋅ ⋅ ⋅


Lösung zu 6k

( ) ( )

( )

2 2

2

x+ 20x+1= 2x+5 | quadrieren





Gegebe

n

n

e d

:

=

= −

=

= +2

2

2

en oder ausmultiplizieren20x+1 x 10x 25 | alle Summanden auf die rechte Seite bringen: 20x 10 x 10x 24 | Seiten tauschenx 10x 24 0 Dies ist eine quadratische Gleichung in Normalfo

Quadratische Gle

rm

= + + − −= − +− + =

( ) ( )

2

2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

p px q2 2

10 10x 24

2 2

x 5 25 24

x 5 1

x 5 1

x 6

6+ 20 6+1= 2 6+5

6+ 121= 17

6+11= 17

17= 17

WAHRE AUSSAGE

ichung lösen:

Probe für x=6

= − ± −

− − = − ± −

= ± −

= ±

= ±

=

⋅ ⋅

⁄ 4

{ }

4+ 20 4+1= 2 4+5

4+ 81= 13

4+9= 13

13= 13

WAHRE AUSSAGE


Probe für x=4

L= 4;6

⋅ ⋅


Lösung zu 6L

( ) ( )

( )

2 2

2

x+ 11x+3 = 2x+3 | quadrieren





Gegebe

n

n

e d

:

=

= −

=

= +2

2

2

en oder ausmultiplizieren11x+3 x 6x 9 | alle Summanden auf die rechte Seite bringen: 11x 30 x 5x 6 | Seiten tauschenx 5x 6 0 Dies ist eine quadratische Gleichung in Nor

Qua

malform

dratische Gleichung

= + + − −= − +− + =

( ) ( )

2

2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

p px q2 2

5 5x 6

2 2

5 25x 62 45 25 24x2 4 45 1x2 45 1x2 45 1x2 2

x 3

3+ 11 3+3 = 2 3+3

3+ 36 = 9

3+6= 9

9= 9

WAHRE AUSSAGE

lösen:

Probe für

x=3

= − ± −

− − = − ± −

= ± −

= ± −

= ±

= ±

= ±

=

⋅ ⋅

⁄ 2

{ }

2+ 11 2+3 = 2 2+3

2+ 25 = 7

2+5= 7

7= 7

WAHRE AUSSAGE


Probe für x=2

L= 2;3

⋅ ⋅


Lösung zu 7a

( ) ( )

( )

2 4

4 42 4

42

3x 1= 6x+1 | mit dem höheren Wurzelexponenten potenzierenLinke Seite: Wurzel als Potenz schreiben

3x 1 6x+1Rechte Seite: Potenzieren und Radizieren (Wurzel) heben sich auf

3x 1

6x+

1 |

Gegeben: +

+ =

+ =

( )2

2

2

2 4

2 4

Linke Seite: Exponent kürzen

3x 1 6x+1 | Linke Seite: Binom anwenden oder ausmultiplizieren9x 6x 1 6x+1 | 6x 19x 0 | Hieraus ergibt sich die Lösungx 0

3 0 1= 6 0+1

1= 1

1 1

WAHRE AUSSAGE

Probe für x=0

+ =+ + = − −=

=

⋅ + ⋅

=

{ }

Lösungsmenge der Wurzelgleichung: L= 0


Lösung zu 7b

( ) ( )( )

4 8

8 84 8

84

x 2= 4x+8 | mit dem höheren Wurzelexponenten potenzierenLinke Seite: Wurzel als Potenz schreiben

x 2 4x+8Rechte Seite: Potenzieren und Radizieren hebe

Ge

n sich auf

4x+8 | Linke Seite:x

geben:

2

+

+ =

=+

( )2

2

2

2

2

4 8

4 8

4 4 2

44 2

4 4

Exponent kürzen

4x+8 | Linke Seite: Binom anwenden oder ausmultiplizierenx 2x 4x 4 4x+8 | 4x 8x 4 0 | +4

x 4 | ...

x 4x 2

Probe für x=2

2 2= 4 2+8

4= 16

4= 16

4= 16

4= 4

WAHRE AUSSAGE

⋅

=++ + = − −− =

=

== ±

+ ⋅ ( ) ( )

{ }

84

84

Probe für x= 2

2 2= 4 2 +8

0= 0

0 0

WAHRE AUSSAGE


L= 2;2

−

− + ⋅ −

=

−


Lösung zu 7c

( ) ( )( )

3 6

6 63 6

63


x 3 6x+10Rechte Seite: Potenzieren und Radizieren heben sich auf

6x+10 | Linke Seix 3

Gegeben:

+

+ =

=+

( )2

2

2

2

2

3 6

3 6

3 3 2

33 2

3 3

te: Exponent kürzen


x 1 | ...

x 1x 1

Probe für x=1

1 3= 6 1+10

4= 16

4= 16

4= 16

4= 4

WAHRE AUSSAGE

⋅

=++ + = − −− =

=

== ±

+ ⋅ ( ) ( )

{ }

3 6

3 6

3 3 2

33 2

3 3

Probe für x= 1

1 3= 6 1 +10

2= 4

2= 4

2= 4

2= 2

WAHRE AUSSAGE


L= 1;1

⋅

−

− + ⋅ −

−


Lösung zu 7d

( ) ( )( )

50 100

100 10050 100

10050


2x 2 8x+8Rechte Seite: Potenzieren und Radizieren heben sich a

Gegeben:

f

x

u

8x2 2

+

+ =

=+

( )2

2

2

2

2

2

50 100

50 100

50 50

+8 | Linke Seite: Exponent kürzen

8x+8 | Linke Seite: Binom anwenden oder ausmultiplizieren2x 24x 8x 4 8x+8 | 8x 84x 4 0 | :4x 1 0 | 1

x 1 | ...

x 1x 1

Probe für x=1

2 1 2= 8 1+8

4= 16

4= 16⋅

=++ + = − −− =− = +

=

== ±

⋅ + ⋅ ( ) ( )

{ }

50 100

50 100

2

5050 2

50 50

Probe für x= 1

2 1 2= 8 1 +8

0= 0

0=0

4= 16 WAHRE AUSSAGE

4= 4

WAHRE AUSSAGE


L= 1;1

−

⋅ − + ⋅ −

−


Lösung zu 7e

( ) ( )( )

2 4

4 42 4

42


3x 1 6x+10Rechte Seite: Potenzieren und Radizieren hebe

Ge

n sich auf

6x+10 | Linke Sei3

geben:

x 1

+

+ =

=+

( )2

2

2

2

2

2

2 4

2 4

2 2 2

22 2

2 2


6x+10 | Linke Seite: Binom anwenden oder ausmultiplizieren3x 19x 6x 1 6x+10 | 6x 109x 9 0 | :9x 1 0 | 1

x 1 | ...

x 1x 1

Probe für x=1

3 1 1= 6 1+10

4= 16

4= 16

4= 16

4= 4

WAHR

⋅

=++ + = − −− =− = +

=

== ±

⋅ + ⋅ ( ) ( )2 4

2 4

Probe für x= 1

3 1 1= 6 1 +10

2= 4

Die linke Wurzel ist nicht definiert,

weil der Radikant negativ ist.

Die Zahl 1 ist somit kei

E AUSSAGE

−

⋅ − + ⋅ −

−

−

{ }

ne Lösung

Die Lösungsmenge der Wurzelgleichung: L= 1


Lösung zu 7f

( ) ( )( )

7 14

14 147 14

147


x 1 2x+10Rechte Seite: Potenzieren und Radizieren heb

Gege

en sich auf

2x+10 | Linke Sx 1

ben: +

+ =

=+

( )2

2

2

2

2

7 14

7 14

7 7 2

77 2

7 7

eite: Exponent kürzen


x 9 | ...

x 9 | ...x 3

Probe für x=3

3 1= 2 3+10

4= 16

4= 16

4= 16

4= 4

WAHRE AUS

⋅

=++ + = − −− =

=

== ±

+ ⋅ ( )7 14

Probe für x= 3

3 1= 2 3 +10

Die linke Wurzel ist nicht definiert,

weil der Radikant negativ ist.

