1

-22-

2. Das elektrische Feld

Grundlagen der Elektrotechnik GET 1

• Ladung und Coulomb‘sches Gesetz

• Die elektrische Feldstärke

• Elektrische Feldstärke und leitende Materialien

• Die elektrische Flussdichte

• Elektrisches Feld und Dielektrikum

• Grenzbedingungen des elektrischen Feldes

• Energieinhalt und Kraftwirkung[Buch Seite 19-102]

-23-

Ladung und Coulomb’sches Gesetz IPhänomenologisch

Kraftwirkung aufgeladene Körper

2

-24-

Ladung und Coulomb’sches Gesetz IIPhänomenologisch

Kraftwirkung aufgeladene Körper, z.B.:

F14 = – F41

Schreibweise:

F14 ist Kraft, welche dieLadung Q4 auf das mit Q1

geladenen Volumen V1 ausübt.

Interessant:

Kraft symmetrisch inQ1 bzw. Q4 :«actio = reactio».

Kraft entlang vonSchwerelinien Si

(Schwerpunkte Mpi)

+

F14F41

F12 F21

F43

F34F13

F31F32

F23

F42F24

+

-

-

V1

V2

V4

V3

Q1

Q4

Q2

Q3

Mp4

S4

-25-

Ladung und Coulomb’sches Gesetz IIIKontinuierliche Ladungsverteilung

(A) Raumladungsdichte :

r( )= limV 0

Q

V=dQ

dV r

[ ] = Cm3

= Asm3

(B) Flächenladungsdichte : (C) Linienladungsdichte :

r( ) =…=dQ

dA r

[ ] = Cm2

= Asm2

r( ) =…=dQ

d r

[ ] = Cm = As

m

Einheit der Ladung:

[Q] = Coulomb = C = As

3

-26-

Konzept der Punktladung

Fall #1:Fall #2:

Ladung und Coulomb’sches Gesetz IV

Fall #1 ( = konstant):

V0 =4

3r03

Kugel mit Ladung • Kugelvolumen:

0 =3Q0

4 r03

• Ausgangs- Ladungsdichte:

Q V( ) = 0 V r( ) 0V 0r 0

Fall #2 (Q = konstant):

V( ) =Q0

V r( )V 0r 0

-27-

Ladung und Coulomb’sches Gesetz V

Konzept der Punktladung

Fall #2: Endliche Ladung Q0 in verschwindendem Volumen V.

Ladungsdichte unendlich gross (unrealistisch)

Bindungsenergie (für den Zusammenhalt) divergiert (unrealistisch)

Diese unrealistische Konfiguration ist praktisch und heisst: Punktladung.

2·Rk

2·Rp

Beispiel: «Proton»

K =P

1+ A ZZ

=22.1 1024 As

m3

1+ 63 2929

10.2 1024 Asm3

P =3e

4 RP3 =

3 1.602 10 19As

4 1.2 fm( )3 22.1 1024 As

m3

Cu2963

(im Sinne einer «real existierenden» Punktladung)

4

-28-

Ladung und Coulomb’sches Gesetz VI

Zwei Punktladungen

F12 = F21 = kQ1 Q2

r2

Experiment:

• Ungleiche Ladungen ziehen sich an.

• Gleiche Ladungen stossen sich ab.

• Beobachtungen:

• Kräfte materialabhängig

F12 = F211r2

F12 = F21 Q1

F12 = F21 Q2Modell für die Kraftwirkung

Konstante k ist materialabhängig

-29-

Ladung und Coulomb’sches Gesetz VII

Zwei Punktladungen

F12 = F21 =1

4

Q1 Q2

r2

F12 = F21 = kQ1 Q2

r2

Gleichheit der Einheiten imSI-System sichern;Faktor 1/4 isthistorisch.

Vakuum: 0 = 8.8541878·10–12 AsV–1m–1

0: elektrische FeldkonstanteMaterial: = 0· r

: Permittivität r: Permittivitätszahl, r 1 wobei r = 1 in Vakuum

k =1

4

Das Coulomb’sches Gesetz

Richtung: auf Verbindungslinie zwischen Punktladungen Q1 und Q2.

5

-30-

Ladung und Coulomb’sches Gesetz VIII

Alternative Schreibweise

F =1

4

Q1 Q2

r2

• Ladungen Q1 und Q2 gehen mitihren Vorzeichen in dieRechnung ein.

• Coulomb’sches Gesetz gilt näherungsweise auch für

kugelförmige Ladung mit endlichem Radius R: Abstand r >> R.

• Klasische Schreibweise eines Fernwirkungsgesetzes.

gleichnamig Abstossung

ungleichnamig Anziehung

-31-

Q>0q+

F

F

Die elektrische Feldstärke IDefinition

E r( ) = limq+ 0

F

q+ r

Kraft auf eineProbeladung q+

Einheit der elektrischen Feldstärke:

Die «Landkarte» der Kraftwirkung,d.h. das Kraftfeld, ermöglicht dieDefinition eines elektrischen Felds,bzw. der elektrischen Feldstärke:

E =F

q+[ ]=N

As= …

Folie14

=V

m

6

-32-

Die elektrische Feldstärke IIBemerkungen

Kommentar:

• Probeladung q+ soll möglicht klein sein (noch besser: verschwinden), damit sie daselektrische Feld E der Ladung Q nicht beeinflusst. Unter solchen Bedingungen gilt:(A) (elektrisches Feld) (Kraftfeld)(B) «lokaler» Charakter der Felddefinition gewährleistet: Weg von der Fernwirkung!

• Umkehrung bringt den «Feldcharakter» der Definition besser zur Geltung:

F = q

+E gilt auch

allgemein! F =Q E

E r( ) = limq+ 0

F

q+ r

In Worten:Die elektrische Feldstärke ist die am Ort r mit der Probe-ladung q+ normierte Kraftwirkung, welche durch dieLadung Q mit verursacht wird.

Gegeben: E-Feld Probeladung q+Gesucht: Kraftwirkung

(für beliebig grosse Ladung Q)

-33-

Die elektrische Feldstärke IIIDas elektrische Feld

F = qi1

4

Q

r2

als abstrakterRaumzustandaufgefasst.

1. «Allgemein» heisst auch, dass dieseDefinition der E-Feldstärke am Ort r0eigentlich unabhängig von der Grösseder Probeladung qi ist.

2. Das E-Feld ist daher eine von derProbeladung qi unabhängige physika-lische Qualität des Raumes.

3. Beispiel: Probeladung qi im Wirkungs-bereich der Punktladung Q:

F = qi E E r0( ) = limqi 0

F

qi r0

i = 1,2,…

(A) Fernwirkungsgesetz (Coulomb):

Beschreibt Kraftwirkung zwischen Ladun-gen. Ladung ist Ursache der Kraftwirkung.

(B) Konzept des elektrischen Feldes:

Ladung ist Quelle des elektrischen Feldes.In Bezug auf die Kraftwirkung sind Ladungund E-Feld einander gleichgestellt.

(C) Der Feldbegriff:

Die wichtigste Basisinnovation in der Physikdes 19. Jahrhunderts!

