2 Geometrie 2.2 Ähnlichkeit Ähnlichkeit - Cornelsen … · • Streckenlängen mithilfe der...

2 Geometrie

2.2 Ähnlichkeit

Informationen und Tests

• Informationen zum Test _______________________________________ 149 • Teste dich! − Ähnlichkeit ______________________________________ 153

Arbeitsblätter in zwei Niveaustufen

• Ähnliche Figuren erkennen ____________________________________ 165 • Mit dem Maßstab rechnen und zeichnen __________________________ 169 • Streckungen erkennen ________________________________________ 173 • Streckungen im Koordinatensystem erkennen ______________________ 177 • Zentrische Streckungen _______________________________________ 181 • Figuren strecken _____________________________________________ 185 • Streckungen im Koordinatensystem ______________________________ 189 • Streckungen und Kongruenzabbildungen verketten _________________ 193 • Streckenlängen mithilfe der Strahlensätze berechnen ________________ 197 • Berechnungen mit den Strahlensätzen ____________________________ 201 • Anwendungen zu Strahlensätzen ________________________________ 205

Methoden, Infotexte und Spiele

• Der Daumensprung __________________________________________ 211 • Bastelvorlage − Försterdreieck __________________________________ 212 • Bastelvorlage − Pantograph ____________________________________ 214 • Bastelvorlage − Messkeil und Messlehre __________________________ 215 • Bastelvorlage − Lochkamera ___________________________________ 216 • Vorlagen zur Rastertechnik ____________________________________ 218

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lichk

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2 Geometrie

2.2 Ähnlichkeit

Informationen und Tests Mithilfe der „Teste dich!“-Seiten können die Schülerinnen und Schüler prüfen, ob sie den Stoff des Themas verstanden haben und gegebenenfalls Lücken gezielt schließen:

• Die Tests bieten Aufgaben zu den wichtigsten Lernzielen des Themas. • Die Lösungen auf der Rückseite des Tests bieten die Möglichkeit zur Selbstkontrolle. • Vor jedem Test gibt es einen Feedback-Bogen, mit dessen Hilfe die Schülerinnen und Schüler

überprüfen können, wie weit sie die Lernziele des Themas verstanden haben. • Die Tabelle unten bietet Hinweise auf Arbeitsblätter mit vertiefendem Übungsmaterial.

Teste dich! − Ähnlichkeit Tabelle mit Hinweisen auf Arbeitsblätter mit ähnlichen Aufgaben: Aufgabe Stoff Arbeitsblätter mit ähnlichen Aufgaben

1, 2, 3, 4, 7

ähnliche Figuren erkennen und die Eigenschaften ähnlicher Figuren beschreiben

- Ähnliche Figuren erkennen (165)

4, 5, 6 maßstäbliche Abbildungen konstruieren und mit dem Maßstab rechnen

- Mit dem Maßstab rechnen und zeichnen (169)

4, 6, 9 die Auswirkungen maßstabgetreuer Vergrößerungen und Verkleinerungen auf Winkelgrößen, Streckenlängen und Flächeninhalt beschreiben

- Mit dem Maßstab rechnen und zeichnen (169)

8 Streckzentrum und Streckfaktor aus Original und Bild einer zentrischen Streckung ermitteln und Eigenschaften zentrischer Streckung nennen

- Streckungen erkennen (173) - Streckungen im Koordinatensystem

erkennen (177)

9, 10 zentrische Streckungen konstruieren

- Zentrische Streckungen (181) - Figuren strecken (185) - Streckungen im Koordinatensystem (189) - Streckungen und Kongruenzabbildungen

verketten (193) 11 Verhältnisgleichungen an

Strahlensatzfiguren aufstellen und den ersten und den zweiten Strahlensatz wiedergeben

- Streckenlängen mithilfe der Strahlensätze berechnen (197)

12, 13 mithilfe der Strahlensätze fehlende Streckenlängen ermitteln

- Streckenlängen mithilfe der Strahlensätze berechnen (197)

- Berechnungen mit den Strahlensätzen (201) 14, 15, 16

die Strahlensätze zum Lösen von Sachaufgaben anwenden

- Anwendungen zu Strahlensätzen (205)

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Ähnlichkeit

Feedback-Bogen — Jetzt prüfe ich selbst, was ich kann!

Was ich im Kapitel „Ähnlichkeit” gelernt habe:

Ich kann ... Meine Bewertung ähnliche Figuren erkennen und die Eigenschaften ähnlicher Figuren beschreiben.

maßstäbliche Abbildungen konstruieren und mit dem Maßstab rechnen. die Auswirkungen maßstabgetreuer Vergrößerungen und Verkleinerungen auf Winkelgrößen, Streckenlängen und Flächeninhalt beschreiben.

Streckzentrum und Streckfaktor aus Original und Bild einer zentrischen Streckung ermitteln und Eigenschaften zentrischer Streckung nennen.

zentrische Streckungen konstruieren. Verhältnisgleichungen an Strahlensatzfiguren aufstellen und den ersten und den zweiten Strahlensatz wiedergeben.

mithilfe der Strahlensätze fehlende Streckenlängen ermitteln. die Strahlensätze zum Lösen von Sachaufgaben anwenden.

Ich habe noch nicht verstanden: Ich möchte noch üben:

Wie ich die Aufgaben bearbeitet habe:

Meine Bewertung Ich habe die Aufgabenstellungen verstanden. Ich konnte meine Antworten schriftlich formulieren. Ich konnte meine Antworten durch eine Zeichnung ergänzen. Ich konnte zusätzliche Informationen zum Thema finden und nutzen. Ich habe die im Unterricht besprochenen Themen so gut verstanden, dass ich mit ihrer Hilfe Lösungen zu neuen Problemen finden konnte.

Ich konnte die Zeit, die ich für die Bearbeitung der Aufgaben benötigt habe, richtig einschätzen.

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Teste dich!

Anleitung zum Feedback-Bogen – Wie schätze ich mich selbst ein?

Alles klar!? Die Teste-dich!-Seiten bieten dir eine Möglichkeit zu überprüfen, ob du den Inhalt des Themas verstanden hast und neu erlernte Arbeitstechniken anwenden kannst.

Wieder alles vergessen!? Die meisten Inhalte merkt man sich am besten, wenn man die Zusammenhänge verstanden hat. Einige Inhalte müssen aber auch auswendig gelernt oder häufig geübt werden.

Was kannst du und was weißt du? Bearbeite zuerst alle Aufgaben auf den Teste-dich!-Seiten. Gleiche deine Lösungen mit den Lösungsbogen ab. Aber nicht schummeln! Erst lösen, dann nachschlagen. Ordne deinen Lösungen einen Smiley zu: Ich konnte die Aufgabe richtig lösen. Ich konnte die Aufgabe nicht komplett lösen. Ich konnte die Aufgabe nicht lösen. Auf dem Feedback-Bogen kannst du nun den Lerninhalten jeweils einen Smiley zuordnen: , oder .

Wie gut bist du? Beobachte dich selbst beim Lernen. Konntest du die Aufgaben des Testes lösen? Auf welche Schwierigkeiten bist du gestoßen? Der Feedback-Bogen hilft dir bei deiner Selbsteinschätzung. Verwende wieder die Smileys , und .

Achtung! Die Feedback-Bögen können nicht immer alle Inhalte eines Kapitels abfragen. Sammle die Feedback-Bögen in deinem Hefter. Hast du dich im Laufe der Zeit verbessern können?