Die Zahl 3 ist somit keine Lösung

SAGE

Die Lö

−

− + ⋅ −

−

{ }sungsmenge der Wurzelgleichung: L= 3


Lösung zu 7g

( ) ( )( )

2 4

4 42 4

42



Ge

n sich auf

60x+1 | Linke Sei3

geben:

x 1

+

+ =

=+

( )

( )

2

2

2

2


60x+1 | Linke Seite: Binom anwenden oder ausmultiplizieren3x 19x 6x 1 60x+1 | 19x 6x 60x | 60x9x 54x 0 | 9x ausklammern

Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Fak9x x 6 0

x 0

=++ + = −+ = −− =

− =

⇒ =

2 4

2 4

toren gleich Null ist. Die erste Lösung ist also Null, die andere Lösung ergibt sich durch Nullsetzen der Klammer

x 6 0 | 6

x 6

Probe für x=0

3 0 1= 60 0+1

1= 1

1=1

WAHRE AUSSAGE

− = +

=

⋅ + ⋅

{ }

2 4

2 4

2 2 2

22 2

2 2

Probe für x=6

3 6 1= 60 6+1

19= 361

19= 361

19= 361

19= 19

WAHRE AUSSAGE


L= 0;6

⋅

⋅ + ⋅


Lösung zu 7h

( ) ( )( )

3 6

6 63 6

63



Ge

n sich auf

99x+1 | Linke Sei9

geben:

x 1

+

+ =

=+

( )

( )

2

2

2

2



Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer 81x x 1 0

x 0

=++ + = −+ = −− =

− =

⇒ =

3 6

3 6

der Faktoren gleich Null ist. Die erste Lösung ist also Null, die andere Lösung ergibt sich durch Nullsetzen der Klammer

x 1 0 | 1

x 1

Probe für x=0

9 0 1= 99 0+1

1= 1

1=1

WAHRE AUSSAGE

− = +

=

⋅ + ⋅

{ }

3 6

3 6

3 3 2

33 2

3 3

Probe für x=1

9 1 1= 99 1+1

10= 100

10= 100

10= 100

10= 10

WAHRE AUSSAGE


L= 0;1

⋅

⋅ + ⋅


Lösung zu 7i

( ) ( )( )

5 10

10 105 10

105


2x 1 20x+1Rechte Seite: Potenzieren und Radizieren heben sich auf

20x+1 | Link2x

Gege e

1

b n: +

+ =

=+

( )

( )

2

2

2

2

e Seite: Exponent kürzen


Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer de4x x 4 0

x 0

=++ + = −+ = −− =

− =

⇒ =

5 10

5 10

r Faktoren gleich Null ist. Die erste Lösung ist also Null, die andere Lösung ergibt sich durch Nullsetzen der Klammer

x 4 0 | 4

x 4

Probe für x=0

2 0 1= 20 0+1

1= 1

1=1

WAHRE AUSSAGE

− = +

=

⋅ + ⋅

{ }

5 10

5 10

55 2

5 5

Probe für x=4

2 4 1= 20 4+1

9= 81

9= 81

9= 9

WAHRE AUSSAGE


L= 0;4

⋅ + ⋅


Lösung zu 7j

( ) ( )( )

84

8 884

84



Ge

n sich auf

24x+1 | Linke Sei4

geben:

x 1

+

+ =

=+

( )

( )

2

2

2

2



Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer de16x x 1 0

x 0

=++ + = −+ = −− =

− =

⇒ =

84

84

r Faktoren gleich Null ist. Die erste Lösung ist also Null, die andere Lösung ergibt sich durch Nullsetzen der Klammer

x 1 0 | 1

x 1

Probe für x=0

4 0 1= 24 0+1

1= 1

1=1

WAHRE AUSSAGE

− = +

=

⋅ + ⋅

{ }

84

84

44 2

4 4

Probe für x=1

4 1 1= 24 1+1

5= 25

5= 25

5= 5

WAHRE AUSSAGE


L= 0;1

⋅ + ⋅


Lösung zu 7k

( ) ( )( )

10 20

20 2010 20

2010


2x 1 36x+1Rechte Seite: Potenzieren und Radizieren heben sich a

Ge

uf

36x+1 | L2

geb

x 1

en: +

+ =

=+

( )

( )

2

2

2

2

inke Seite: Exponent kürzen


Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer4x x 8 0

x 0

=++ + = −+ = −− =

− =

⇒ =

10 20

10 20

der Faktoren gleich Null ist. Die erste Lösung ist also Null, die andere Lösung ergibt sich durch Nullsetzen der Klammer

x 8 0 | 8

x 8

Probe für x=0

2 0 1= 36 0+1

1= 1

1=1

WAHRE AUSSAGE

− = +

=

⋅ + ⋅

{ }

10 20

10 20

10 10 2

1010 2

10 10

Probe für x=8

2 8 1= 36 8+1

17= 289

17= 289

17= 17

17= 17

WAHRE AUSSAGE


L= 0;8

⋅

⋅ + ⋅

eu


Lösung zu 7L

( ) ( )( )

6 12

12 126 12

126



56x+1 | Link4x

Gege e

1

b n: +

+ =

=+

( )

( )

2

2

2

2



Ein Produkt ist gleich Null, wenn ein16x x 3 0

x 0

=++ + = −+ = −− =

− =

⇒ =

6 12

6 12

er der Faktoren gleich Null ist. Die erste Lösung ist also Null, die andere Lösung ergibt sich durch Nullsetzen der Klammer

x 3 0 | 3

x 3

Probe für x=0

4 0 1= 56 0+1

1= 1

1=1

WAHRE AUSSAGE

− = +

=

⋅ + ⋅

{ }

6 12

6 12

6 6 2

66 2

6 6

Probe für x=3

4 3 1= 56 3+1

13= 169

13= 169

13= 169

13= 13

WAHRE AUSSAGE


L= 0;3

⋅

⋅ + ⋅


Lösung zu 7m

( ) ( )( )

2 4

4 42 4

42



8x+8 | Linke Seite: Exx 3

Gegeben: +

+ =

=+

( )2

2

2

ponent kürzen

8x+8 | Linke Seite: Binom anwenden oder ausmultiplizierenx 3x 6x 9 8x+8 | 8x 8

Dies ist eine quadratische Gleichung in Form des 2.Binoms,x 2x 1 0

d.h. wir können die 2.Binomische Forme

=++ + = − −

− + =

( )2

2 4

2 4

l anwenden

Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich x 1 0

Null ist. Wir müssen also die Klammer gleich Null setzenx 1 0x 1

Probe für x=1

1 3= 8 1+8

4= 16

2=2

WAHRE AUSSAGE

− =

− ==

+ ⋅

{ }


L= 1


Lösung zu 7n

( ) ( )( )

5 10

10 105 10

105



Gege

en sich auf

6x+15 | Linke Sx 4

ben: +

+ =

=+

( )2

2

2




d.h. wir können die 1.Bino

=++ + = − −

+ + =

( )

( )

2

5 10

5 10

5 5 2

5

mische Formel anwenden

Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleichx 1 0


Probe für x= 1

1 4= 6 1 +15

3= 9

3= 9

3

⋅

+ =

+ == −

−

− + ⋅ −

{ }

5 2

5 5

= 9

3= 3

WAHRE AUSSAGE


L= 1−


Lösung zu 7o

( ) ( )( )

10 20

20 2010 20

2010



G

6x+21 | Link

egeb :

5

e

x

n +

+ =

=+

( )2

2

2




d.h. wir können die 1.

=++ + = − −

+ + =

( )

( )

2

10 20

10 20

10

Binomische Formel anwenden



Probe für x= 2

2 5= 6 2 +21

3= 9

3

+ =

+ == −

−

− + ⋅ −

{ }

10 2

1010 2

10 10

= 9

3= 9

3= 3

WAHRE AUSSAGE


L= 2

⋅

−


Lösung zu 7p

( ) ( )( )

3 6

6 63 6

63



32x+96 | Lin2x

Gegeben

10

: +

+ =

=+

( )2

2

2

2

ke Seite: Exponent kürzen

32x+96 | Linke Seite: Binom anwenden oder ausmultiplizieren2x 104x 40x 100 32x+96 | 32x 964x 8x 4 0 :4


d

=++ + = − −+ + =

+ + =

( )

( )

2

.h. wir können die 1.Binomische Formel anwenden



Probe für x= 1

2 1 1

+ =

+ == −

−

⋅ − + ( )

{ }

3 6

3 6

3 3 2

33 2

3 3

0= 32 1 +96

8= 64

8= 64

8= 64

8= 8

WAHRE AUSSAGE


L= 1

⋅

⋅ −

−


Lösung zu 7q

( ) ( )( )

84

8 884

84


x 10 6x+51Rechte Seite: Potenzieren und Radizieren hebe

Ge

n sich auf

6x+51 | Linke Seix

geben:

10

+

+ =

=+

( )2

2

2

2 2


6x+51 | Linke Seite: Binom anwenden oder ausmultiplizierenx 10x 20x 100 6x+51 | 6x 51x 14x 49 0 Schreibweise ändern

Dies ist eine quadratische Gleichung in Form des 1x 2 7 x 7 0

=++ + = − −+ + =

+ ⋅ ⋅ + =

( )2

.Binoms,d.h. wir können die 1.Binomische Formel anwenden

Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich x 7 0


Probe für x=

+ =

+ == −

( )

{ }

4 8

84

4 4 2

44 2

4 4

7

7 10= 6 7 +51

3= 9

3= 9

3= 9

3= 3

WAHRE AUSSAGE


L= 7

⋅

−

− + ⋅ −

−


Lösung zu 7r

( ) ( )( )

5 10

10 105 10

105


2x 5 16x+24Rechte Seite: Potenzieren und Radizieren heben sich

Ge

auf

16x+24 | L2

ge

x 5

ben: +

+ =

=+

( )

( )

2

2

2

2

inke Seite: Exponent kürzen

16x+24 | Linke Seite: Binom anwenden oder ausmultiplizieren2x 54x 20x 25 16x+24 | 16x 244x 4x 1 0 Schreibweise ändern

Dies ist eine quadratische Gleichung in 2x 2 2x 1 0

=++ + = − −+ + =

+ ⋅ + =

( )2

Form des 1.Binoms, d.h. wir können die 1.Binomische Formel anwenden

Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich2x 1 0

Null ist. Wir müssen also die Klammer gleich Null setzen2x 1 0 |

+ =

+ = −

( ) ( )