7

-34-

Die elektrische Feldstärke IV

Das elektrische Feld Elektrische Feldstärke ist ein Vektorfeld und beschreibtdie Kraftwirkung des E-Feldes auf eine Probeladung.

Q1>0

P

r

a)

Q2<0

P

r

b)

E E

positivePunktladung: Feld weg von Quelle.

negativePunktladung: Feld hin zur Senke.

-35-

Die elektrische Feldstärke VDas elektrische Feld einer Punktladung

Aus Folie 33:

Q>0

E

F = qi1

4 0

Q

r2

Raumzustand E

E =Q

4 0 r2

E =Q

4 0 r2 er

E r( )=Q

4 0 r2

r

r=

Q

4 0 r3 r

er =r

r=r

rmit:

8

-36-

0 1 2 3 cm r

~

1

r2

E

Q

40

1cm2( )

Q

40

4 cm2( )

Die elektrische Feldstärke VIVerlauf des Absolutbetrags der elektrischen Feldstärke

• Verlauf der Feldstärke weist Singularität bei r 0 auf, d.h. Feldstärke strebt dort gegen unendlich.

• Fazit #1: Punktladung ist ein idealisiertes Modell.

• Fazit #2: Die Quelle (Ladung) ist nicht wirklicher Teil der Feldtheorie.

-37-

Die elektrische Feldstärke VIIFeldlinien des elektrischen Feldes

negative Punktladung

Q>0

E

A

a)

A

Q<0

E

A

b)

A

positive Punktladung

Für Feldlinien gilt:

• Verlaufen tangential zu den E-Feld-Vektoren.

• Die Feldliniendichte entspricht der Feldstärke.

• Treffen in der Ladung zusammen.

• Schneiden sich niemals.

Feldlinien:

• Besser dar-stellbar alsVektorfeld.

• Linien mit«mittigen»Pfeilen.

9

-38-

Die elektrische Feldstärke VIIIElektrisches Feld von zwei Punktladungen

Q1>0

E2

Q2>0

E1

E

q+

q+

q+

E2

E2

E1

E1

E

E

q+

E2

E1

E = 0

E1

E2

Symmetrieebenefalls Q1 = Q2

GrafischeKonstruktion:

• Überlagerung der Wirkungen, der beiden Ladun- gen, d.h.:

• Vektorielle Über-lagerung der E-Felder herrührendvon Q1 und Q2.

-39-

Zwei gleiche Punktladungen(Q > 0: Quelle; Q > 0: Quelle)

Zwei ungleiche Punktladungen(Q > 0: Quelle; Q < 0: Senke)

Die elektrische Feldstärke IXFeldlinienbild von zwei Punktladungen

10

-40-

Die elektrische Feldstärke XMessung von Feldlinien mittels Grassamen

–

++

+

-41-

Koordinatensysteme:

(x, y, z): Ortskoordinaten

(xi, yi, zi): lokale Systeme, i = 1,2

Die elektrische Feldstärke XI

Feldberechnung bei zwei positiven Punktladungen

E2

y1

z1 x

1 0

z

x

y

y

xx2

z2

y2

P

E1

E

r1

r2

d d

Q1 = + Q Q

2 = + Q

r1 = x1, y1, z1( ) = x+d, y, z( )

r1 = r1 = x+d( )2+ y2 + z2

r2 = x2 , y2 , z2( ) = x d, y, z( )

r2 = r2 = x d( )2+ y2 + z2

11

Die elektrische Feldstärke XII

Kurzes Intermezzo «Vektoren» (Buch Anhang A6)

ex

ey

ez r

x

y

z

y0

z0

x0

(B) Vektor:

r = x0 , y0 , z0( )

= x0 ex + y0 ey + z0 ez

(C) Betrag des Vektors:

r = x0

2+ y0

2+ z0

2

(A) Koordinatensystem:

Karthesisch: x, y, z

-42-

r = r er

(D) Einheitsvektor:

er =r

r=

x0 , y0 , z0( )

x02+ y0

2+ z0

2=x0 ex + y0 ey + z0 ez

x02+ y0

2+ z0

2

er

-43-

Elektrisches Feld im Punkt P:

(vektorielle Addition)

Die elektrische Feldstärke XIII

Feldlinienbild von zwei positive Punktladungen

E2

y1

z1 x

1 0

z

x

y

y

xx2

z2

y2

P

E1

E

r1

r2

d d

Q1 = + Q Q

2 = + Q

E1 =Q1

4 0 r13 r1

r1 = x1ex + y1ey + z1ez = x+d( )ex + yey + zez

E2 =Q2

4 0 r23 r2

r2 =…= x d( )ex + yey + zez

E = E1 + E2

12

E1 =Q1

4 0r13 r1 =

Q14 0

x+d( )ex + yey + zez

x+d( )2+ y2 + z2

3

E2 =Q2

4 0r23 r2 =

Q2

4 0

x d( )ex + yey + zez

x d( )2+ y2 + z2

3

E = E1 +E2 =Q

4 0

x+d( )ex + yey + zez

x+d( )2+ y2 + z2

3 +x d( )ex + yey + zez

x d( )2+ y2 + z2

3

Q1 =Q2 = Q

Die elektrische Feldstärke XIVFeldlinienbild von zwei positiven Punktladungen

Elektrische Feldstärke im Punkt P(x,y,z):

-44-

-45-

Elektrisches Feld in der Symmetrieebene:

Die elektrische Feldstärke XVFeldlinienbild von zwei positiven Punktladungen

E 0, y, z( ) =Q

4 0

2yey + 2zez

d 2 + y2 + z23

Symmetrieebene falls Q1 = Q2 > 0

E

yx

z

13

-46-

Die elektrische Feldstärke XVI

Feldlinienbild von zwei ungleichen Punktladungen

Q1 =Q

2Q2 = Q Q2 = QQ1 =

Q

5

-47-

Q2 = + QQ1 =Q

5=:q

+

Die elektrische Feldstärke XVII

Feldlinienbild mit kleiner Probeladung

Q1 =Q

5=:q

+Q2 = Q

14

-48-

Die elektrische Feldstärke XVIII

Zusammenfassung

• «Elektrisierte» (elektrisch geladene) Körper erfahren gegenseitige Kraftwirkung.

• Ursache der Kraftwirkung: Ladung.

• Ladungskonzepte: kontinuierliche Ladungsverteilungen, Punktladung.

• Das mit den Ladungen verknüpfte Kraftgesetz: Coulomb’sches Gesetz.

• Probeladung: Vom Kraftfeld zum elektrischen Feld, elektrische Feldstärke.

• Unterscheidung: Fernwirkungstheorie Feldtheorie.

• Darstellungen des elektrischen Feldes: Vektorfeld, Feldlinien.

• Berechnung des elektrischen Feldes: zwei Punktladungen.

Die Definition des elektrischen Feldes beruht auf dessen Wirkung,d.h. auf dessen Kraftwirkung auf eine Probeladung.

-49-

Leiter im elektrischen Feld I

Feldfreiheit im idealen Leiter

Experiment: Influenz

• Metallischer Leiter (neutral) inkonstantem, homogenenelektrischen Feld E0.

• Leiter: frei bewegliche Ladungsträger (Elektronen) n = 1023 cm–3 (Anzahl negative Ladungsträger pro Volumen).

