1Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Analyse des Feedbacksystems...

1 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Analyse des Feedbacksystems (Übertragungsfunktion)

PassivesNetzwerk

PassivesNetzwerk

Feedback

Xs Xi Xi* Xo

osi XtXtX 2221

*1211 iso XtXtX

*ii XX

2212

211211

1 tt

ttt

X

XA

s

oF

Signalquelle am Eingang Ausgang


Testschaltungen für Feedbackanalyse

RKA

AAFFA

OL

OLOLF

2

21

1

AOL1 – Gain am Eingangsnetz AOL2 – aktive Verstärkung

RK FF

T - Schleifenverstärkung

Messpunkt - blau

Testquelle - rot

Kurzschluss

T

AAFFA OLOL

F

1

21


Ausgangswiderstand

PassivesNetzwerk

PassivesNetzwerk

Feedback

Xi Xi* Xo=Io

osi ItVtX 2221

*1211 iso XtVtI

*ii XX

2212

211211

1

1

tt

ttt

V

I

R s

o

OUT

Xs=Vs

Rout=Vs/Io

112112

2212

11 /1

11

ttt

tt

tROUT

Spannungsquelle am Ausgang

Strom wird gemessen


Ausgangswiderstand (t11)

PassivesNetzwerk

PassivesNetzwerk

Feedback

Xi*Io

Vs

112112

2212

11 /1

11

ttt

tt

tROUT

0

0011 *

1R

I

V

tiX

s

Impedanz ohne Verstärkung

Rout=Vs/Io


Ausgangswiderstand (t12 t22)

PassivesNetzwerk

PassivesNetzwerk

Feedback

Xi

112112

22120 /1

1

ttt

ttRROUT

00

*2212

ss Vo

i

Vi

o

I

X

X

Itt

Schleifenverstärkung mit kurzgeschlossenem Vs

Xi*

1121120 /1

1

ttt

TRR SC

OUT

2212ttTSC

osi ItVtX 2221

*1211 iso XtVtI


Ausgangswiderstand

PassivesNetzwerk

PassivesNetzwerk

Feedback

Xi Xi* Xo=Vo

osi VtItX 2221 ''

*1211 '' iso XtItV

*ii XX

2212

211211

''1

'''

tt

ttt

V

IR

o

sOUT

Xs=Is

2212

11211211 ''1

'/''1'

tt

ttttROUT

Rout=Vs/Io

Stromquelle am Ausgang

Spannung wird gemessen


Ausgangswiderstand (t‘11)

PassivesNetzwerk

PassivesNetzwerk

Feedback

Vo

Is

Rout=Vs/Io

0

0

11*

' RI

Vt

iXs

o

Impedanz ohne Verstärkung

2212

11211211 ''1

'/''1'

tt

ttttROUT


Ausgangswiderstand (t‘12 t‘22)

PassivesNetzwerk

PassivesNetzwerk

Feedback

Xi

Rout=Vs/Io

00

*2212 ''

ss Io

i

Ii

o

V

X

X

Vtt

Schleifenverstärkung mit offenem Is

Xi*

OCOUT T

tttRR

1

'/''1 1121120 2212 '' ttTOC

2212

11211211 ''1

'/''1'

tt

ttttROUT

osi VtItX 2221 ''

*1211 '' iso XtItV


Ausgangswiderstand – die Formel

OCOUT T

tttRR

1

'/''1 1121120

1121120 /1

1

ttt

TRR SC

OUT

OC

SCOUT T

TRR

1

10

PassivesNetzwerk

PassivesNetzwerk

Feedback

Xi Xi* Xi Xi*


Ausgangswiderstand

OC

SCOUT T

TRR

1

10

R0 – Ausgangsimpedanz ohne Verstärkung

TOC TSC

Kurzschluss

Kurzschluss

R=?