{ }

12

1 15 102 2

5 10

5 5 2

55 2

5 5

12x 1 | :2

Probe für x =

2 5= 16 +24

4= 16

4= 16

4= 16

4= 4

WAHRE AUSSAGE

Die Lösungsmenge

1x2

der Wurzelgleichung:

1 L= 2

⋅

= −

−

⋅ − + ⋅ −

= −

−


Lösung zu 7s

( ) ( )( )

2 4

4 42 4

42



4x+4 | Linke Seite: Exx 1

Gegeben: +

+ =

=+

( )2

2

2

2

1,2

ponent kürzen

4x+4 | Linke Seite: Binom anwenden oder ausmultiplizierenx 1x 2x 1 4x+4 | 4x 4x 2x 3 0 Dies ist eine quadratische Gleichung in


Normalform

p px 2

lösen:

2

=++ + = − −− − =

= − ± −

( ) ( )

( )

2

1,2

1,2

1,2

2 4 2 4

2 4 2 4

2 2 2

22 2

2 2

1,2

q

2 2x 322x 1 4x 1 2x 3 1

Pr obe für x 3 Pr obe für x 1

3 1= 4 3+4 1 1= 4 1 +4

4= 16 0= 04= 16 0=0

WAHRE AUSSAGE4= 16

4= 4WAHRE AUSSAGE

Lösungsmeng

⋅

− −= − ± − −

= ±

= ±

=

= = −

+ ⋅ − + ⋅ −

⁄ -

{ }e der Wurzelgleichung: L= 1; 3−


Lösung zu 7t

( ) ( )( )

6 12

12 126 12

126



Gege

en sich auf

10x+6 | Linke Sx 3

ben: +

+ =

=+

( )2

2

2

1,2


10x+6 | Linke Seite: Binom anwenden oder ausmultiplizierenx 3x 6x 9 10x+6 | 10x 6x 4x 3 0 Dies ist eine quadratische Gleichung

Quadratische Gleic

in Normalfo

hung lösen:

rm

px2

=++ + = − −− + =

= −

( )

2

2

1,2

1,2

1,2

6 612 12

66 12 12

66 6 2 6 2

6 666 2 2

6 6

1,2

p q2

4 4x 322x 2 1x 2 1x 3 1


3 3= 10 3+6 1 3= 10 1+6

6= 36 4= 16

6= 36 4= 16

6= 36 4= 16

6= 6WAHRE AUSSAGE

⋅ ⋅

± −

− −= − ± −

= ±

= ±

=

= =

+ ⋅ + ⋅

⁄

{ }

6 64= 4WAHRE AUSSAGE

Lösungsmenge der Wurzelgleichung: L= 1; 3


Lösung zu 7u

( ) ( )( )

5 10

10 105 10

105


x 1 3x+7Rechte Seite: Potenzieren und Radizieren heben

Ge

sich auf

3x+7 | Linke Seitx

geben

1

: +

+ =

=+

( )2

2

2

1,2

e: Exponent kürzen

3x+7 | Linke Seite: Binom anwenden oder ausmultiplizierenx 1x 2x 1 3x+7 | 3x 7x x 6 0 Dies ist eine quadratische Gleichung

Quadratische Gl

in Norma

eichung

lform

lösen

p p

:

x 22

=++ + = − −− − =

= − ±

( ) ( )

2

2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

5 10

5 10

5 5 2

55 2

5 5

1,2

q

1 1x 6221 1x 6421 1 24x 4 421 25x 421 25x2 4

51x 2 2x 3

Pr obe für x 3

3 1= 3 3+7

4= 16

4= 16

4= 16

4= 4WAHRE AU

⋅

−

− −= − ± − −

= ± +

= ± +

= ±

= ±

= ±

=

=

+ ⋅

⁄ -2

( )

{ }

5 10

5 10

Probe für x 2

2 1= 3 2 +7

1= 1Nicht definierte Wurzel, weil der Radikant negativ ist.Damit ist 2 keine Lösung

SSAGE


= −

− + ⋅ −

−

−


Lösung zu 7v

( ) ( )( )

3 6

6 63 6

63



Ge

n sich auf

6x+10 | Linke Sei2

geben:

x 2

+

+ =

=+

( )2

2

2

2


6x+10 | Linke Seite: Binom anwenden oder ausmultiplizieren2x 24x 8x 4 6x+10 | 6x 104x 2x 6 0 :2

2x x 3 0 Dies ist eine quadratische Gleichung in allgemeiner

Q

Form

uadratische Glei

=++ + = − −+ − =

+ − =

( )

2

1,2

2

1,2

1,2

1,2

1,2

3 6

3 6

3 3 2

33 2

3 3

b b 4acx2a

1 1 4 2 3x

2 21 25x

41 5x4

x 1

Pr obe für x 1 Probe für

2 1 2= 6 1+10

4=

chun

16

4= 16

4= 16

4= 4WA

g löse

HRE A AGE

n:

USS

⋅

− ± −=

− ± − ⋅ ⋅ −=

⋅− ±

=

− ±=

=

=

⋅ + ⋅

3 ⁄ - 2

( ) ( )

{ }

32

3 33 62 2

63

32

x

2 2= 6 +10

3 2= 1Nicht definierte Wurzel, weil der Radikant negativ ist.Damit ist keine Lösung


= −

⋅ − + ⋅ −

− +

−


Lösung zu 7w

( ) ( )( )

10 20

20 2010 20

2010



9x+7 | Link2x

Gegeb :

2

en +

+ =

=+

( )2

2

2


9x+7 | Linke Seite: Binom anwenden oder ausmultiplizieren2x 24x 8x 4 9x+7 | 9x 7

4x x 3 0 Dies ist eine quadratische Gleichung in allgemeiner Fo

Quadratische Gleichung lös

rm

en

=++ + = − −

− − =

( ) ( )

2

1,2

2

1,2

1,2

1,2

1,2

3

10 20

10 20

10 10 2

1010 2

10 10

b b 4acx2a

1 1 4 4 3x

2 41 49x

81 7x

83x 14

Pr obe für x 1 Pr obe für x

2 1 2= 9 1+7

4= 16

4= 16

4= 16

4= 4WAHRE AUSSA

:

GE

⋅

− ± −=

− − ± − ⋅ ⋅ −=

⋅±

=

±=

=

= = −

⋅ + ⋅

⁄ -

( ) ( )( )

{ }

4

3 310 204 4

3 27 2820104 4 4

1 110 202 4

1 110 10 22 4

1 11010 22 4

1 110 102 2

2 2= 9 +7

2 2= +

=

=

=

=WAHRE AUSSAGE

3Lösungsmenge der Wurzelgleichung: 4 L= ; 1

⋅

⋅ − + ⋅ −

⋅ − + −

−


Lösung zu 7x

( ) ( )( )

4 8

8 84 8

84



Ge

n sich auf

10x+6 | Linke Sei2

geben:

x 2

+

+ =

=+

( )2

2

2

2


10x+6 | Linke Seite: Binom anwenden oder ausmultiplizieren2x 24x 8x 4 10x+6 | 10x 64x 2x 2 0 | : 2

2x x 1 0 Dies ist eine quadratische Gleichung in allgemeiner For

Quadratische Gl

m

=++ + = − −− − =

− − =

( ) ( ) ( )

2

1,2

2

1,2

1,2

1,2

1,2

4 8

4 8

4 4 2

44 2

4 4

b b 4acx2a

1 1 4 2 1x

2 21 9x

41 3x

41x 12

Pr obe für x 1 Pr obe für

2 1 2= 10 1+6

4= 16

4= 16

4= 1

eichu

6

4

ng lösen

= 4WAHRE A AG

:

USS E

⋅

− ± −=

− − ± − − ⋅ ⋅ −=

⋅±

=

±=

=

=

⋅ + ⋅

⁄ -

( ) ( )

{ }

12

1 1842 2

84

x

2 2= 10 +6

1= 11=1WAHRE AUSSAGE

1Lösungsmenge der Wurzelgleichung: 2 L= ; 1

= −

⋅ − + ⋅ −

−


Lösung zu 8a

( ) ( )( )

2 6

6 62 6

62

x 1 7x 1 | mit dem höheren Wurzelexponenten potenzieren Linke Seite: Wurzel als Potenz schreibenx 1 7x 1 Rechte Seite: Potenzieren und Radizieren hebe

Ge

n sich auf

7x+1 | Linke Seite: x

geben:

1

+ = +

+ = +

=+

( )

( )

3

3 2

3 2

2

1

Exponent kürzen

7x+1 | Linke Seite: Binom anwenden oder ausmultiplizierenx 1x 3x 3x 1 7x+1 | 1 7xx 3x 4x 0 | x ausklammern

Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleichx x 3x 4 0

x 0

=++ + + = − −+ − =

+ − =

⇒ =

2

2,

Null ist. Die erste Lösung ist also Null, die weiteren Lösungen erhält man durch Nullsetzen der Klammer.

x 3x 4 0 | Man erhält eine quadratische GleichunQuadratische Glei

g in Norchung lö

malform

x

sen:+ − =

( ) ( )