• Kräfte wirken auf die freibeweglichen Ladungsträger

an der Oberfläche.

• Oberflächenladung erfährt beim Eintritt bzw. beim Aus- der Feldlinie einen negativen

bzw. positiven Überschuss.

Fazit #1:

• Ladungsverschiebung bewirkt sekundäres Feld Esek.

• Im Gleichgewicht kompensiert Esek das Feld E0.

• Das Innere von Leitern ist demnach feldfrei.

15

-50-

Leiter im elektrischen Feld II

Feldlinienbild bei einem ideal leitenden Körper

Allgemeine Aussagen

• Gleichgewicht: Ohne Kräfte(Felder) werden keineLadungen mehr verschoben.

• Gleichgewicht stellt sich fast instantan ein (< 10 fs), d.h. Aussage über Feldfreiheit im

Leiterinneren gilt allgemein.

• Sekundärfeld Esek bewirkt: (A) Innern: Feldfreiheit (B) Äussern: keine parallelen Feldkomponenten ent- lang der Leiteroberfläche.

• Anschaulich: Elektrische Feldlinien werden vom Leiter «angesaugt».

Fazit #2: Das elektrische Feld trifft stets senkrechtauf die Leiteroberfläche auf.

-51-

Leiter im elektrischen Feld III

Zwei geladene, leitenden Körper (Elektroden)

Experiment: Plattenelektroden

• Ladungen: oben +IQI, unten -IQI

• Ladungen ziehen sich an und sammeln sich an gegenüber- liegenden Elektrodenober-

flächen an (kürzester Abstand).

• Teilausschnitt : radiales Feld der Punktladung überlagert sich zu senkrecht zur Ober- fläche stehendem, homogenem Feld E0.

• Teilausschnitt : radiales Feld kommt in der Ecke voll zur

Geltung: mehr Feldlinien pro Elektrodenfläche, d.h. Feld ist

dort überhöht, d.h. inhomogen.

16

-52-

Leiter im elektrischen Feld IV

Die Feldstärke entlang von Ecken und Kanten

Fazit: Starke Feldüberhöhung an Ecken und Kanten, d.h an Orten mit rKrümmung 0.

w0 3 6 9 12 mm

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

0

E

E0

10

w

3

Elektroden-Innenseite

Elektroden-Außenseite

-53-

Leiter im elektrischen Feld V

Praxis Hochspannungstechnik:

Alles abrunden

Inneres

Äusseres

• Inneres der leitenden Elektrode ist tendenziell feldfrei.

• Kanten und Ecken ins Innere verlegen.

• Krümmung: Steuerung der Feldstärke.

Trick:

E

17

-54-

Leiter im elektrischen Feld VI

Feldlinienbild bei einer leitenden Kugel

=dQ

dAQ

gleichmässigverteilt

Q

A

=Q

4 r02

-

--

-

-

-

-

-

E

r0

Experiment: geladene Kugel

• Negative Überschussladung -IQI auf Kugel aufbringen.

• Ladungen stossen sich ab und lagern sich auf Kugeloberfläche

an.

• Symmetrie bewirkt radiales Feld.

• Symmetrie: bewirkt gleichmässige Ladungsverteilung:

Flächen-ladungsdichte

-55-

D

++++ + +

n

E

n

n

n

- - - - - -

a)

++ + + +

- - - - - -

b)

Esek

E

++++ + +

c)

E

- - - - - -

++++ + +

- - - - -

Qinf

d)

+

n

n´ n´

n

n´

n

-

Die elektrische Flussdichte I

Einführende Betrachtungen Der Influenzversuch

(a) Zwei sich berührende Leiter(Elektroden) werden in einhomogenes E-Feld gebracht.

(b) Leiter werden im Feld ge-trennt: Positiv und negativgeladene Elektrode; Sekun-därfeld Esek wird aufgebaut.

(c) Sekundärfeld ist gerade sostark, dass es das E-Feldzwischen den Elektrodenkompensiert.

(d) Elektroden werden aus demE-Feld genommen. Es ver-bleibt das mit der influen-zierten Ladung Qinf verbun-dene ehemalige Feld Esek,

nun D-Feld genannt.

18

-56-

(A) Influenzierte Ladung:

Die elektrische Flussdichte II

Beobachtungen und Schlüsse

Qinf E A cos E,n( ) inf =Qinf

AE cos E,n( )

Influenzierte Elektrodenladung(maximal: E-Feld normal zur Elektrode)

Influenzierte Flächenladungsdichte(maximal: E-Feld normal zur Elektrode)

(B) Definition der elektrischen Flussdichte:

Hängt praktisch nur vom E-Feld ab

D = limA 0

max Qinf( )A

(1) Die elektrische Flussdichte D ist ein Vektorfeld.

(2) Sein Betrag ist die maximale, von einemE-Feld influenzierte Flächenladungsdichte.

(3) Seine Richtung ist senkrecht zu den Platten-elektroden und verläuft von der positiven zurnegativen Elektrode.

Lokale Definition im «Punkt» A.

[D] = As/m2 = C/m2

Als dem E-Feld zugehörigeFeldgrösse zu konzipieren.

-57-

• Zum Wesen des elektrischen Feldes:(a) Die elektrische Feldstärke E wurde hinsichtlich der (Kraft-) Wirkung des

elektrischen Feldes definiert (Folien 31, 33, 48).

(b) Die elektrische Flussdichte D ist ein Mass für die Ursachen deselektrischen Feldes (Ladungen).

(c) Die elektrische Feldstärke E ist die Intensitätsgrösse des elektrischen Feldes; die elektrische Flussdichte D ist die Quantitätsgrösse des elektrischen Feldes.

Oder: Das «wie stark?» hat mit der Wirkung zu tun, das «wie viel?» mit denQuellen.

• Zu den Bezeichnungen:Die «elektrische Flussdichte» (Bezeichnung nach DIN 1324) wird oft auch als «elektrische Verschiebungsdichte», «dielektrische Verschiebung», «elektrischeErregung» oder «elektrisches Verschiebungsfeld» bezeichnet. Wir halten es mit DIN!

• Frage: Wie kommen wir formal von der elektrischen Flussdichte zur Ursache (Ladungen)?

Die elektrische Flussdichte III

Diskussion

19

Die elektrische Flussdichte IVVon der elektrischen Flussdichte zur Gesamtladung

Qinf =

=1

N

Qinf,

= D=1

N

n A

Flächenelement A :

+ + + + +

+

+

+

+

+

+

A

D

n

- -------

- - -

A

D

D n =Qinf ,

A=

= D cos D ,n( )( )

Qinf = D n dAdFAElektrode Grenzfall für kleinste Teilflächen

Flächen-Integral:

-58-

-59-

Folie 56: Die elektrische Flussdichte ist (im Vakuum) direkt proportional zur elektrischenFeldstärke:

Die elektrische Flussdichte IV

Elektrische Flussdichte und elektrische Feldstärke

D = k E

Beispiel: Kugelförmige (positive) Ladung im Vakuum

E =+ Q

4 0 r2

Punktladung(Folie 35)

D = k+ Q

4 0 r2 = inf =

+ Q

4 r2

D = 0 EMaterialgleichung:

20

-60-

Fragestellung: Wie gross ist der elektrische Fluss e durch die kugelförmige Hülle?