offene Leitung

Schleifenverstärkungen


Ein Beispiel - Sourcefolger

Ausgangswiderstand

UIN

UOUT

RsRg RsRg

Ugs

+

gmUgs

Rd

Ugs*

Xi Xi*

ROUT



UIN

UOUT

RsRg

gmUgs

Rd

Ugs



Erste Aufgabe: Xs, Xi und Xo lokalisieren

UIN

UOUT

RsRg

UIN

UOUT

RsRg

Ugs

+

gmUgs

Rd

Ugs*

Xs

Xi Xi*

Xout

gmUgs

Rd

Ugs

XoXs Xi


Signalgain im Eingangsnetz

UIN

UOUT

Rs* = Rd||RsRg

Ugs

+gmUgs

Ugs*Xs

Xi Xi*

Xout

UIN

UOUT

Rg

UgsXs

Xi

Xout

gg

ggOL R

I

RIA 1

0

1

oXs

iOL X

XA

+


Direkte (aktive) Verstärkung

UIN

UOUT

Rs*Rg

Ugs

gmUgs

Xs

Xi Xi*

Xout

UIN

UOUT

Rs*Rg

Xs

Xi

Xout*

*

**

2 Sm

gs

gsSmOL Rg

U

URgA

Ugs*

gmUgs*+ 0

*2

sXi

oOL

X

XA


Schleifenverstärkung

UIN

UOUT

Rs*Rg

Ugs

gmUgs

Xs

Xi Xi*

Xout

UIN

UOUT

Rs*Rg

UgsXs

Xi

Xout*

*

**

Sm

gs

gsSm RgU

URgT

0

*

sXi

i

X

XT

gmUgs*+

Ugs*


Dead System Gain (FF)

UIN

UOUT

Rs*Rg

Ugs

+gmUgs

Ugs*

Xs

Xi Xi*

Xout

0*

iXs

o

X

XFFUIN

UOUT

Rs*Rg

UgsXs

Xi Xi*

Xout

0FF

XoXs


Verstärkung mit RK

*

*

21

11 sm

smgOLOL

IN

OUTF

Rg

RgR

T

AAFF

U

UA

UIN

RsRg

UOUT



RsRg

Ugs

+

gmUgs

Rd

Ω

*0 || SdS RRRR

Widerstand ohne Verstärkung



Schleifenverstärkung mit offenem Ausgang

RsRg

Ugs

+

gmUgs

RdUgs*

*gs

gsOL

U

UT

smOL RgT *



RsRg

Ugs

+

gmUgs

RdUgs*

*gs

gsSC

U

UT

0SCT

OC

SCOUT T

TRR

1

10

mSm

SOUT gRgRR

1

1

01*

*

Schleifenverstärkung mit kurzgeschlossenem Ausgang


Sourcefolger – wichtige Parameter

UIN

UOUT

Rs

ROUT = 1/gm UOUT/UIN = 1 RIN = ∞

1+

UIN

- UOUT = UIN

+

1/gm


Nichtinvertierender Verstärker

+

UIN

- AUIN

+RIN

ROUT

+

-

OUT

OUT

R1

R2

Xs +

Xo+

XoXs Xi

Xi


Nichtinvertierender Verstärker (Verstärkung)

+

UIN

- AUIN

+

RIN = ∞ROUT = 0

+

-

OUT

OUT

R1

R2

Xs +

Xo+

XoXs Xi

Xi


Signalgain im Eingangsnetz

+

-

OUT

OUT

R1

R2

Xs +

Xo+

Xi Xi*

11 OLA

0

1

oXs

iOL X

XA

+

UIN

- AUIN

+

RIN = ∞ROUT = 0


Direkte (aktive) Verstärkung

+

-

OUT

OUT

R1

R2

Xs +

Xo+

Xi Xi*

+

- AXi*+

AAOL 2

0

*2

sXi

oOL

X

XA

Xi*


Schleifenverstärkung

+

-

OUT

OUT

R1

R2

Xs +

Xo+

Xi Xi*

+

- AXi*+

Xi*

21

1

RR

RAT

0

*

sXi

i

X

XT


Dead System Gain (FF)