2

3

2

2,3

2,3

2,3

2,3

2,3

2,3

26 62

62 2 6

2

p p q223 3x 4223 9 16x 4 423 25x 423 25x2 43 5x 2 2

x 1 4Pr obe für x 0 Pr obe für x 1 0 1 7 0 1 1 1 7 1 11 1 2 8

1=1 2WAHRE AUSSAGE

= − ± −

= − ± − −

= − ± +

= − ±

= − ±

= − ±

=

= =+ = ⋅ + + = ⋅ += =

=

⁄ -

( )

{ }

2 6

2 3

22 3

2 2

Pr obe für x 44 1 7 4 1

Negativer Radikant, daher Wurzel nicht definiert,8daher ist 4 keine Lösung2 8

2 2WAHRE AUSSAGE

Die Lösungsmenge der Wurzelgleichung lautet somit: L= 0; 1

⋅

= −

− + = ⋅ − +

−==


Lösung zu 8b

( ) ( )( )

2 6

6 62 6

62

x 1 13x 1 | mit dem höheren Wurzelexponenten potenzieren Linke Seite: Wurzel als Potenz schreibenx 1 13x 1 Rechte Seite: Potenzieren und Radizieren heben sich auf

13x+1 | Linke Seitx 1

Gegeben: + = +

+ = +

=+

( )

( )

3

3 2

3 2

2

1

e: Exponent kürzen


Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktorex x 3x 10 0

x 0

=++ + + = − −+ − =

+ − =

⇒ =

2

n gleich Null ist. Die erste Lösung ist also Null, die weiteren Lösungen erhält man durch Nullsetzen der Klammer.

x 3x 10 0 | Man erhält eine quadratische Gleichung in NormalfoQuadratische Gleich

rng

mu

+ − =

( ) ( )

2

2,3

2

2,3

2,3

2,3

2,3

2,3

2,3

262

62

p px q223 3x 10223 9 40x 4 423 49x 423 49x2 43 7x 2 2

x 2 5Pr obe für x 0 Pr obe für x 2 0 1 13 0 1 2 1 131 1

1=1WAHRE AUSSAG

löse :

E

n

= − ± −

= − ± − −

= − ± +

= − ±

= − ±

= − ±

=

= =+ = ⋅ + + = ⋅=

⁄ -

( )6 2 6

62

2 32

2 32

2 2

Pr obe für x 52 1 5 1 13 5 1

3 27 Negative Radikanten, daher Wurzeln nicht definiert,3 27daher ist 5 keine Lösung3 27

3 3WAHRE AUSSAGE

Die Lösungsmenge der Wurzelgleichung lautet somit:

⋅

= −+ − + = ⋅ − +

==

−==

{ } L= 0; 2


Lösung zu 8c

( ) ( )( )

3 9

9 93 9

93

2x 1 26x 1 | mit dem höheren Wurzelexponenten potenzieren Linke Seite: Wurzel als Potenz schreiben2x 1 26x 1 Rechte Seite: Potenzieren und Radizieren heben sich auf

26x+1 | Linke S2x

Gegebe

1

n: + = +

+ = +

=+

( )

( )

3

3 2

3 2

2

1


26x+1 | Linke Seite: Binom anwenden oder ausmultiplizieren2x 18x 12x 6x 1 26x+1 | 1 26x8x 12x 20x 0 | 4x ausklammern

Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer d4x 2x 3x 5 0

x 0

=++ + + = − −+ − =

+ − =

⇒ =

2

er Faktoren gleich Null ist. Die erste Lösung ist also Null, die weiteren Lösungen erhält man durch Nullsetzen der Klammer.

2x 3x 5 0 | Man erhält eine qQuad

ur

adat

ratiisch

sche Glee Gleich

icung lös

ge

hun+ − =

( )

2

2,3

2,3

2,3

2,3

2,3

33 9 9

3 9 3 9

3 3 3

33 3

3

b b 4acx2a

3 9 4 2 5x

2 23 49x

43 7x4

5x 1 2Pr obe für x 0 Pr obe für x 1 2 0 1 26 0 1 2 1 1 26 1 11 1 3 27

1=1 3 27WAHRE AUSSAGE 3 2

3

n:

7

⋅

− ± −=

− ± − ⋅ ⋅ −=

⋅− ±

=

− ±=

=

= =⋅ + = ⋅ + ⋅ + = ⋅ += =

=

==

⁄ -

( )

{ }

52

3 9

5 23

Pr obe für x

5 52 1 26 12 2Negative Radikanten, daher Wurzeln nicht definiert,daher ist keine Lösung

3WAHRE AUSSAGE


=

⋅ + = ⋅ +

-

-

- -


Lösung zu 8d

( ) ( )( )

5 15

15 155 15

155

2x 1 62x 1 | mit dem höheren Wurzelexponenten potenzieren Linke Seite: Wurzel als Potenz schreiben2x 1 62x 1 Rechte Seite: Potenzieren und Radizieren heben sich auf

Ge

62x+1 | Li2

geben:

x 1

+ = +

+ = +

=+

( )

( )

3

3 2

3 2

2

1

nke Seite: Exponent kürzen

62x+1 | Linke Seite: Binom anwenden oder ausmultiplizieren2x 18x 12x 6x 1 62x+1 | 1 62x8x 12x 56x 0 | 4x ausklammern

Ein Produkt ist gleich Null, wenn e4x 2x 3x 14 0

x 0

=++ + + = − −+ − =

+ − =

⇒ =

2

iner der Faktoren gleich Null ist. Die erste Lösung ist also Null, die weiteren Lösungen erhält man durch Nullsetzen der Klammer.

2x 3x 14 0 | Man erhält eine quadratische GleiQuadratische

chGleichu

ung+ − =

( )

2

2,3

2,3

2,3

2,3

2,3

55 15 15

5 15 5 15

5

b b 4acx2a

3 9 4 2 14x

2 23 121x

43 11x

47x 2 2

Pr obe für x 0 Pr obe für x 2 2 0 1 62 0 1 2 2 1 62 2 11 1 5 125

1=1 5WAHRE

ng lösen:

AUSSAGE

− ± −=

− ± − ⋅ ⋅ −=

⋅− ±

=

− ±=

=

= =⋅ + = ⋅ + ⋅ + = ⋅ += =

=

⁄ -72

5 15

5 3

55 37 2

5 5

Pr obe für x

7 72 1 62 12 2Negative Radikanten, 125daher Wurzeln nicht definiert,

5 125 daher ist keine Lösung5 5

WAHRE AUSSAGEDie Lösungsmenge der Wurzelgleichung lau

⋅

=

⋅ + = ⋅ +

==

-

-

- -

{ }tet somit: L= 0; 2


Lösung zu 8e

( ) ( )( )

2 6

6 62 6

62



Gegeben: + = +

+ = +

=+

( )

( )

3

3 2

3 2

2

1

e: Exponent kürzen



x 0

=++ + + = − −+ − =

+ − =

⇒ =

2



rng

mu

+ − =

( )( ) ( )

2p2,3 2

232,3 2

2,3

2,3

2,3

2,3

2,3

2,3

62

62

px q23x 8823 9x 88423 9 352x 4 423 361x 423 361x2 43 19x 22

x 8 11Pr obe für x 0 Pr obe für x 8 0

lösen

1 91 0 11 1

1=1WAHRE AUSSAG

:

E

= − ± −

= − ± − −

= − ± +

= − ± +

= − ±

= − ±

= − ±

=

= =+ = ⋅ +=

⁄ -

( )62 2 6

62

2 32

2 32

2 2

Pr obe für x 118 1 91 8 1 11 1 91 11 19 91 8 1 Negative Radikanten,

daher Wurzeln nicht definiert,9 729daher ist 11 keine Lösung9 729

9 9WAHRE AUSSAGE

Die Lösungsmenge der Wurzelg

⋅

= −+ = ⋅ + − + = ⋅ − += ⋅ +=

−==

{ }leichung lautet somit: L= 0; 8


Lösung zu 8f

( ) ( )( )

3 9

9 93 9

93



Gegeben: + = +

+ = +

=+

( )

( )

3

3 2

3 2

2

1

e: Exponent kürzen



x 0

=++ + + = − −+ − =

+ − =

⇒ =

2



rng

mu

+ − =

( )( ) ( )

2p2,3 2

232,3 2

2,3

2,3

2,3

2,3

2,3

2,3

3 9

3 9

px q23x 1823 9x 18423 9 72x 4 423 81x 423 81x2 43 9x2 2

x 3 6Pr obe für x 0 Pr obe für x 3 0 1 21 0x 11 1

1 1WAHRE AUSSAGE

lösen:

= − ± −

= − ± − −

= − ± +

= − ± +

= − ±

= − ±

= − ±

=

= =+ = ⋅ +=

=

⁄ -

( )3 9 3 9

3 9

3 3 3

33 3

3 3

Pr obe für x 63 1 21 3 1 6 1 21 6 14 64 Negative Radikanten,

daher Wurzeln nicht definiert,4 64daher ist 11 keine Lösung4 64

4 4WAHRE AUSSAGE

Die Lösungsmenge der Wurzelgleichung laut

⋅

= −+ = ⋅ + − + = ⋅ − +==

−==

{ }et somit: L= 0; 3


Lösung zu 9a

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

64

12 1264

12 124 6

3 2

mit dem Hauptnenner der beiden 3x 1 7x 1

Wurzelexponenten potenzieren

3x 1 7x 1 Wurzeln als Potenz schreiben

| Exponenten kürzen3x 1 7x 1 Binomische Formeln anwenden 3x 1 7x 1 o

Gegeben: + = +

+ = +

=+ +

=+ +

( )

3 2 2 2

3 2

2

1

der ausmultiplizieren27x 27x 9x 1 49x 14x 1 | 49x 14x 127x 22x 5x 0 | x ausklammern

Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer derx 27x 22x 5 0 Faktoren gleich Null ist. Die erste Lösung ist

alx 0

+ + + = + + − − −− − =

− − =

⇒ =

( ) ( ) ( )

2

2

2,3

2

2,3

2,3

so Null, die weiteren Lösungen erhält man durch Nullsetzen der Klammer.

