2. Eigenschaften dynamischer Systeme · Elektromotor M 100 % 0 % Sc hei b er-position Durchfluß...
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2. Eigenschaften dynamischer Systeme
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2.1 Allgemeine Systemeigenschaften
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2.1.1 Signale
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2.1.2 Systeme
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Definition: System
Ein System ist ein natürliches oder künstliches Gebilde. Es kann Eingangs-Signale aus der Umwelt entgegennehmen und Ausgangs-Signale an die Umwelt abgeben.
SYSTEM
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Definition: statisches System
Ein statisches System ist dadurch gekennzeichnet, dass jeder Ausgangswert y(t) stets ausschließlich von dem zum gleichen Zeitpunkt t anliegenden Eingangswert x(t) abhängt.
SYSTEM
x(t) y(t)
-
Beispiel statisches System
Eingabe-Peripherie (z.B. Tastatur)
Meß-Peripherie(z.B. Sensoren)
Stell-Peripherie(z.B. Aktoren)
Ausgabe-Peripherie (z.B. Bildschirm)
Rechner
Aöffnen
Zschließen
MElektromotor
100 %
0 %Schieber-position
Durchfluß
Strömungs-geschwindigkeit VS
Sensor(Fotozelle)
Lampe
Flügel-rad
Informations-Verarbeitung
I-Eingabe I-Ausgabe
I-Nutzung I-Gewinnung
VS / %
PS / %100
100
0
SYSTEMPS VS
PS
-
VS / %
PS / %100
100
0
SYSTEMPS VSDefinition statische Kennlinie
Als statische Kennlinie wird die Funktion einer Ausgangsgröße von der Eingangsgrößebezeichnet, z. B.VS=f(PS) oder allgemeiny = f(x)
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x yEingangssignal x(t)
Ausgangssignal y(t)
Messungen an einer realen Maschine
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statischeKennliniey=f(x)
Approxi-mations-fehler
?x y
Statisches Systemmodell dieser Maschine
-
SYSTEM
statisch dynamisch
Es wird der Zusammenhang von Ausgangs- und Eingangssignal im eingeschwungenen Zustand
( t )
betrachtet:
y = f (x)
Es wird der Zusammenhang von Ausgangs- und Eingangssignal als Funktion der Zeit ( t ) be-trachtet:
y(t) = f (x(t)) = f(t)
y
x
y
t
Kennlinie Kennfunktion
-
?x y
Bsp.: Festzinsanlage
EUREinzahlung
EURKontostand
x y
0 0
10 10
0 12
0 14,4
0 17,28
0 20,73
-
Beispiel dynamisches System
Ein dynamisches System ist dadurch gekennzeichnet, dass sein Ausgangssignal y(t)vom Eingangssignal x(t) und dem inneren Zustand q(t) abhängt.
SYSTEMx(t)
q(t)
y(t)
Den Zustand eines Systems kann man sich als eine Art Gedächtnis vorstellen, das die Vorgeschichte gespeichert hat.
SYSTEM
x
t
y
t
-
Wer hat den Fehler in der vorhergehendenFolie entdeckt ?
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statisch dynamisch
Systemklassen
-
Definition: zeitdiskretes System
Ein zeitdiskretes System operiert über Zahlenfolgen (zeitdiskreten Signalen). Besitzt ein solches System einen Eingang und einen Ausgang, so verknüpft es eine Eingangsfolge x(j) mit einer Ausgangsfolge y(i). Systeme ohne zeitdiskretes Verkalten werden zeitkontinuierliche genannt.