+

UIN

- AUIN

+

+

-

OUT

OUT

R1

R2

Xs +

Xo+

Xi Xi*

XoXs

0*

iXs

o

X

XFF

0FF


Verstärkung mit RK

1

21

21

1

21

11 R

RR

RRR

A

A

T

AAFF

X

XA OLOL

S

OF

+

-OUT

R1

R2

Xs +

Xo+


Nichtinvertierender Verstärker (Ausgangswiderstand)

+

UIN

- AUIN

+

ROUT

+

-

OUT

OUT

R1

R2

Xi

Xi

Ω

RIN = ∞



+

UIN

- AUIN

+

ROUT

+

-

OUT

OUT

R1

R2

Xi

Ω

Widerstand ohne Verstärkung

OUTRRRR ||)( 210



Schleifenverstärkung beim offenen Ausgang

+

-

OUT

OUT

R1

R2

Xs +

Xo+

Xi Xi*

+

- AXi*+

Xi*ROUT

OUTOC RRR

RAT

21

1



Schleifenverstärkung beim kurzgeschlossenen Ausgang

+

-

OUT

OUT

R1

R2

Xs +

Xo+

Xi Xi*

+

- AXi*+

Xi*ROUT

0SCT



OC

SCOUTF T

TRR

1

10

OUTOUT

OUT

OUTOUTF

RA

R

R

RR

RRRR

A

RRRR

1

21

21

1

21

1

||)(+

-OUT

R1

R2

Ω

OUT+

- AXi*+

Xi*ROUT

Ausgangswiderstand mit Rückkopplung


Aufgabe Rin=?

Cg Cg Cg

Transistor CS Amplifier SF Amplifier

Z=? Z=?


TSC

Cg Cg

OC

SCOUTF T

TRR

1

10

SCT


TOC

Cg Cg

OC

SCOUTF T

TRR

1

10

OCT


R0

Cg Cg

OC

SCOUTF T

TRR

1

10

0R


Kleinsignalmodell

),( ddINOUT Vvfv

dddd

ININ

OUT dVV

fdv

v

fdv

gmvgs

rds

vgs

OUTvINv

ddV

inv

outv

DSDS

DGS

GS

DDS dv

v

idv

v

idi

DSdsGSmDS dvrdvgdi

0

+-

AC Analyse


Sprungantwort

)(th )(* tU out


DC

)(th )(* tU out


AC

)(th )(* tU out


Sprungantwort

)(tf

)()(')(0

it

i tthttftf

0

*

0

* )()(')()(')( dtufttuttftu it

outiout

)(tuout)(th )(* tu out


AC Analyse eines Verstärkers mit RK

T

AA

U

UA OLOL

in

outF

1

21

Signalgain am Eingang

RückkopplungAktive Verstärkung

)(1

)()(

DT

DADA OL

F

dt

tduCti

)()(

+

)()( ssCs UI

)()( tCDuti



h(t))(* tu out

)()1...()()1( 0*1

12

2 thDbAtuDaDa mmout

)()1...()()1...( 0*1

1 thDbAtuDaDa mmout

nn



)(* tu out

0)()1...( *11 tuDaDa out

nn



h(t))(* tu out

)()1...()()1( 0*1

12

2 thDbAtuDaDa mmout

)(~)( 0*2

2 thDbAtuDa mmout

)(~)( 2

20

* thDa

bAtu mm

out

2m

1m

0m



)(1

1)(

11

22

10

* thDaDa

DbAtu out

0112

2 aa

011* 21)()( AeCeCthtu ttout

0/1

/1

* 21)()( AeCeCthtu ttout

22

1112

1,

1

))(()( 0/

1*

211 AeCthtu t

out 12211 /, aaa

h(t))(* tu out

)()1)(1(

1)(

12

10

* thDD

DbAtu out

Polynom in D

Charakteristische Gleichung

Partikulare Lösung

Wurzel sind Realzahlen


Aufgabe

+

C1

R1

uG

C2

R2

dt

tduCti

)()(

+

R1

R2

C1

C2

U0h(t)