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Teste dich! - Ähnlichkeit (1/5)

1 Welche „k“s sind ähnlich zu dem umrandeten k? Begründe mithilfe der Eigenschaften ähnlicher Figuren.

2 Wahr oder falsch? Begründe deine Antworten. a) In ähnlichen Figuren sind entsprechende Seiten gleich lang. b) Zwei Rechtecke sind ähnlich, wenn entsprechende Seitenverhältnisse gleich lang sind. c) Der Maßstab beschreibt ein Verhältnis von Strecken ähnlicher Figuren. d) In ähnlichen Figuren stimmen entsprechende Winkelgrößen überein.

3 Warum ist Figur A nicht ähnlich zur Figur B? Nenne mehrere Gründe.

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Ähnlichkeit


1 Welche „k“s sind ähnlich zu dem umrandeten k? Begründe mithilfe der Eigenschaften ähnlicher Figuren.

Die grauen „k”s sind ähnlich zum

markierten „k”, da sie die gleiche

Form haben und sich nur in der

Größe unterscheiden.

2 Wahr oder falsch? Begründe deine Antworten. a) In ähnlichen Figuren sind entsprechende Seiten gleich lang. Falsch. Ähnliche Figuren können verschieden groß sein. b) Zwei Rechtecke sind ähnlich, wenn entsprechende Seitenverhältnisse gleich lang sind. Wahr. Beim maßstäblichen Vergrößern oder Verkleinern ändern sich die Seitenverhältnisse nicht. c) Der Maßstab beschreibt ein Verhältnis von Strecken ähnlicher Figuren. Wahr. Der Maßstab gibt an, wie entsprechende Seiten gestreckt oder gestaucht werden. d) In ähnlichen Figuren stimmen entsprechende Winkelgrößen überein. Wahr. Beim maßstäblichen Vergrößern und Verkleinern ändern sich die Winkelgrößen nicht.

3 Warum ist Figur A nicht ähnlich zur Figur B? Nenne mehrere Gründe.

Beispiel: Die Grundlinie ist gleich lang

geblieben, aber die Höhe hat sich

veranderthalbfacht.

Die Streckenverhältnisse stimmen nicht überein. Die entsprechenden Winkel sind nicht gleich groß.

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4 Zeichne folgende Rechtecke: R1 mit a = 12 cm; b = 8 cm und R2 mit a = 9 cm; b = 6 cm. Verwende dazu die Rückseite dieses Blattes.

a) Sind die beiden Rechtecke ähnlich? Bestimme gegebenenfalls den Maßstab. b) Bestimme jeweils die Flächeninhalte und vergleiche sie miteinander.

5 Berechne die fehlenden Größen (a = Originalgröße; b = Bildgröße; k = Maßstab). a) a = 20 cm; b = 25 mm; k =

b) a = ; b = 4 cm; k = 1 : 25 000

c) a = 32 m; b = ; k = 3 : 4000 6 Bestimme jeweils den Vergrößerungs- bzw. Verkleinerungsfaktor. a) Ein DIN A5-Arbeitsblatt soll auf dem Fotokopierer auf DIN A4-Format vergrößert

werden. b) Ein DIN A3-Arbeitsblatt soll auf DIN A4-Format verkleinert werden.

7 Von einem rechtwinkligen Dreieck ABC sind die Längen der Katheten a und b bekannt.

Welche der Dreiecke A’B’C’ sind zu ABC ähnlich? a) a = 3 cm; b = 5 cm

a’ 4 cm 4,5 cm 5,4 cm 6 cm 15 cm

b’ 6 cm 7,5 cm 9 cm 10 cm 20 cm

b) a = 8 cm; b = 14 cm

a’ 4 cm 6 cm 5 cm 20 cm 10 cm

b’ 7 cm 10 cm 8,75 cm 35 cm 18 cm

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Ähnlichkeit


4 Zeichne folgende Rechtecke: R1 mit a = 12 cm; b = 8 cm und R2 mit a = 9 cm; b = 6 cm. Verwende dazu die Rückseite dieses Blattes.

a) Sind die beiden Rechtecke ähnlich? Bestimme gegebenenfalls den Maßstab. b) Bestimme jeweils die Flächeninhalte und vergleiche sie miteinander. a) Die Rechtecke sind ähnlich. Der Maßstab ist 4 : 3 bzw. 1 : 4

3 .

b) A1 = 96 cm2; A2 = 54 cm2; A2 ist um ( 4

3 )2 bzw. k2 kleiner als A1.

5 Berechne die fehlenden Größen (a = Originalgröße; b = Bildgröße; k = Maßstab). a) a = 20 cm; b = 25 mm; k = 1 : 8

b) a = 1 km ; b = 4 cm; k = 1 : 25 000

c) a = 32 m; b = 2,4 cm ; k = 3 : 4000

6 Bestimme jeweils den Vergrößerungs- bzw. Verkleinerungsfaktor. a) Ein DIN A5-Arbeitsblatt soll auf dem Fotokopierer auf DIN A4-Format vergrößert

werden. b) Ein DIN A3-Arbeitsblatt soll auf DIN A4-Format verkleinert werden. a) k = 2 ;

b) k =21 =

21

7 Von einem rechtwinkligen Dreieck ABC sind die Längen der Katheten a und b bekannt.

Welche der Dreiecke A’B’C’ sind zu ABC ähnlich? a) a = 3 cm; b = 5 cm

a’ 4 cm 4,5 cm 5,4 cm 6 cm 15 cm

b’ 6 cm 7,5 cm 9 cm 10 cm 20 cm

b) a = 8 cm; b = 14 cm

a’ 4 cm 6 cm 5 cm 20 cm 10 cm

b’ 7 cm 10 cm 8,75 cm 35 cm 18 cm

a) Die Dreiecke in den Spalten 2 bis

4 der Tabelle sind ähnlich zum

Dreieck ABC.

b) Die Dreiecke in den Spalten 1, 3

und 4 sind ähnlich zum Dreieck ABC.

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8 Zeichne die Dreiecke ABC und A’B’C’ mit A(0 | 1), B(3 | 3), C(1 | 5) und A’(6 | −3), B’(15 | 3), C’(9 | 9) in das Koordinatensystem ein.

a) Liegt eine zentrische Streckung vor? Begründe deine Antwort. b) Gib gegebenenfalls den Streckfaktor und das Streckzentrum an.

9 Führe an Z eine zentrische Streckung mit dem Streckfaktor k = 0,5 bzw. k = −1,5 durch.

Wie wirkt sich die zentrische Streckung jeweils aus auf a) die Winkelgrößen?

b) die Seitenlängen?

c) den Flächeninhalt?

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8 Zeichne die Dreiecke ABC und A’B’C’ mit A(0 | 1), B(3 | 3), C(1 | 5) und A’(6 | −3), B’(15 | 3), C’(9 | 9) in das Koordinatensystem ein.

a) Liegt eine zentrische Streckung vor? Begründe deine Antwort. a) Die Seitenverhältnisse stimmen in beiden Dreiecken überein, also liegt eine zentrische Streckung vor. b) Gib gegebenenfalls den Streckfaktor und das Streckzentrum an. b) Streckfaktor k = 3, Streckzentrum Z(−3 | 3)

9 Führe an Z eine zentrische Streckung mit dem Streckfaktor k = 0,5 bzw. k = −1,5 durch.

Wie wirkt sich die zentrische Streckung jeweils aus auf a) die Winkelgrößen? a) Die Winkelgrößen verändern sich nicht.

b) die Seitenlängen? b) Die Seitenlängen ändern sich um den jeweiligen

Streckfaktor.

c) den Flächeninhalt? c) Der Flächeninhalt ändert sich um k2.