SYSTEM
x(j) y(i)
t
x
tk t
y
tk
-
Prozess x(t) Sensoren Meßwerterfassungsperipherie
wert- und zeit-diskrete Signale x*(tk) = abstrakte Zahlen
Software führt zeitdiskret Algorithmus aus
stellt y*(tk) als Ergebnis bereit
Stellperipherie
Steuerwert-ausgabe
TASKy*[tk] = f(x*[tk],q*[tk])
Falls System an einen Rechner angeschlossen ist
System
Rechner
-
statisch dynamisch
zeitdiskret
zeitkontinuierlich
Systemklassen
-
Stark bzw. schwach kausale Systeme
-
SYSTEM
schwach Kausalität stark
reagieren auf gleicheUrsachen x auch stets mit gleichen Wirkungen y
SYST
EM100 200200 400300 555
100 200200 400300 555400300
-13555
-
SYSTEM
schwach Kausalität stark
reagieren auf gleicheUrsachen x auch stets mit gleichen Wirkungen y
reagieren auf ähnlicheUrsachen x auch stets mit ähnlichen Wirkungen y
SYST
EM100 200200 400300 555
100 200200 400300 555
SYST
EM
400300
-13555
-
SYSTEM
schwach Kausalität stark
reagieren auf gleicheUrsachen x auch stets mit gleichen Wirkungen y
reagieren auf ähnlicheUrsachen x auch stets mit ähnlichen Wirkungen y
SYST
EM
SYST
EM
häufig bei künstlichen Gebilden
z.B. Sprache:{Kopf, Zopf, Topf}
Rechner: keine Redundanz
häufig in der Natur:
{Idealfall: lineare Systeme}
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SYSTEM
nichtlinear linearDas Superpositionsprinzip gilt nicht : Es gilt das Superpositionsprinzip:
-
Definition: lineares statisches System
Ein statisches System ist linear, wenn für die aktuellen Werte der Überlagerungssatz gilt (Additivität)
f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)
Statische Systeme, für die der Überlagerungssatz nicht gilt, heißen nichtlinear.
VS / %
PS / %100
100
0
Eingabe-Peripherie (z.B. Tastatur)
Meß-Peripherie(z.B. Sensoren)
Stell-Peripherie(z.B. Aktoren)
Ausgabe-Peripherie (z.B. Bildschirm)
Rechner
Aöffnen
Zschließen
MElektromotor
100 %
0 %Schieber-position
Durchfluß
Strömungs-geschwindigkeit VS
Sensor(Fotozelle)
Lampe
Flügel-rad
Informations-Verarbeitung
I-Eingabe I-Ausgabe
I-Nutzung I-Gewinnung
linear
-
Definition: lineares statisches System
Ein statisches System ist linear, wenn für die aktuellen Werte der Überlagerungssatz gilt (Additivität)
f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)
Statische Systeme, für die der Überlagerungssatz nicht gilt, heißen nichtlinear.
VS / %
PS / %100
100
0
Eingabe-Peripherie (z.B. Tastatur)
Meß-Peripherie(z.B. Sensoren)
Stell-Peripherie(z.B. Aktoren)
Ausgabe-Peripherie (z.B. Bildschirm)
Rechner
Aöffnen
Zschließen
MElektromotor
100 %
0 %Schieber-position
Durchfluß
Strömungs-geschwindigkeit VS
Sensor(Fotozelle)
Lampe
Flügel-rad
Informations-Verarbeitung
I-Eingabe I-Ausgabe
I-Nutzung I-Gewinnung
linear
x1 =2 f(x1) =6
-
Definition: lineares statisches System
Ein statisches System ist linear, wenn für die aktuellen Werte der Überlagerungssatz gilt (Additivität)
f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)
Statische Systeme, für die der Überlagerungssatz nicht gilt, heißen nichtlinear.
VS / %
PS / %100
100
0
Eingabe-Peripherie (z.B. Tastatur)
Meß-Peripherie(z.B. Sensoren)
Stell-Peripherie(z.B. Aktoren)
Ausgabe-Peripherie (z.B. Bildschirm)
Rechner
Aöffnen
Zschließen
MElektromotor
100 %
0 %Schieber-position
Durchfluß
Strömungs-geschwindigkeit VS
Sensor(Fotozelle)
Lampe
Flügel-rad
Informations-Verarbeitung
I-Eingabe I-Ausgabe
I-Nutzung I-Gewinnung
linear
x1 =2 f(x1) =6
x2 =5 f(x2) =15
-
Definition: lineares statisches System
Ein statisches System ist linear, wenn für die aktuellen Werte der Überlagerungssatz gilt (Additivität)
f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)
Statische Systeme, für die der Überlagerungssatz nicht gilt, heißen nichtlinear.
