17. FIBONACCI – ZAHLEN

1

Die Zahlen Folge

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89, . . .

bzw.

f1 = 1 , f2 = 1 fn = fn−1 + fn−2

heißt Fibonacci-Folge.

2

Fibonacci 1180-1214

Seine Kaninchen-Aufgabe:

Ein Kaninchenpaar wirft vom zweiten Monat an ein junges Paar

und in jedem weiteren Monat ein weiteres Paar. Die Nachkom-

men verhalten sich ebenso.

fn gleich Anzahl der Kaninchenpaare im Monat n, wenn im Monat

1 ein neugeborenes Paar da ist.

3

1556/57, Baumeister Hieronymus Lotter

4

5

In der Mathematik tritt er beim Euklidischen Algorithmus als

”worst case“ auf.

Division von fn+1 durch fn ergibt den Rest fn−1:

fn+1 = fn + fn−1

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Wachstumsgeschwindigkeit der Fibonacci Folge:

f2n = f2n−1 + f2n−2 > 2f2(n−1)

und iterativ

f2n > 2n−1f2 = 2n−1

Die Fibonacci-Zahlen wachsen also geormetrisch schnell, wie

schnell genau?

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Darstellung mit Matrizen:

(fn+1fn

)=

(1 11 0

)(fnfn−1

)

und per Iteration der Gleichung mit f0 = 0,

(fn+1fn

)=

(1 11 0

)n(f1f0

)

Frage: Wie behandelt man Potenzen An von einer Matrix A?

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Diagonalmatrizen sind einfach:

(d1 00 d2

)(d1 00 d2

)=

(d2

1 00 d2

2

)

und allgemeiner

D =

(d1 00 d2

)⇒ Dn =

(dn1 00 dn2

)

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Definition:

Sei A eine quadratische n×n-Matrix. Sei λ ein Skalar. Ein Vektor

x ∈ Rn heißt Eigenvektor von A zum Eigenwert λ, falls

Ax = λx

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Auf Eigenvektoren lassen sich Matrixpotenzen leicht ausrechnen:

Anx = An−1(Ax) = λAn−1x

also

Anx = λnx

11

Das charakteristische Polynom von

(1 11 0

)ist

ϕ(λ) = det

(1− λ 1

1 −λ

)= −(1− λ)λ− 1 = λ2 − λ− 1

Die Eigenwerte sind die Losungen von ϕ(λ) = λ2 − λ − 1 = 0,

also

λ1,2 =1

2±√

5

2

12

Oder auch direkt: Aus

(1 11 0

)x = λx folgt

x1 + x2 = λx1

x1 = λx2

und folglich λx2 +x2 = λ2x2 bzw. x2(λ2−λ−1) = 0. Also erneut

λ2 − λ− 1 = 0.

Damit ist die erste Gleichung berucksichtigt und es braucht nur

noch die zweite Gleichung berucksichtigt werden.

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Wir haben die beiden Eigenvektoren

b1 = (λ1,1)T = (1.62,1)T und b2 = (λ2,1)T = (−0.62,1)T

die wegen

〈b1,b2〉 = λ1λ2 + 1 =(1

2+

√5

2

)(1

2−√

5

2

)+ 1 =

1

4−

5

4+ 1 = 0

orthogonal sind.

14

15

Nun gilt

b1 − b2 =

(√5

0

)

und also

(fn+1fn

)=

(1 11 0

)n(10

)=

1√5

(1 11 0

)n(b1 − b2)

=λn1b1 − λn2b2√

5

16

Insbesondere

fn =λn1 − λ

n2√

5

(Formel von deMoivre-Binet).

Oder, weil fn ganzzahlig ist und |λ2| < 1

fn ist die nachste ganze Zahl beiλn1√

5

17

Zwei Filialen verleihen Fahrrader. Bei Filiale I kommen (im Mit-

tel) 60% der ausgeliehenen Fahrrader zuruck, 40% landen bei

Filiale II. Bei Filiale II kommen 70% zuruck und 30% bei I.

Kann man die Fahrrader so auf I und II verteilen, dass (im Mittel)

am nachsten Morgen wieder genauso viele Fahrrader da sind?

18

Sind p = (p1, p2) und q = (q1, q2) die Verteilung der Fahrrader

auf I und II, heute und morgen, so gilt

q1 = 0.7p1 + 0.4p2 , q2 = 0.4p1 + 0.6p2

bzw.

q = pA mit A =

(0.7 0.30.4 0.6

)

Gesucht ist p mit pA = p, also ein linker Eigenvektor p zum

Eigenwert 1.

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Das charakteristische Polynom

ϕ(λ) = det

(0.7− λ 0.3

0.4 0.6− λ

)= (0.7− λ)(0.4− λ)− 0.3 · 0.6

hat offenbar 1 als Nullstelle.

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Das Gleichungsystem

pA− p = p

(0.7− 1 0.3

0.4 0.6− 1

)= p

(−0.3 0.30.4 −0.4

)= 0

hat die Losung p = (0.4,0.3). Die Aufteilung auf Filiale I und II

ist also0.4

0.7= 57% ,

0.3

0.7= 43%

Ein einzelnes Fahrrad wird im Laufe der Zeit in 57% der Falle in

Filiale I abgeliefert und in 43% der Falle in Filiale II.

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