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10 Zeichne das Fünfeck ABCDE mit A(3 | 5), B(2 | 4), C(2 | 2), D(4 | 2) und E(4 | 4). Führe an Z(0 | 0) eine zentrische Streckung mit den angegebenen Streckfaktoren durch.

a) k = 0,5 b) k = 1,5 c) k = −1 d) k = −0,75

11 Stelle alle Verhältnisgleichungen auf, die nach dem 1. und 2. Strahlensatz gelten.

12 Berechne die fehlenden Streckenlängen.

a) a = 8,4 cm; g = 14 cm; d = 4 cm; e = 7,2 cm b) b = 5,4 cm; c = 16 cm; h = 25 cm; f = 22,5 cm

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Ähnlichkeit


10 Zeichne das Fünfeck ABCDE mit A(3 | 5), B(2 | 4), C(2 | 2), D(4 | 2) und E(4 | 4). Führe an Z(0 | 0) eine zentrische Streckung mit den angegebenen Streckfaktoren durch.

a) k = 0,5 b) k = 1,5 c) k = −1 d) k = −0,75

11 Stelle alle Verhältnisgleichungen auf, die nach dem 1. und 2. Strahlensatz gelten.

RMRS =

QPQS ;

SQSP =

SRSM ;

MRSM =

PQSP ;

MPRQ =

MSRS ;

MPRQ =

PSQS

12 Berechne die fehlenden Streckenlängen.

a) a = 8,4 cm; g = 14 cm; d = 4 cm; e = 7,2 cm a) b = 5,6 cm; c = 6 cm; f = 12 cm; h = 10 cm b) b = 5,4 cm; c = 16 cm; h = 25 cm; f = 22,5 cm

b) a = 9,6 cm; d = 9 cm; e = 14,4 cm; g = 15 cm

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Berechne die fehlenden Längen. 13

14 Eine 16 cm lange Kerze steht 40 cm von

der Öffnung einer Lochkamera entfernt. Wie weit muss die Rückwand der Lochkamera von der Öffnung entfernt sein, damit das Bild mindestens 10 cm groß ist?

15

Bestimme die Breite des Flusses.

16 Beschreibe, wie man mithilfe eines Stabes und eines Maßbandes bei Sonnenschein die

Höhe eines Gebäudes bestimmen kann.

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Ähnlichkeit


Berechne die fehlenden Längen. 13 a = 6,25 cm; b = 4 cm;

c = 7,5 cm; d = 6 cm

14 Eine 16 cm lange Kerze steht 40 cm von

der Öffnung einer Lochkamera entfernt. Wie weit muss die Rückwand der Lochkamera von der Öffnung entfernt sein, damit das Bild mindestens 10 cm groß ist?

Die Rückwand muss mindestens 25 cm von der Öffnung entfernt sein. 15 Bestimme die Breite des Flusses.

Der Fluss ist etwa 30,1 m breit.

16 Beschreibe, wie man mithilfe eines Stabes und eines Maßbandes bei Sonnenschein die

Höhe eines Gebäudes bestimmen kann. Wenn der Stab so aufgestellt

wird, dass sein Schatten mit dem

des Hauses zusammenfällt wie in

der Skizze, kann man mit dem

zweiten Strahlensatz die Höhe

des Hauses berechnen. Die Höhe des Stabes und die Schattenlängen lassen sich mit dem Maßband ermitteln.

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2.2 Ähnlichkeit

Arbeitsblätter in zwei Niveaustufen Alle Arbeitsblätter liegen in zwei Niveaustufen vor: Niveau 2 zielt auf das Grundniveau, Niveau 1 stellt ein Differenzierungsangebot für schwächere Schülerinnen und Schüler dar. Die Niveaustufe 1 bietet gleiche Inhalte und ähnliche Aufgaben wie Niveaustufe 2, verwendet aber einfacheres Zahlenmaterial und gibt zusätzlich Hilfestellungen. Beide Arbeitsblätter können parallel im Unterricht eingesetzt werden. Inhalt:

• Ähnliche Figuren erkennen ______________________________________________ 165 • Mit dem Maßstab rechnen und zeichnen ____________________________________ 169 • Streckungen erkennen __________________________________________________ 173 • Streckungen im Koordinatensystem erkennen ________________________________ 177 • Zentrische Streckungen _________________________________________________ 181 • Figuren strecken _______________________________________________________ 185 • Streckungen im Koordinatensystem _______________________________________ 189 • Streckungen und Kongruenzabbildungen verketten ___________________________ 193 • Streckenlängen mithilfe der Strahlensätze berechnen __________________________ 197 • Berechnungen mit den Strahlensätzen ______________________________________ 201 • Anwendungen zu Strahlensätzen __________________________________________ 205

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Ähnliche Figuren erkennen (Niveau 1)

1 Markiere mindestens zwei unterschiedliche Figuren. Wie viele ähnliche Figuren gibt es jeweils zu der Figur?

2 Zu zwei Figuren gibt es eine ähnliche

Figur. Welche Figuren sind das?

3 Begründe, warum die Dreiecke nicht

zueinander ähnlich sind.

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1 Markiere mindestens zwei unterschiedliche Figuren. Wie viele ähnliche Figuren gibt es jeweils zu der Figur?

z.B.: Sechseck in der Mitte und großes Sechseck; gleichseitige Dreiecke in der Mitte (6 Stück); gleichschenklige Dreiecke (3 Stück); Rauten (9 Stück)

2 Zu zwei Figuren gibt es eine ähnliche

Figur. Welche Figuren sind das?

und ; und

3 Begründe, warum die Dreiecke nicht

zueinander ähnlich sind. Die Dreiecke sind nicht ähnlich, da die Längenverhältnisse der Seiten und die beiden übrigen Winkel nicht übereinstimmen.

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1 Markiere mindestens drei unterschiedliche Figuren. Wie viele ähnliche Figuren gibt es jeweils zu der Figur?

2 Welche Figuren sind ähnlich?

Begründe deine Antwort.

3 Sind die beiden rechtwinkligen Dreiecke

zueinander ähnlich? Begründe.

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Ähnlichkeit


1 Markiere mindestens drei unterschiedliche Figuren. Wie viele ähnliche Figuren gibt es jeweils zu der Figur?

z.B.: 2 regelmäßige Sechseck in der Mitte und großes Sechseck; gleichseitige Dreiecke (20 Stück); Kreisausschnitte mit der Winkelgröße 60° (6 Stück)

2 Welche Figuren sind ähnlich?

Begründe deine Antwort. und ; und Bei den ähnlichen Figuren stimmen jeweils alle Winkel- größen überein und die Längenverhältnisse entsprechender Seiten sind gleich groß.

3 Sind die beiden rechtwinkligen Dreiecke

zueinander ähnlich? Begründe.

Die Dreiecke sind nicht ähnlich, da die Längenverhältnisse der Seiten und die beiden übrigen Winkel nicht übereinstimmen.