27x 22x 5 0 | Man erhält eine quadratische Gleichung

b b 4acx2a

22 22 4 27 5x

Quadratische Gleichung lösen:

2 27

x

− − =

− ± −=

− − ± − − ⋅ ⋅ −=

⋅

2,3

2,3

527

6 64 45

64 4 6 27

3 212 12

12 12

22 102454

22 32x54

5x 127

Pr obe für x 0 Pr obe für x 1 Pr obe für x3 0 1 7 0 1 3 1 1 7 1 1

31 1 4 8

1 1 4 8WAHRE AUSSAGE 64 64

WAHRE AUSSAGE

−

−

±=

±=

=

= = =⋅ + = ⋅ + ⋅ + = ⋅ +

⋅= =

= ==

⁄ -

( )

{ }

56427

5 27

1 7 1Auf der rechten Seite ist derRadikant negativ, daher ist die Wurzel nicht definiert,daher ist keine Lösung


−

−

+ = +


Lösung zu 9b

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2 3

6 62 3

6 62 3

3 2





Gegeben: + = +

+ = +

=+ +

=+ +

( )

3 2 2 2

3 2

2

1


Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer derx 64x 121x 14 0 Faktoren gleich Null ist. Die erste Lösung

x 0

+ + + = + + − − −− − =

− − =

⇒ =

( ) ( )

2

2

2,3

2

2,3

ist also Null, die weiteren Lösungen erhält man durch Nullsetzen der Klammer.

64x 121x 14 0 | Man erQuadratische Gleichu

hält eine quadratische Gleichung

b b 4acx

ng

2a121 121 4 64

lösen:

x

− − =

− ± −=

− − ± − − ⋅=

( )

2,3

2,3

2,3

23 32

32 32

3 26 6

6 6

142 64

121 18225x128

121 135x128

7x 264

Pr obe für x 0 Pr obe für x 2 Pr obe4 0 1 13 0 1 4 2 1 13 2 11 1 9 27


WAHRE AUSSAGE

⋅ −

⋅±

=

±=

=

= =⋅ + = ⋅ + ⋅ + = ⋅ += =

= ==

⁄ -

764

32

7 64

für x

7 74 1 13 164 64

Auf der rechten Seite ist derRadikant negativ, daher ist die Wurzel nicht definiert,daher ist keine Lösung

Die Lösungsmenge der Wurzelgleichung

−

−

=

⋅ − + = ⋅ − +

{ }lautet somit: L= 0; 2


Lösung zu 9c

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

6 9

18 186 9

18 186 9

3 2




| Exponenten kürzen6x 1 31x 1 Binomische Formeln anwende6x

Gegeben

1

:

31x 1

+ = +

+ = +

=+ +

=+ +

( )

3 2 2 2

3 2

2

1

n oder ausmultiplizieren

216x 108x 18x 1 961x 62x 1 | 961x 62x 1216x 853x 44x 0 | x ausklammern

Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer derx 216x 853x 44 0 Faktoren gleich Null ist. Die erst

x 0

+ + + = + + − − −− − =

− − =

⇒ =

( )

2

2

2,3

2,3

e Lösung ist also Null, die weiteren Lösungen erhält man durch Nullsetzen der Klammer.

216x 853Quadrat

x 44 0 | Man eische Gleic

rhält eine quadratischhung lösen:

e Gleichung

b b 4acx2a

853x

− − =

− ± −=

− − ± −=

( ) ( )2

2,3

2,3

2,3

6 9 6 9

32 32

3 26 6

6 6

853 4 216 442 216

853 765625x432

853 875x432

22x 4432

Pr obe für x 0 Pr obe für x 4 6x 1 31x 1 6x 1 31x 11 1 9 27


WAHRE AU

− ⋅ ⋅ −

⋅±

=

±=

=

= =+ = + + = +

= == =

=

⁄ -

22432

6 9

22 432

Probe für x

22 226 1 31 1432 432

Auf der rechten Seite ist derRadikant negativ, daher ist die Wurzel nicht definiert,SSAGEdaher ist keine Lösung

Die Lösungsmenge der Wurzel

−

−

=

⋅ − + = ⋅ − +

{ }gleichung lautet somit: L= 0; 4


Lösung zu 9d

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

8 12

24 248 12

24 248 12

3 2




| Exponenten kürze

Ge

n7x 1 43x 1 Binomische Formeln anwe7x 1 4

geben:

3x 1

+ = +

+ = +

=+ +

=+ +

( )

3 2 2 2

3 2

2

1

nden oder ausmultiplizieren


Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer derx 343x 1702x 65 0 Faktoren gleich Null ist. D

x 0

+ + + = + + − − −− − =

− − =

⇒ =

2

2

2,3

2,3

ie erste Lösung ist also Null, die weiteren Lösungen erhält man durch Nullsetzen der Klammer.

343x 1Quadra

702x 65 0 | Mtische Gle

an erhält eine quadrichung lös

atische Gleichung

b

e

b 4acx2a

x

n:− − =

− ± −=

( ) ( ) ( )2

2,3

2,3

2,3

8 812 12

8 12 8 1

1702 1702 4 343 652 343

1702 2.985.984x686

1702 1728x686

13x 5343


1 1WAHRE AUSSAGE

− − ± − − ⋅ ⋅ −=

⋅±

=

±=

=

= =⋅ + = ⋅ + ⋅ + = ⋅ += =

=

⁄ -

13343

13 138 122 343 343

3 224 24

24 24

13 343

Pr obe für x

7 1 43 1Auf der rechten Seite ist der

36 216 Radikant negativ, daher ist 46656 46656 die Wurzel nicht definiert,

WAHRE AUSSAGE daher ist ke

−

− −

−

=

⋅ + = ⋅ +

==

{ }

ine Lösung



Lösung zu 9e

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

32

6 632

6 62 3

3 2





Gegeben: + = +

+ = +

=+ +

=+ +

( )

3 2 2 2

3 2

2

1


Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer derx 125x 366x 27 0 Faktoren gleich Null ist. Die erste Lös

x 0

+ + + = + + − − −− − =

− − =

⇒ =

( ) ( )

2

2

2,3

2

2,3

ung ist also Null, die weiteren Lösungen erhält man durch Nullsetzen der Klammer.

125x 366x 27 0 | MaQuadratische Gleichung lösen

n erhält eine quadratische Gleichung

b b 4acx2a

366 366x

:− − =

− ± −=

− − ± − −=

( )

2,3

2,3

2,3

3 32 2

32 32

3 26 6

6 6

4 125 272 125

366 133956 13500x250

366 384x250

18x 3250

Pr obe für x 0 Pr obe für x 3 5x 1 21x 1 5 3 1 21 3 11 1 16 64

1 1 16 64WAHRE AUSSAGE 4096 4096

W

⋅ ⋅ −

⋅± +

=

±=

=

= =+ = + ⋅ + = ⋅ +

= == =

=

⁄ -

18250

32

18 250

Pr obe für x

18 185 1 21 1250 250

Auf der rechten Seite ist derRadikant negativ, daher ist die Wurzel nicht definiert,AHRE AUSSAGEdaher ist keine Lösung

Die Lösungsmenge der

−

−

=

⋅ + = ⋅ +

- -

{ } Wurzelgleichung lautet somit: L= 0; 3


Lösung zu 9f

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

10 15

30 3010 15

30 3010 15

3 2




| Exponenten kürzen8x 1 26x 1 Binomische Formeln a8x 1

Gegeben:

26x 1

+ = +

+ = +

=+ +

=+ +

( )

3 2 2 2

3 2

2

1

nwenden oder ausmultiplizieren


Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer derx 512x 484x 28 0 Faktoren gleich Null ist. Di

x 0

+ + + = + + − − −− − =

− − =

⇒ =

2

2

2,3

2,3

e erste Lösung ist also Null, die weiteren Lösungen erhält man durch Nullsetzen der Klammer.