Die elektrische Flussdichte V

Elektrischer Flussdichte und elektrischer Fluss

e, = D n A =

D n

D A

=+ Q

4 r2A

e = e, =

= 1

N+ Q

4 r2A

= 1

N

=+ Q

4 r24 r2 = + Q =Q

parallel

-61-

Fragestellung: Wie gross ist der elektrische Fluss e bei negativer Ladung?

Die elektrische Flussdichte VI

Elektrischer Flussdichte und elektrischer Fluss

e, = D n A =

D n

D A

=Q

4 r2A

e = e, =

= 1

N Q

4 r2A

= 1

N

=Q

4 r24 r2 = Q =Q

antiparallel

21

Q

Hülle

E,D

ndAVorhin: Der elektrische Fluss e durcheine Kugelhülle ist gerade gleich der einge-schlossenen Ladung Q.

Die elektrische Flussdichte VII

Verallgemeinerung

e = D n A =

= 1

N

Q

Verallgemeinerung #1: Der elektrischeFluss e durch eine beliebige geschlosseneHülle (ohne Rand) ist gerade gleich dereingeschlossenen Ladung Q.

Verallgemeinerung #2: Grenzfall fürbeliebig kleine Teilflächen A ergibtwichtige Integraldarstellung.

e = D n dAdF

=

A

Q

-62-

-63-

Ring: Der Ring am Integral deutet an, dass Astets eine geschlossene Fläche ist, d.h. stetsüber eine geschlossene Hülle integriert wird.

Die elektrische Flussdichte VIII

Diskussion

e = D n dAdFA

=Q

Aussage: Der elektrische Fluss e der elektri-schen Flussdichte D, die von einer Ladung Qerzeugt wird, ist bezüglich einer geschlosse-nen Hülle immer gleich der umschlossenenLadung (Quelle).

Allgemein: Diese Aussage gilt sehr allgemein,d.h. für alle elektrischen Felder und somitauch zeitabhängige Felder!

Die obenstehende Aussage ist das ersteGrundgesetz der elektrischen Felder !

Erstes Grundgesetz der elektrischen Felder.

22

-64-

Die elektrische Flussdichte IX

Nachtrag zum Hüllenintegral

Frage: Wie war das beiden Plattenelektroden?Dort hatten wir lediglichüber die PlattenflächeAplatte integriert. Oder:Steht Folie 58 im Wider-spruch zu Folie 62, 63?Nein.

Folie 62, 63:

Folie 58:

…

Ages

…

APlatte?

Die von D, bzw. E durchsetzte Teilfläche von Ages ist Aplatte.

-65-

Die elektrische Flussdichte X

Zwischenbilanz

(1) «Die Ursache des elektrischen Feldes sind die Ladungen; sie sindder Ursprung und das Ende aller elektrischer Feldlinien. Ausdiesem Grund werden die Ladungen als die Quellen des elektrischen Feldes bezeichnet (positive Ladung = Quelle Anfangder Feldlinien, negative Ladung = Senke, Ende der Feldlinien).»

Oder: Wo Feldlinien zusammenfallen ist entweder eine Quelleoder Senke. Ansonsten schneiden sie sich niemals.

(2) Zwischenfrage: Wo ist die Senke einer positiven Punktladung?

(3) «Die elektrische Flussdichte D ist ein Mass für die das Felderregenden Ladungen, sie beschreibt gleichzeitig die durch den

Influenzvorgang in leitenden Materialien getrennte Ladung proFlächeninhalt.»

Zitat BuchSeite 56/57:

23

-66-

(1) Probeladung q im Punkt P’:

Das elektrische Potenzial I

Probeladung im elektrischen Feld

F = q E

(2) Wäre Probeladung q frei beweglich: Ladung q würde in Richtung von E

beschleunigt (kine-tische Energie).

(3) Daraus schliessen wir: dem Punkt P’ kann eine potenzielle Energie zugeordnet werden!

-67-

Wie in der Physik: Bezugspunktder potenziellen Energie einführen.

Das elektrische Potenzial IIPotentielle Energie und Arbeit

P = P0 : Wpot := 0

(willkürliche Wahl)

Transport: Probeladung wirdlängs der Kurve C von P0 nach Ptransportiert. Frage:«Welche Energie hat q am Endedes Weges in P angenommen?»

Arbeit: Frage anders stellen:«Welche Arbeit wurde vomelektrischen Feld während desTransportvorgangs geleistet?»

Wf =F s = q E s

Wf =F1 s1 +F2 s2 +…+FN sN längsC

Wf = F slängsC

=1

N

MechanischeArbeit:

24

Mechanische Arbeit entlang von N Wegabschnitten:

Das elektrische Potenzial III

Arbeit an einer Probeladung im elektrischen Feld

Wf = lims 0

N

F s cos( )längsC

=1

N

=

= F dslängsC

P0

P

:= F dsC

Wf = F dsC

Im Grenzfall infinitesimal kleiner Abschnitte:

Wf = F slängsC

=1

N

= F s cos F , s( )( )längsC

=1

N

= F s cos( )längsC

=1

N

Linienintegral

-68-

Einsetzen der Coulomb-Kraft:

Das elektrische Potenzial IV

Von der Arbeit zum elektrischen Potenzial

Wf = q E s cos( )längsC

=1

N

Wf = q E dslängsC

p0

P

= q E dsC

Linienintegral

N Weg-abschnitte

Elektrisches Potenzial:

Die Arbeit Wf wird vomelektrischen Feld beimTransport von P0 nachP erbracht. PotenzielleEnergie Wpot ist in P umWf kleiner als in P0.

Wpot P( ) = Wf = q E dslängsC

P0

P

P( ) :=Wpot P( )

q= E ds

längsCP0

P

ElektrischesPotenzial[ ] = J/As = AVs/As = V

-69-

25

-70-

Das elektrische Potenzial V

Zur Definition des elektrischen Potenzials

P( ) :=Wpot P( )

q= E ds

längsC= E ds

P0

P

P0

P

(1) «Das elektrische Pontenzial (P) im Punkt P in einem elektrischenFeld ist gleich der potenziellen Energie einer Probeladung q indiesem Punkt dividiert durch die Grösse der Probeladung. Daselektrische Potenzial ist in einem vorgegebenen elektrischenFeld mit festgelegtem Bezugspunkt P0 nur eine Funktion der Orts-koordinate des Punktes P».

(2) «Da in einem Punkt des Raumes in Anwendung des Energie-erhaltungssaztzes nur ein Wert der potenziellen Energie definiertwerden kann, ist der Wert des elektrischen Potenzials auch völligunabhängig vom gewählten Weg C».

Zitat BuchSeite 60:

-71-

Das elektrische Potenzial VI

Beispiel: «Analogie Feld Druckfeder»

P1 P2

P1 P2

Q > 0 q > 0 E

FArbeit gegen

Coulombkraft;

Energiespeicherung.

Feld leistet Arbeit;

potenzielle Energie

wird abgegeben.

F

Arbeit gegen

die Federkraft;

Feder speichert

potenzielle Energie.

Feder entspannt sich

und leistet Arbeit;

potenzielle Energie

wird abgegeben.