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Mit dem Maßstab rechnen und zeichnen (Niveau 1)

1 Ergänze die fehlenden Werte in der Tabelle.

a) b) c) d) e) f)

Maßstab 1 : 2 1 : 10 1 : 1000

Zeichnung 4 cm 1 cm 2 cm 2 cm 3 cm

Original 10 cm 300 cm 10 cm 60 cm

g) h) i) j) k) l)

Maßstab 2 : 1 10 : 1 1 : 6 1 : 500

Zeichnung 4 m 5 m 1,5 km 3 km

Original 0,1 m 50 m 2000 km 120 km

2 Maßstäbliches Vergrößern a) Vergrößere die Fläche der Maus im Quadrat maßstäblich auf ihre dreifache Länge

und Breite. Um welchen Faktor hat sich der Flächeninhalt des Quadrates und damit auch der Flächeninhalt der Maus vergrößert?

b) Wie ändert sich der Flächeninhalt des Quadrats bei einem Maßstab von 1 : 2; 1 : 5; 1 : 20;

1 :21 ; 1 :

41 bzw. 1 :

1001 ?

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Ähnlichkeit



a) b) c) d) e) f)

Maßstab 1 : 2 1 : 10 1 : 300 1 : 1000 1 : 5 1 : 20

Zeichnung 4 cm 1 cm 1 cm 2 cm 2 cm 3 cm

Original 8 cm 10 cm 300 cm 2000 cm 10 cm 60 cm

g) h) i) j) k) l)

Maßstab 2 : 1 10 : 1 1 : 10 1 : 6 1 : 500 1 : 40

Zeichnung 4 m 1 m 5 m 1,5 km 4 km 3 km

Original 2 m 0,1 m 50 m 9 km 2000 km 120 km

2 Maßstäbliches Vergrößern a) Vergrößere die Fläche der Maus im Quadrat maßstäblich auf ihre dreifache Länge

und Breite. Um welchen Faktor hat sich der Flächeninhalt des Quadrates und damit auch der Flächeninhalt der Maus vergrößert?

Der Flächeninhalt wird 9mal so groß.

b) Wie ändert sich der Flächeninhalt des Quadrats bei einem Maßstab von 1 : 2; 1 : 5; 1 : 20;

1 :21 ; 1 :

41 bzw. 1 :

1001 ?

Maßstab: 1 : 2; 1 : 5; 1 : 20; 1 :

21 ; 1 :

41 ; 1 :

1001

Flächen-inhalt: 1 : 4; 1 : 25; 1 : 400; 1 :

41 ; 1 :

161 ; 1 :

100001

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. Alle

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Mathematik

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. Alle

Rec

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vorb

ehal

ten.

Ähnlichkeit



a) b) c) d) e) f)

Maßstab 5 : 1 1 : 10 1 : 10000

Zeichnung 25 mm 0,4 cm 1,2 cm 7 cm 4,5 cm

Original 50 m 300 cm 3,5 km 0,9 km

g) h) i) j) k) l)

Maßstab 3 : 1 1 : 0,2 1 : 6,2 1 : 65000

Zeichnung 4,68 m 5 mm 6,5 cm 7 m

Original 2,46 cm 6 cm 2210 km 98 km

2 Maßstäbliches Vergrößern a) Vergrößere das Bild der Maus im Würfel maßstäblich auf die dreifache Länge,

Breite und Höhe. Um welchen Faktor hat sich das Volumen des Würfels und damit der Maus vergrößert?

b) Wie ändert sich das Volumen des Würfels bei einem Maßstab von 1 : 2; 1 : 5; 1 : 20;

1 :21 ; 1 :

41 bzw. 1 :

1001 ?

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vorb

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Ähnlichkeit



a) b) c) d) e) f)

Maßstab 5 : 1 1 : 10 1 : 750 1 : 10000 1 : 50000 1 : 20000

Zeichnung 25 mm 5 m 0,4 cm 1,2 cm 7 cm 4,5 cm

Original 5 mm 50 m 300 cm 120 m 3,5 km 0,9 km

g) h) i) j) k) l)

Maßstab 3 : 1 1 : 0,2 1 : 12 1 : 6,2 1 : 65000 1 : 14000

Zeichnung 4,68 m 12,3 cm 5 mm 6,5 cm 34 m 7 m

Original 1,56 m 2,46 cm 6 cm 40,3 cm 2210 km 98 km

2 Maßstäbliches Vergrößern a) Vergrößere das Bild der Maus im Würfel maßstäblich auf die dreifache Länge,

Breite und Höhe. Um welchen Faktor hat sich das Volumen des Würfels und damit der Maus vergrößert?

Das Volumen wird 27mal so groß.

b) Wie ändert sich das Volumen des Würfels bei einem Maßstab von 1 : 2; 1 : 5; 1 : 20;

1 :21 ; 1 :

41 bzw. 1 :

1001 ?

Maßstab: 1 : 2; 1 : 5; 1 : 20; 1 :

21 ; 1 :

41 ; 1 :

1001

Volumen: 1 : 8; 1 : 125; 1 : 8000; 1 :

81 ; 1 :

641 ; 1 :

10000001

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Ähnlichkeit

Streckungen erkennen (Niveau 1)

1 Trage jeweils das Streckzentrum ein.

2 Bestimme jeweils den Streckfaktor der zentrischen Streckung aus Aufgabe 1. a) k = b) k = c) k =

3 Zeichne das Streckzentrum ein und ergänze die gestreckten Figuren. a) k = 0,5 b) k = 0,5

4 Ergänze die Strecke AB zu einer eigenen Figur und strecke diese.

Bestimme dazu zuerst das Streckzentrum.

Name:

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Ähnlichkeit



2 Bestimme jeweils den Streckfaktor der zentrischen Streckung aus Aufgabe 1. a) k = 2 b) k = 2 c) k = 0,5




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Mathematik

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Ähnlichkeit



2 Bestimme jeweils den Streckfaktor der zentrischen Streckung aus Aufgabe 1. a) k = b) k = c) k =




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g, B

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Ähnlichkeit



2 Bestimme jeweils den Streckfaktor der zentrischen Streckung aus Aufgabe 1. a) k = 2 b) k = 2 c) k = 0,5




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Name:


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Ähnlichkeit

Streckungen im Koordinatensystem erkennen (Niveau 1)

1 Zeichne das Dreieck ABC mit A (4 | 4); B (6 | 4) und C (5 | 6) in das Koordinatensystem ein. Prüfe, ob folgende Dreiecke durch zentrische Streckung aus dem Dreieck ABC entstanden sein können. Trage gegebenenfalls das Streckzentrum ein und gib den Streckfaktor an.

a) D (2 | 2); E (3 | 2); F (2,5 | 3) b) G (8 | 8); H (10 | 8); I (9 | 10,5) c) J (8 | 4); K (12 | 4); L (10 | 8) d) M (4,5 | 2); N (5,5 | 2); O (5 | 3)

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Klasse: Datum:

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. Alle

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ten.

