2. Mannigfaltigkeiten - ruhr-uni-bochum.degrauer/lectures/... · 2007. 4. 22. · Beispiel: ,...
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2. Mannigfaltigkeiten2.1 Äquivalenzprinzip
Newton: und
Weak Equivalence Principle (WEP):
“Beschleunigung = Gravitation”
andere Form des WEP:
Die Bewegung eines frei-fallenden Körpers sind identisch in einem Gravitationsfeld und in einem gleichförmig beschleunigten Bezugssystem
lokal, kleine Körper, kleine Testmassen (Selbstwechselwirkung)
Einstein Equivalence Principle (EEP):
Man kann die Existenz eines Gravitationsfeldes nicht durch lokale Experimente feststellen (Experimente umfassen Gravitation nicht).
EEP WEP,
EEP Feinstrukturkonstante und Massenverhältnis Protonen/Elektronen ist konstant
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Strong Equivalence Principle (SEP): Wie EEP + Experimente umfassen Gravitation
Gravitationskonstante ist konstant
Info:
http://en.wikipedia.org/wiki/Equivalence_principle#The_strong_equivalence_principle
EEP: Gravitation ist unausweichlich, keine gravitativ-neutralen Körper, daher definiere:
nicht-beschleunigt = frei fallend
Saturday Morning gekrümmte Raumzeit Mannigfaltigkeiten
2.2 Was ist eine Mannigfaltigkeit
n-dim Mannigfaltigkeit sieht lokal aus wie
Beispiele:
• , klar
• n- Sphäre , fester Radius in
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• n-Torus:
• Riemannsche Fläche vom Geschlecht g
Jede kompakte orientierbare randlose 2-dim. Mannigfaltigkeit ist Riemannsche Fläche
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• Lie Gruppe: Mannigfaltigkeit mit Gruppenstruktur
Beispiel:
• direktes Produkt zweier MannigfaltigkeitenM und M´ Mannigfaltigkeiten der Dimensionen n und n´neue Mannigfaltigkeit M x M´ bestehend aus geordnetem Paar (p,p´) mitp ∈ M und p´ ∈ M´
Was ist keine Mannigfaltigkeit ?
1(2) identisch zuSO S
Ein Punkt, der nicht lokal wie
aussieht. 2R
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nicht glatt genug Mannigfaltigkeit mit Rand
Abbildungen: zwei Mengen M,N, Abbildung , die jedem Element aus M genau ein Element aus N zuordnet.
Verknüpfung: mit
:M NΦ →
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injektiv: jedes Element aus N hat höchstens ein Urbild
surjektiv: jedes Element aus N hat mindestens ein Urbild
Menge M: Gebiet von Φ, Gebiet: Φ(N) , Urbild: Φ-1(N)
Wenn Abbildung injektiv und surjektiv ist, dann existiert inverser Abb.
Stetigkeit bekannt für Abb.
Komponentenfunktionen stetig
Funktion heißt Cp, wenn p-te Ableitung existiert und stetig ist.
C∞ Abb.: unendlich oft differenzierbar, glatt
Beispiel: , unendlich of diff.bar bis auf x=0, dort nur zweimal, also C2
: m nφ →R R
3( )x xφ =
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offene Kugel: Menge aller Punkte
offene Menge: Vereinigung offener Kugeln,
also: ist offen, wenn für jedes eine offene Kugel um y existiert, die vollständig in V liegt.
Eine Karte (oder Koordinatensystem) besteht aus einer Untermenge
und einer injektiven Abb. , so dass offen in ist.
Damit ist U offen in M.
, für festes ,n nx x y r y r∈ − < ∈ ∈R R R
nV ⊂ R y V∈
U M⊂: nUφ → R ( )Uφ nR
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Eine C∞ n-dim. Mannigfaltigkeit ist eine Menge M mit einem maximalen Atlas, der alle kompatiblen Karten enthält.
Analog wird eine Cp Mannigfaltigkeit definiert.
Ein C∞ Atlas ist eine Vereinigung von Karten , die folgende 2 Bed. erfüllen:
1. Die Vereinigung
2. Übergangsabb. sind C∞: Sei . Dann bildet die Abb. Punkte inauf eine offene Menge ab, und zwar C∞ für
alle .
( ){ },Uα αφU Mα
α
=∪0U Uα β∩ ≠
1α βφ φ
−
( ) nU Uβ α βφ ∩ ⊂ R ( )nU Uα α βφ ∩ ⊂ R
,α β
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Beispiele:
1. Kreis S1
2. S2 : stereographische Projektion
benötige zwei Karten
vom Nordpol vom Südpol
Übergangsabb. für
-1 < x3 < +1
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Übergangsabb. sind unsere alten Koordinatentransformationen
Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Abb. zwischen Mannigfaltigkeiten M,N wird durch die Karten bestimmt:
:f M N→
1 : m nfβ αψ φ− →R R
2.3 Schon wieder Vektoren!
Definition über Kurven war richtig, jetzt nur koordinatenunabhängig
Also, sei F der Raum aller glatten Funktionen auf M. Jede Kurve durch den Punkt p definiert nun einen Operator, die Richtungsabbleitung an p.