Druckfeder

26

-72-

(1) E-Feld der erzeugenden Ladung Q

Das elektrische Potenzial VII

Beispiel: «Negative Punktladung»

E =Q

4 0 r3 r

(2) Potenzial ist auf Kugelfächen mitr = const. konstant.

(3) Bezugspunkt P0, d.h. Potenzial ist auch auf der Kugelfläche mit r = r0

gleich null.

(4) Potenzial im Punkt P:

P( )= E ds =P0

P

+Q

4 0 r3 r dr

r0

r

-73-

(5) Ausrechnen:

Das elektrische Potenzial VIIIBeispiel: «Negative Punktladung»

P( ) =Q

4 0 r2 dr =

r0

r

=Q

4 0 r r0

r

=

=Q

4 0 r

Q

4 0 r0=

=Q

4 0 r+ K

ds = dr r dr = r dr

(6) Kluge Wahl des Bezugspunkts:

K 0 r0

27

-74-

Das elektrische Potenzial IX

Beispiel: «Negative Punktladung»

r( ) =Q

4 0 r=

Q

4 0 r

Potenzial undPotenzialfeld:

(A) Mit der Festlegung des Bezugspunkts ist dasPotenzial (P) an jedem Ort im Raum eindeutigbestimmbar geworden.

(B) Dadurch kann das Potenzial (P) als Skalarfeld aufgefasst werden.

(C) Dieses Skalarfeld heisst Potenzialfeld (r):

-75-

Das elektrische Potenzial X

Die Äquipotenzialflächen

r = ri( ) = i = const.

Definition und Schlüsse:

Die Kugelschale mit konstantem Radius ri ergibt eine Äquipoten-zialfläche.

Äquipotenzialflächen verlaufen stets senkrecht zu den elektrischen Feldlinien.

Auf Äquipotenzialflächen wird beim Transport von Ladungen keine Arbeit verrichtet, z.B.:

E ds = 0 P1( ) =P1

P4

P4( )

28

-76-

.

E

Das elektrische Potenzial XIDie Äquipotenzialflächen

Weitere Schlüsse:

(A) Auf einer Äquipotenzialfläche herrscht stets das gleiche Potenzial vor (trivial, sieheDefinition!), daher haben Äquipotenzialflächen die gleichen Eigenschaften wie leitendeElektroden.

(B) Umgekehrt geschlossen:E-Feldlinien stehensenkrecht auf dieElektrodenoberflächen.

(C) Äquipotenzialflächenkönnen durch Elektroden(auf dem ent-sprechendenPotenzial)ersetzt werden,ohne dass sich dieFeldverteilung ändert.

Die Potenzialdifferenz

P1( ) P2( ) = E dsP0

P1

E dsP0

P2

=

=Q

4 0 r1+

Q

4 0 r0+

Q

4 0 r2

Q

4 0 r0

=Q

4 0 r1+

Q

4 0 r2> 0 r2 < r1

Transport «quer» zu den Äquipotentialflächen

Transport der Probeladung z.B. in Richtung derelektrischen Feldstärke, so z.B.: P1 P2. GemässFolie 71 erhalten wir für die Potenzialdifferenz :

Potenzialdifferenzist unabhängig vonder Wahl von P0 !

Das elektrische Potenzial XII-77-

29

Das elektrische Potenzial XIII

Die elektrische Spannung

P1( ) P2( ) = E dsP0

P1

+ E dsP0

P2

=

= + E dsP1

P0

+ E dsP0

P2

P1( ) P2( ) = E dsP1

P2

:= u12

Transport «quer» zu den Äquipotentialflächen

Transport der positiven Probeladung in Richtung derelektrischen Feldstärke, d.h. von P1 nach P2 kannetwas formaler angegeben werden:

Die elektrische Spannung u12

zwischen P1 und P2 ist gleich der Differenz der Potenziale zwischen P1 und P2.

-78-

-79-

Das elektrische Potenzial XIV

Die elektrische Spannung

P1( ) P2( ) = 1 2 = E dsP1

P2

:= u12

«Die elektrische Spannung u12 zwischen zweiPunkten P1 und P2 ist gleich der Differenz derelektrischen Potenziale im Punkt P1 und P2; sie istdamit gleich der auf die Probeladung q bezogeneArbeit, die beim Transport der Probeladung q vomPunkt P1 nach P2 vom elektrischen Feld geleistet wird.Die elektrische Spannung u12 ist unabhängig vomgewählten Weg zwischen den Punkten P1 und P2».

Definition in Worten (Buch Seite 65):

30

-80-

+ + + + + ++

-- - - - --

E

u12 u21

P1 P

1

P2 P

2

Q

+ Q

dElektroden-,Äquipotenzial-flächen

Die elektrische Spannung u12 ist eineskalare Grösse. Sie ist positiv, wenn dasIntegral in Richtung der elektrischenFeldstärke (P1 P2) berechnet wird undnegativ, falls die Integration von P’2 P’1erfolgt. Spannungspfeil ist kein Vektor; erzeigt die positive Zählrichtung an.

Das elektrische Potenzial XVDer Zählpfeil der elektrischen Spannung

Das elektrische Potenzial XVI

Zur elektrischen Umlaufspannung

C1

P2

P1

C2

E u

12

u12 = E dslängsC1

=

P1

P2

E dslängsC2

P1

P2

E dslängsC1

P1

P2

E dslängsC2

P1

P2

= E dslängsC1

+

P1

P2

E dslängsC2

=

P2

P1

0

Umlaufspannung entlang vonC = C1(P1 P2) + C2(P2 P1)ist Null.

-81-

31

Das elektrische Potenzial XVII

Zur elektrischen Umlaufspannung

E dslängsC1

+

P1

P2

E dslängsC2

:= E dsC

=

P2

P1

0

Ring: Der Ring am Integral deutet an, dass C stets ein geschlossener Weg ist, d.h. stets über eine geschlossene Kurve integriert wird.

E dsC

= 0

Konservatives Feld: Der Wert Null der Umlaufspannung besagt, dass beim Transport einer Probeladung in einem zeitlich ruhenden Feld entlang von C die geleistete Arbeitstets Null ist, d.h. auch Energieerhaltung vorliegt: solcheFelder heissen konservativ.

Zweites Grundgesetz für elektrische Felder: Es gilt indieser Form nur für zeitlich unveränderliche Felder.(Erstes Grundgesetz siehe Folie 63).