T

AA

U

UA OLOL

in

outF

1

21

Signaldämpfung am Eingang

RückkopplungAktive Verstärkung

)(1

)()(

DT

DADA OL

F

1

)1()(

212

21

*0

DD

DADA zOL

OL

1

)1()(

212

21

0

DD

DTDT z

Annahme: System zweiter Ordnung


Testschaltungen für Feedbackanalyse

RKA

AAFFA

OL

OLOLF

2

21

1

AOL1 – Gain am Eingangsnetz AOL2 – aktive Verstärkung

RK FF

T - Schleifenverstärkung

Messpunkt - blau

Testquelle - rot

Kurzschluss

T

AAFFA OLOL

F

1

21



111

1

1)(

0

0212

0

21

*

0

0

D

T

TD

T

D

T

ADA

z

zOLF

)(1

)()(

DT

DADA OL

F


Lösung der DG zweiter Ordnung

111

1

1)(

0

212

0

210

D

TD

TT

ADA OL

F

011

0

2

0

Q

2212112 41

22Q

11

1

1)(

0

2

0

0

D

QDT

ADA OL

F

21

00210 ,1

QT

2211 /1,/1

)14sin()14cos()()( 21

21

* tQCtQCethtu tout

Übertragungsfunktion (Differentialgleichung)

Kanonische Form, Eigenfrequenz, Güte

Das charakteristische Polynom

Die Lösung


Stabilität

2212112 41

22Q

ttout eCeCtu 11

21* )(

21

0210 ,1

QT

5,0Q

UQ

Q

14

22

2

707,0Q

707,0Q

Für Q Faktor kleiner als 0,5 die Antwort des Verstärkest ist exponentiell und reell

Für Q Faktor kleiner als 0,707 die Antwort des Verstärkest hat keinen Überschwinger

Antwort mit RK ist schneller für Größere T


Bedingungen für die schnelle und genaue Verstärkung

707.0)1(

21

21

TQ

1212 5.0 T

12

5.0 T

2112 )(

5.0zT

T


Verstärker 2ter Ordnung mit RK

ω1ω2

λ1, λ2

T0 steigt

Es ist möglich nur mit Kondensatoren, Widerständen und Verstärkern eine spulenähnliche Schaltung zu bauen



)(1

)()(

DT

DADA OL

F

1)(

1

0

D

ADA OL

OL

1)(

1

0

D

TDT

11

1

1)(

0

10

DT

T

ADA OL

F 01 T

AA OL

DCF

00

1

11 TTOL

F

Verstärkung wird um Faktor 1+T schlechter

Zeitkonstante verbessert sich um 1+T

Produkt der Bandbreite und Verstärkung ist konstant



)(1

)()(

DT

DADA OL

F

111)(

321

0

DDD

ADA OL

OL

111)(

321

0

DDD

TDT

ω1ω2

λ1, λ2

ω3

λ3

Die Schnellste Zeitkonstante bleibt reell,

wird kleiner

T steigt

Wir können die schnellste zeitkonstante vernachlässigen aber…

Das System kann bei großer T instabil werden

Nullimpedanzen


Tiefpass 1. Ordnung (Beispiel)

)(1

1)(

12 tAu

Datu GC

+

uG = h(t)C1

R1

+

dt

tduCti

)()(

+



)(1

1)(

12 tAu

Datu GC

+

C1

R1

+

DC

0

dt

tduCti

)()(

+

AAuu GC

)(10

1)(2

1)(2 Cu

uG = h(t)