512x 48Quadratisc

4x 28 0 | Man erhhe Gleichung l

ält eine quadratische Gleichung

b b 4acx

ösen:

2a

x

− − =

− ± −=

−=

( ) ( ) ( )2

2,3

2,3

2,3

10 15 10 15

10 15 10 15

3 230 30

484 484 4 512 282 512

484 291600x1024

484 540x1024

56x 11024


1 1 9 27WAHRE AUSSAGE 7

− ± − − ⋅ ⋅ −

⋅±

=

±=

=

= =⋅ + = ⋅ + ⋅ + = ⋅ += =

= =

⁄ -

561024

10 15

30 30

56 1024

Probe für x

56 568 1 26 11024 1024

Auf der rechten Seite ist derRadikant negativ, daher ist 29 729die Wurzel nicht definiert,WAHRE AUSSAGEdaher ist keine Lösung

Die

−

−

=

⋅ − + = ⋅ − +

=

{ } Lösungsmenge der Wurzelgleichung lautet somit: L= 0;1


Lösung zu 10a

( ) ( )( ) 2

2

22

2 2

beide Seiten quadrieren

Binome anwenden

4 2x 2 x 8 2x | linke Seite: Klammer ausmultiplizieren

8

Gege

x 8 x 8 2x Wurzel i

ben:

2 2x 2 x

solieren:

8 x

2 2x 2 x 8 x

x 8 x

7x 2x | quadr

x 8 x

x 8 x

x x ieren

7

8

x

=

+ = + +

+ = + + − − −

+ = + +

+ + +

+ +

+

− +=

+

( ) ( )2

2 3 4 3 3

4

2

3 2

22

2

2

linke Seite: Binom anwenden oder ausmultiplizieren4x rechte Seite: Klammer ausmultiplizieren

49x 14x x 4x alle Summanden nach links bringen: 4x

x 18x

x x 8

32x

17x 0 | x ausklammern

x

32x

− +=

−

− +

−+ = −

=

+

( )2 2

2

Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktorenx 18x 17 0 gleich Null ist. Das erste Ergebnis ist also x=0, die

weiteren erhalten wir durch Nullsetzen der Klammer.x 18x 17 0 | Dies ist eine

− + =

− + =

( )

2

2,3

2

2,3

2,3

2,3

2

2

,3

2

quadratische Gleichung

p px q2218 18x 1722

x 9 64x 9 8x 17 1Pr obe für x 0

Quadratische Gleic

Pr obe für

WA

h

HRE AUSSAGE

ung lösen:

2 2 0 2 0 8 02 2 8

2 2 82 2 88 8

⋅ + =

= − ±

+ +=

⋅ =

−

− −= − ± −

=

=

=

±

=

==

⋅

±

⁄

{ }

2 2 1 2 1 8 1 2 2 17 2 17 8 172 4 9 1 2 36 25 172 2 3 1 2 6 5

x 1 Pr obe für x 17

4 4 12=22WAHRE AUSSAGE FALSCHE AUSSSAGE


7

1

L= 0;1

⋅ + = + + ⋅ + = + += + = +

= =

=⋅ = + ⋅ = +


Lösung zu 10b

( ) ( )( ) 2

2

22

2 2


Binome anwenden

4 3x 2 2x 8 2x | linke Seite: Klammer ausmultiplizieren

12x

Gegeben

8 x 8 2x Wurzel isolieren: 2x 8 x

:

2 3x 2 2x 8 x

2 3x 2 2x 8 x

2x 8 x

2x 8 x

x 210x 2x | qux 8 a

=

− = − +

− = − +

− = − +

− − +

− +

− +

= −

−

−

+ −

( ) ( )22 2

2 3 4 3 3

4 3 2 2

2 2

drieren linke Seite: Binom anwenden oder ausmultiplizieren10x 4x rechte Seite: Klammer ausmultiplizieren

100x 20x x 8x alle Summanden nach links bringen: 4

x 2x 8

32x 32xx

x 28x 132x 0 | x

=

− + = −

− + =

− −

− +

( )

2 2

2

ausklammern Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren

x x 28x 132 0 gleich Null ist. Das erste Ergebnis ist also x=0, die weiteren erhalten wir durch Nullsetzen der Klammer.

x 28x 132 0 |

− + =

− + =

( )

2

2,3

2

2,3

2,3

2,3

2,3

Dies ist eine quadratische Gleichung in Normalform

p px q2228 28x 13222

x 14 64x 14 8x 22 6

Weil


2 3 0 2 2 0 8 02 2

di8

Pr obe für x 0

= − ± −

− −= − ± −

= ±=

⋅ − = ⋅ − +− = −

±=

=

⁄

2

e Radikanten negativsind, sind die Wurzel nicht 8 8definiert, und somit ist WAHRE AUSSAGEx=0 KEI

3 6 2 2 6 8 6 2 3 22 2 2 22 8 222 16 4 6 2 64 36 22 4

NE LÖSUNG

2 6

Pr obe für x 6 Pr obe für x 22⋅ − = ⋅ − + ⋅ − = ⋅ − += + = +

⋅=

= +

= =

{ }

16=28FALSCHE AUSSSAGE


22

8 6 22

L= 6

⋅ = +


Lösung zu 10c

( ) ( )( ) 2

2

2

2

2 2


Binome anwenden


1

Gegeben:

2 3x 1 x 4 x

2 3x 1 x 4 x

x 4 x

x 4 x2x 4 x 4 2x Wurzel isolieren: x 4 x

11x x 2x | quadrierenx 4

=

+ = + +

+ = + + −

+ = + +

+ + +

+

−

+

+

−

+ −

+=

( ) ( )2

2 3 4 3 3

2 3 4

22

2

2

2

linke Seite: Binom anwenden oder ausmultiplizieren11x 4x rechte Seite: Klammer ausmultiplizieren

121x 22x x 4x 16 alle Summanden nach links bringen: 4x

105x 26x

x x 4

x 1

x

6x

0 | x ausklam

=

− + = + −

− +

−

=

+

−

( )2 2

2

mern Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren


x 26x 105 0 | Dies i

− + =

− + =

( )

2

2,3

2

2,3

2,3

2,3

2,3

st eine quadratische Gleichung in Normalform

p px q222


2 3 0 1 0 4 02 1 4 0

6 26x 10522x 13 64x 13 8x 21 5

WAHRE AUSS2 2

AGE

Pr obe für x 0

= − ± −

− −= − ± −

= ±=

⋅ + = + +

±=

= +=

=

⁄

{ }

2 3 5 1 5 4 5 2 3 21 1 21 4 212 16 9 5 2 64 25 212 4 3 5 2 8 5

8 8 16=26 WAHRE AUSSAGE FALSCHE AUSSSAGE


2

1


L= 0;5

⋅ + = + + ⋅ + = + += + = +

⋅ = +=

⋅ = +

= =


Lösung zu 10d

( ) ( )( ) 2

2

2

2

2 2


Binome anwenden


8

Gege

x 4 x 4 2x Wurzel i

ben:

2 2x 1 x

solieren:

4 x

2 2x 1 x 4 x

x 4 x

7x x 2x | quadr

x 4 x

x 4 x

x ier4 en

7x

=

− = − +

− = − + − + −

− = − +

− − +

+

−

−−

−

=

+

( ) ( )2

2 3 4 3 3

2

2

3 4

22

2

2

linke Seite: Binom anwenden oder ausmultiplizieren4x rechte Seite: Klammer ausmultiplizieren


65x 18x x 0 |

x x 4

x 16x

x ausklammern

x

=

− + = − +

=

−

− +

−

−

( )2 2

2

Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktorenx 18x 65 0 gleich Null ist. Das erste Ergebnis ist also x=0, die

weiteren erhalten wir durch Nullsetzen der Klammer.x 18x 65 0 | Dies ist eine

− + =

− + =

( )

2

2,3

2

2,3

2,3

2,3

2,3

quadratische Gleichung in Normalform

p px q2218 18x 6522

x 9 16x 9 4x 13 5

Die Radik


2 2 0 1 0 4 02 1 4 0

anten sind nega

Pr obe für x 0

= − ± −

− −= − ± −

= ±= ±

⋅ − = − +−

=

− = +

=

⁄

2 2

tiv,somit sind die Wurzeln nicht 6 6 10=16definiert, und somit ist WAHRE AUSSAGE FALSCHEx=0 KEINE LÖSUNG

5 1 5 4 5 2 2 13 1 13 4 132 9 1 5 2 25 9 132 3 1 5 2 5 3 13

Pr obe für x 5 Pr obe für x 13⋅

=

− = − + ⋅ − = − += + = +

⋅ = + ⋅ = +

= =

{ }

AUSSSAGE

Die Lösungsmenge der Wurzelgleichung lautet somit: L= 5


Lösung zu 10e

( ) ( )( ) 2

2

22

2 2


Binome anwenden

9 x 1 2x 9 2x | linke Seite: Klammer ausmultiplizieren

9x 9 2x 9 2x Wurzel isolieren: 2x 9 x

7x 2x |

Gegeben:

3 x 1 2x 9 x

3 x 1 2

quadri

x 9 x

2x 9 x

2x 9 x

x 2x 9 e

− = − +

− − +

− +

−

=

− = − +

− = − +

=

+

−

− + −

−

( ) ( )2

2 3 4 3 3

2 3 4 2

22

2 2

ren linke Seite: Binom anwenden oder ausmultiplizieren7x 4x rechte Seite: Klammer ausmultiplizieren


85x 22x x

x 2x 9

0 | x auskla

x 36x

=

− + = − −

− + =

− −

+

( )2 2

2

mmern Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren


x 22x 85 0 | Dies is

− + =

− + =

( )

2

2,3

2

2,3

2,3

2,3

2,3

t eine quadratische Gleichung in Normalform

p px q2222 22x 8522

x 11 36x 1

Quadratische Gleichung lös

1 6x 17 5

Die Radikante

en:

3 0 1

n si

2 91 9

n

0 03

Pr obe für x 0

= − ± −

− −= − ± −

= ±= ±=

− = ⋅ − +− = −

=

⁄

d negativ,s

3 5

omit sind die Wurzeln nicht 6 6 12=22definiert, und somit ist

WAHRE AUSSAGEx=0 KEINE LÖSUNG

1 2 5 9 5 3 17 1 2 17 9 173 4 1 5 3 16 25 173 2 1 5 3 4 5 17

Pr obe für x 5 Pr obe für x 17− = ⋅ − + − = ⋅ − += + = +

⋅ = + ⋅ = +=

= =

{ }FALSCHE AUSSSAGE

Die Lösungsmenge der Wurzelgleichung lautet somit: L= 5


Lösung zu 10f

( ) ( )( )

2 2

2

2

2

2


Binome anwenden

4 3x 3 2x+12+2x | linke Seite: Klammer ausmultiplizieren

12x 12 2x+12+

Gegeben:

2 3x 3 2x 12 x

2 3x 3 2x 12 x

2x+12+x

22x Wurzel isolieren: x+1 2x 12 x

10x 2x

2+x

x

=

+ =

+ = −

+ = + +

+ + +

−

− −

=

( ) ( )2

2 3 4 3 3

2 3

22

2 2

| quadrieren linke Seite: Binom anwenden oder ausmultiplizieren10x 4x rechte Seite: Klammer ausmultiplizieren


5

2x 1

2

2

x 2x 12

x

x

x

x 28

48

=

− + = + −

−

+

− +

−

( )

4 2

2 2

2

x 0 | x ausklammern Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren


x

+ =

− + =

−

( )

2

2,3

2

2,3

2,3

2,3

2,3


2 3 0 3 2

28x 52 0 | Dies ist eine quadratische Gleichung in Normalform

p px q2228 28x 5222

x 14 144x 14 12x 26 2

Probe für x 0 0 12 0

3

2

+ =

= − ± −

− −= − ± −

= ±= ±

⋅ + = ⋅ +

=

+

=

⁄

2

2

Pr obe für x 26 Probe für x 2

18 34 6=6

FALSCHE AUSSSA

2 3 26 3 2 26 12 26 2 3 2 3 2 2 12 22 81 64 26 2 9 16 2122 9 8 26 2 3 4 22 3

GE WAHRE AUSSAGEWAHRE AUSSAGE

Die Lösungsmenge der

122 3 1

212 12

⋅ + = ⋅ + + ⋅ + = ⋅ + += + = +=

⋅ = + ⋅ = +⋅

=

==

⋅ ==

=

{ }Wurzelgleichung lautet somit: L= 0;2


Lösung zu 10g

( ) ( )( )

2 2

2

2

2

2


Binome anwenden

4 8x 1 4x+4+4x | linke Seite: Klammer ausmultiplizieren

32x 4 4x+4+4x

Gegeben:

2 8x 1 4x 4 2x

2 8x 1 4x 4 2x

4x+4+4x

4x+ Wurzel isolieren: 4x 4 4x

2

4+4x

8x 4x4x 4x

=

+ =

+ = −

+ =

− −

=

+ +

+ + +

−

( ) ( )22

2 3 4 2 2

2

2

3 3

| quadrieren linke Seite: Binom anwenden oder ausmultiplizieren28x 16x rechte Seite: Klammer ausmultiplizieren

64x alle Summanden nach links b

+4

4x 4

ringe

x+4

784x 224 n: x 16x +64x 64x

720x

64x

−

− −−+

=

=

−

( )

3 4 2

2 2

0 | x ausklammern Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren

x 16x 288x 720 0 gleich Null ist. Das erste Ergebnis ist also x=0, die weiteren erhalten wir durch Nullse

288x 16

tz

x

en der Kl

=

− + =

+

( )( ) ( )

2

2p2,3 2

2

2,3

2,3

2,3

2,3

ammer.

16x 288x 720 0 | Dies ist eine quadratische Gleichung

px q2

288 288 4 16 720x

2 16288

Quadratische Gleichu

36864x32

288 192x

ng lösen:

32x 15 3

Probe für x 0 2 8

− + =

= − ± −

− − ± − − ⋅ ⋅=

⋅±

=

⋅

±=

=

=

⁄


22 38 10=10FAL

2 8 15 1 4 15 4 2 15 2 8 3 1 4 3 4 2 30 1 4 0 4 2 02 121 64 30 2 25 16 62 1 42 11 8 30 2 5 4 62

SCHE AUSSSAGE WAHRE AUSSAGEWAHRE AUSSAGE

Die Lösungsmenge der Wur

2

⋅ + = ⋅ + + ⋅ ⋅ + = ⋅ + + ⋅+ = ⋅ + + ⋅= + = +=

⋅ = +=

=

=+

=

⋅ =

{ }zelgleichung lautet somit: L= 0;3


Lösung zu 10h

( ) ( )( ) 2

2

22

2 2


Binome anwenden

9 5x 1 x 9+4x | linke Seite: Klammer ausmultiplizieren

45x 9 x 9+4x

Gegeben:3 5x 1 x 9 2x

3 5x 1 x 9 2x

x 9+4x

x 9+4x Wurzel isolieren:

4

x 9 4x

44x 4x | quadx x 9

=

− = −

− = − − + −

− = − +

− − +

=

−

−

− −

( ) ( )22

2 3 4 2

2

3

2

3 2

3 4 2

4x x 9

1936x 352

rieren linke Seite: Binom anwenden 44x 16x rechte Seite: Klammer ausmultiplizieren

16x alle Summanden nach links bringx 16x 144x 144x

2080x 36

en: 16x

0 | 16x ausklam8x 16x

− −

− + −

=

+

− +

=

= −

( )2 2

2

mern Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren

16x x 23x 130 0 gleich Null ist. Das erste Ergebnis ist also x=0, die weiteren erhalten wir durch Nullsetzen der Klammer.

x 23x 130 0 | Dies

− + =

− + =

( )( )

2p2,3 2

2232,3 2

2,3

2,3

2,3

2,3

2,3

ist eine quadratische Gleichung in Normalform

px q2

23x 1302

23 529 520x4 42

23 9x42

23 9x2 423 3x2 2

x 13 1


3 5 0

0Pr obe für x 0

−

= − ± −

−= − ± −

= ± −

= ±

= ±

= ±

⋅

=

=−

⁄

3 5 10 1 10 9 2 101 0 9 2 03 49 1 203 1 93 7 1 20Die Radikanten sind negativ,

somit sind die Wurzeln nicht definiert, und somit ist x=0 KEI

Pr obe für x 10 Pr obe für x

NE LÖSU

1

21 21WAHRE AUSSAGE

NG

⋅ − = − + ⋅= − + ⋅= +−

⋅ = +=

= −

= =

{ }

3

24=28FALSCHE AUSSSAGE

Die Lösungsmenge der Wurzel

3 5 13 1 13

gleichu

9 2 133 64 4 263 8 2 2

ng lautet somit:

6

L= 10

⋅ − = − + ⋅= +

⋅ = +

Übungen zum Kurs WurzelgleichungenLösung zu 11a

( )( ) ( )

( ) ( )

3 3 2 2

33 2 2

3 23 2 2 2 2 2 3 3

3 23 2 2 2 2 2

7x 9x 3x = 2x 3x 1+x mit 3 potenzieren Rechte Seite: 7x 9x 3x 2x 3x 1+x Binom anwenden

7x 9x 3x 2x 3x 1 3x 2x 3x 1 3x 2x 3x 1 x | x

Rechte Seite

6x 9x 3x 2x 3x 1 3x 2x 3x 1 3x 2x 3x 1

− + − +

− + = − +

− + = − + + − + + − + + −

− + = − + + − + + − +

( ) ( )

( )( )

33 2 2 2 2 2

33 2 2 3 2 2 2 3 2

32 2 2

:Radizieren und Potenzieren heben sich auf

Rechte Seite:6x 9x 3x 2x 3x 1 3x 2x 3x 1 3x 2x 3x 1 Klammer

ausmultiplizieren

6x 9x 3x 2x 3x 1 6x 9x 3x 3x 2x 3x 1 6x 9x 3x

0 2x 3x 1 3x 2x 3x

− + = − + + − + + − +

− + = − + + − + + − + − + −

= − + + −

( )

( )

( )

22 2 2 2

22 2 2 2

2 2 2

2

1 Die Potenz zerlegen

Potenzieren und 0 2x 3x 1 2x 3x 1 3x 2x 3x 1 Radizieren

heben sich auf

2x 3x 1 0 2x 3x 1 2x 3x 1 3x 2x 3x 1ausklammern

0 2x 3x 1 2x 3x 1 3x Klammer vereinfachen

0 2x

+

= − + ⋅ − + + − +

− += − + ⋅ − + + − +

= − + ⋅ − + +

= − ( )23x 1 5x 3x 1Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist, also wenn die Wurzel oder die Klammer gleich Null ist.Wir müssen also die Wurzel und die Klammer jeweils gleich Null

+ ⋅ − +

( ) ( )( ) ( )

22

22

1,22

21,2

1,22

1,2

11,2 2

setzen:

5x 3x 1 02x 3x 1 0 2b b 4ac2x 3x 1 0 x

2ab b 4acx 3 3 4 5 12

Wurzel Nullsetzen: Klammer Nullsetzen:

a x3 3 4 2 1

x2 2

x 1 oder

− + =− + = ↑− ± −− + = =

− ± −= − − ± − − ⋅ ⋅

=− − ± − − ⋅ ⋅

=⋅

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

12

3 2 21 1 1 1 1 132 2 2 2 2 2

2 5

Negativer Radikant, daher keine Lösung

Pr obe für x

Der li

nke Radikant wird negativ, daher

7 9 3 = 2 3 1+

⋅

=

⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ +

{ }

3 3 2 2

12

Pr obe für x 1 7 1 9 1 3 1 = 2 1 3 1 1+1

1 0 11 1WAHRE AUSSAGE

Die

1 0 1

ist

Lösungsmenge der Wurzelgleichung lautet somit:

x= keine Lösung

L= 1

=

⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ +

= +=

= +

Übungen zum Kurs WurzelgleichungenLösung zu 11b

( )( ) ( )

( ) ( )

3 3 2 2

33 2 2

3 23 2 2 2 2 2 3 3

3 23 2 2 2 2 2

4x 6x 3x = x 2x 1+x mit 3 potenzieren Rechte Seite: 4x 6x 3x x 2x 1+x Binom anwenden

4x 6x 3x x 2x 1 3x x 2x 1 3x x 2x 1 x | x

Rechte Seite: Rad3x 6x 3x x 2x 1 3x x 2x 1 3x x 2x 1

− + − +

− + = − +

− + = − + + − + + − + + −

− + = − + + − + + − +

( ) ( )

( )( )

33 2 2 2 2 2

33 2 2 3 2 2 2 3 2

32 2 2

izieren und Potenzieren heben sich auf

Rechte Seite:3x 6x 3x x 2x 1 3x x 2x 1 3x x 2x 1 Klammer

ausmultiplizieren

3x 6x 3x x 2x 1 3x 6x 3x 3x x 2x 1 3x 6x 3x

0 x 2x 1 3x x 2x 1 Die

− + = − + + − + + − +

− + = − + + − + + − + − + −

= − + + − +

( )

( )

( )

22 2 2 2

22 2 2 2

2 2 2

2 2

Potenz zerlegen

Potenzieren und 0 x 2x 1 x 2x 1 3x x 2x 1 Radizieren

heben sich auf

x 2x 1 0 x 2x 1 x 2x 1 3x x 2x 1 ausklammern

0 x 2x 1 x 2x 1 3x Klammer vereinfachen

0 x 2x 1 4x

= − + ⋅ − + + − +

− += − + ⋅ − + + − +

= − + ⋅ − + +

= − + ⋅ −( )2x 1Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist, also wenn die Wurzel oder die Klammer gleich Null ist.Wir müssen also die Wurzel und die Klammer jeweils gleich Null set

u

zen:

W

+

( ) ( )( ) ( )

22

22

1,22

2

1,22

4x 2x 1x 2x 1 =0 2b b 4acx 2x 1 0 x

2ab b 4acx 2 2 4 4 12a x2 42 2 4 1

rzel Nullsetzen:

1x

2 1 Neg

ativer Radikant,

Klammer Nullsetzen

daher x 1

:− +− + ↑− ± −− + = =

− ± −= − − ± − − ⋅ ⋅

=⋅− − ± − − ⋅ ⋅

=⋅

=

3 3 2 2

3

3

keine Lösung

Pr obe für x 1

4 1 6 1 3 1 = 1 2 1 1+14 6 3 = 1 2 1+11 = 0+1

1 = 1

Die Lösungsmenge der Wurzelgleichung lautet som

=

⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ +− + − +

{ }it: L= 1

Übungen zum Kurs WurzelgleichungenLösung zu 12a

( )( )

3 6

22 3 6

26 6 6

2

x 3 + x 3 2 0 Wurzelexponent erweitern

x 3 + x 3 2 0 Doppelwurzel zusammenfassen

x 3 + x 3 2 0 | Substitution z= x 3

z z 2 0 Die ist eine quadratische Gleichung in Normalform


+ + − =

+ + − =

+ + − = +

+ − =

( ) ( )

2

1,2

2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

6

6

6

6

lösen

p pz q221 1z 2221 9z 421 9z2 41 3z2 2

z 1 2

Rücksubstitution z=1= x 3x 3 1

x 3 1x 2Rücksubstitution z= 2= x 3x 3 2

Da eine Wurzel immer positiv ist, aber auf

= − ± −

= − ± − −

= − ±

= − ±

= − ±

= −

++ =

+ == −

− ++ = −

∨

{ }

3 6

3 6

der rechten Seite eine negative Zahl steht, hat die Gleichung keine Lösung.Pr obe für x 2

2 3 + 2 3 2 01 + 1 2 0

1 +1 2 00 0Lösungsmenge L 2

= −− + − + − =

− =− =

== −

Übungen zum Kurs WurzelgleichungenLösung zu 12b

( )( )

10 5

2210 5

210 10 10

2

2

1,

x 7 + x 7 2 Wurzel radizieren und potenzieren

x 7 + x 7 2 Doppelwurzeln zusammenfassen

x 7 + x 7 2 | Substitution z= x 7

z +z 2 auf Normalform bringen z +z 2 0Quadratische Gleichung lösen

z

− − =

− − =

− − = −

=− =

( ) ( )

2

2

2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

10

10

10

10

p p q221 1z 2221 9z 421 9z2 41 3z2 2

z 1 2

Rücksubstitution z=1= x 7x 7 1

x 7 1x 8Rücksubstitution z= 2= x 7

x 7 2Da eine Wurzel immer positiv ist, aber auf der

= − ± −

= − ± − −

= − ±

= − ±

= − ±

= −

−− =

− ==

− −− = −

∨

{ }

10 5

10 5

rechten Seite eine negative Zahl steht, hat die Gleichung keine Lösung.Pr obe für x 88 7 + 8 7 21 + 1 2

1 +1 22 2Lösungsmenge L 8

=− − =

==

==

Übungen zum Kurs WurzelgleichungenLösung zu 12c

( )

( )( )

8 4

8 4

28 2 4

28 8

x 4 + 16x 64 3 0 Im Radikanten 16 ausklammern

x 4 + 16(x 4) 3 0 Wurzelexponent erweitern

x 4 + 16 x 4 3 0 | Doppelwurzeln zusammenfassen

Wurzelgesetz anwenden:x 4 + 16 x 4 3 0 Wurzel eines Prod

− − − =

− − − =

− − − =

− − − =

( )( ) ( )

( )( )

28 88

2 28 88

28 84

28 8 8

2

2

uktes

Potenzgesetz anwenden:x 4 + 16 x 4 3 0 Potenz eines Produktes

x 4 + 16 x 4 3 0 Wurzelexponent kürzen

x 4 + 16 x 4 3 0 Wurzel berechnen

x 4 +2 x 4 3 0 Substitution z= x 4

z 2z 3 0 umstellen2z z

− − − =

− − − =

− − − =

− − − = −

+ − =+ −

( )

2

1,2

2

1,2

1,2

1,2

8

8

3 0 Dies ist eine quadratische GleichungQuadratische Gleichung lösen

b b 4acz2a

1 1 4 2 3z

2 21 5z2 2

3z 1 2

Rücksubstitution z=1= x 4 Rücksubstx 4 1

x 4 1x 5

=

− ± −=

− ± − ⋅ ⋅ −=

⋅− ±

=⋅

= −

−− =

− ==

∨

832

8 32

8 4

8 4

itution z= = x 4

x 4Da eine Wurzel immer positiv ist, aber aufder rechten Seite eine negative Zahl steht, hat die Gleichung keine Lösung.

Pr obe für x 55 4 + 16 5 64 3 01 + 16 3 0

1 2 3 00 0 WAH

− −

− = −

=− ⋅ − − =

− =+ − ==

{ }RE AUSSAGE

Lösungsmenge L 5=

Übungen zum Kurs WurzelgleichungenLösung zu 12d

( )

( )

282

22 8

2 4

24 4 4

2

x 3 + x 6x 9 2 0 Radikant der rechten Wurzel

x 3 + x 3 2 0 Wurzelexponent kürzen

x 3 + x 3 2 0 | Wurzelexponent erweitern

x 3 + x 3 2 0 Substitution z= x 3

z z 2 0 Dies ist eine reinquadratische

+ + + − =

+ + − =

+ + − =

+ + − = +

+ − =

( ) ( )

2

1,2

2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

4

4

GleichungQuadratische Gleichung lösen

p pz q221 1z 2221 9z 421 9z2 4

31z 2 2z 1 2

Rücksubstitution z 1 x 3 Rücksubstitution zx 3 1

x 3 1x 2

= − ± −

= − ± − −

= − ±

= − ±

= − ±

= −

= = + =+ =

+ == −

∨

( ) ( )

4

4

22 8

82

2 x 3x 3 2

Da eine Wurzel immer positiv ist, aber aufder rechten Seite eine negative Zahl steht, hat die Gleichung keine Lösung.

Pr obe für x 2

2 3 + 2 6 2 9 2 01 + 1 2 0

1 +1 2 00 0 WAHRE AUSS

− = ++ = −

= −

− + − + ⋅ − + − =

− =− =

={ }

AGELösungsmenge L 2= −

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