Ähnlichkeit


1 Zeichne das Dreieck ABC mit A (4 | 4); B (6 | 4) und C (5 | 6) in das Koordinatensystem ein. Prüfe, ob folgende Dreiecke durch zentrische Streckung aus dem Dreieck ABC entstanden sein können. Trage gegebenenfalls das Streckzentrum ein und gib den Streckfaktor an.

a) D (2 | 2); E (3 | 2); F (2,5 | 3) b) G (8 | 8); H (10 | 8); I (9 | 10,5) ja Nein, es stimmen nicht alle Za = (0 | 0) Seitenverhältnisse der Dreiecke ka = 0,5 überein. c) J (8 | 4); K (12 | 4); L (10 | 8) d) M (4,5 | 2); N (5,5 | 2); O (5 | 3) ja ja Zc = (0 | 4) Zd = (5 | 0) kc = 2 kd = 0,5

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Ähnlichkeit


1 Zeichne das Viereck ABCD mit A (1 | 1); B (2 | 2); C (3 | 2) und D (0 | 3) in das Koordinatensystem ein. Prüfe, ob folgende Vierecke durch zentrische Streckung aus dem Viereck ABCD entstanden sein können. Trage gegebenenfalls das Streckzentrum ein und gib den Streckfaktor an.

a) E (−0,5 | −2); F (2 | 0,5); G (4,5 | 0,5); H (−3 | 3)

b) I (−3,5 | −3,5); J (−4 | −4); K (−4,5 | −4); L (−3 | −4,5)

c) M (1 | −2); N (4,5 | 2); O (6,5 | 2); P (−2 | 5) d) Q (−4,5 | −1); R (−3,5 | 0); S (−2,5 | 0); T (−5,5 | 1)

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Ähnlichkeit


1 Zeichne das Viereck ABCD mit A (1 | 1); B (2 | 2); C (3 | 2) und D (0 | 3) in das Koordinatensystem ein. Prüfe, ob folgende Vierecke durch zentrische Streckung aus dem Viereck ABCD entstanden sein können. Trage gegebenenfalls das Streckzentrum ein und gib den Streckfaktor an.

a) E (−0,5 | −2); F (2 | 0,5); G (4,5 | 0,5); H (−3 | 3)

b) I (−3,5 | −3,5); J (−4 | −4); K (−4,5 | −4); L (−3 | −4,5)

ja ja Za = (2 | 3) Zb = (−2 | −2) ka = 2,5 kb = −0,5 c) M (1 | −2); N (4,5 | 2); O (6,5 | 2); P (−2 | 5) d) Q (−4,5 | −1); R (−3,5 | 0); S (−2,5 | 0); T (−5,5 | 1) Nein, es stimmen nicht alle Das Viereck wurde verschoben. Seitenverhältnisse der Vierecke überein.

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Ähnlichkeit

Zentrische Streckungen (Niveau 1)

1 Führe die angegebenen zentrischen Streckungen durch.

2 Bestimme den Streckfaktor und führe die zentrische Streckung durch.

Streckfaktor:

Name:

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Ähnlichkeit




Streckfaktor: k = 3

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Name:


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Ähnlichkeit




Streckfaktor:

Name:

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Ähnlichkeit




Streckfaktor: k = −43

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Ähnlichkeit

Figuren strecken (Niveau 1)

Führe jeweils die zentrische Streckung mit dem angegebenen Streckfaktor k und dem Streckzentrum Z durch.

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Ähnlichkeit



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Mathematik

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Ähnlichkeit



Name:

Klasse: Datum:

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ten.

Ähnlichkeit



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g, B

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Name:


Mathematik

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g, B

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Ähnlichkeit

Streckungen im Koordinatensystem (Niveau 1)

1 Strecke das Viereck ABCD. Das Streckzentrum und der Streckfaktor sind jeweils in den Teilaufgaben angegeben. Gib die Koordinaten der Eckpunkte der entstandenen Figuren an.

a) Za (0 | 0); ka = 0,5 b) Zb (0 | 0); kb = 2 A´ B´ A´´ B´´ C´ D´ C´´ D´´ c) Zc (−4 | 0); kc = 2 d) Zd (−2 | 2); kd = −1 A´´´ B´´´ A´´´´ B´´´´ C´´´ D´´´ C´´´´ D´´´´

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Ähnlichkeit


1 Strecke das Viereck ABCD. Das Streckzentrum und der Streckfaktor sind jeweils in den Teilaufgaben angegeben. Gib die Koordinaten der Eckpunkte der entstandenen Figuren an.

a) Za (0 | 0); ka = 0,5 b) Zb (0 | 0); kb = 2 A´ (0,5 | 0) B´ (0 | 1) A´´ (2 | 0) B´´ (0 | 4) C´ (−0,5 | 0) D´ (0 | −1) C´´ (−2 | 0) D´´ (0 | −4) c) Zc (−4 | 0); kc = 2 d) Zd (−2 | 2); kd = −1 A´´´ (6 | 0) B´´´ (4 | 4) A´´´´ (−5 | 4) B´´´´ (−4 | 2) C´´´ (2 | 0) D´´´ (4 | −4) C´´´´ (−3 | 4) D´´´´ (−4 | 6)

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Ähnlichkeit


1 Strecke das Fünfeck ABCDE. Das Streckzentrum und der Streckfaktor sind jeweils in den Teilaufgaben angegeben. Gib die Koordinaten der Eckpunkte der entstandenen Figuren an.

a) Za (0 | 0); ka = 3 b) Zb (−6 | −2); kb = 0,5 A´ B´ A´´ B´´ C´ D´ C´´ D´´ E´ E´´

c) Zc (0,5 | −1,5); kc = 2 d) Zd (1 | −1); kd = −1,5 A´´´ B´´´ A´´´´ B´´´´ C´´´ D´´´ C´´´´ D´´´´ E´´´ E´´´´

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ten.

Ähnlichkeit


1 Strecke das Fünfeck ABCDE. Das Streckzentrum und der Streckfaktor sind jeweils in den Teilaufgaben angegeben. Gib die Koordinaten der Eckpunkte der entstandenen Figuren an.

a) Za (0 | 0); ka = 3 b) Zb (−6 | −2); kb = 0,5 A´ (−3 | −3) B´ (0 | 0) A´´ (−3,5 | −1,5) B´´ (−3 | −1) C´ (3 | 0) D´ (3 | 3) C´´ (−2,5 | −1) D´´ (−2,5 | −0,5) E´ (0 | 3) E´´ (−3 | −0,5)

c) Zc (0,5 | −1,5); kc = 2 d) Zd (1 | −1); kd = −1,5 A´´´ (−2,5 | −0,5) B´´´ (−0,5 | 1,5) A´´´´ (4 | −1) B´´´´ (2,5 | −2,5) C´´´ (1,5 | 1,5) D´´´ (1,5 | 3,5) C´´´´ (1 | −2,5) D´´´´ (1 | −4) E´´´ (−0,5 | 3,5) E´´´´ (2,5 | −4)

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Ähnlichkeit

Streckungen und Kongruenzabbildungen verketten (Niveau 1)

1 Wie können die Figuren auseinander hervorgegangen sein? Zeichne gegebenenfalls Streckzentrum, Spiegelachse, Drehpunkt, … ein.

2 Ähnliche Dreiecke a) Begründe mithilfe der Ähnlichkeitssätze für Dreiecke, dass die Dreiecke ABC und DEF


b) Es gibt keine zentrische Streckung, die das Dreieck ABC auf das Dreieck DEF abbildet.

Lässt sich durch Nacheinanderausführen von Abbildungen ABC auf DEF abbilden?

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Ähnlichkeit



z.B.: a) Streckung mit dem Streckzentrum Z und dem Streckfaktor k = 2; dann Achsenspiegelung an g. z.B.: b): Streckung an Z mit k = 2; Drehung um 90° an Z



ABC = EFD = 90°; AB :DF= 3 : 1,5 = 2 : 1 =BC :EF Daraus folgt ∆ABC ist ähnlich zu ∆DEF, nach dem Ähnlichkeitssatz sws. b) Es gibt keine zentrische Streckung, die das Dreieck ABC auf das Dreieck DEF abbildet.

Lässt sich durch Nacheinanderausführen von Abbildungen ABC auf DEF abbilden? Ja, z.B. zuerst eine zentrische Streckung mit dem Streckzentrum B und dem Streckfaktor k=

21 ; dann eine Achsenspiegelung an der Geraden g.