1)(2 Cu A1



)(1

1)(

12 tAu

Datu GC

+

C1

R1

+

)(1

1)(

12 sA

sas GC uu

*)(,01*:* 21 ssass Cu

uG = h(t)

dt

tduCti

)()(

+

)()( ssCs UI

)()( tCDuti

*/11 sa



)(1

1)(

12 tAu

Datu GC

C1

R1

+

)(1

1)(

12 sA

sas GC uu

*)(,01*:* 21 ssass Cu

Ω

Req(s*) = 0

*/11 sa

uG = h(t)

dt

tduCti

)()(

+

)()( ssCs UI

)()( tCDuti



0*

1*)(

11

CsRsReq

C1

R1

+

Ω

Req(s*) = 0

0*

1*

1

11

Cs

CRs1*: 11 CRsCG

111 CRa

)(1

1)(

112 sA

sCRs GC uu


„Common-Source“ Verstärker

Eingang

Ausgang

Rg

Rd



+

gm UIN

Cg Summe aller Kapazitäten zwischen Gate und Source

Cf

Cd Rd||Rds

Rg -

Eingang Ausgang

Cg

Cf Summe aller Kapazitäten zwischen Gate und Drain

Cd Summe aller Kapazitäten zwischen Drain und Masse

Eingang

Ausgang

Rg

Rd

Cg

Cf

Cd Rds



Eingang

Ausgang

Rg=10K

Rd

Cg=1p

Cf

Cd=1p Rds

A=200

Cf, gm, Rd = ?

Response speed - Optimieren



Eingang

Ausgang

Rg

Rd

Cg

Cf

Cd Uout(t)

Iin(t)