VS / %
PS / %100
100
0
Eingabe-Peripherie (z.B. Tastatur)
Meß-Peripherie(z.B. Sensoren)
Stell-Peripherie(z.B. Aktoren)
Ausgabe-Peripherie (z.B. Bildschirm)
Rechner
Aöffnen
Zschließen
MElektromotor
100 %
0 %Schieber-position
Durchfluß
Strömungs-geschwindigkeit VS
Sensor(Fotozelle)
Lampe
Flügel-rad
Informations-Verarbeitung
I-Eingabe I-Ausgabe
I-Nutzung I-Gewinnung
linear
x1 =2 f(x1) =6
x2 =5 f(x2) =15
x1+x2 =7
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Definition: lineares statisches System
Ein statisches System ist linear, wenn für die aktuellen Werte der Überlagerungssatz gilt (Additivität)
f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)
Statische Systeme, für die der Überlagerungssatz nicht gilt, heißen nichtlinear.
VS / %
PS / %100
100
0
Eingabe-Peripherie (z.B. Tastatur)
Meß-Peripherie(z.B. Sensoren)
Stell-Peripherie(z.B. Aktoren)
Ausgabe-Peripherie (z.B. Bildschirm)
Rechner
Aöffnen
Zschließen
MElektromotor
100 %
0 %Schieber-position
Durchfluß
Strömungs-geschwindigkeit VS
Sensor(Fotozelle)
Lampe
Flügel-rad
Informations-Verarbeitung
I-Eingabe I-Ausgabe
I-Nutzung I-Gewinnung
linear
x1 =2 f(x1) =6
x2 =5 f(x2) =15
x1+x2 =7 f(x1)+f(x2) =21
f(x1 + x2) = 21
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Definition: lineares statisches System
Ein statisches System ist linear, wenn für die aktuellen Werte der Überlagerungssatz gilt (Additivität)
f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)
Statische Systeme, für die der Überlagerungssatz nicht gilt, heißen nichtlinear.
VS / %
PS / %100
100
0
Eingabe-Peripherie (z.B. Tastatur)
Meß-Peripherie(z.B. Sensoren)
Stell-Peripherie(z.B. Aktoren)
Ausgabe-Peripherie (z.B. Bildschirm)
Rechner
Aöffnen
Zschließen
MElektromotor
100 %
0 %Schieber-position
Durchfluß
Strömungs-geschwindigkeit VS
Sensor(Fotozelle)
Lampe
Flügel-rad
Informations-Verarbeitung
I-Eingabe I-Ausgabe
I-Nutzung I-Gewinnung
linear
x1 =2 f(x1) =6
x2 =5 f(x2) =15
x1+x2 =7 f(x1)+f(x2) =21
f(x1 + x2) = 21
f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)
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Definition: lineares statisches System
Ein statisches System ist linear, wenn für die aktuellen Werte der Überlagerungssatz gilt (Additivität)
f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)
Statische Systeme, für die der Überlagerungssatz nicht gilt, heißen nichtlinear.
Eingabe-Peripherie (z.B. Tastatur)
Meß-Peripherie(z.B. Sensoren)
Stell-Peripherie(z.B. Aktoren)
Ausgabe-Peripherie (z.B. Bildschirm)
Rechner
Aöffnen
Zschließen
MElektromotor
100 %
0 %Schieber-position
Durchfluß
Strömungs-geschwindigkeit VS
Sensor(Fotozelle)
Lampe
Flügel-rad
Informations-Verarbeitung
I-Eingabe I-Ausgabe
I-Nutzung I-Gewinnung
VS / %
PS / %100
100
0
Gegenbeispiel:
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Definition: lineares statisches System
Ein statisches System ist linear, wenn für die aktuellen Werte der Überlagerungssatz gilt (Additivität)
f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)
Statische Systeme, für die der Überlagerungssatz nicht gilt, heißen nichtlinear.
Eingabe-Peripherie (z.B. Tastatur)
Meß-Peripherie(z.B. Sensoren)
Stell-Peripherie(z.B. Aktoren)
Ausgabe-Peripherie (z.B. Bildschirm)
Rechner
Aöffnen
Zschließen
MElektromotor
100 %
0 %Schieber-position
Durchfluß
Strömungs-geschwindigkeit VS
Sensor(Fotozelle)
Lampe
Flügel-rad
Informations-Verarbeitung
I-Eingabe I-Ausgabe
I-Nutzung I-Gewinnung
Gegenbeispiel:
lineare Funktiony = ax + b
G = y/x nicht konst.
