Mathematik in der Natur

am Beispiel Fibonacci-Folge und Goldener Schnitt

Aktuelle Themen der Fachdidaktik

Christoph Eidenberger

Voraussetzungen, Lehrplan

• abgeschlossenes Kapitel „Folgen“– rekursiv angegebene Folgen– Konvergenz

• Im Lehrplan in der 10. Schulstufe vorgesehen

Grober Umriss

• 1. Einheit: Behandlung der Fibonacci-Folge anhand der Vermehrung von Bienen (Arbeitsblatt, Partnerarbeit)

a) menschlicher Stammbaum:

b) Ahnentafel einer Drohne (Vorwissen aus Biologie)

c) Ende der Stunde: Vergleich der Ergebnisse und Zusammenfassung

anderer Zugang: Kaninchenpopulation(Leonardo da Pisa)

• 2. Einheit: Behandlung des Goldenen Schnitts anhand von Beispielen aus der Kunst (Arbeitsblatt, Einzelarbeit)

a) „Der vitruvianische Mensch“, L. da Vinci, 1492

b) Parthenon in Athen

c) Pentagon (Sitz des US-amerikanischen Verteidigungsministeriums)

regelmäßiges Fünfeck

d) Geige

• Offensichtlich stehen viele Verhältnisse von Strecken zueinander in einem bestimmten Verhältnis (≈ 1,6 / 1 oder 1/ 0,6)

• Dieses Verhältnis war bereits den alten Griechen bekannt und war damals schon der Inbegriff für Ästhetik und Schönheit.

• Herleitung des Goldenen Schnitts

e) Vergleich der Ergebnisse

1

x2

15 Kehrwert:

2

15

• 3. Einheit: Verwandtschaft von Fibonacci-Folge und Goldener Schnitt (eher fragend-entwickelnd)

a) Austeilen folgender Abbildung:

Schüler sollen den Winkel zwischen zwei nacheinander gewachsenen Blättern messen

ca. 138°

würde man den Winkel andersherum messen ca. 222°

In der Natur kommt nicht exakt dieser Winkel vor, sondern:

Pflanze prozentueller Anteil am Vollwinkel (Bruch)

in Dezimalschreibweise

Linden: 180° 1/2 0,5

Buchen: 240° 2/3 0,67

Apfelbäume: 216° 3/5 0,6

Birnbäume: 225° 5/8 0,625

Weiden: 221,5° 8/13 0,6153

61,0222360 xx

Würde man die Tabelle weiterführen:

13/21 0,6190

21/34 0,6176

34/55 0,6182

55/89 0,6180

Was fällt auf? Zähler und Nenner sind aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen!

Brüche nähern sich immer mehr dem Goldenen Schnitt an!

n

nnn

n

n

n

FFFF

F

F

F

111 1

1

Phänomen „Phyllotaxis“

weitere Möglichkeiten der

Veranschaulichung:

• Ananas:

• Sonnenblume– Spiralen im Blütenkorb

– Anordnung der Kerne