)()()( tututudfg CCC



Eingang

Ausgang

Rg

Rd

Cg

Cf

Cd

)(1

)1()(

12

2

1 tAuDaDa

Dbtu Gout



Eingang

Ausgang

Rg

Rd

1100

)10()(

12

1

A

aa

buout

gdm RRgA



Eingang

Ausgang

Rg

Rd

Cg

Cf

Cd

)(1

)1()(

12

2

1 tuDaDa

DbRgRtu Gdmgout



Eingang

Ausgang

Rg

Rd

Cg

Cf

Cd

0*)(,01*:* 1 ssbss outu

)(1

)1()(

12

2

1 ssasa

sbRgRs dmgout Guu



Eingang

Ausgang

Rg

Rd

Cg

Cf

Cd

in1 vi fCs*

in1 vi mg

fmfm CgsCsg /*,*

mf gCb /1

0*)(,01*:* 1 ssbss outu

)(1

)1()(

12

2

1 ssasa

sbRgRs dmgout Guu

0*)( soutu

1i



Eingang

Ausgang

Rg

Rd

Cg

Cf

Cd

*)(,01**:* 12

2 ssasass outu

)(1

)11(

)(1

22

ssasa

g

C

RgRs m

f

dmgout Guu



Eingang

RgRdCg

Cf

Cd

0)( sGin

0)(*1

sGCsR

G eqgg

in

*)(,01**:* 12

2 ssasass outu

)(1

)11(

)(1

22

ssasa

g

C

RgRs m

f

dmgout Guu

0)( sGin



Rd

Cf

Cd)(sZeq



Rd

Cf

CdOC

SCeqeq T

TZsZ

1

1)( 0

dd

dfeq CsR

RsCZ

1

/10



Rd

Cf

Cd

OC

SCeqeq T

TZsZ

1

1)( 0

)1(

)(1

1

10

ddf

fdd

dd

d

feq CsRsC

CCsR

CsR

R

sCZ

0,1

scdd

dmOC T

CsR

RgT

dmdd

dd

ddf

dfdeq RgCsR

CsR

CsRsC

CCsRZ

1

1

)1(

)(1

)1(

)(1

dmddf

dfdeq RgCsRsC

CCsRZ



0*)(*1

sGCsR eqg

g

dmdd

dd

ddf

dfdeq RgCsR

CsR

CsRsC

CCsRZ

1

1

)1(

)(1

0*)(*1

sGR

CRseq

g

gg

0)(1

)1(*1

dfd

dmddf

g

gg

CCsR

RgCsRsC

R

CRs

01)))1(()(()(2 gdmfgdfddfdgfgdg CRgCRCCRsCCCCCCRRs

CgRg

Geq



01)))1(()(()(2 gdmfgdfddfdgfgdg CRgCRCCRsCCCCCCRRs

1)))1(()(()(

)/1(2

gdmfgdfddfdgfgdg

mfgdm

CRgCRCCRsCCCCCCRRs

gsCRRgEingang

Ausgang

Rg

Rd||Rds

Cg

Cf

Cd

)(1

)11(

)(1

22

ssasa

g

C

RgRs m

f

dmgout Guu


Verstärkung mit RK – die Formel

1)))1(()(()(

)()/1()(

2

gdmfgdfddfdgfgdg

mfgdmout CRgCRCCRsCCCCCCRRs

sgsCRRgs Giu


Verstärkung mit RK – die Formel

2112 )(

5.0zT

T

225.0)( fdgmdfdgfgdg CRRgCCCCCCRR

dm

dfdgfgf Rg

CCCCCCC

5.02

Bedingung für schnelle Signalantwort ohne Überschwinger

1)))1(()(()(

)/1(2

gdmfgdfddfdgfgdg

mfgdm

CRgCRCCRsCCCCCCRRs

gsCRRg

fFCpF

C ff 100100

)1( 22

nsCRRg fgdm 200~1

nsns 5.0200200

5.0~2

nsgC mf 5.0/ mgs200


Millereffekt

testtest ICD

U1

Uin Uout

testOL

SCintest I

ACDT

TZUU

)1(

11

1

10

C

LCMeter

LCMeter

-A

C

(1+A)C

C


Millereffekt

-A

C

-A

C

CCWr

Wr

Wr

Wr*

C2


Millereffekt

-A

C

1C2

C(1+A)

-A

C

1C2

C+C2

-A

C

C2

C(1+A)


Schaltungen mit Kondensatoren

uC1

uC2

uGNur R



uC1

uC2

uG

+

+

C2

C‘2

uG

+

uG = uC2 + uC‘2

Abhängige Kondensatoren

Unabhängige Kondensatoren



uC1

uC2

uG

Ersetzen wir alle (unabhängige) Kondensatoren durch Spannungsquellen Lösen wir das Gleichungssystem nach unbekannten iCi

Nur R

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

i

i

2

1

2

1

2221

1211

2

1

GCCC uducuci 12121111


+

+

Matrix Form

Lineare Form



uC1


Nur R

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

i

i

2

1

2

1

2221

1211

2

1



+

+



uC2


Nur R

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

i

i

2

1

2

1

2221

1211

2

1



+

+



uG


Nur R

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

i

i

2

1

2

1

2221

1211

2

1



+

+



GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

DuC

DuC

2

1

2

1

2221

1211

22

11

GCCC uducucDuC 121211111

GCCC uducucDuC 222212122

Ersetzen wir die iCi durch Ci DuCi („D“ ist zeitliche Ableitung)System von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung

uC1

uC2

uGNur R

dt

tduCti

)()(

+


GCCC uducuci 22221212 +

+

Ersetzen wir i durch CDu



GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

DuC

DuC

2

1

2

1

2221

1211

22

11

GC

C ud

d

u

u

cDCc

ccDC

2

1

2

1

22221

12111

)(

)(

GC

C ud

d

cDCc

ccDC

cDCc

ccDCu

u

2

1

11121

12222

22221

121112

1

)(

)(

)(

)(1

GC DUUC

GC DUCU 1

2

22

dt

dD

dt

dD

t

dD0

1

10

1

t

ddt

dDD

10

1 t

dd

dDD

Gruppieren wir alle Koeffizienten und Ableitung-Operatoren (D) in eine Matrix

Lösen wir die Matrixgleichung nach Uc auf

inverse Matrix



GC uDaDa

DbAu

1

1

12

2

11

GC

C ud

d

cDCc

ccDC

cDCc

ccDCu

u

2

1

11121

12222

22221

121112

1

)(

)(

)(

)(1

GC uDaDa

DbAu

1

1''

12

2

12

Matrixform

ausgeschrieben

Determinante Polynom 1. Ordnung!!!

Polynom 2. Ordnung!!!