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Ähnlichkeit





b) Es gibt keine zentrische Streckung, die das Dreieck ABC auf das Dreieck DEF abbildet.

Lässt sich durch Nacheinanderausführen von Abbildungen ABC auf DEF abbilden?

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Ähnlichkeit



z.B.: a) Streckung mit dem Streckzentrum Z und dem Streckfaktor k = 2; dann Achsenspiegelung an g. z.B.: b): Streckung an Z mit k = 2; Drehung um 90° an P; Verschiebung um den Verschiebungspfeil r . 2 Ähnliche Dreiecke a) Begründe mithilfe der Ähnlichkeitssätze für Dreiecke, dass die Dreiecke ABC und DEF


BAC = EDF = 90°; AB :DF= 3 : 2 = 6 : 4 =AC :DE Daraus folgt ∆ABC ist ähnlich zu ∆DEF, nach dem Ähnlichkeitssatz sws. b) Es gibt keine zentrische Streckung, die das Dreieck ABC auf das Dreieck DEF abbildet.

Lässt sich durch Nacheinanderausführen von Abbildungen ABC auf DEF abbilden? Ja, z.B. zuerst eine zentrische Streckung mit dem Streckzentrum A und dem Streckfaktor k=

32 ; dann eine Achsenspiegelung an der

Mittelsenkrechten der Strecke AD .

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Ähnlichkeit

Streckenlängen mithilfe der Strahlensätze berechnen (Niveau 1)

1 Betrachte die Strahlensatzfigur rechts. a) Stelle zu der Strahlensatzfigur mindestens zwei

Verhältnisgleichungen auf. Um welchen Strahlensatz handelt es sich jeweils?

b) Berechne die fehlenden Größen und ergänze die Tabelle.

a b c d e f

4 cm 8 cm 6 cm 2 cm

12 cm 6 cm 9 cm 3 cm

3 cm 12 cm 20 cm 16 cm

3 cm 2,5 cm 9 cm 4,5 cm

6 cm 5 cm 7,5 cm 10,5 cm

4,2 cm 3 cm 15 cm 31 cm

2 Berechne mithilfe der Strahlensätze die fehlenden

Streckenlängen.

ZP ZQ PQ ZR ZS RS PR SQ

a) 8 cm 24 cm 18 cm 7 cm

b) 20 cm 10 cm 14 cm 9 cm

c) 10 cm 8 cm 12 cm 12 cm

d) 18 cm 6 cm 5 cm 4,5 cm

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Ähnlichkeit


1 Betrachte die Strahlensatzfigur rechts. a) Stelle zu der Strahlensatzfigur mindestens zwei


z.B.: ba =

dc (2. Strahlensatz)

fe =


ba =

fe (1. Strahlensatz)


a b c d e f

4 cm 8 cm 3 cm 6 cm 2 cm 4 cm

12 cm 4 cm 6 cm 2 cm 9 cm 3 cm

3 cm 12 cm 5 cm 20 cm 4 cm 16 cm

6 cm 3 cm 5 cm 2,5 cm 9 cm 4,5 cm

4 cm 6 cm 5 cm 7,5 cm 7 cm 10,5 cm

4,2 cm 21 cm 3 cm 15 cm 6,2 cm 31 cm


Streckenlängen.


a) 8 cm 24 cm 16 cm 6 cm 18 cm 12 cm 7 cm 21 cm

b) 20 cm 30 cm 10 cm 14 cm 21 cm 7 cm 6 cm 9 cm

c) 10 cm 15 cm 5 cm 8 cm 12 cm 4 cm 12 cm 18 cm

d) 12 cm 18 cm 6 cm 10 cm 15 cm 5 cm 3 cm 4,5 cm

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Ähnlichkeit


1 Betrachte die Strahlensatzfigur rechts. a) Stelle zu der Strahlensatzfigur mindestens drei



a b c d e f

10 cm 6 cm 9 cm 8 cm

12 dm 6 dm 7,5 dm 5 dm

11 m 7 m 10,5 m 12,6 m

5,6 cm 4,2 cm 14,1 cm 8,4 cm

12 cm 13,5 cm 1,08 dm 72 mm

74 mm 6,8 cm 0,306 m 369 mm


Streckenlängen.


a) 35 cm 49 cm 28 cm 25 cm

b) 1,6 cm 0,4 cm 1,2 cm 4 cm

c) 10,6 cm 1,8 cm 5,4 cm 9,2 cm

d) 1,5 cm 32 cm

148 cm

718 cm

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Ähnlichkeit


1 Betrachte die Strahlensatzfigur rechts. a) Stelle zu der Strahlensatzfigur mindestens drei


z.B.: ba =


fe =


ba =

fe (1. Strahlensatz)


a b c d e f

10 cm 6 cm 15 cm 9 cm 8 cm 4,8 cm

12 dm 8 dm 6 dm 4 dm 7,5 dm 5 dm

11 m 7 m 16,5 m 10,5 m 19,8 m 12,6 m

9,4 cm 5,6 cm 7,05 cm 4,2 cm 14,1 cm 8,4 cm

15 cm 12 cm 13,5 cm 1,08 dm 9 cm 72 mm

74 mm 33,3 cm 6,8 cm 0,306 m 0,82 dm 369 mm


Streckenlängen.


a) 35 cm 49 cm 14 cm 20 cm 28 cm 8 cm 25 cm 35 cm

b) 1,6 cm 2 cm 0,4 cm 1,2 cm 1,5 cm 0,3 cm 3,2 cm 4 cm

c) 10,6 cm 31,8 cm 21,2 cm 1,8 cm 5,4 cm 3,6 cm 9,2 cm 27,6 cm

d) 65 cm 1,5 cm

32 cm

75 cm

79 cm

148 cm

710 cm

718 cm

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Ähnlichkeit

Berechnungen mit den Strahlensätzen (Niveau 1)

1 Ergänze die Tabelle. AB AC BC CD CE DE

a) 3 cm 4 cm 10 cm 6 cm

b) 24 cm 20 cm 8 cm 6 cm

c) 8 cm 6 cm 12 cm 9 cm

d) 5 cm 15 cm 17,5 cm 12,5 cm

e) 15 cm 4,5 cm 4 cm 5 cm

f) 36 cm 31,5 cm 10 cm 7 cm

2 Berechne die Länge der vierten Strecke. a) SA = 2 cm b) SA = 3 cm

´SA = 6 cm ´SA =

SB = SB = 1,5 cm

´SB = 18 cm ´SB = 2,5 cm c) SA = d) SA = 1,2 cm

´SA = 7 cm ´SA = 4,1 cm

SB = 32 cm SB = 6 cm

´SB = 56 cm ´SB =

3 Ein 3 m langer Stab wirft einen Schatten von 2,50 m Länge.

Wie hoch ist ein Turm, der zur gleichen Zeit am gleichen Ort einen Schatten von 15 m Länge wirft?

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Ähnlichkeit



a) 3 cm 4 cm 5 cm 10 cm 8 cm 6 cm

b) 24 cm 20 cm 8 cm 2 cm 5 cm 6 cm

c) 6 cm 8 cm 4 cm 6 cm 12 cm 9 cm

d) 5 cm 7 cm 6 cm 15 cm 17,5 cm 12,5 cm

e) 15 cm 12 cm 4,5 cm 1,5 cm 4 cm 5 cm

f) 36 cm 31,5 cm 45 cm 10 cm 7 cm 8 cm

2 Berechne die Länge der vierten Strecke. a) SA = 2 cm b) SA = 3 cm

´SA = 6 cm ´SA = 5 cm

SB = 6 cm SB = 1,5 cm

´SB = 18 cm ´SB = 2,5 cm c) SA = 4 cm d) SA = 1,2 cm

´SA = 7 cm ´SA = 4,1 cm

SB = 32 cm SB = 6 cm

´SB = 56 cm ´SB = 20,5 cm

3 Ein 3 m langer Stab wirft einen Schatten von 2,50 m Länge.

Wie hoch ist ein Turm, der zur gleichen Zeit am gleichen Ort einen Schatten von 15 m Länge wirft?

m 15x =

m 2,50m 3

x = 18 m

Der Turm ist 18 m hoch.