Gegenbeispiel:VS / %
PS / %100
100
0
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SYSTEM
nichtlinear linearDas Superpositionsprinzip gilt nicht :
y1 = f( x1(t)) y2 = f( x2(t))
y y1 + y2 = f( x1(t)) + f( x2(t))
y(t) f( x1(t) + x2(t))
Es gilt das Superpositionsprinzip:
y1 = f( x1(t)) y2 = f( x2(t))
y = y1 + y2 = f( x1(t)) + f( x2(t))
y(t) = f( x1(t) + x2(t) )
Lineare Systeme werden durch
linerae Differentialgleichungen
mit konstanten Koeffizienten beschrieben
allgemeine Betrachtung (auch für dynamische Systeme)
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Verhalten eines linearen Systems (Superposition)
t
t
t
t
t
t
x1(t)
x2(t)
x1(t) + x2(t) f(x1(t) + x2(t))
f(x2(t))
f(x1(t))
-
Gx y
Was ist Gi ?: Gi kennzeichnet das Übertragungsverhalten eines Systems in einem transformierten Bereich
-
Gx y
Für statische Systeme gilt:
Gi= ki : statischer Übertragungsfaktor / Verstärkung
y= G* x= k * x
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statisch dynamisch
diskontinuierlich
kontinuierlich
linear
nichtlinear
Systemklassen
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2.1.3 Signalflußgraphen
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Systeme werden mittels Signalen an den Schnittstellen verbunden,
TS 1 TS 2 TS n
Gesamtsystem
x1 x2 x3 xn-1 xn
d.h. das Ausgangssignal eines Teilsystems TS wird Eingangssignal des folgenden Teilsystems.
y1
Identität: y1=x2 …
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Beispiel für Prozess: Mechanik einer Maschine
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MATLAB/Simulink – HIL - Simulationsmodell
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Sowohl Prozess (Mechanik) als auch Software (Bordelektronik)werden mit Signalflussgraph-Modellen entworfen
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Beispiel: Vernetzte Gebäudeautomation
-
Beispiel: Vernetzte Gebäudeautomation
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Komplexe Netze im Gebäude:
Heizung
Lüftung
Kühlung
SicherheitSicherheit
Automations-Netzwerk
Heizung
LüftungBeleuchtung
SanitVerschattung
SicherheitAnwesenheit
LüZutrittskontrolle
Hardware- und Soft-ware-Komponenten(bis zu 30.000)
Verteilte Funktionen
Kooperation vielerBranchen (Gewerke)über das Netz
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Räumlich verteilte Hardware-/Software-Strukturen
über das Netzräumlich auf vieleRechnerknoten verteilt
komplex vermaschteDaten-, Steuer- undKommandoflüsse
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Entwurfstool für Gebäudenetze
blau:Software-objekte
grün:Hardware(Netzknoten)
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Reihenschaltung:
G1 G2 G3x1 x2 x3 y
Für statische Systeme gilt:
Gi= ki : statischer Übertragungsfaktor / Verstärkung
x2= G1* x1= k1 * x1 x3= G2* x2= k2 * x2 .............
n
iiges
ges
kkkkk
xxkkk
xxkkk
xxkk
xxk
xyk
1123
1
1123
1
1123
1
223
1
33
1
*
-
G1
G2
Gn
x1 y
y1
y2
yn
111 xky
122 xky
1xky nn
nyyyy ...21
11211 ... xkxkxky n
n
iiges kk
1
Parallelschaltung:
+
-
xkkky 121 )1(
vG1
G2
x a y
b
bxa
aky 1ykb 2
ykxbxa 2)( 21 ykxky
21
1
1 kkk
xykges
v = Rückkopplungsschaltung:Mitkopplung
Gegenkopplung
-
vG1
G2
x a y
b
21
1
1 kkk
xykges
v = Rückkopplungsschaltung:Mitkopplung
Gegenkopplung
Bei welcher Parameter-Konstellationkönnte es in der Praxis Problemegeben ?
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Umformregeln für lineare Systeme:
G1 G1G2 G2
Vertauschbarkeit:
x xy y
x1
x2
G
G
G
x1
x2
y y
Verschiebbarkeit:
-
Vertauschbarkeit:
G NL NL Gx x1 y x x2 y
100 k*100 (k*100)2 100 (100)2 k*(100)2
k 1