GC uDaDa

DbAu

1

1

12

2

1

)(1

1)(

12

2

1 thDaDa

DbAtuC

)()1()()1( 112

2 thDbAtuDaDa C

)(th )(tuC

))()(()()()( 112 ththbAtutuatua CCC

h(t)

δ(t)

)(t

uG durch h(t) ersetzen

Ableitung von h(t) ist δ(t)

Differentialgleichung als Übertragungsfunktion

Differentialgleichung in üblicher Schreibweise

(1)



)()()( tututu CPCHC

))()(()()()( 112 thtbAtutuatua CCC

)()( tthuCP

)(th )(tuC

)(tuCP

)(t

)(th

)(tuCP)(tuCH

0

Die Lösung der DG hat die folgende Form:

Nur die partikulare Lösung ist interessant



))()()(()( 12 Attatath

))0()0(()( 112 baat

0)0()( 1 at

)0()()()()()()()())()(( ttthtthtthtthD

))()(()()()( 112 thtbAtutuatua CCC

)()( tthuC

)0()()0()()()())0()()()(())()((2 tttthttthDtthD

Attata )()()( 12

112 )0()0( baa

0)0(1 a

Setzen wir uc in die DG ein

Ableitungen von h(t)φ(t):

(1)

DG (1) wird: alle Koeffizienten müssen 0 sein

(2)

(3)

(4)



Aecect to

to 21

21)(

0112

2 aa 0)(

)(

22221

12111 cCc

ccC

Attata )()()( 12

112 )0()0( baa

0)0(1 a

Differentialgleichung (Gl. 2 von der letzten Seite)

Lösung ist Exponentialfunktion (homogen) + Konstante (partikular)

Konstanten λ sind die Lösungen der Quadratischen Gleichung

Anfangsbedingungen (Gl. 3 und 4 von der letzten Seite)



uC2

Koeffizienten a12 und a21 sind gleich

Nur R

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

i

i

2

1

2

1

2221

1211

2

1



+

+



Nur R

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

i

i

2

1

2

1

2221

1211

2

1



uC1+

+

Koeffizienten a12 und a21 sind gleich - deswegen…



Aecect to

to 21

21)(

Aecect to

to 21 /

2/

1)(

0112

2 aa

Aececthtu to

toC 21 /

2/

1)()(

Sind λ1 und λ2 real und kleiner als 0

Lösung

wird

)(1

1)(

12

2

1 thDaDa

DbAtuC

Gleichung (1) Seite 32:

Hat die Lösung:

21 /1,/1 sind die Wurzel des Polynoms:

0112

2 aa


Zeitkonstanten

C1

C2

Ci

Gnn

nn u

DaDa

DbDbiu

1...

1...,

1

1

nnRCRCa 010

11 ...

CN

Ω

Zur Messung von R01

Wir haben N unabhängige Kondensatoren. Jede Spannung oder Strom ist Lösung einer Differentialgleichung N-ter Ordnung

Der Koeffizient a1 kann wie folgend berechnet werden


Zeitkonstanten – die Formel für a2

C1

C2

Ci

Gnn

nn u

DaDaDa

DbDbiu

1...

1...,

12

2

1

nn

nnn RRCCRRCCa 11

012

110

212 ...

CN

Ω

Zur Messung von RN1



)(1

)1()(

12

2

12 tAu

DaDa

Dbtu GC

+

C1

R1

uG

C2

R2

+ +

Aececthtu to

toC 21 /

2/

12 )()(

)()( thtuG

Es gibt 2 unabhängige Kondensatoren

DG hat die Form (Nenner - Polynom 2. Ordnung, Zähler - Polynom 1. Ordnung) wie auf Seite 31

Wir suchen die Antwort auf Sprungfunktion

Die Lösung hat die Form (Seite 38)


Tiefpass 2. Ordnung

+

C1

R1

uG

C2

R2

+ +

1A

)(1

)1()(

12

2

12 tAu

DaDa

Dbtu GC

1V

Finden wir A (DC Verstärkung)