Tangentialraum Tp :Raum aller Richtungsableitungsoperatoren
Dies ist ein Vektorraum, denn betrachte 2 Operatoren für 2 Kurven durch p.
neuer Operator
Dies ist auch ein Ableitungsoperator, denn er erfüllt die Produktregel:
/f df dλ→
/ , /d d d dλ η
⇒ ( / ) ( / )a d d b d dλ η+
⇒ Vektorraum
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Ist das der gesuchte Vektorraum? Suche Basis: betrachte Karte mit Koordinaten .
n Richtungsableitungen an der Stelle p.
Dies ist eine Basis, denn betrachte
beliebige Kurve
Karte
und Funktion
Kettenregel:
xµ
⇒ µ∂
: Mγ →R
: nMφ →R
:f M →R
f beliebig ⇒
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Also bilden Basis, genannt Koordinatenbasis für Tp.
In der Regel weder normiert, noch orthogonal, aber bequem.
Transformationsverhalten folgt direkt. Basisvektoren für neues Koordinatensystem folgt aus der Kettenregel:
Vektor invariant:
(allgemeiner als Lorentz-Trafos)
Kartenwechsel Koordinatenwechsel Basiswechsel
{ }µ∂
⇒
⇒ ⇒
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Vektor an einem Punkt = Richtungsableitung entlang einer Kurve durch den Punkt
Vektorfeld definiert Abb. von glatten Funktionen nach glatten Funktionen auf M
Seien nun zwei Vektorfelder X und Y gegeben, dann definiere Kommutator [X,Y] durch Wirkung auf Funktion f:
Damit ist Kommutator [X,Y] selbst wieder ein Vektorfeld!
denn er ist linear
und erfüllt Produktregel
in Komponenten:
Vorsicht: partielle Ableitungen von Vektoren sind keine Tensoren (nächstes Kapitel), hier aber nur antisymmetrisch und alles ist gut.
⇒
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2.4 Schon wieder Tensoren!
Kotangentialraum = Menge aller linearen Abb.
Typische dual-Form = Gradient einer Funktion f = df
dual-Form Vektor
Basis:
Koordinatenwechsel
⇒ bel. dual-Form
und für die Koordinaten
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nun (k,l) Tensoren:
⇔
Kartenwechsel = Koordinatentrafo
partielle Ableitung einer Funktion ist Tensor, aber partielle Ableitung eines Tensors höheren Ranges ist kein Tensor. Beispiel: dual-Form
Ableitung der Transformationsmatrix verschwindet nicht,anders als für Lorentz-Trafos
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Deshalb muß man etwas neues erfinden:
1. äußere Ableitung
2. kovariante Ableitung
3. Lie-Ableitung
2.5 Die Metrik
Minkowski:gekrümmte Raumzeit
µνηgµν
Determinante det( ) 0g gµν= ≠
⇒ inverse Metrik g µν
Linienelement
dualer Basis Vektorzwei-Form
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Euklidischer Raum und kartesische Koordinaten:
Euklidischer Raum und Polarkoordinaten:
⇒
also: flacher Raum, aber nichtkonstante Metrik
Metrik enthält Info über Krümmung, aber wie?
2-Sphäre: r = 1 dr = 0 ⇒
Jetzt ist der Raum gekrümmt !!!
Lokal kann man Metrik immer in die Form mit ^ ^ ( ) ( 1,1,1,1)g p diagµη
= − ^ ^ ^ ( ) 0g pµ µη
∂ =
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Motivation:
Taylor-Entwicklung mit
symbolische Notation:
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10 Zahlen
4x4 = 16 Zahlen, damit Trafo auf
4 Ableitungen mal 10 Komponenten = 40 Zahlen
10 unabhängige Möglichkeiten für undund 4 Möglichkeiten für = 40 Zahlen,
also kann zum Verschwinden gebracht werden
symmetrisch 10x10=100 Zahlen
symmetrisch in den drei unteren Indizes: 20 Möglichkeiten
mal 4 Indizes = 80 Zahlen zu wenige !!!
^ ^ ( ) ( 1,1,1,1)g p diagµη
= −
0.te Ordnung:
1.te Ordnung:
2.te Ordnung:
⇒
⇒
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Lokale inertiale Koordinaten sind sehr hilfreich. Betrachte folgendes Beispiel:
Beobachter mit vierer-Geschwindigkeit
vorbeifliegende Rakete mit
Was misst der Beobtachter als normale dreier-Geschwindigkeit der Rakete ?
In der SRT ist das klar: benutze inertiale Koordinaten (global, nicht nur lokal), so dass der Beobachter im Ruhesystem ist und Rakete in x-Richtung fliegt.
Dann ist die vierer-Geschwindigkeit des Beobachters
und die vierer-Geschwindigkeit der Rakete
mit v = dreier-Geschwindigkeit,
⇒
In der flachen Raumzeit haben wir
und damit (in der flachen Raumzeit)
-
Jetzt zurück in die gekrümmte Raumzeit, Metrik nicht mehr Minkowski.
Aber am Punkt der Messung kann man lokales inertiales Koordinatensystem wählen
mit = , so dass
immer noch richtig ist. Aber das ist eine Tensor-Gleichung, die invariant unter der Wahl des Koordinatensystems ist. Fertig !