-82-

Klassische Beschreibungdes Wasserstoffatoms

Das Bohr’sche Atommodell IFeldgleichungen als klassisches Modell

QK = z e

Qe = n e F

el

F

z

v

-

-e

+e

r

Kernladung

Elektronen-ladung

Fel =QK Qe

4 0r2 =

z e2

4 0r2

z = n Neutralität

Fz =m v

2

r

Zentrifugalkraft:Zentripetalkraft:

m v2

r=

z e2

4 0r2

Kräftegleichgewichtfür ein Elektron:

-83-

32

-84-

Quantisierung des Drehimpulses

Das Bohr’sche Atommodell II

Feldgleichungen als klassisches Modell

m v r = = 1,2,…

= 1.054 10 34 JsDirac-Konstante(Wirkungsquantum)

v =m r

Zusatzbedingung für dieElektronengeschwindigkeit

r

r 1

r+1

v

v

+1 v 1

Aus dem Kräftegleichgewicht folgt (erfordert etwas rechnen):

r =4 0

2

mze22

v =ze2

4 0

1 : Bahnkennzahl

Potentielle Energie

Das Bohr’sche Atommodell IIIFeldgleichungen als klassisches Modell

r( ) = =QK

4 0 r=

ze

4 0 r

Wpot = q r( ) = eze

4 0 r=

Wpot =m z2e4

16 02 2

12

Kinetische Energie

Wkin =1

2m v

2=

m z2e4

32 02 2

12

-85-

33

Der Energiezustand

Das Bohr’sche Atommodell IVFeldgleichungen als klassisches Modell

Wkin =Wpot

2

=1

2

3

4

5

Lyman-Serie

Balmer-

Serie

Paschen-

Serie

vergleichender Formeln

Wtot =Wpot +Wkin =

=m z2e4

32 02 2

12 =

= 13.6z2

2 eV

Gesamtenergie = Energie desEnergiezustands. Gleiches Ergeb-nis wie aus der Quantenmechanik.

Ausstrahlungsenergie von Photonen

-86-

Ein einfaches Beispiel I

Elektrodenanordnung

Problemstellung:

• Zwei geladene, parallele Platten (z.B. Influenzver-

such).

• Gesucht sind:

(A) Elektrisches Feld

(B) Elektrische Flussdichte

(C) Elektrische Spannung

(D) Probeladung: die vom Feld geleistete Arbeit entlang von C.

-87-

34

Ein einfaches Beispiel IIElektrische Flussdichte

D n dAdF

D n A=1

N

= D n=1

cos D ,n( )( ) A =Q=1

N

A

Flussdichte steht senkrecht zur Elektrodenfläche A und ist konstant (homogenes Feld,siehe auch Folie 51):

Erstes Grundgesetz der elektrischen Felder (Folie 63)

D dA D A = D A = D A = Q=1

N

=1

N

A

D =Q

A

(1) Die elektrische Flussdichte istnur von der Grösse der Ladungauf den Elektroden abhängig.

(2) Sie ist nicht vom Material zwi-schen den Elektroden abhängig.

-88-

-89-

Die elektrische Spannung

Ein einfaches Beispiel IIIDie elektrische Feldstärke

D = 0 E E =D

0

=Q

0 A=

0

Mit Folie 59:+ + + ++ ++ ++ + + ++

+IQ I

E

+ + + ++ ++ ++ + + +++IQ I

E

– – – –– –– –– – – ––

–IQ I

u12 = E ds1( )

2( )

= E=1

N

s cos E , s( )( )

=E s

E=1

N

s =E =const .

E s=1

N

= E d

u12 = E d =Q d

0 A

35

Ein einfaches Beispiel IVArbeitsintegral

F = q E =q Q

0A

Arbeitsintegral:

Wirkt in Richtung des E-Feldes,daher gibt es in C nur Beiträgezum Arbeitsintegral bei P1 P2

und P3 P4. Bei den anderenAbschnitten (P2 P3 bzw.P4 P1 ist cos( (E,ds)) = 0.

Wf = q E dsP1

P2

+ q E dsP3

P4

= 0

Wf = q E dsC

= 0Bestätigt daszweiten Grund-gesetzes fürelektrische Felder(Folie 82).

-90-

Elektronenpolarisation

+

-

- +

-

-

-

-

-

-

-

- +

+ +

+ +

+ +

++

-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

- +

+

+

++

+

+

+

-

--

-

-

-

-

+- +- +-

+- +-+-

+- +- +-

ohne

Feld

mit

Feld

E

A

V

a) b) c)

E E

Ionenpolarisation Orientierungspolarisation

Na+Cl–Teflon H2O

Elektrisches Feld und Dielektrikum IPolarisation

-91-

p

++

++

++

++

++

+

- -

- -

- -

- -

- -

-

++

++

++

++

++

+

- -

- -

- -

- -

- -

-

Dipol

36

-92-

Elektrisches Feld und Dielektrikum IIDipolmoment (z.B. bei der Orientierungspolarisation)

T = 1

2 F112 F2 = Q E( ) = Q E := p E

Drehmoment

F

1

F

2 E

+ Q

Q

T

+

-Drehachse

ElektrischesDipolmoment

p = Q F1 = F2 = Q E

Elektrisches Feld und Dielektrikum IIIErstes Fazit

Dielektrika im elektrischen Feld:

(1) Es bilden sich elektrische Dipole aus.

(2) Im Innern von homogenen Dielektrika kompensieren sich die verschobenen Ladungen.

(3) An der Oberfläche des dielektrischen Körpers, d.h. an den Eintritts- und Austritts-stellen des elektrischen Feldes treten flächenhaft verteilte Ladungen auf.

(4) Frage: Wie können wir diese Polarisation des Dielektrikums als Ganzes formalisieren?

Betrachtungen an einer Parallelplattenanordnung: 2 Fallstudien.

-93-

37

-94-

(A) Spannung u anlegen

Elektrisches Feld und Dielektrikum IVPolarisation

E0 =u

d

Fall #1: u = const. Fall #2: IQ I = const.

(B) Dielektrikum zwischen Platten schieben

D0 = 0

u

d=Q

AFolie 91: Im Dielektrikum tritt (oben und unten) eine Flächenladungsdichte auf.

+ + ++ + ++ + + + ++ + ++ + + + ++ + ++ +

- - -- - -- - - - -- - -- - - - -- - -- -

-

+

-

d0D 0

E

A Q+

u DP u

Q

Q+

0D P

+

Q

Elektrisches Feld und Dielektrikum VFall #1: u = const.

(1) Damit Spannung u konstant bleibt, muss die Quelle an den Elektroden zusätzlich die

jeweils entgegengesetzte LadungsmengeIQ’I nachliefern. Dadurch wird die imDielektrikum auftretende Flächenladungan den Elektroden kompensiert.

(2) Beschreibung der durch das polarisierte Dielektrikum zusätzlich aufgebrachten

Ladung: die elektrische Polarisation P.

(3) Die elektrische Polarisation P hat die gleiche Einheit wie die elektrischen Flussdichte D.

(4) Proportionalität: (cf. Folie 91)

P =Q

AP =

Asm2

=Cm2

P = 0 e Ee > 0: Elektrische Suszeptibilität

+ + ++ + ++ +

- - -- - -- -

-

+

DP u = const.

Q

Q+

-95-

38

-96-

Zur elektrischen Polarisation P

Elektrisches Feld und Dielektrikum VIFall #1: u = const.

P = 0 e E

D = 0 EP :

(1) Polarisationsvektor liegt im Dielektrikum und zeigt von der Flächenladung –IQ’I zur Flächenladung +IQ’I.

(2) Polarisationsvektor ist parallel zum E-Feld gerichtet,

(3) Polarisationsvektor ist parallel zum D-Feld gerichtet,

(4) Richtungssinn der Polarisation wie bei beiden Feldern E, D.

(5) Folien 91, 94: Richtung entspricht auch derjenigen von .