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Ähnlichkeit



a) 3,6 cm 4 cm 7,5 cm 5,4 cm

b) 2,7 cm 3 cm 1,5 cm 9 cm

c) 9,8 cm 3,2 cm 2,8 cm 1,6 cm

d) 0,75 cm 1,2 cm 2,88 cm 3,6 cm

e) 14,7 cm 18,9 cm 5 cm 3,5 cm

f) 9,8 cm 4,6 cm 41,6 cm 29,9 cm

2 Berechne die Länge der vierten Strecke. a) SA = 2 cm b) SA = 2,4 cm

´SA = 5 cm ´SA =

SB = SB = 3,2 cm

´SB = 8,75 cm ´SB = 4,8 cm c) SA = d) SA = 4,375 cm

´SA = 7,25 cm ´SA = 14 cm

SB = 3,75 cm SB = 3,5 cm

´SB = 5 cm ´SB =

3 Ein 2,10 m langer Stab wirft einen Schatten von 2,65 m Länge.

Wie hoch ist ein Turm, der zur gleichen Zeit am gleichen Ort einen Schatten von 35,60 m Länge wirft?

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Ähnlichkeit



a) 3,6 cm 4 cm 5 cm 7,5 cm 6 cm 5,4 cm

b) 2,7 cm 3 cm 1,5 cm 5 cm 10 cm 9 cm

c) 5,6 cm 9,8 cm 11,2 cm 3,2 cm 2,8 cm 1,6 cm

d) 0,75 cm 1,5 cm 1,2 cm 2,88 cm 3,6 cm 1,8 cm

e) 14,7 cm 21 cm 18,9 cm 4,5 cm 5 cm 3,5 cm

f) 9,8 cm 4,6 cm 6,4 cm 41,6 cm 29,9 cm 63,7 cm

2 Berechne die Länge der vierten Strecke. a) SA = 2 cm b) SA = 2,4 cm

´SA = 5 cm ´SA = 3,6 cm

SB = 3,5 cm SB = 3,2 cm

´SB = 8,75 cm ´SB = 4,8 cm c) SA = 5,4375 cm d) SA = 4,375 cm

´SA = 7,25 cm ´SA = 14 cm

SB = 3,75 cm SB = 3,5 cm

´SB = 5 cm ´SB = 11,2 cm

3 Ein 2,10 m langer Stab wirft einen Schatten von 2,65 m Länge.

Wie hoch ist ein Turm, der zur gleichen Zeit am gleichen Ort einen Schatten von 35,60 m Länge wirft?

m 35,60x =

m 2,65m 2,10

x ≈ 28,21 m

Der Turm ist ca. 28,20 m hoch.

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Ähnlichkeit

Anwendungen zu Strahlensätzen (Niveau 1)

1 Eine Rampe kann zum Entladen von Containern in verschiedenen Stufen ausgefahren werden. Bei einer Länge der Schrägen von 15,0 m wird eine Höhe von 2,5 m erreicht.

a) Die Schräge wird auf eine Länge von 9 m ausgefahren. Welche Höhe wird erreicht?

b) Wie weit muss die Schräge ausgefahren werden, um eine Höhe von 2 m zu erreichen?

2 Ein kegelförmiges Kelchglas mit einem inneren Randdurchmesser von 6,5 cm und einer

inneren Kelchhöhe von 16 cm wird bis zu halber Höhe mit Wasser gefüllt. Wie viel Kubikzentimeter Wasser sind dann in dem Glas?

Hinweis: VKegel = 31 πr2 · h

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Ähnlichkeit



a) Die Schräge wird auf eine Länge von 9 m ausgefahren. Welche Höhe wird erreicht?

x : 9 m = 2,5 m : 20 m; x = 1,5 m

Eine Höhe von 1,5 m wird erreicht.

b) Wie weit muss die Schräge ausgefahren werden, um eine Höhe von 2 m zu erreichen? x : 2 m = 15 m : 2,5 m; x = 12 m

Die Schräge muss auf 12 m ausgefahren werden.


inneren Kelchhöhe von 16 cm wird bis zu halber Höhe mit Wasser gefüllt. Wie viel Kubikzentimeter Wasser sind dann in dem Glas?

Hinweis: VKegel = 31 πr2 · h

Die Menge des halb gefüllten Glases nimmt den Raum eines Kegels mit

8 cm Höhe ein. Der Durchmesser von 3,25 cm lässt sich mithilfe der

Strahlensätze berechnen.

Kegel des halb gefüllten Glases: G ≈ 8,30 cm2; V ≈ 22,11 cm3

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Ähnlichkeit



a) Würde ein Ausfahren der Schrägen auf 4,0 m reichen, um einen 80 cm hoch stehenden Container zu entladen?

b) Wie weit muss die Schräge ausgefahren werden, um stufenlos einen Container in einer

Höhe von 1,2 m zu entladen?


inneren Kelchhöhe von 16 cm wird bis zu halber Höhe gefüllt. Wie viel Prozent des maximal in das Glas einzufüllenden Volumens entspricht diese Menge?

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Ähnlichkeit



a) Würde ein Ausfahren der Schrägen auf 4,0 m reichen, um einen 80 cm hoch stehenden Container zu entladen?

x : 4 m = 2,5 m : 15 m; x ≈ 0,67 m

Ein Ausfahren der Rampe auf 4,0 m reicht nicht, denn die erreichte Höhe

beträgt nur etwa 67 cm.

b) Wie weit muss die Schräge ausgefahren werden, um stufenlos einen Container in einer Höhe von 1,2 m zu entladen?

x : 1,2 m = 15 m : 2,5 m; x = 7,2 m

Die Schräge muss auf 7,2 m ausgefahren werden.


inneren Kelchhöhe von 16 cm wird bis zu halber Höhe gefüllt. Wie viel Prozent des maximal in das Glas einzufüllenden Volumens entspricht diese Menge?

Die Menge des halb gefüllten Glases nimmt den Raum eines Kegels mit

8 cm Höhe ein. Der Durchmesser von 3,25 cm lässt sich mithilfe der

Strahlensätze berechnen.

Kegel des halb gefüllten Glases: G ≈ 8,29 cm2; V ≈ 22,11 cm3

Kegel des ganz gefüllten Glases: G ≈ 33,17 cm2; V ≈ 176,89 cm3

Die Menge des halb gefüllten Glases entspricht 12,5 % der Menge, die

maximal einzufüllen ist.