Es fließen keine Ströme

durch C

VuC 1)(2 weil


Tiefpass 2. Ordnung

GC AuDaDa

Dbu

1

)1(

12

2

12

R1R2

Ω

20

210

11 RCRCa 11

0 RR

Messung von R01

Formel

Ergebnis

Finden wir Konstante a1


Tiefpass 2. Ordnung

GC AuDaDa

Dbu

1

)1(

12

2

12

R1R2

Ω

20

2111 RCRCa 212

0 RRR

Messung von R02

Formel

Ergebnis

)( 212111 RRCRCa



Tiefpass 2. Ordnung

GC AuDaDa

Dbu

1

)1(

12

2

12

R1R2

Ω

21

10

212 RRCCa 11

0 RR

Messung von R01

Formel

Ergebnis



Tiefpass 2. Ordnung

GC AuDaDa

Dbu

1

)1(

12

2

12

R1R2

Ω

21

1212 RRCCa 22

1 RR

Messung von R12

Formel

Ergebnis

21212 RRCCa



Tiefpass 2. Ordnung

GC uDD

DbAu

)1)(1(

)1(

21

12

121221 , aa

1121 a 122 / aa

)( 212111 RRCRCa

21212 RRCCa

GC AuDaDa

Dbu

1

)1(

12

2

12

1A

(1)

(2)

Durch Vergleich von Nenner in (1) und (2)

Wenn… (τ1 – dominante Zeitkonstante)


Tiefpass 2. Ordnung

1)()( 21 /2

/12 t

ot

oC ececthtu

+

C1

R1

uG

C2

R2

uC

t

11 a 212 / aa

Bis jetzt hatten wir

Co1 und Co2 = ?

)( 212111 RRCRCa

21212 RRCCa


Tiefpass 2. Ordnung

+

C1

R1

uG

C2

R2

uC

t

dt

tduCti

)()(

+

0)0(2 Cu

0i0u

0t

0u

1)()( 21 /2

/12 t

ot

oC ececthtu

10 21 oo cc

Erste Anfangsbedingung:


Tiefpass 2. Ordnung

C1

R1

C2

R2

uC

t

2211 //0 oo cc

dt

tduCti

)()(

+

0)0(1

)0( 22

2 CC i

Cu

+

uG

0t

0i

0u

1)()( 21 /2

/12 t

ot

oC ececthtu

Zweite Anfangsbedingung:


Tiefpass 2. Ordnung

+

C1

R1

uG

C2

R2

uC

t

0t

So würde sich ein System 1. Ordnung verhalten

So verhält sich unsere Schaltung


Beispiel (2)

R1

R2

C1

C2

U0h(t)

Nur ein unabhängiger Kondensator! – fügen wir zusätzlichen Widerstand Rx. Es gilt: Rx -> 0!!!


Beispiel (2)

R1

R2

C1

C2

U0h(t)

Jetzt ist die Schaltung in Ordnung (zwei unabhängige Kondensatoren)

Rx


Beispiel (2)

GC uDaDa

Dbu

1

1

12

2

12

220

110

1 CRCRa

2211211 )||()||( CRRCRRa

))(()( 2/

121 CoeCothtu at

C

Die Differentialgleichung hat die Form

Es gilt (nach der Formel von Folie 39 und 40):

R1

R2

C1

C2

U0h(t)Rx

wir benutzten Rx = 0!

02121

10

2 CCRRa

(1)

Lösung der Gleichung (1)

220

110

1 CRCRa

Finden wir Co1 und Co2…


Anfangsbedingung (1)

R1

R2

C1

C2

U0h(t)

t = 0+

∞

∞

021

10

12

22 /1/1

/1)0( U

CC

CU

DCDC

DCuC

Großer Strom


Endzustand

R1

R2

U0h(t)

t = ∞

021

22 )0( U

RR

RuC

uC

t

021

2 URR

R

021

1 UCC

C

))||)(/(( 2121 RRCCte

1Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Analyse des Feedbacksystems...

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