(6) Genauer: Polarisation P ist gleich dem elektrischen Dipol- Moment pro Volumeneinheit (Dipoldichte):

P =p

V=Q

A=Q

Ae

Polarisation bei gleich-mässiger Dipolvertei-lung. Einheit wie beimD-Feld: [P] = As/m2.

+

-+

-+

-+

-

+

-+

-+

-+

-

+

-+

-+

-+

-

P p,

Zusätzliche Ladung pro Flächeneinheit im Dielektrikum!

Die elektrische Flussdichte im Dielektrikum

Elektrisches Feld und Dielektrikum VIIFall #1: u = const.

+ + ++ + ++ +

- - -- - -- -

-

+

DP u = const.

Q

Q+

D = 0E+P = 0E+ 0 e EP

D = 0 1+ e( )r

E = 0 r E = E

Zusätzliche Flächenla-dungsdichte

P =Q

Ae

Vakuum-Fall

0 :

r :

:

Elektrische Feldkonstante (Folie 29)

Permittivitätszahl

Permittivität D = 0 r E0 = r D0 > D0

Folie 94:Vakuum

-97-

39

-98-

Elektrisches Feld und Dielektrikum VIIITabelle ausgewählter Permittivitätszahlen r

UnserKörper!

r 0

r =1+ e

(1) Damit Ladung IQ I konstant bleibt, muss die die Anordnung vor dem Einschieben des Dielektrikums

von der Quelle getrennt werden.

(2) Dadurch gelangen keine zusätzlichen Ladungenauf die Elektroden und es gilt:

(3) Für die elektrische Feldstärke im Material ergibt sich

Elektrisches Feld und Dielektrikum IXFall #2: IQ I = const.

D =Q

A= D0 = const.

+ + ++ + ++ +

- - -- - -- -

-

0D P

+

– IQ I

+ IQ I

E =D

=D0

=1

r

Q

0A=1

r

E0 < E0

E=D0 P

0

(B) Formal (Folie 97): Elektrisches Feld wird im Materialwegen Polarisation geschwächt.

(A) Phänomenologisch: E-Feld wird durch «umgekehrte» Flächenladung geschwächt.

-99-

40

Merke: Die Beziehung aus Folie 99 für konstant gehalteneLadungsmenge erlaubt auch eine Verallgemeine-rung der Beziehungen für das E-Feld und dasPotenzialfeld, für den Fall, dass der Feldraum miteinem Material der Permittivität gefüllt ist.

Elektrisches Feld und Dielektrikum X

Fall #2: IQ I = const.

E =1

r

E0

r( ) =Q

4 r

E r( ) =Q

4 r3 r

(Folie 35) (Folie 74)

Ladung Q und Probeladung q sindkonstant gehaltene Ladungen!

(Folie 99)

0 0 r =

-100-

Spezialfall #1: «Vertikale Inhomogenität»

Grenzbedingungen der Felder IBedingungen für die tangentialen Feldkomponenten

E dsC

= 0

E1 E2 = 0

E1 = E2ParallelPlattenSymmetrie

E1 = E2

(siehe Folie 82)

1E 2E

t

12n

C

+ + + + ++ + + + + +

- - - - - - - - - - -

0r10r2

E1,2 ds = 0

Die Komponenten der elektrischen Feldstärkeparallel zur Grenzschicht sind stetig.

n12 E2 E1( ) = 0

t E2 E1( ) = 0

Zwei äquivalente Schreibweisen:

-101-

41

n

12

n

1

n

2

n

4

n

3

n

5

n

6

r1 0

r2 0

D

1

D

2

A

Spezialfall #2: «Horizontale Inhomogenität»

Grenzbedingungen der Felder IIBeziehungen der normalen Feldkomponenten

«Integrationsbox» A1D

2D

12n

+ + + + ++ + + + + +

- - - - - - - - - - -

0r11n

2n

A

0r2

D n dAdFA

= 0 (siehe Folie 63)

D1 n1 A + D2 n2 A = 0

D1 n12 A + D2 n12 A = 0 D1,2 n3 6 dA = 0

-102-

Spezialfall #2: «Horizontale Inhomogenität»

Grenzbedingungen der Felder IIIBeziehungen der normalen Feldkomponenten

1D

2D

12n

+ + + + ++ + + + + +

- - - - - - - - - - -

0r11n

2n

A

0r2

Folie 102:

D1 n1 A + D2 n2 A = 0

D1 n12 A + D2 n12 A = 0

n12 D2 D1( ) A = 0

D1 = D2

Die Komponenten der elektrischen Flussdichtenormal zur dielektrischen Grenzschicht sind stetig.

In ladungsfreier Grenzschichtbleibt das D-Feld senkrecht zur Grenzschicht gerichtet und es gilt:

n12 D2 D1( ) = 0

-103-

42

Zur Natur des elektrischen Potentials

Grenzbedingungen der Felder IVBeziehungen für das elektrische Potenzials

Das elektrische Potenzial ist gemäss Definition aus Folie70 eine Integralfunktion und somit differenzierbar und stetig.Aus diesem Grund muss das elektrische Potenzialfeld auchan der Grenzschicht stetig sein.

Oder:

Das Potenzialfeld beschreibt die potentielle Energie einerProbeladung im elektrischen Feld. In der Grenzschichtkann stets nur ein Energiezustand existieren, daher mussdas Potenzialfeld auch in der Grenzschicht eindeutig, d.h.stetig sein.

Es gilt demnach:

P( ) = E dsP0

P

P0

P

1 2

1 = 2

-104-

1

1 2

2

E1,D1

E2 ,D2

n12

t

Kombination der Grenzbedingungenfür die tangentialen und normalen Komponenten

Grenzbedingungen der Felder VBrechungsgesetz des elektrischen Feldes

D1 n12 = D2 n12

E1 t = E2 t

1 E1 cos 1( ) = 2 E2 cos 2( )

E1 sin 1( ) = E2 sin 2( )

Ergibt:

tan 2( ) = r2

r1

tan 1( )tan 1( )tan 2( )

= r1

r2

1 = r1 0

2 = r2 0

mit:

-105-

43

-106-

(1) Felder und Spannungen:

Energieinhalt des elektrischen Feldes IElektrodenanordnung

D =Q

A

E =Q

A

u = E d = Qd

A

(Folie 88)

(2) Arbeit um Feld aufzubauen:

(Folie 89)

dW = dQ E ds =2( )

1( )

= dQ E d cos E,ds( )( )

dW =+ E d dQ =

dW = u dQ =d

AQ dQ

ins Feld gesteckte Arbeit

D,E

+ + + + ++ + + + + +

- - - - - - - - - - -

r 0

+ Q

Q

A

d u + dQ

Q

E=

= –1

(vergl. DefinitionFolie 67)

Energieinhalt des elektrischen Feldes IIBerechnung der Feldenergie

(1) Wir vereinbaren: Als Ladung Q wird die Ladung der Elektrode QE eingesetzt, an welcher der Spannungspfeil beginnt:

Wel =d

2 AQ2

=1

2u Q =

1

2

A

du2

(2) Energie im homogenen elektrischen Feld:

dW =d

AQ dQ

W = dW =d

A0

W

Q dQ0

QE

=d QE

2

2 A

QE: Elektrodenladung

+ + + + + + + +

Q = QE

u

Wel =1

2u Q

Vereinbarung

Wel =1

2u Q =

1

2E D A d

V

wel =Wel

V=1

2E D

Energiedichte

Mit: [Wel] = VAs = J

-107-

44

Kraftwirkung im elektrischen Feld IZwei Gedankenexperimente

D,E

+ + + + ++ + + + + +

- - - - - - - - - - -

+ Q

Q

A

F1

F2

dx ds

x

x

u

Fall #1: Iu I = const.

dx

D,E

+ + + + ++ + + + + +

- - - - - - - - - - -

+ Q

Q

A

u

F1

F2

ds

x

x

Fall #2: IQ I = const.