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2 Geometrie

2.2 Ähnlichkeit

Methoden, Infotexte und Spiele Die Methoden, Infotexte und Spiele dienen der Einführung, der Wiederholung und der Festigung von mathematischen Inhalten. Die Hinweise auf dieser Seite bieten unter anderem Anregungen wann die Materialien im Unterricht eingesetzt werden können. Inhalt:

• Der Daumensprung ____________________________________________________ 211 • Bastelvorlage − Försterdreieck ___________________________________________ 212 • Bastelvorlage − Pantograph ______________________________________________ 214 • Bastelvorlage − Messkeil und Messlehre ___________________________________ 215 • Bastelvorlage − Lochkamera _____________________________________________ 216 • Vorlagen zur Rastertechnik ______________________________________________ 218

Hinweise zu den Methoden, Infotexten und Spielen:

• Der Daumensprung; Bastelvorlage − Försterdreieck; Bastelvorlage − Messkeil und Messlehre: Einige Messgeräte und Messtechniken machen sich die Strahlensätze zunutze. Beispiele hierfür bieten die Bastelvorlagen und der Infotext.

• Bastelvorlage − Pantograph:

Mit einem Pantographen oder auch Storchenschnabel können Zeichnungen vergrößert und verkleinert werden. Auch der Pantograph macht sich die Strahlensätze zunutze. Die Bastelvorlage bietet eine einfache Version eines Pantographen.

• Bastelvorlage − Lochkamera:

Mithilfe von Lochkameras können die Strahlensätze veranschaulicht werden. „Wie verändert sich das Bild, wenn man sich vom Gegenstand entfernt bzw. sich dem Gegenstand nähert?“; „Warum erscheint das Bild auf dem Kopf?“; … Das Arbeitsblatt bietet eine einfache Bastelvorlage für eine Lochkamera.

• Vorlagen zur Rastertechnik:

Mithilfe der Rastertechnik können Bilder leicht maßstabsgetreu abgezeichnet werden. Mit ihrer Hilfe kann die zentrische Streckung eingeführt und der Maßstab wiederholt werden. Das Arbeitsblatt enthält Vorlagen zum Abzeichnen und entsprechende Raster zum Vergrößern und Verkleinern.

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Ähnlichkeit

Der Daumensprung

Visierst du deinen Daumen am ausgestreckten Arm einmal mit dem linken und einmal mit dem rechten Auge an, so scheint der Daumen hin und her zu springen. Diesen Effekt kannst du nutzen, um die Entfernung zu einem Gegenstand zu bestimmen, dessen Breite du kennst oder gut schätzen kannst. Dazu musst du den Abstand deiner Pupillen und den Abstand deines Daumens von deinen Augen kennen.

Material: Maßband 1 Miss die Breite des Gegenstands aus, zu dem die Entfernung bestimmt

werden soll. 2 Stell dich nun in einer gewissen Entfernung zum Gegenstand auf und

visiere mit dem linken Auge seine rechte Seite an. Wechsle dann auf das rechte Auge. Schätze die Strecke, die dein Daumen „überspringt“.

3 Berechne jetzt deine Entfernung zum Gegenstand. Die Nebenstehende

Zeichnung hilft dir dabei. Welche Längen sind mit den Bezeichnungen a, d, e und s gemeint?

4 Stelle eine Formel auf, mit der die Entfernung eines Objekts in Ab-

hängigkeit von deinen Körperdaten – also deinem Augenabstand und dem Abstand vom Auge zum Daumen – bestimmt werden kann.

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Ähnlichkeit

Bastelvorlage − Försterdreieck (1/2)

Material: Wollfaden (circa 30 cm), Schraube oder ähnlicher Gegenstand (dient zum Beschweren des Fadens), Klebeband

Klebe das Dreieck auf starke Pappe und schneide es mit Halter aus. Befestige die Schraube an einem Ende des Wollfadens. Klebe das andere Ende des Wollfadens am markierten Punkt auf das Dreieck. Fertig ist das Försterdreieck!

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Ähnlichkeit

Bastelvorlage − Försterdreieck (2/2)

Aufgabe: Bestimme die Höhe eines Objekts auf dem Pausenhof mithilfe eines Försterdreiecks.

1 Die untere Kante des Försterdreiecks muss horizontal gehalten

werden. Dazu muss das Lot entlang der vertikalen Kante verlaufen. 2 Die Hypotenuse dient zum Anvisieren des höchsten Punktes: Gehe

solang auf das zu vermessende Objekt zu oder von ihm weg, bis du dessen höchsten Punkt anvisieren kannst.

3 Miss den Abstand s zwischen dir und dem Lotfußpunkt F. 4 Ermittle mithilfe einer maßstabsgetreuen Zeichnung die Höhe des Ob-

jekts. 5 Begründe, warum das Försterdreieck und das Dreieck aus Auge, Spit-

ze des Objekts und Lotfußpunkt F ähnlich zueinander sind. 6 Beschreibe nun, wie die Höhe mithilfe des Försterdreiecks berechnet

werden kann und ermittle rechnerisch die Höhe des Objekts im Pau-senhof. Vergleiche deine Ergebnisse.

7 Stelle eine Formel auf, mit der die Höhe eines Objekts in Abhängigkeit von der Entfernung zwischen dir und dem Punkt F bestimmt werden kann.

8 Was ändert sich, wenn du kein gleichschenkliges Dreieck zur Verfügung hast?

Wie lautet die Formel für ein Dreieck mit den Schenkellängen 10 cm und 15 cm?

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Ähnlichkeit

Bastelvorlage − Pantograph

Klebe die Bastelvorlage auf Karton und schneide die einzelnen Bauteile sorgfältig aus.Verbinde die Bauteile an den gekenn-zeichneten Löchern mit Postklammern, dass du eine Figur wie auf dem Foto erhältst. Fixiere den Pantographen am schwarzen Punkt auf dem Untergrund.

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Ähnlichkeit

Bastelvorlage − Messkeil und Messlehre

Klebe die Vorlagen für den Messkeil und die Messlehre auf Pappe und schneide sie aus. Beschreibe, wie man mit dem Messkeil und der Messlehre die Weite einer Öffnung bzw. die Dicke eines Stabes messen lässt. Führe verschiedene Messungen durch. Messkeil

Messlehre

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Ähnlichkeit

Bastelvorlage − Lochkamera (1/2)

Bau einer Lochkamera Material: Vorlage für die Lochkamera aus Pappe, Transparentpapier-Quadrat, Stecknadel Durchführung: Schneide aus dem Karton die Lochkamera aus. Die weißen Rechtecke sind Klebekanten. Schneide diese Klebekanten auseinander.

Klebe die Lochkamera wie folgt zusammen. Achtung! Dabei müssen die schwarzen Flächen innen sein.

Steche in die Mitte der Vorderseite ein kleines Loch mit der Stecknadel. Klebe nun auf die Rückseite Transparentpapier oder Butterbrotpapier.

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Ähnlichkeit

Bastelvorlage − Lochkamera (2/2)

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Ähnlichkeit

Vorlagen zur Rastertechnik (1/3)

Vergrößere den Fisch mithilfe der beiden Gitter auf der Vorlage. Wie stark ist der Fisch gewachsen?

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Ähnlichkeit


Vergrößere die Schnecke mithilfe der beiden Gitter auf der Vorlage. Wie stark ist die Schnecke gewachsen?

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Ähnlichkeit


Verkleinere die Schnecke mithilfe der beiden Gitter auf der Vorlage. Wie stark ist die Schnecke geschrumpft?

Zeichne eigene Raster und übertrage die Motive darauf. Du kannst auch eigene Bilder (z.B. aus Zeitschriften, von Fotos) mithilfe der Rastertechnik zeichnen. Dafür musst du über den Bereich, der abgezeichnet werden soll ein Raster legen.

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2 Geometrie 2.2 Ähnlichkeit Ähnlichkeit - Cornelsen … · • Streckenlängen mithilfe der...

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