(1) Experimentalanordnungen:

(2) Prinzip der virtuellen Verschiebung:

Beruht auf den Energieerhaltungssatz:

(A) In einem abgeschlossenen System ist die Summe allerEnergien konstant Fall #2.

(B) In zwei gekoppelten Systemen bleibt die Gesamtenergie beider Systeme konstant Fall #1.

-108-

Kraftwirkung im elektrischen Feld IIFall #2: IQ I = const.:(1) Prinzip der virtuellen Verschiebung: Obere Elektrode wird um dx entgegen der

«Coulombkraft» verschoben:

dx

D,E

+ + + + ++ + + + + +

- - - - - - - - - - -

+ Q

Q

A

u

F1

F2

ds

x

x

Fall #2: IQ I = const.

dWv = F ds = F dx ex

Energiesatz im «elektromechanischen»System: Im abgeschlossenen System bleibtdie Energie erhalten.

F dx ex +dWel =0 F ex =dWel

dx

Wel =1

2E D V =

1

2D

2A x

Wel =1

2D

2A2

Q2

x

A=1

2Q2 x

A

Feldvolumen

F ex =1

2E D A =

Q2

2 A

F = F1

exist entgegengerichtet zu .

-109-

45

Kraftwirkung im elektrischen Feld IIIFall #2: IQ I = const.:

Analoger Rechengang,oder: «actio = reactio»!

dx

D,E

+ + + + ++ + + + + +

- - - - - - - - - - -

+ Q

Q

A

u

F1

F2

ds

x

x

Fall #2: IQ I = const.

F1 =1

2E D A ex

F1 =Q2

2 Aex

= const.

(2) Kräfteverhältnisse:

F2 = F1

Elektroden ziehen sich gegenseitig mitkonstanter Kraft (unabhängig von x) an.

-110-

-111-

Kraftwirkung im elektrischen Feld IVFall #1: u = const.:(1) Prinzip der virtuellen Verschiebung:

D,E

+ + + + ++ + + + + +

- - - - - - - - - - -

+ Q

Q

A

F1

F2

dx ds

x

x

u

Fall #1: Iu I = const.

Obere Elektrode wird auch hier um dxgegen die «Coulombkraft» verschoben:

dWv = F ds = F dx ex

Die Gesamtenergie im gekoppelten Sys-tem bestehend aus Plattenanordnungund Spannungsquelle bleibt erhalten.Um die Spannung u während der Ver-schiebung konstant zu halten, muss dieQuelle jeweils dWQuelle nachliefern.

F dx ex +dWel = dWQuelle

dWel =1

2d E D V{ } =

1

2d E

2A x{ } = 12 d E

2x2

A

x

u2 : konstant !

46

F dx ex +dWel = dWQuelle

F dx ex +1

2u2 d

A

x= u2 d

A

xF ex =

1

2u2

d

dx

A

x

Kraftwirkung im elektrischen Feld VFall #1: u = const.:(1) Prinzip der virtuellen Verschiebung:

D,E

+ + + + ++ + + + + +

- - - - - - - - - - -

+ Q

Q

A

F1

F2

dx ds

x

x

u

Fall #1: Iu I = const.

(2) Quellenenergie:

dWel =1

2u2 d

A

x

u= Qx

AdQ=u d

A

x

dWQuelle = u dQ = u2 dA

xQuelle muss Ladung dQ nachliefern !

(vergl. Folie 106)

-112-

Kraftwirkung im elektrischen Feld VIFall #1: u = const.:(3) Kräfteverhältnisse:

D,E

+ + + + ++ + + + + +

- - - - - - - - - - -

+ Q

Q

A

F1

F2

dx ds

x

x

u

Fall #1: Iu I = const.

F ex =1

2u2

d

dx

A

x

F ex =1

2u2

A

x2

F = F1

exist entgegengerichtet zu !

F1 =1

2E D A

F1 =1

2u2

A

x2ex

1

x2

Analoger Rechengang,oder: «actio = reactio»!

F2 = F1

Elektroden ziehen sich gegenseitig mitnicht konstanter Kraft an, welche umge-kehrt proportional zu x2 ist. Die starkeKraftzunahme bei kleinen Abständen istdie Folge der zugelieferten Quellenenergie.

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47

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Kraftwirkung im elektrischen Feld VIIBeispiel: «Gleichgewichtsproblem»

• Elektrode mechanischfest mit der Wand ver-bunden.

• Elektrode ist über eine Feder mit der Federkon-

stante mit der Wand verbunden.

• Im ungeladenen Zustandist die Feder entspannt.

• Es sollen nun die beidenFälle (#2: IQ I = const. und #1: u = const.) unter-sucht werden.

yF = A

elF

y

d y Anordnung:

Kraftwirkung im elektrischen Feld VIIIBeispiel: «Gleichgewichtsproblem»

Fall #2: IQ I = const.:

Stabiles Gleichgewicht

ydy00

Fel = const.

F , Fel

F = 1 y

F = 2 y

Platten berührenund entladen sich.

: Rückstellkraft der Feder

: Coulombkraft

«starke» Feder

«schwache» Feder

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48

Kraftwirkung im elektrischen Feld IXBeispiel: «Gleichgewichtsproblem»

Für die Federkonstante 2

und u = 1000 V kommt eszu keinem Schnittpunkt:Die Elektrode wird bisauf die Elektrode ge-zogen und in Kontaktgebracht, d.h. kurzge-schlossen.

Fall #1: u = const.:

( ) y22

el

1

2

1e

ydAUF =

labil

U = 1000 V

elF elF U = 200 V

yF 1=

yF 2=

,elF F

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

y1 y2 y‘2 d y

stabil

1 10-4 N

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Die elektrische Feldstärke

Rückblick «Elektrostatik»

Das elektrische

Feld

• Definiert über die Wirkung• Intensitätsgrösse

Die elektrische Flussdichte

• Definiert über die Ursache• Quantitätsgrösse

D n dAdF

=

A

Q

E dsC

= 0 D = E

1. Grundgesetz2. Grundgesetz

Das elektrische Potenzial

• Definiert über die Energie• Hilfsgrösse

P( ) = E dsP0

P

Materialgleichung

• Feld einer Punktladung (Quelle Q E )

• Leiter und Isolatoren im elektrischen Feld• Polarisation von Dielektrika durch das Feld• Randbedingungen an Materialgrenzen• Potenzial und Spannung• Energie und Energiedichte im elektrischen Feld• Kraftwirkung: Coulombkraft oder über Energie

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